熱點15概率與統計

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

2022年，第4題，考察頻率分布直方圖；

概率統計專題相關的知識點錯綜復雜又環環相扣，在

第13題條件概率

天津高考中近三年以圖表信息、古典概型、條件概率，

2023年，第7題，考察正負相關性；

回歸分析，獨立性檢驗、樣本估計總體等為主要考有

第13題獨立事件的概率公式

內容，主要以選填形式出現。

2024年，第3題，考察根據散點圖判斷是否線性相

關；第13題古典概型和條件概率

熱點題型解讀

題型1分層抽樣

題型2用樣本估計總體

題型3互斥事件，對立事件，獨立事件［一概率與統計

題型4條件概率，全概率公式和貝葉斯公式

題型5一元線性回歸直線方程

題型1分層抽樣

(1)分層隨機抽樣的步驟

:①根據己經掌握的信息，將總體分成互不相交的層；

；②根據總體中的個體數N和樣本量〃計算抽樣比k=j

\③確定第i層應該抽取的個體數目“xN,xk(N,為第i層所包含的個體數)，使得各“之和為n；

:④在各個層中，按步驟③中確定的數目在各層中隨機抽取個體，合在一起得到容量為九的樣本.

(2)分層抽樣的均值與方差

>-m一n——

X=---xH---------------%2

m+n1m+n

S~=—^-[Sf+(^-x)2]+^^[^+(^-x)2]

m+nm+n

1.(2023?天津武清?模擬預測)某校對高三年級學生的數學成績進行統計分析.全年級同學的成績全部介于

80分與150分之間,將他們的成績按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),

[130,140),[140,150]分組后得到的頻率分布直方圖如圖所示.現從全體學生中根據成績采用分層抽樣的

方法抽取80名同學的試卷進行分析，則從成績在[120,130)內的學生中抽取的人數為()

頻率

a.....................

0.025..................................................

0.015............................?-----

0.010..........-I——

。005kl―1”…卜T-一~~|下

O8090100110120130140150分數

A.28B.36C.20D.24

2.(2023?天津南開?二模)某車間從生產的一批零件中隨機抽取了1000個進行一項質量指標的檢測，整理

檢測結果得到此項質量指標的頻率分布直方圖如圖所示.若用分層抽樣的方法從質量指標在區間[40,70)的

零件中抽取170個進行再次檢測，則質量指標在區間[50,60)內的零件應抽取()

八頻率

組距

0.035------------——

0.030--------------------------

0.020--------------------------------

0.010---------------------------------------

a-------

-A/-I-------------------------------------------?

ov304050607080質量指標

A.30個B.40個C.60個D.70個

3.（2022?天津武清?二模）將某市參加高中數學建模競賽的學生成績分成5組：

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,并整理得到頻率分布直方圖（如圖所示）.現按成績運用分層抽

樣的方法抽取100位同學進行學習方法的問卷調查，則成績在區間[70,80）內應抽取的人數為（）

A.10B.20C.30D.35

4.（2022?天津?一模）為遏制新型冠狀病毒肺炎疫情的傳播，我市某區對全體居民進行核酸檢測.現面向全

區招募1000名志愿者，按年齡分成5組：第一組[20,25）,第二組[25,30）,第三組[30,35）,第四組[35,40）,

第五組[40,45],經整理得到如下的頻率分布直方圖.若采用分層抽樣的方法從前三組志愿者中抽出39人負

責醫療物資的運輸工作，則在第二組中抽出的人數為（）

5.（24-25高二上?上海寶山?期末）某學校為了獲得該校全體高中學生的體育鍛煉情況，按男、女學生的比

例分別抽樣調查了48名男生和27名女生的每周鍛煉時間.通過計算得到男生每周鍛煉時間的平均數為7.6

小時，方差為7；女生每周鍛煉時間的平均數為6.4小時，方差為8.

⑴若該校男生總數為1280,求該校學生總數；

（2）若所選27名女生每周鍛煉時間從小到大排列后的第9至第13個數據依次為5、5.3、5.6、5.8、5.9,求所選

女生樣本的第40百分位數；

⑶求所有樣本數據的平均數和方差（精確到0.001）.

6.（2024?上海青浦?一模）第七屆中國國際進口博覽會于2024年11月5日至10日在上海舉辦，某公

司生產的A.B,C三款產品在博覽會上亮相，每一種產品均有普通裝和精品裝兩種款式，該公司每天

產量如下表：（單位:個）

產品A產品B產品c

普通裝n180400

精品裝300420600

現采用分層抽樣的方法在某一天生產的產品中抽取100個，其中B款產品有30個.

（1）求〃的值;

⑵用分層抽樣的方法在C款產品中抽取一個容量為5的樣本，從樣本中任取2個產品，求其中至少有一

個精品裝產品的概率；

⑶對抽取到的B款產品樣本中某種指標進行統計，普通裝產品的平均數為10,方差為2,精品裝產品的

平均數為12,方差為1.8,試估計這天生產的B款產品的某種指標的總體方差（精確到0.01）.

7.（24-25高一上?遼寧沈陽?期末）某醫療單位為了迎接醫師節，針對本單位不同年齡的員工舉辦了一次實

踐技能大比拼活動，滿分100分（95分及以上為優秀醫師），共有100人榮獲"優秀醫師”稱號，將其按年

齡分成以下五組：第一組［20,30）,第二組［30,40）,第三組［40,50）,第四組［50,60）,第五組［60,70）,得到

如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴根據頻率分布直方圖，估計這些人的平均年齡元；

⑵若從第三組，第四組，第五組三組中分層抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的2人年齡在

不同組的概率；

⑶若第四組的年齡的平均數與方差分別為54和1,第五組的年齡的平均數與方差分別為66和4,據此計算

這100人中第四組與第五組所有人的年齡的方差.

1————

附：S?=-------{相［5；+（玉—X）2］++（X—X）2］}

m+n2

題型2用樣本估計總體

1、計算一組〃個數據的第P百分位數的步驟：

第1步,按從小到大排列原始數據.

第2步，計算i="x。％.

第3步，若，不是整數,而大于，的比鄰整數為j,則第P百分位數為第/項數據;若i是整數,則第P百分位

數為第i項與第（z+1）項數據的平均數.

2、在頻率分布直方圖中，眾數，中位數，平均數的估計值

（1）最高的小矩形底邊中點的橫坐標即是眾數；

（2）中位數左邊和右邊的所有小矩形的面積和是相等的；

（3）平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫

坐標之和.

匚“756演關澤荷茜:三說"嶷禽三岸荻辜存藪季痂醺曩「笄落石6茗孽軍威藕葭震7蒲芬7而一47

成績取整數）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則估計這組數據的第85百分位數為（）

2.（2024?天津?二模）為了加深師生對黨史的了解，激發廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦

了“學黨史、育文化”的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績取整數）整理成如

圖所示的頻率分布直方圖，估計這組數據的第85百分位數為（）分

頻率

405060708090100成績/分數

A.84B.85C.86D.87

3.（2024?天津?二模）為深入貫徹落實習近平總書記對天津工作"三個著力”重要要求，天津持續深化改革,

創建全國文明城區，城市文明程度顯著提升，人民群眾的夢想不斷實現.在創建文明城區的過程中，中央文

明辦對某小區居民進行了創建文明城區相關知識網絡問卷調查，從本次問卷中隨機抽取了50名居民的問卷

結果，統計其得分數據，將所得50份數據的得分結果分為6組：

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],并整理得到如下的頻率分布直方圖，則該小區居民得分

C.84.55D.81.32

4.（2024?天津?二模）某校舉辦了數學知識競賽，把1000名學生的競賽成績（滿分100分，成績取整數）

按[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確

的為（）

A.”的值為0.015B.估計這組數據的眾數為80

C.估計這組數據的第60百分位數為87D.估計成績低于80分的有350人

5.（2024?天津河北?一模）已知甲乙兩組數據分別為20,21,22,23,24,25和23,24,25,26,27,28,則下列說法

中不正確的是（）

A.甲組數據中第70百分位數為23B.甲乙兩組數據的極差相同

C.乙組數據的中位數為25.5D.甲乙兩組數據的方差相同

6.（2023?天津和平?二模）一組樣本數據的頻率分布直方圖如圖所示，試估計此樣本數據的中位數為（）

7.（2023,天津濱海新,三模）為了解學生每天的體育活動時間，某市教育部門對全市高中學生進行調查，

隨機抽取1000名學生每天進行體育運動的時間，按照時長（單位：分鐘）分成6組：第一組［30,40）,第二

組［40,50）,第三組［50,60）,第四組［60,70）,第五組［70,80）,第六組［80,90］.對統計數據整理得到如圖所

示的頻率分布直方圖，則下列結論不正確的是（）

A.頻率分布直方圖中的a=Q015

B.估計1000名學生每天體育活動不少于一個小時的學生人數為400

C.估計1000名學生每天體育活動時間的眾數是55

D.估計1000名學生每天體育活動時間的第25百分位數為45.5

8.（2023?天津北辰?三模）少年強則國強，少年智則國智.黨和政府一直重視青少年的健康成長，出臺了

一系列政策和行動計劃，提高學生身體素質.為了加強對學生的營養健康監測，某校在3000名學生中，抽

查了100名學生的體重數據情況.根據所得數據繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結論正確的

是（）

A.樣本的眾數為65B.樣本的第80百分位數為72.5

C.樣本的平均值為67.5D.該校學生中低于65kg的學生大約為1000人

題型3互斥事件，對立事件，獨立事件

II

事件的相互獨立性

(1)事件A與事件5相互獨立：對任意的兩個事件A與如果尸(A6)=尸(A)尸(5)成立，則稱事件A

與事件8相互獨立，簡稱為獨立.

(2)性質：若事件A與事件3相互獨立，則A與耳，可與3,可與后也都相互獨立，P(B\A)=P(B),\

P(A|B)=P(A).

二二-w五.蒿”示:笑渾麗茉丁一不庸福而芍的定向而底茉畫面鹵不而王芬期標者藪孽工…m：蓬薪?

擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數字，記事件A為"第一次向下的數字為

2或3”,事件8為“兩次向下的數字之和為奇數”，則下列結論正確的是()

A.P(A)=；B.事件A與事件B互斥

C.事件A與事件3相互獨立D.P(AoB)=1

2.(2024?上海嘉定?一模)假定生男生女是等可能的，設事件A：一個家庭中既有男孩又有女孩；事件8:一個

家庭中最多有一個女孩.針對下列兩種情形：①家庭中有2個小孩；②家庭中有3個小孩，下面說法正確是

().

A.①中事件A與事件B相互獨立、②中的事件A與事件B相互獨立

B.①中事件A與事件B不相互獨立、②中的事件A與事件B相互獨立

C.①中事件A與事件B相互獨立、②中的事件A與事件B不相互獨立

D.①中事件A與事件B不相互獨立、②中的事件A與事件8不相互獨立

3.(2024?上海虹口?一模)已知事件A和事件8滿足AA8=0,則下列說法正確的是().

A.事件A和事件B獨立B.事件A和事件B互斥

C.事件A和事件B對立D.事件X和事件月互斥

4.(2024?廣東廣州?模擬預測)擲出兩枚質地均勻的骰子，記事件A="第一枚點數小于3",事件3="第二

枚點數大于4",則A與3關系為()

A.互斥B.互為對立C.相互獨立D.相等

5.(23-24高一下?天津?期末)一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球(標號為1和2),

2個黑色球(標號為3和4),采用不放回簡單隨機抽樣的方法從袋中依次摸出2個球.設事件A="摸到的

2個球顏色不相同"，事件3="摸到的2個球的數字之和大于5".

(1)用集合的形式寫出試驗的樣本空間，并求尸(A),P(B)；

⑵求P(A3),并說明事件A與8是否相互獨立.

題型4條件概率，全概率公式和貝葉斯公式

P（AB）

1、條件概率：一般地，設A,3為兩個隨機事件，且P（A）＞0,我們稱尸（31A）=展一為在事件A

發生的條件下，事件3發生的條件概率，簡稱條件概率.

2、全概率公式：p（3）=fp（4）p（例4）

Z=1

i

尸（A?B）=尸（4）尸（04）=尸（a）p（3ia）

3、貝葉斯公式：,?P?￡P（A）P@A）

k=\

匚…瀛二舞熊頡丁薜應石賽頡壬薛豪貳-笄麗天褻旗榛,「麗,廣,菊天礦前瑞

比賽，每次由其中一人投籃，規則如下:若投中，則此人繼續投籃，若未投中，則換為對方投籃，無論之前

投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為:，乙每次投籃的命中率均為g.由抽簽確定第1次投籃的人選，

第1次投籃的人是甲、乙的概率各為|■.第2次投籃的人是甲的概率為—；已知在第2次投籃的人是乙的

情況下，第1次投籃的人是甲的概率為—.

2.（2024?天津河西?模擬預測）甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓練，訓練規則是確定一人第一次將球傳

出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.如果第一次

由甲將球傳出，設鼠次傳球后球在甲手中的概率為月，則鳥=;P?=.

3.（2024?天津北辰?模擬預測）甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2

個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，在已知至少抽到一個紅球的條件下，則

2個球都是紅球的概率為；擲一枚質地均勻的骰子，如果點數小于等于4,從甲箱子中隨機抽出

1個球；如果點數大于等于5,從乙箱子中隨機抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率

是.

4.（2024?天津河北?二模）學習小組為了研究手機對學生學習的影響，對本學校學生手機使用情況統計分

析有以下結果：若學生前一天沒有玩手機，則接下來一天也不玩手機的概率為0.7,若學生前一天玩手機,

接下來一天也玩手機的概率為08已知一個學生第一天沒玩手機，根據這個統計結果計算，那么他第二天

玩手機的概率為，第三天不玩手機的概率為.

5.（2023?天津和平?三模）拋擲兩顆質地均勻的骰子，其中白色骰子與黑色骰子各一顆，記事件A為"白色

骰子的點數為4或5”,事件B為"兩顆骰子點數之和大于8",則尸但A）=；P（A|B）=.

6.（2024,天津濱海新,三模）隨著我國經濟發展越來越好，外出旅游的人越來越多，現有兩位游客慕名來

天津旅游，他們分別從天津之眼摩天輪、五大道風景區、古文化街、意式風情街、海河觀光游船、盤山風

景區，這6個隨機選擇1個景點游玩，兩位游客都選擇天津之眼摩天輪的概率為.這兩位游客中至

少有一人選擇天津之眼摩天輪的條件下，他們選擇的景點不相同的概率.

7.（2024?天津河西?模擬預測）甲、乙兩名同學在電腦上進行答題測試，每套測試題可從題庫中隨機抽取.

在一輪答題中，如果甲單獨答題，能夠通過測試的概率是根，如果乙單獨答題，能夠通過測試的概率是手

若甲單獨答題三輪，則甲恰有兩輪通過測試的概率為;若在甲，乙兩人中任選一人進行測試，則通過

測試的概率為.（結果均以既約分數表示）

8.（2024,天津?二模）為緩解高三學習壓力，某高中校舉辦一對一石頭、剪刀、布猜拳比賽，比賽約定賽

制如下：累計贏2局者勝，分出勝負即停止比賽；若猜拳4局仍未分出勝負，則比賽結束.在一局猜拳比賽

中，已知每位同學贏、輸、平局的概率均為;，每局比賽的結果相互獨立.現甲、乙兩位同學對戰，則甲同學

比賽三局獲勝的概率為;已知比賽進行了四局的前提下，兩位選手未分出勝負的概率為.

題型5一元線性回歸直線方程

將夕=稱為y關于尤的線性回歸方程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回

i

歸直線。這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的A0,叫做6,。的最小二乘估計，其中

i

B稱為回歸系數，它實際上也就是經驗回歸直線的斜率，4為截距.

a=y-bx

1.（2024?天津河北?二模）云計算是信息技術發展的集中體現，近年來，我國云計算市場規模持續增長.已

知某科技公司2018年至2022年云計算市場規模數據，且市場規模,與年份代碼x的關系可以用模型

y=c聲三（其中e為自然對數的底數）擬合，設z=lny,得到數據統計表如下：

年份2018年2019年2020年2021年2022年

年份代碼X12345

z=Inj22.433.64

由上表可得經驗回歸方程z=0.52x+6,則2026年該科技公司云計算市場規模y的估計值為（）

（參考公式：a=z-bx）

A.e508B.e5SC.e612D.e65

2.（2024?天津?二模）有人通過調查統計發現，兒子成年時的身高與父親的身高呈線性相關，且兒子成年

時的身高丁（單位：cm）與父親的身高x（單位：cm）的經驗回歸方程為/=0.839x+28.957,根據以上

信息，下列判斷正確的為（）.

A.兒子成年時的身高與父親的身高的樣本相關系數r=0.839

B.父親的身高為170cm,兒子成年時的身高一定在171cm到172cm之間

C.父親的身高每增加1cm,兒子成年時的身高平均增加0.839cm

D.兒子在成年時的身高一般會比父親高

3.（2024?天津?一模）已知變量尤和y滿足經驗回歸方程y=-0.6x+10.4,且變量尤和y之間的一組相關數

據如表所示，則下列說法錯誤的是（）

X681012

y7m43

A.變量x和y呈負相關B.當x=10時，尸4.4

C.機=5.6D.該經驗回歸直線必過點（9,5）

4.（2024?天津河西?一模）隨著居民家庭收入的不斷提高，人們對居住條件的改善的需求也在逐漸升溫.某

城市統計了最近5個月的房屋交易量，如下表所示：

時間X12345

交易量y（萬套）0.50.81.01.21.5

若》與無滿足一元線性回歸模型，且經驗回歸方程為a=0?24x+6,則下列說法錯誤的是（）

A.根據表中數據可知，變量）與x正相關

B.經驗回歸方程9=0.24x+&中&=0.28

C.可以預測x=6時房屋交易量約為1.72（萬套）

D.x=5時，殘差為-0.02

5.（2023,天津河西?三模）某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表:

廣告費用X（萬元）1245

銷售額y（萬元）10263549

根據上表可得回歸方程、=笈+。的6約等于9,據此模型預報廣告費用為6萬元時，銷售額約為（）

A.56萬元B.57萬元C.58萬元D.59萬元

題型6獨立性檢驗

獨立性檢驗公式：

Z2=-一n（ad二be）一1其中〃=。+6+。+』（注意使用公式時分子的平方不要忽略了）

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

1.（2024?天津?模擬預測）下列說法正確的序號是（）

①在回歸直線方程y=0.8x-12中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量y平均增加0.8個單位；

②利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得￡（--灰二。）2最小的原理；

1=1

③已知X,丫是兩個分類變量，若它們的隨機變量片的觀測值上越大，則“X與y有關系”的把握程度越小；

④己知隨機變量4服從正態分布N（2,"），且P《<4）=O.8,則P（0<J<2）=0.3.

A.①②③B.②③④C.②④D.①②④

2.（23-24高二下?天津?期末）為考察某種藥物A對預防疾病8的效果，進行了動物試驗，根據40個有放

回簡單隨機樣本的數據，得到如下列聯表：

⑴補全下面的2x2列聯表（單位:只）；

疾病8

藥物A合計

未患病患病

未服用7

服用819

合計

（2）依據a=0.05的獨立性檢驗，分析藥物A對預防疾病B的有效性.

4?八2n（ad-bc）2_.

多考:X-7z\//\/7中〃=〃+Z?+c+d.

參考附表:

a0.1000.0500.025

Xa2.7063.8415.024

3.(23-24高二下?天津河西?期中)某班主任對班級22名學生進行了作業量多少的調查，數據如下：在喜

歡玩電腦游戲的12人中，有9人認為作業多，3人認為作業不多；在不喜歡玩電腦游戲的10人中，有4

人認為作業多，6人認為作業不多.

(1)根據以上數據填寫2x2列聯表；

認為作業多認為作業不多總計

喜歡玩電腦游戲

不喜歡玩電腦游戲

總計

(2)依據小概率1=0.10的獨立性檢驗，分析喜歡玩電腦游戲與認為作業多少是否有關系？

參考公式：K、-M—bc)----,

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數據:P(K?>2.072)=0.15,尸(心>2,706)=0.10,P(^2>3.841)=0.05,

P(K%5.024)=0.025.

4.(2024?西藏拉薩?一模)某社區組織居民開在垃圾分類知識競賽活動.隨機對該社區50名居民的成績進行

統計，成績均在［75,100］內，將成績分成5組進行統計分析：第1組［75,80)有4人，第2組［80,85)有16人，

第3組［85,90)有15人，第4組［90,95)有10人，第5組［90,100］有5人.現使用分層隨機抽樣的方法在第3,4

組共選取5人參加垃圾分類志愿者工作.

⑴對該社區50名居民進行問卷調查，部分數據如下表所示，補全表格數據，并依據小概率值*=0.005的獨

立性檢驗，分析能否認為居民喜歡垃圾分類與性別有關；

不喜歡垃圾分類喜歡垃圾分類合計

男1220

女2430

合計50

⑵若從參加垃圾分類志愿者工作的5人中隨機選取3人參加垃圾分類知識宣講工作，記來自第3組的人數為

X,求X的分布列及數學期望.

2niad-bcX

附：'=(a+〃c+<)(…)伍+0'n=a+b+c+d-

a0.1000.0500.0100.0050.001

%a2.7063.8416.6357.87910.828

5.（2024?廣東佛山,一模）某機構為了解市民對交通的滿意度，隨機抽取了100位市民進行調查，結果如

3

下：回答"滿意"的人數占總人數的一半，在回答"滿意"的人中，"上班族"的人數是"非上班族"人數的在

回答"不滿意"的人中，"非上班族"占g.

⑴請根據以上數據填寫下面2x2列聯表，并依據小概率值。=0.001的獨立性檢驗，分析能否認為市民對于

交通的滿意度與是否上班存在關聯？

滿意不滿意合計

上班族

非上班族

合計

⑵該機構欲再從全市隨機選取市民，進一步征求改善交通現狀的建議.規定：抽樣的次數不超過6次，若

隨機抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結束；若隨機抽取的市民屬于滿意群體，則繼續抽樣，直到抽到

不滿意市民或抽樣次數達到6次時，抽樣結束.以調查數據中的滿意度估計全市市民的滿意度，求抽樣次

數X的分布列和數學期望.

附:

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

參考公式：參=(4+6)(0+0(a+,)(6+0,其中"i+c+d

題型7二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為P（0<2<1）,用X表示事件A

:發生的次數，則X的分布列為P（X=Q=C：T/（1-4L左=1,2,3,.

ii

;如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~g（","）.

二;…蒼笳:關建莆笄三植二不需享田曩者W不庖字蘆笛7煢芾晉芥，^77?三靠索荻吊翻海成

1個產品.若抽取后不再放回，則抽取三次，第三次才取得一等品的概率為；若抽取后再放回，共抽取

10次，則平均取得一等品次.

2.（2023?天津?二模）某籃球隊對隊員進行考核，規則是①每人進行5個輪次的投籃；②每個輪次每人投

籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過.已知隊員甲投籃1次投中的概率為0.6,如果甲各次投

籃投中與否互不影響，那么甲第一輪通過的概率為;甲5個輪次通過的次數X的期望是.

3.（2023?天津和平?二模）在學校大課間體育活動中，甲、乙兩位同學進行定點投籃比賽，每局比賽甲、乙

每人各投籃一次，若一方命中且另一方末命中，則命中的一方本局比賽獲勝，否則為平局.已知甲、乙每次

43-

投籃命中的概率分別為二和且每局比賽甲、乙命中與否互不影響，各局比賽也互不影響.則進行1局投

54

籃比賽，甲、乙平局的概率為；設共進行了10局投籃比賽，其中甲獲勝的局數為X,求X的數學

期望E（X）=.

4.（2022?天津?二模）某電視臺招聘節目主持人，應聘者需進行筆試和面試兩個環節，若兩個環節都合格，

則可以成為該電視臺的節目主持人.已知甲、乙、丙三人同時參加應聘，三人筆試合格的概率依次為0.5,04

0.6,面試合格的概率依次為0.6,0.75,0.5,且每個人在兩個環節中是否合格互不影響，甲、乙、丙也互不

影響，則甲、乙、丙三人在筆試中恰有一人合格的概率為;記甲、乙、丙三人在本次應聘中成為電

視臺的節目主持人的人數為X,則隨機變量X的期望為.

5.（23-24高二下?天津北辰?階段練習）某學校有A,8兩家餐廳，經統計發現，某班學生第1天午餐時選

擇A餐廳和選擇8餐的概率均為1.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為］；如果第1天去B

N5

4

餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為二，則某同學第2天去A餐廳用餐的概率為；假設班內各位同

學的選擇相互獨立，隨機變量X為該班3名同學中第2天選擇8餐廳的人數，則隨機變量X的均值

E（X）=.

題型8超幾何分布

一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中隨機抽取九件（不放回），用X

表示抽取的〃件產品中的次品數，則X的分布列為P(X=k)=M,k=m,m+l,m+2,...,r.

其中”,N,AfeN*,M<N,n<N,m=max{O,n-N+M},r-nnn{n,M}.I

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

i

工…756江關澤三禳5選字畫看天示而形獲莞荃相商河、不薰球莉不I銀「莓兩市翻I戢二不疑「敲‘

后不放回.在第一次取到黑球的條件下，第二次取到黑球的概率是；若連續取2次球，設隨機變量x

表示取到的黑球個數，則E(X)=.

2.(2023?天津?三模)現有4個紅球和4個黃球，將其分配到甲、乙兩個盒子中，每個盒子中4個球.甲

盒子中有2個紅球和2個黃球的概率為；甲盒子中有3個紅球和1個黃球，若同時從甲、乙兩個盒

子中取出*i=L2,3)個球進行交換，記交換后甲盒子中的紅球個數為X,X的數學期望為耳(X),則

E1(X)+￡3(X)=.

3.(2022?天津武清?模擬預測)某校高三年級有男生360人，女生240人，對高三學生進行問卷調查，采

用分層抽樣的方法，從這600名學生中抽取5人進行問卷調查，再從這5名學生中隨機抽取3人進行數據

分析，則這3人中既有男生又有女生的概率是,記抽取的男生人數為X,則隨機變量X的數學期望

為.

4.(2022?天津濱海新,三模)甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3

個黑球.先從甲箱中隨機取出1球放入乙箱中，分別以4、4、A表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑

球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則尸(8)=;若

隨機從甲箱中取出3個球，設取到紅球個數為隨機變量X,則X的數學期望為.

5.(2024?河南?模擬預測)某校組織建國75周年知識競賽，在決賽環節，每名參賽選手從答題箱內隨機一

次性抽取2個標簽.已知答題箱內放著寫有A類題目的標簽4個，B類題目的標簽4個，C類題目的標簽2

個，每個標簽上寫有一道不同的題目，且標簽的其他特征完全相同.

(1)求選手抽取的2個標簽上的題目類型不相同的概率；

(2)設抽取到寫有A類題目的標簽的個數為X,求X的分布列和數學期望E(X).

題型9正態分布

00?百

1-—1

:若隨機變量X的概率密度函數為/'（x）=—J=e21（九eH,其中〃eR,（r>0為參數），稱隨機變

I

量X服從正態分布，記為X?N（〃Q2）.

1.（2023?天津紅橋?一模）某班級有50名學生，期末考試數學成績服從正態分布N（120,（T2）,已

產（X>140）=0.2,則Xe[100,140]的學生人數為（）

A.5B.10C.20D.30

2.（2024?天津南開?一模）已知隨機變量X~N（〃,〃），y~B（6,p）,且P（X24）=2,E（X）=E（F）,則

P=（）

1112

A.-B.-C.-D.一

6433

3.（2023,天津和平?三模）①一組數據12,13,3,20,5,30,22,8,9,15的第三四分位數為8；

②若隨機變量J~N（3"2）,且PC>7）=0.21,貝l]P（-L<《<7）=0.58；

③具有線性相關關系的變量羽兒其線性回歸方程為y=0.2犬-機，若樣本的中心（辦3.2）,則加=T；

④如圖，現要用5種不同的顏色對某市的4個區縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區不能用同一種

顏色，共有180種不同的著色方法.

以上說法正確的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.（2024?江蘇揚州?模擬預測）已知隨機變量X?N（3,4）,且22（尤<4）=私尸（1<x<5）=〃，則P（2（尤<5）

的值為（）

m+n7i-m

5.（2024?重慶?模擬預測）某中學為提升學生們的數學素養，激發大家學習數學的興趣，舉辦了一場"數學

文化素養知識大賽”，分為初賽和復賽兩個環節，初賽成績排名前兩百名的學生參加復賽.已知共有8000

名學生參加了初賽，現從參加初賽的全體學生中隨機地抽取100人的初賽成績作為樣本，得到如下頻率分

布直方圖：

I頻率/組距

0.030r--------1--1

。405060708090100學生初賽成績

(百分制)

(1)規定初賽成績中不低于90分為優秀，80?90分為良好，70?80分為一般，60~70分為合格，60分以下

為不合格，若從上述樣本中初賽成績不低于80分的學生中隨機抽取2人，求至少有1人初賽成績優秀的概

率，并求初賽成績優秀的人數X的分布列及數學期望；

(2)由頻率分布直方圖可認為該校全體參加初賽學生的初賽成績Z服從正態分布NJ。)，其中〃可近似為

樣本中的100名學生初賽成績的平均值(同一組數據用該組區間的中點值代替)，且人=65.已知小華的

初賽成績為85分，利用該正態分布，估計小華是否有資格參加復賽？

(參考數據：；若則尸(〃一b<Z<〃+b)20.6827,P(〃-2cr<Z<〃+2cr)它0.9545,

P(//-3cr<Z</Z+3CT)?0.9973.

限時提升練

(建議用時：60分鐘)

一、單選題

1.(2024?天津和平?一模)某市為了減少水資源浪費，計劃對居民生活用水實施階梯水價制度，為確定一

個比較合理的標準，從該市隨機調查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下頻率分

①估計居民月均用水量低于Un?的概率為0.25；②估計居民月均用水量的中位數約為2.10?；③該市有

40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3m3的人數為6萬；④根據這100位居民的用水量，采用樣

本量按比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取了容量為20人的樣本，則在用水量區間（1.5,2]中應抽取4人.

A.1B.2C.3D.4

2.（2024?天津河東?二模）下列說法中正確的是（）

A.具有線性相關關系的變量%九其線性回歸方程為＞=0.2x7%若樣本的中心（人3.2）,則根=4

B.數據3,4,2,8,1,5,8,6的中位數為5

C.將一組數據中的每一個數據加上同一個正數后，方差變大

D.若甲、乙兩組數據的相關系數分別為-0.91和0.89,則甲組數據的線性相關性更強

3.（2024,天津濱海新?三模）下列說法中正確的是（）

A.一組數據3,4,2,8,1,5,8,6,9,9,的第60百分位數為6

B.將一組數據中的每一個數據加上同一個正數后，方差變大

C.若甲、乙兩組數據的相關系數分別為-0.91和0.89,則甲組數據的線性相關程度更強

D.在一個2x2列聯表中，由計算得/的值，則/的值越接近1,判斷兩個變量有關的把握越大

4.（2024,天津武清?模擬預測）某校高三共有200人參加體育測試，將體測得分情況進行了統計，把得分

數據按照[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成6組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.根

據規則，82分以上的考生成績等級為A,則獲得A的考生人數約為（）

A.25B.50C.75D.100

5.（2024?天津?三模）按從小到大順序排列的兩組數據：甲組：7,11,14,m,22；乙組：5,10,n,18,

20,若這兩組數據的第50百分位數、第80百分位數分別對應相等，則〃?+〃=（）

A.28B.29C.30D.32

6.（23-24高三上?天津北辰?期中）下列結論中，錯誤的是（）

A.數據4,1,6,2,9,5,8的第60百分位數為6

B.若隨機變量J~N（l,b2）,P《V-2）=0.21,則P《V4）=0.79