基本不等式(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+

拓展沖刺練)

m【考試提醒】

1.了解基本不等式的推導(dǎo)過程.

2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.

3.理解基本不等式在實際問題中的應(yīng)用.

□【知識點】

I.基本不等式：麗W什

2

(1)基本不等式成立的條件：心0,b>0.

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.

(3)其中T叫做正數(shù)訪6的算術(shù)平均數(shù)，而叫做正數(shù)°,6的幾何平均數(shù).

2.幾個重要的不等式

⑴層十萬22ab(a,b￡R).

(2戶+”2(。，6同號).

ab

z(a+6Y

(3)abW1---I(a,b￡R).

⑷審，空J(a,^R).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正數(shù)，如果積中等于定值P,那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值20.

(2)已知x,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時，積9有最大值：仔.

注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

羯【核心題型】

題型一利用基本不等式求最值

⑴前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代

換的方法；三是消元法.

命題點1配湊法

【例題1】（2024?遼寧?一模）已知機>2〃>0,貝IJ—」+竺的最小值為（）

m-2nn

A.3+272B.3-272C.2+372D.372-2

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，加=（加-2〃）+2〃，將所求式子變形，利用基本不等式求解.

【詳解】由加〉2〃>0,

:.m-2n>0,m=(m-2n^+2n,

mm(加-2〃)+2〃(加-2勿+2〃c2n怯2Tle-不

齒H---------H--------冷心/2,

m—2nnm—2nnm—2nn

2nm-2n

當(dāng)且僅當(dāng)

m-2nn

故選：A.

【變式1】故選：D（2024?四川德陽?模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x,N,z滿足

x2+xy+yz+xz+x+z=6,貝U3x+2y+z的最小值是.

【答案】473-2

【分析】因式分解得到x+z=1,變形后得到3x+2y+z=2（7,利用基

本不等式求出最小值.

【詳解】因為x，％z為正實數(shù),

~^x2xyyzxzxz6n(―+句(xyyz)(xz)6,

6

即x(x+z)+y(x+z)+(x+z)=6=>(x+y+l)(x+》=6=>x+z=----------

x+y+1

6

3x+2y+z=2(x+y)+(x+z)=2(x+y)

x+y+1

=2(x+j+l)+-----------2>22(x+y+l)——---2=4百-2,

x+y+1---------\'7x+y+\

當(dāng)且僅當(dāng)2(f+l)=g7T'即x+y=8f此時x+z=g7T=26,

所以3x+2y+z的最小值為46-2.

故答案為：473-2

【變式2】（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?一模）已知函/（x）=|x+3|+|10-2x|的最小值為加.

(1)求心的值;

(2)若a,6為正數(shù)，且a+6=求j3a+l+j36+2的最大值.

【答案】(1)加=8；

(2)376.

【分析】(1)討論去絕對值，將/(X)轉(zhuǎn)換為分段函數(shù)，求最小值.

(2)原式平方后，運用基本不等式求得最大值.

3x-7,x>5

【詳解】(1)V/(x)=|x+3|+|10-2x|=<13-x,-3<x<5,

7-3x,x?-3

...當(dāng)xN5時，/(x)>8,

當(dāng)-3<%<5時,8</(x)<16,

當(dāng)工?-3時，/(x)>16,

???/(x)mta=/(5)=8,即加=8.

(2)由(1)可得a+b=8,

(j3a+l+J36+2)=3a+1+36+2+2&+lxJb+2=27+2優(yōu)30+1)(36+2),

因為2j(3a+D(36+2)4(3a+l)+(36+2)=27,所以(7^71+^71)2V54,

所以73a+1+J36+2的最大值為3屈,

當(dāng)且僅當(dāng)=M轉(zhuǎn)，即時，等號成立.

00

綜上所述：最大值為3痛.

【變式3](2024?黑龍江?二模)已知實數(shù)。，6且ab>0,則，:曲一取得最大值時,

a+b+ab-+9

a+b的值為()

A.V3B.2>/3C.-2拒D.26或-2百

【答案】D

【分析】利用基本不等式求解.

------2-a-b------<-----2-a-b-----------2-----

【詳解】a2+b2+a2b2+9-2ab+a2b2+92\ab\9

ab

一99

又ab>0,所以abH>2jab=6，

abvab

2ab1

所以——7i-----—7T—T，

。+6+94

當(dāng)且僅當(dāng)必=3,即〃=6=百，或a=b=一百取等號,

所以a+6=2-73或〃+Z）=-2-73-

命題點2常數(shù)代換法

【例題2】（2024?江蘇南通?二模）設(shè)X>0,>>0,-+2y=2f則》+一的最小值為（）

xy

3I—3rr

A.-B.2-\/2C.—+>/2D.3

【答案】C

【分析】由不等式"1”的代換求解即可.

【詳解】因為工+2y=2,所以［+y=l,

x2x

因為x〉0,y〉0,所以—二|XH■—（I-=—+xy-1—4

y\y八2x）22xy

XV------1+V2

2xyx=------

當(dāng)且僅當(dāng)<即\2時取等.

11

-----Fy=1y=2-^2

［2x

故選：C.

【變式1】⑵24?四川成都?模擬預(yù)測）若6是正實數(shù)’且上+五%=1，則…的最

小值為（）

C.1D.2

【答案】A

【分析】觀察等式分母可知（34+6）+（2a+甸=5（a+b）,利用基本不等式中"1"的妙用可得

結(jié)果.

【詳解】因為

a+6=：（5.+56）=：［（3a+b）+（2a+4b）］=；［（3a+b）+（2a+46）］11

-----------1-------------

3a+b2a+4b

1（-2a+4b3a+b11_2a+4b3a+b］4

513a+b2a+4bJ5（V3a+b2a+46J5

當(dāng)且僅當(dāng)〃=］3三1時取等號，

4

所以的最小值為

故選：A

【變式2］（23-24高三上?浙江寧波?期末）已知。>0,6>0,則下列選項中，能使4a+b取得

最小值25的為（）

A.ab-36B.ab=9a+bC.a2+b=2.1D.16a2+b2=625

【答案】B

【分析】A選項，利用基本不等式直接進行求解；B選項，利用基本不等式"1"的妙用求解；

C選項，可以舉出反例；D選項，設(shè)。=］cosO/=25sin。，。?（。仁），利用三角恒等變換

得至lj4a+6=25應(yīng)cos（夕一區(qū)］e（25,25

【詳解】A選項，4a+b22&^=4益=24,

當(dāng)且僅當(dāng)4a=6,即“=3,6=12時，等號成立，A錯誤;

91

B選項，因為t。6=9。+6,所以:+—=1,

故4a+b=（4a+6）］2+口=4+9^^^>13+2^=23

\ba）ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)孚=2,即6=15,a=3時，等號成立，B正確；

ba2

C選項，當(dāng)〃=4力=5時，滿足4+6=21,止匕時4〃+b=16+5=21<25,C錯誤;

D選項，a>0,b>0,設(shè)。=—cos。/=25sin。，其中

貝!J4a+b=25cos6+25sin6=250cos

jr

因為,所以"不,故4。+6=25后cos

顯然4〃+6取不到最小值25,D錯誤.

故選：B

【變式3］（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)0,6滿足a+b=2,則一［+二］的最小值為

〃+1Z?+2

3、45

AB.一C.一D.

-1456

【答案】C

【分析】由已知可得a+1+6+2=5,根據(jù)"1"的代換化簡得出

一二+±=［（2+學(xué)進而根據(jù)基本不等式，即可求得答案.

a+1b+2a+1b+2）

【詳解】因為a+b=2,所以。+1+6+2=5,

1|(Q+1+b+2)=|[2+6+2ci+1

所以----1----二一?----1----

Q+1b+251Q+1b+2a+16+2

1_]+2a+l'4

>-2+2J--------------

5(Na+1b+25

31

當(dāng)且僅當(dāng)。+1=6+2,。+6=2,即Q==,時，等號成立，

所以」1？+士1的最小值為4??

a+1b+25

故選：C.

命題點3消元法

2V2

【例題3】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知％>0,>>0且％+>=1,則一x石+丁「的最小值為

1+x1+y

()

【答案】B

【分析】由基本不等式和x+y=l可得0<個化簡可得1丁+7有\(zhòng),

41+x1+y2-2：x-y2+xy

令》=3-2中，利用換元法，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)計算即可求解.

【詳解】因為x+y=l,所以x+y=122而，當(dāng)且僅當(dāng)尤=尸;時等號成立,

所以0<盯vj.

4

因為

22

11_。+*)+(1+歹2)_2+x+y_2+(x+y)2_2中3-2中

1+工21+y2(1+%2)(]+、2)1+x2+y2+x2.y2l+(x+j)2-2xy+x2j22-2xy+x2y2

令”3—2孫，貝ipwg,3）,3~t

1144

----1----=--------------

所以"一+「2-（3_）+三/-2'+5t_2+l

4

由對勾函數(shù)y=x+3在R,3）上單調(diào)遞增，則當(dāng)x=；時函數(shù)取到最小值，

x22

11,48

所以當(dāng)"3時，1+Y1+/--2+I5,

225

2

在I1%2y2（^2+i）-i（y2+1）-1（11\82

1+x1+y1+xl+yU+x?1+yJ55

故選：B.

【變式1】（2023?重慶?模擬預(yù)測）已知尤>0,y>0,且0+2x+y=6,則2x+y的最小值

為（）,

A.4B.6C.8D.12

【答案】A

【分析】利用基本不等式和消元思想對本題目進行求解.

【詳解】解：已知x>0,y>Q,且xy+2x+y=6,

6-2x

y=—「

x+1

6—2x88

2x+y=2x+--------=2（x+l）H----------4>4,當(dāng)且僅當(dāng)2（x+l）=------,x=1時取等號，

x+1x+1x+1

故2x+y的最小值為4.

故選:A

【變式2]（2023?煙臺模擬）已知x>0,y>0,x+3y+xy^9,則x+3y的最小值為.

【答案】6

【解析】方法一（換元消元法）

由已知得9_（x+3y）=xy=Jx-3yWg[x[3y],當(dāng)且僅當(dāng)》=3y,即》=3,y=l時取等號.

即（x+3y）2+12（x+3y）-108N0,

令x+3y=t,則t>0且?2+12z-108^0,

得t，6,即x+3y的最小值為6.

方法二（代入消元法）

由x+3y+孫=9,得x=^——,

i+y

所以x+3尸0+3尸9一3升3了（1+四

1+jl+y

=9+3y2=3(l+y)26(l+y)+12

1+y1+y

=3(1+,)+^-6^2^3(1^11-6

=12—6=6,

17

當(dāng)且僅當(dāng)3(l+y)=-----,即y=l,x=3時取等號，

l+j

所以x+3y的最小值為6.

【變式3](2024?浙江?模擬預(yù)測)已知凡6>0,"=1,求5=/+」^的最小值.

【答案】141-2

【分析】根據(jù)條件，6=上代入消去6,將S的表達式分離常數(shù)得'利用基本

a〃+—+3

a

不等式求得結(jié)果.

【詳解】a,b>0,ab=l,

c1111

/.S=---1----=----1---

1+q1+2b1+Q1+工

a

1a/+2。+2ra

=---1---=-------=1---------------

1+qa+2Q2+3Q+2/+3a+2

a

Qa+->2.L^=2V2,當(dāng)且僅當(dāng)“=2,即0=后時等號成立，

a\aa

所以SZl2—=272-2.

2V2+3

故S的最小值為2/-2.

題型二基本不等式的常見變形應(yīng)用

基本不等式的常見變形

a-.

八、2(a+b7jc^+b2

(2)]\W7abW----------------------(<7>0,Z?>0).

—|—2\j2

ab

【例題4】（2023?全國?三模）已知〃〉0,b>0,且a+b=l,則下列不等式不正確的是（）

A.ab<—B.a2+b2>-

42

C.—+———>2D.yfa+4b<1

ab+1

【答案】D

【分析】根據(jù)基本不等式逐項判斷ABD,消元，化簡，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷C.

【詳解】因為Q>0,b>0,且。+6=1,

由基本不等式可得等］=!（當(dāng)且僅當(dāng)。=b時取等號），A正確;

由基本不等式知一w忙,則三忙”

即（當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取等號），B正確;

2

112

由題得----1-----

1—bb+1\-b-

2

由已知0<6<1,故l-/e(O,l),所以_^>2,

1—/?

故:+占>2,C正確；

由基本不等式可得，丁<Jp*,

即五+新4收（當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取等號），D錯誤.

故選：D.

【變式1】（2023?遼寧?二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)

有如圖所示圖形，在等腰直角三角形"3C中，點。為斜邊48的中點，點。為斜邊48上

異于頂點的一個動點，設(shè)=BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）.

B.2"：4>0,6>0)

D.a2+b2>14ab(a>0,b>0)

【答案】C

【分析】由“BC為等腰直角三角形，得到。。=手，OD=\OB-BD\,然后在

中，得到CD判斷.

【詳解】解：由圖知：0C=；/8=q12,0D=pB-3O|=審一8=三2，

在必△OCD中,CDZOCUOD?=

即里4

所以O(shè)CVOD,(a>o,z?〉0),

2

故選：C

【變式2］（2023?陜西寶雞?二模）設(shè)a,beR,則"a+札2"是2”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】C

【分析】由基本不等式結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.

【詳解】若a+匹2,貝1J/+122（“+"）22成立，當(dāng)且僅當(dāng)。=6=1時取等,

2

a2+b2>2,不妨設(shè)a=b=-l,貝>Ja+b22不成立，

所以"a+622"是"/+62^2”的充分不必要條件.

故選：C.

【變式3】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，（S,+l）2=〃+l,則

下列說法正確的是（）

A.a,=V2-1B.｛。“｝是遞減數(shù)列

尋…1。1〃+5

C.22（-1）—=8D.??+1+—<二一

?=1%an2

【答案】ABD

【分析】令〃=1,求得％的值可以判斷A；利用數(shù)列的前"項和與裂項的關(guān)系求出數(shù)列的通

項，再利用分子有理工的特點，采用裂項相消的方法求和可判斷B；采用裂項相消的方法

a?

求和可判斷C；先恒等變形，再連續(xù)使用兩次基本不等式及其變形可判斷D.

【詳解】選項A：由（S“+l『=〃+1,令〃=1,得0+1）2=1+1=（%+13

又%>0,所以4=行-1,故選項A正確；

選項B：因為｛叫為正項數(shù)列，且(S〃+l)2=〃+l,所以S〃=而I-1,

所以當(dāng)〃22時，%=一S“_i=dn+1-1-(V?-1)=Yn+1-4n(n>2),

又4]=1滿足上式，所以〃〃=J1+1-N1),

所以為=而1-冊=巫匕?尹顯,1,,

y/n+l+\n7n+1+7n

顯然｛而T+而｝是遞增數(shù)列，且，幣+6>0,所以｛〃〃｝是遞減數(shù)列，故選項B正確；

選項C：(_])〃,=(-1)〃(力+1+而),所以

an

991

Z(T)〃一=-V2-1+V3+V2-A/4-A/3+-----V100-^/99=-11,故選項C錯誤；

〃=1an

a

選項D：n+\-*=yln+27n+1H—/j=—+2—J〃+1+&+1+y/n=U+2+，

Q〃y/n+1—yjn

所以]。,+1+~=(J〃+2+V?)2M21(Ja+2)2+(V?)2J=4(〃+1),

因為力+2wj，所以等號取不到，

1I~T~~4+〃+l〃+5

所以。"+i+—<J4(〃+1)W—--,故選項D正確.

an22

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：與基本不等式相關(guān)的4種常考類型，

根式形式：a+b22向a>0,b>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.利用基本不等式求最值,

一定要注意“一正、二定、三相等"缺一不可.

整式形式：ab<(a,6eR),a2+b222ab(a,be玲，(a+bf>4ab(a,beR),

(一]《空/(4力€出，以上不等式當(dāng)且僅當(dāng)。=b時，等號成立.

分式形式：-+y>2(a^>0),當(dāng)且僅當(dāng)。=6時，等號成立.

ab

倒數(shù)形式：a+』N2(a>0),當(dāng)且僅當(dāng)。=1時，等號成立；a+，4-2(a<0),當(dāng)且僅當(dāng)。=-1

aa

時，等號成立.

題型三基本不等式的實際應(yīng)用

利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實際意義,

抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

【例題5】（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）如圖，某人沿圍墻CD修建一個直角梯形花壇/BCD,

設(shè)直角邊4D=x米，8c=2x米，若/D+ZB+8C=12米，問當(dāng)x=米時，直角梯

形花壇/8CD的面積最大.

C

2x米

AB

【答案】2

【分析】先求出面積的表達式，再根據(jù)基本不等式即可得解.

【詳解】由題意N8=12-3x米，

則直角梯形花壇ABCD的面積

（XX）X）（一）

$=+202-3=L3x123xJx由+①⑻]=ig；

當(dāng)且僅當(dāng)3x=12-3x,即x=2時，等號成立，

所以當(dāng)x=2米時，直角梯形花壇Z3CD的面積最大.

故答案為：2.

【變式1】（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周

的該商品的單價分別為加元和〃元（加H"）,甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購

買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為q,右，則

)

A.ax=a2B.%<a2C.fl1>a2D.%,出的大小無法確

定

【答案】B

【分析】由題意求出可，出的表達式，利用基本不等式，比較大小，即得答案.

2002mn_、

【詳解】由題思得100100rn十幾，。2=-=——，

——+——402

mn

e且,,m+nI-ZrrmZmn1-

因為加AA冽故----->yjmn,--------<--j^=-ylmn,

2m+n21mn

即ax<a2,

故選：B

【變式2］（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）小明在春節(jié)期間，預(yù)約了正月初五上午去美術(shù)館欣

賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的

同志需要將警戒線控制在距墻多遠處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點后兩位）已知該

畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1

米處.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

【答案】A

【分析】由題意作出圖形，選設(shè)觀賞者與油畫的水平距離為x,觀賞時的視角為=

求出△48。中的三邊，由余弦定理求得cos。的表達式，依題應(yīng)使。最大，即使cos。最小，

求出表達式的最小值以及此時尤的值即得.

【詳解】

如圖，設(shè)觀賞者的眼睛在點。處，油畫的上沿在點A處，下沿在點3處,

點C在線段43延長線上，且保持與點。在同一水平線上，

則/ZD8=6即觀賞時的視角.

依題意AB=2,BC=1,AC1DC,

不妨設(shè)。C=x,則80=，*+1,AD=Ji+9,

2x2+6Ix4+6x2+9

在△43。中,由余弦定理,COS0=

2J32+1,A/X~+9VX4+10X2+9

4x2

X4+10X2+9Y+X+IO

X

因x>0,貝！|/+與22百=6,當(dāng)且僅當(dāng)/=9時，即時等號成立,

X

9a

由=可得/+=+10216,

XX

jrjr

因函數(shù)y=cosx在（0二）上單調(diào)遞減，故得oweW工

26

即最大視角為￡,此時觀賞者距離油畫的直線距離為6?1.73.

6

故選：A.

【變式3】（2024?廣東韶關(guān)?二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量少（單位：平方

米）的計算公式是少=（長+4）x（寬+4）,在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場

地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單

位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【答案】C

【分析】設(shè)矩形場地的長為X米，則獷=4%+竺出+10016,結(jié)合基本不等式計算即可求解.

X

【詳解】設(shè)矩形場地的長為X米，則寬為竺吧米，

當(dāng)且僅當(dāng)4x=M幽，即x=100時，等號成立.

所以平整這塊場地所需的最少費用為1x10816=10816元.

故選：C

【課后強化】

基礎(chǔ)保分練

一、單選題

1.（2024?河南南陽?一模）已知正實數(shù)滿足1+1=1,貝i］4孫-3x的最小值為（）

【答案】B

【分析】利用條件轉(zhuǎn)化得初=》+了，將問題式化簡結(jié)合基本不等式求最值.

［詳解］由x>O,y>0,>—+—=1,可得中=丁+了.所以4個―3x=4x+4y_3x=x+4y.

又因為x+4y=（x+4y）［，+，］=5+肛■+與9,

y）工歹

當(dāng)且僅當(dāng)4上y=—x,即x=3）=3：時取等號，所以4初-3x29.

xy2

故選：B.

2.（2023?河南開封?三模）已知a>0,b>0,且a+b=l,a'b,則下列不等式成立的是

A.y[a+y/b<V2<--1——B.Vfl+y[b<--1—T<V2

2"2b2026

C.---1—T<V2<y[ci+yfbD.---1—T<VG+y[b<V2

2a2A2a26

【答案】A

【分析】使用基本不等式求解，注意等號成立條件.

【詳解】（6+新）=a+b+2>lab=1+2\lab<\+a+b=2,

1?'a16,.,.等號不成立，故&i+況<也；

,?*a1b,.,.等號不成立，故王?+9〉亞,

綜上，Va+4b<V2<—+.

故選：A.

3.（22-23高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）甲、乙兩名司機的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油

都說"師傅，給我加300元的油"，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿"，如果甲、乙各加同一種

汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，

乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（）

A.甲更合算B.乙更合算

C.甲乙同樣合算D.無法判斷誰更合算

【答案】A

【分析】根據(jù)題意列出甲乙兩次加油的平均單價，進而根據(jù)不等式即可求解.

【詳解】設(shè)兩次的單價分別是元/升,

600_2

甲加兩次油的平均單價為300300=匚丁,單位：元/升，

xyxy

乙每次加油。升，加兩次油的平均單價為絲普=中，單位：元/升,

2a2

因為%>0,歹>o,x^y,

Z、I----zX-T

所以［工+1］（%+,）=2+工+上>2+2J匕乙=4,即工上J_2

y）V%"%

人y

即甲的平均單價低，甲更合算.

故選：A

4.（2024?陜西西安?一模）"中國剩余定理"又稱"孫子定理"，最早可見于中國南北朝時期的

數(shù)學(xué)著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做"物不知數(shù)"，原文如下：今有物不知其數(shù)，三

三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：被3除

余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%｝,記數(shù)列｛%｝的前"

項和為E,，則246。的最小值為（）

n

A.60B.61C.75D.76

【答案】B

【分析】先由〃兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個等差數(shù)列公差的最

小公倍數(shù)"得S",再由基本不等式求得2，"+60的最小值.

n

【詳解】被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個首項為8,

公差為15的等差數(shù)歹

所以S“=8〃+”G；1)X15=］才*〃，

2("60------

A2S?+60(22J60.I60,

-------=----------------=151〃C+——+1415〃一+1=61

nnn\n

當(dāng)且僅當(dāng)15〃=如，即〃=2時取等號，

n

.?.當(dāng)〃=2時空T取最小值為61.

n

故選：B.

5.(2023?河南信陽?模擬預(yù)測)若-5―<-1,則函數(shù)=有()

A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-1

【答案】D

/\/\—(x+1)1

【分析】由題意，0<-(尤+1)<4,/(%)=--^―^+――n，利用基本不等式求解.

【詳解】因為-5<x<-l,所以0<-(x+l)<4,

(%+iy+i一(x+l)?1<_2.(x+1)1=]

e)=-

2(x+i)2-2(x+l)JX2.-2(x+l廠,

—(x+1)1

當(dāng)且僅當(dāng)‘FT-八，即x=-2時等號成立，

2—2(x+1)

所以函數(shù)/（x）有最大值-1.

故選：D.

pe1nh

6.（2024?四川涼山?二模）已知正數(shù)。力滿足。+26=-dx,則丁）的最大值為（）

■xa+b

Ll1

A.V2B.2V2C.2丁+]D.2V2+1

【答案】C

【分析】先由「工公得到。+26=1,然后代入增7,利用基本不等式求最值即可.

Jixa+b

/?e1

【詳解】[—&=InxI?=Ine-In1=1,則a+26=l,又。>0,6〉0,

x

ab_1_1_1<11___

所以力+b一a?1一。?。+26-a_+2b_+~Q竺+]2后+1,

bababa'ba

當(dāng)且僅當(dāng)f=殳，即。=—7力=丁、時等號成立.

baJ2+12+。2

故選：C.

二、多選題

7.(2024?江蘇—模)已知x,yeR,且12*=3,⑵=4，則()

A.y>xB.x+y>l

C.xy<—D.\[x+\[y<V2

4"

【答案】ACD

【分析】用對數(shù)表示x,y,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的計算、基本不等式等即可逐項計

算得到答案.

【詳解】,.T2*=3,x=log123,同理>=logi24,

y=logi2%在x>0時遞增，故故A正確;

*.*x+y=log1212=l,B錯誤;

X>0,y>0,.?.孫4（寧］=：,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立，而x<>,故孫<；,

?'-C正確；

&'+?）=x+y+2向=1+2囪^<2,即4+正<血，.，.D正確.

故選：ACD.

8.（2024?貴州貴陽?一模）已知。>0,6>0,且〃+。=2,則（）

八r-11-

A.2a+2b>2yf2B.-+->2

ab

22

C.log2a+log2ft<lD.a+b>2

【答案】ABCD

【分析】首先結(jié)合選項變形，再根據(jù)基本不等式，即可判斷選項.

【詳解】A.2。+2"22石==4>2\用，當(dāng)。=6=1時，等號成立，故A正確;

_1_?__1—_a__+_b___2_>____2____=2.

B.ababab:0+方；,當(dāng)〃=。=1時，等號成立，故B正確;

C.log2tz+log2/）=log2ab<log2=0<1,故C正確；

D.a2+b~={a+by-2ab=4-2ab>4-2x=2,當(dāng)a=6=l時等號成立，故D正確.

故選：ABCD

三、填空題

9.（2024?云南紅河?二模）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱N3C-4呂A中,

ZAXAB=ZAXAC=^JM=XBB^,西=〃西，若存在2e（0,1）,〃e（0,1）,使而.麗=0

成立，則力+〃的最小值為

G

4

【答案】V2-1

【分析】設(shè)方=口就==將向量而.麗=0轉(zhuǎn)化為基底表示，可得V+3+M=O,

再利用基本不等式求解.

【詳解】設(shè)方=用就=反怒="|刈=|印=?,

則兩=方+屈=）+；1己,麗=就+國=6一1+〃乙

因為施?麗=0，所以伍+力1>?-萬+〃萬）=0,

a-b-a2+/ja-c+Ab-c-Aa-c+A/dc2=0,

即1+,+沏=0,由Xe（0,l）,〃e（0,l）,得〃=W^j，4e（0J）,

所以2+〃=4+/=4+尹百「-吳2』得=血得，

Az+2）

當(dāng)且僅當(dāng)即幾=1二L時等號成立，

所以幾+〃的最小值為應(yīng)-;.

故答案為：亞-J.

10.（2024?江西九江?二模）在AA8C中，角/,B,。所對的邊分別為a,b,c.已知/,B,

C成等差數(shù)列，〃+°2=4,貝U”3C面積的最大值是,（4sin^sinC+3）&2=.

【答案】皂12

2

【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得3,結(jié)合重要不等式及三角形面積公式即可求得三角形面積的

最大值；運用正弦定理可得sin/=匝，sinC=叵，由余弦定理可得〃=4-qc,代入求

2b2b

解即可.

【詳解】由題意知，=A+C,

又4+B+C=TT,所以8=；,

又/+02=4,a2+c2>2ac，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,

所以acV2,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,

所以S&wc=~acsin5=—acsin—=-^-ac<，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號.

AABC22342

故”3C面積的最大值為

2

b

因為，一=-^二一.，B=g

sinAsinCsin5

福.<7sin5也a.「csinB欄c

月T以sin4=------，sinC=------=----

b2bb2b

y[3a43c3ac

所以4sin4sinC=4x----x---=——，

2b2bF

由余弦定理得〃=a2+c2-2accosB=4-2(2ccosy=4-ac,

所以(4sinZsinC+3)Z>2=+3)Z)2=3ac+3Z)2=3QC+3(4—〃C)=12.

故答案為：—;12.

2

四、解答題

11.(2024?四川廣安?二模)已知b,。均為正數(shù)，且a+6+c=3.

19

⑴是否存在.'b,C,使得丁不加5)，說明理由;

⑵證明：y/3+a+13+b+S+cW6.

【答案】⑴不存在，理由見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)依題意可得6+c=3-〃〉0,則±1+94=上1+9」-,利用乘〃1〃法及基本不等