專題24圓的有關(guān)計(jì)算與證明（29題）

一、單選題

1.（2024.安徽.中考真題）若扇形AOB的半徑為6,ZAOB=120°,則四的長(zhǎng)為（）

A.2%B.3兀C.4萬(wàn)D.6TT

【答案】C

【分析】此題考查了弧長(zhǎng)公式，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意可得，A8的長(zhǎng)為與等=4萬(wàn),

lol）

故選：C.

2.（2024.貴州?中考真題）如圖，在扇形紙扇中，若NAO3=150。,04-24,則AB的長(zhǎng)為（）

A.30兀B.25TIC.2071D.IOTT

【答案】C

【分析】本題考查了弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式：/=覆求解即可.

lot）

【詳解】解：408=150。，04=24,

?AAizAL1507ix24__

??AB的長(zhǎng)為———=20兀,

ioU

故選：C.

3.（2024.云南?中考真題）某校九年級(jí)學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品.若這種圓錐的母線長(zhǎng)

為40厘米，底面圓的半徑為30厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.700兀平方厘米B.900兀平方厘米

C.1200兀平方厘米D.1600兀平方厘米

【答案】C

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積，先求出圓錐底面圓的周長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式計(jì)算即可求

解，掌握?qǐng)A錐側(cè)面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：圓錐的底面圓周長(zhǎng)為271x30=60兀厘米，

圓錐的側(cè)面積為,x60nx40=1200兀平方厘米，

2

故選：C.

4.（2024.四川甘孜?中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于04=1,則A3的長(zhǎng)為（）

A.2B.6C,1D.1

【答案】C

【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由正六邊形的性質(zhì)得到NAOB=60。,

得到“03為等邊三角形，進(jìn)而得到。4=AB=1,判斷出AAOB為等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：ABCDEF是正六邊形，

"：OA=OB,

二AAOB為等邊三角形,

OA=AB=1,

故選：C.

5.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為72。的扇形，若扇形的半徑/是5,

D.海

C.2"兀

3

【答案】D

【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧

長(zhǎng)相等是解題關(guān)鍵，設(shè)圓錐的半徑為人則圓錐的底面周長(zhǎng)為2萬(wàn)廠，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得出側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng),

進(jìn)而得出廠=1,再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的半徑為人則圓錐的底面周長(zhǎng)為2b，

,?,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為72。的扇形，且扇形的半徑/是5,

二扇形的弧長(zhǎng)為繪—=2萬(wàn)，

lo（J

2

???圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)相等,

2兀丫-24,

二圓錐的高為,5?-『=2屈,

二圓錐的體積為，、1葭2"=安》，

33

故選：D.

6.（2024.四川遂寧.中考真題）工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積.如圖所示，排污管道的橫截面

是直徑為2米的圓，為預(yù)估淤泥量，測(cè)得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬為1米，請(qǐng)計(jì)算出淤泥橫截面

的面積（）

C.—兀-A/3

3

【答案】A

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積，過(guò)點(diǎn)。作

。—于。，由垂徑定理得如3*由勾股定理得加樂(lè)，又根據(jù)圓的直徑為2米

可得。4=03=AS,得到AAOB為等邊三角形，即得NAO3=60。，再根據(jù)淤泥橫截面的面積

=S扇形-S.AOB即可求解，掌握垂徑定理及扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作于O,則4。=3。=，43=工111,ZAD（9=90°,

22

AB

???圓的直徑為2米,

OA=OB=Im,

???在區(qū)以人。。中，OD=yjOA2-AD2=

*：OA=OB=AB,

為等邊三角形,

??.ZAOB=60°,

???淤泥橫截面的面積=$扇礴慮_乞4伽=端匚一;=

30U22104,

故選：A.

7.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在等腰三角形A3c中，AB=AC=1O,ZC=70°,以AB為直徑作

半圓，與AC,3。分別相交于點(diǎn)。，E,則OE的長(zhǎng)度為（）

【答案】C

【分析】本題考查了求弧長(zhǎng).根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得-4的度數(shù)，證明OE〃AC,

再由。4=OD,再由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得NOO￡的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】解：連接OD,OE,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZC=70°,

*：OE=OB,

：.ZOEB=ZB=70°f

：./OEB=/C=70。

：.OE//AC,

在中，ZA+ZABC+ZC=180°,

JZA=180°-ZABC-ZC=180°-70°-70°=40°,

XOA=OD=-AB=5

2f

?：OE\\AC

4

???ZA=ZADO=40°=/DOE,

40TIX51071

???DE的長(zhǎng)度為

180~9~

故選：C.

8.（2024.山東威海.中考真題）如圖，在扇形493中，NAO5=90。，點(diǎn)。是AO的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)。作CELA。

交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作垂足為點(diǎn)。.在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)尸，則點(diǎn)P落在陰影部分的概率

【答案】B

【分析】本題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，幾何概率，根據(jù)陰影部分面積等于扇形O3E的面積，即可求

解.

【詳解】解：VZAOB=9Q°,CE1AO,EDVOB

四邊形OC￡>E是矩形,

?C-C

,?°AOCE_0QDE

S陰影部分-S&ODE+SBDE=S扇形OBE

??,點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)

OC=-OE=DE

2

sinZEOD=-=-

OE2

???NEO。=30。

2222

.e_cc_c_30KxAO_7ixAOc_90KXAO_7ixAO

**3陰影部分=3ADE+、BDE=3扇形QBE=拓二一五一'扇形=癡=]

nxAO2

點(diǎn)尸落在陰影部分的概率是沁生=1彳八2=/

S扇形AOB-XA。3

4

故選：B.

二、填空題

9.（2024.四川成都?中考真題）如圖，在扇形A03中，OA=6,ZAOB=120°,則AB的長(zhǎng)為.

【答案】4兀

【分析】此題考查了弧長(zhǎng)公式，把已知數(shù)據(jù)代入弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意得A8的長(zhǎng)為

故答案為：4兀

10.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）若圓錐的底面半徑是1cm,它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是直角，則該

圓錐的高為cm.

【答案】岳

【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算.設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧

長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到2萬(wàn)禁，然后解方程即可得

loU

母線長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R,

根據(jù)題意得2萬(wàn)?1=為黑，

loU

解得：R=4.

即圓錐的母線長(zhǎng)為4cm,

...圓錐的高=m_]2=后cm,

故答案是：V15.

H.（2024?吉林?中考真題）某新建學(xué)校因場(chǎng)地限制，要合理規(guī)劃體育場(chǎng)地，小明繪制的鉛球場(chǎng)地設(shè)計(jì)圖如

圖所示，該場(chǎng)地由。。和扇形03c組成，分別與。。交于點(diǎn)Q4=lm,QB=10m,ZAOD=40°,

則陰影部分的面積為n?（結(jié)果保留兀）.

6

B

【答案】1U

【分析】本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

利用陰影部分面積等于大扇形減去小扇形面積，結(jié)合扇形面積公式即可求解.

【詳解】解：由題意得：$34°"（1°一一1）=1反,

陰影360

故答案為：11%.

12.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）為了促進(jìn)城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃修建公路.如

圖、42與C。是公路彎道的外、內(nèi)邊線，它們有共同的圓心。，所對(duì)的圓心角都是72。，點(diǎn)A,C,。在同

一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，則公路寬AC的長(zhǎng)是一米.（無(wú)取3.14,計(jì)算結(jié)果精

確到0.1）

A

【答案】28.7

【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，解一元一次方程等知識(shí)，利用弧長(zhǎng)公式并結(jié)合題意可得出

72：，"-72：?=36,進(jìn)而得出72：°,C=36,然后解方程并按要求取近似數(shù)即可.

lol）lot）loU

?、“左RY54?口4?口口小土/日772兀.（24772^?OC

【詳斛】解：根據(jù)意思，4&=_180'%D=麗，

???公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，

.72/0472^-OC“

>?—36,

180180

.72"OA-OC)必"=36

,?一30

180180

解得心—90丹90。28.7,

713.14

故答案為：28.7.

13.（2024.江蘇鹽城?中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為4,母線長(zhǎng)為5,則圓錐的側(cè)面積是

【答案】20下

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)圓錐側(cè)面積和底面圓半徑、母線的關(guān)系式計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】解：???圓錐的底面圓半徑為4,母線長(zhǎng)為5

圓錐的側(cè)面積S=;rx4x5=20萬(wàn)

故答案為：20萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐的性質(zhì)，從而完成求解.

14.（2024.江蘇揚(yáng)州?中考真題）若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面圓

的半徑為—cm.

【答案】5

【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算.用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng).

根據(jù)題意得圓錐的母線長(zhǎng)為10cm,以及圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，也就是圓錐的底面周長(zhǎng)，除以2%即為

圓錐的底面半徑.

【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為2;rxl0+2=10亞cm）,

圓錐的底面半徑為10萬(wàn)+2萬(wàn)=5（cm）,

故答案為：5.

15.（2024?四川自貢?中考真題）龔扇是自貢“小三絕”之一.為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)文化，某校手工興趣小組將一

個(gè)廢棄的大紙杯側(cè)面剪開(kāi)直接當(dāng)作扇面，制作了一個(gè)龔扇模型（如圖）.扇形外側(cè)兩竹條AB,AC夾角為

120°.48長(zhǎng)30cm,扇面的8D邊長(zhǎng)為18cm,則扇面面積為cm?（結(jié)果保留勿）.

【答案】252萬(wàn)

【分析】根據(jù)扇形公式進(jìn)行計(jì)算即可.本題考查了扇面面積計(jì)算，掌握扇面面積等于兩個(gè)扇形面積相減是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：扇面面積=扇形的面積-扇形DAE的面積

_120xzrx302120XTTX（30-18）2

360360

=300%-48萬(wàn)

=2527r（cm?）,

故答案為：252n.

8

16.（2024?甘肅?中考真題）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化

遺產(chǎn).如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2,其中扇形和扇形OAD有相同

的圓心O,且圓心角N0=100。，若Q4=120cm,（95=60cm,則陰影部分的面積是cm?.（結(jié)果用

z表示）

【答案】3000%

【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可.本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】：圓心角NO=100°,04=120cm,OB=60cm,

???陰影部分的面積是loo*",。?

360360

=3000萬(wàn)cm2

故答案為：3000萬(wàn).

17.（2024?黑龍江綏化?中考真題）用一個(gè)圓心角為126。，半徑為10cm的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓

錐的底面圓的半徑為cm.

【答案】|

【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，根據(jù)圓錐的底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面的弧長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為Rem,由題意得，黑xlOx兀=2兀R

180

7

解得：R=；

,7

故答案為：—■

18.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在矩形A3CD中，BC=&B,。為3C中點(diǎn)，OE=AB=4,則扇

形EOP的面積為.

【分析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得4OE=45。，NCOF=45。,

得到NEO尸=90。，再利用扇形的面積公式即可求解.

【詳解】解：：BC=5/i4B,AB=4,

8c=4夜，

為8C中點(diǎn)，

OB=OC=LBC=26,

2

OE=4,

在Rt^OBE中，8$/2。e=絲=逑=變，

OE42

：.NBOE=45°,

同理/COF=45°,

ZEOF=180°-45°-45°=90°,

90^-.42

扇形EOF的面積為=4%,

360

故答案為：4萬(wàn).

19.（2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板A3C按如圖所示的方式擺放，邊43與直線/重

合，A3=12cm.現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在直線/上，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑

長(zhǎng)至少為cm.（結(jié)果保留萬(wàn)）

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握弧長(zhǎng)公式成為解題的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/45。=/42。=60。,即//的=120°,再根據(jù)點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)至少為以B為圓心,

以A3為半徑的圓弧的長(zhǎng)即可解答.

【詳解】解：???將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，落在直線/上，

ZABC=ZABC=60°,即ZJBA=120°,

.上,以—gg/Ni/k?120°?^'-10207r

..點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)至少為————=——.

10

故答案為：平

20.（2024?江蘇蘇州?中考真題）鐵藝花窗是園林設(shè)計(jì)中常見(jiàn)的裝飾元素.如圖是一個(gè)花瓣造型的花窗示意

圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對(duì)應(yīng)的弦構(gòu)成一個(gè)正六邊形，中心為點(diǎn)。，A8所在圓的圓心C恰好

是AABO的內(nèi)心，若AB=2g,則花窗的周長(zhǎng)（圖中實(shí)線部分的長(zhǎng)度）.（結(jié)果保留兀）

【分析】題目主要考查正多邊形與圓，解三角形，求弧長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C作CE_LAB,根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得出

△AO3為等邊三角形，再由內(nèi)心的性質(zhì)確定NC4O=/aLE=，CBE=30。，得出/ACB=120。，利用余弦

得出AC=，嚓=2,再求弧長(zhǎng)即可求解，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

cos30°

過(guò)點(diǎn)C作CELAB,

:六條弧所對(duì)應(yīng)的弦構(gòu)成一個(gè)正六邊形,

^AOB=60°,OA=OB,

AA03為等邊三角形,

:圓心C恰好是AABO的內(nèi)心,

/CAO=NCAE=NCBE=30°,

：.ZACB=120°,

AB=2。

AE=BE=也,

??.4,=彘L(zhǎng)2,

.AAizAL120X2XK4

??A2的長(zhǎng)為：10c=￡■，

1oUJ

4

???花窗的周長(zhǎng)為：§7ix6=8兀，

故答案為：87t.

21.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，對(duì)折邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABC。，為折痕，以點(diǎn)。為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD,BC于E,尸兩點(diǎn)，則用的長(zhǎng)度為（結(jié)果保留兀）.

【答案】胃2萬(wàn)2?

【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、正方形的性質(zhì)及翻折變換（折疊問(wèn)題），解直角三角形，熟知正方

形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

由對(duì)折可知，NEOM=NFOM,過(guò)點(diǎn)E作的垂線，進(jìn)而可求出NEOM的度數(shù)，則可得出NEO產(chǎn)的度

數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：：折疊，且四邊形MCD是正方形

四邊形AQMD是矩形，ZEOM=ZFOM,

則OM=AD=2,DM=1cr>=l.

過(guò)點(diǎn)E作EPLOM于P,

則EP=D河=」CZ)=1,

2

■：OE=OM=AD=2,CD=AD=2,

:.EP=-OE.

2

EP1

在RIAEOP中，sin/EOP=----=—,

OE2

:.ZEOP=30°f

貝|/￡0尸=30。乂2=60。，

12

,,V,60,221

二.所的長(zhǎng)lz度為：———=—

LoU3

故答案為：奇.

22.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）若圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為36兀，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖

的圓心角是.

【答案】90

【分析】此題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式以及與展開(kāi)圖扇形面積關(guān)系，求出圓錐的母線長(zhǎng)是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式S=71〃求出圓錐的母線長(zhǎng)，再結(jié)合扇形面積公式即可求出圓心角的度數(shù).

【詳解】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：S=nrl,可得7IX3X/=36TI

解得：1=12,

解得〃=90,

側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是90。.

故答案為：90.

23.（2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題）如圖，A3是半圓的直徑，AC是一條弦，。是AC的中點(diǎn)，DE1AB于

點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，交AC于點(diǎn)G,連結(jié)4）.給出下面四個(gè)結(jié)論:

@ZABD=ZDAC；

?AF=FG；

③當(dāng)DG=2,G3=3時(shí)，F(xiàn)G=—；

2

④當(dāng)20=240，AB=6時(shí)，△￡＞尸G的面積是省.

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有.

【分析】如圖：連接DC,由圓周角定理可判定①；先說(shuō)明NBDE=ZAGD、ZADE=4MC可得DF=FG、

"=皿即AF"G可判定②；先證明"8皿人可得器=器,即上=第,代入數(shù)據(jù)可得

AD=y/10,然后運(yùn)用勾股定理可得AG=巧，再結(jié)合AFnFG即可判定③；如圖：假設(shè)半圓的圓心為O,

連接CO,CD,易得NAOD=NDOC=60。，從而證明△A。。,是等邊二角形，即ADCO是菱形,

然后得到NQ4C=NQ4C=30。，再解直角三角形可得Z)G=2力，根據(jù)三角形面積公式可得S△.=6A/3,

最后根據(jù)三角形的中線將三角形平分即可判定④.

【詳解】解：如圖：連接OC,

A

???。是AC的中點(diǎn),

***AD=DC^

：.ZABD=ZDAC,即①正確；

丁是直徑，

：.ZADB=9Q°f

：.ZDAC+ZAGD=9Q0,

,:DE，AB

：.?BDE1ABD90?,

?:ZABD=ZDAC,

：.ZBDE=ZAGDf

：.DF=FG,

9：?BDE?ABD90?,ZBDE+ZADE=90。,

ZADE=ZABD,

丁ZABD=ZDAC,

：.ZADE=ZDAC,

；.AF=FD,

????=/G,即②正確；

在△ADG和ZkBDA,

JZADG=ZBZM=90°

[ZDAG=/DBA'

:?小ADGS^BDA,

,ADGDADGD

?.---=---，即Rn--------=---,

BDADDG+BGAD

14

-A。_2

即AD=M,

*2+3-

AG=^AD1+DG1=V14,

?:AF=FG,

***FG=—AG=,即③正確；

22

如圖：假設(shè)半圓的圓心為O,連接03CO,8,

?：BD=2AD，AB=6,。是AC的中點(diǎn)，

AD=DC=AB,

：.ZAOD=ZDOC=60°,

'：OA=OD=OC,

：.△AODgQDC是等邊三角形，

/.OA=AD=CD=OC=OD=6,即ADCO是菱形，

ZDAC=ZOAC=-ZDAO=30°,

2

9

\ZADB=9Q°f

/.tanZ￡>AC=tan300=—,即且=%,解得：Z)G=273,

AD36

...s：=(AD?DG="6x2退=6拒,

'：AF^FG

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定

與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵.

三、解答題

24.（2024?廣東?中考真題）綜合與實(shí)踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過(guò)濾漏斗.

h-7cm-H

圖1

【實(shí)踐操作】

步驟1：取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開(kāi)，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

圖2

【實(shí)踐探索】

(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁(忽略漏斗管口處)？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明.

(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積.(結(jié)果保留兀)

【答案】⑴能,見(jiàn)解析

(c2P)----6-；Tcni3

24

【分析】本題考查了圓錐，解題的關(guān)鍵是：

(1)利用圓錐的底面周長(zhǎng)=側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)求出圓錐展開(kāi)圖的扇形圓心角，即可判斷；

(2)利用圓錐的底面周長(zhǎng)=側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定理求

出圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可.

【詳解】(D解:能，

理由：設(shè)圓錐展開(kāi)圖的扇形圓心角為廢，

16

Y]7T?7

根據(jù)題意，得寄~=7支，

lol)

解得九=180?,

將圓形濾紙對(duì)折，將其中一層撐開(kāi)，圍成圓錐形，此時(shí)濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁;

(2)解：設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為rem,高為/zem,

根據(jù)題意，得24=身鱉生,

lol)

解得「=|，

,."='國(guó)=|收

.,.圓錐的體積為工"產(chǎn)x—73=V3cm3.

33224

25.(2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題)如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度,

在平面直角坐標(biāo)系中，AASC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-Ll),B(-2,3),C(-5,2).

⑴畫(huà)出AABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△ABiG，并寫(xiě)出點(diǎn)用的坐標(biāo)；

⑵畫(huà)出AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的△ABC，并寫(xiě)出點(diǎn)B]的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留兀)

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，4(2,3)

(2)作圖見(jiàn)解析，B2(-3,O)

⑶事

2

【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對(duì)稱和扇形面積公式等知識(shí)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)

點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意畫(huà)出即可；關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；

(2)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)B、C以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可;

(3)先求出=再由旋轉(zhuǎn)角等于90。，利用弧長(zhǎng)公式即可求出.

【詳解】(1)解：如圖，^4月G為所求；點(diǎn)區(qū)的坐標(biāo)為(2,3),

(2)如圖，△AB2c2為所求；用(—3,0),

⑶AB=#+22=#>,

點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)層的過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)=如".

1802

26.(2024?山東?中考真題)如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,/ZMB=60。，AB=BC=2AD=2.以

點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作OE交于點(diǎn)E,以點(diǎn)B為圓心，以跳為半徑作頗所交于點(diǎn)尸，連接尸。

交》于另一點(diǎn)G，連接CG.

C

D

⑴求證：CG為下所在圓的切線；

(2)求圖中陰影部分面積.(結(jié)果保留萬(wàn))

【答案】(1)見(jiàn)解析

03471

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，圓的性質(zhì)，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證明四

邊形ABFD是平行四邊形是解題關(guān)鍵.

18

(1)根據(jù)圓的性質(zhì)，證明3/=3E=AD=AE=CF,即可證明四邊形MED是平行四邊形，再證明ABFG

是等邊三角形，再根據(jù)圓的切線判定定理即可證得結(jié)果.

(2)先求出平行四邊形的高根據(jù)扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可.

【詳解】(1)解：連接BG如圖，

根據(jù)題意可知：AD=AE,BE=BF

又；AB=3C,

CF=AE=AD,

BC=2AD,

BF=BE=AD=AE=CF,

AD//BC,

；?四邊形ABFD是平行四邊形，

；?/BFD=/DAB=60。,

'：BG=BF,

；?ABFG是等邊三角形，

GF=BF,

：.GF=BF=FC,

G在以BC為直徑的圓上，

ZBGC=90°,

CG為斯所在圓的切線.

(2)過(guò)。作于點(diǎn)

由圖可得：S陰影=S口ABFD-S扇AEO-S扇5EG-S#FG，

在中，AD=1,ZZMB=60°,

/.DH=ADsinZDAB=lx^=^,

22

，SARpn=AB-DH=2乂2=布,

tjAtfrU2▼

由題可知：扇形ADE和扇形3GE全等,

nTvr1607r（AD）?60xxI2n

S扇AED=S扇BGE

360360―360

等邊三角形5尸G的面積為：LGF.DH=LX1速力,

2224

?c_c_c_c_<?_n萬(wàn)萬(wàn)一3'J^>n

*'?陰影—?oABF。-J扇AED-?JSBEG-?ABFG~~~~"J

27.（2024?福建?中考真題）如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,以A3為直徑的。。交BC于點(diǎn)￡）,

AEYOC,垂足為EBE的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)尸.

(3)求證：AD與EF互相平分.

【答案】⑴1

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

Ar1Ap

【分析】（1）先證得AC=2AO,再在RSAOC中，tanNAOC=——=2.在RtZVIQE中，tanZAOC=——,

AOOE

AE

可得須*再證得結(jié)果;

(2)過(guò)點(diǎn)B作3A交E。延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,先證明AAC?四力加，AE=BM,OE=OM,再

證得ZBAE=NCBE,再由相似三角形的判定可得結(jié)論；

AJ74R7AOAO

(3)如圖，連接。瓦。/，由(2)△AEBMBEC,可得一=—=—=—,ZEAO=ZEBD,從而

BEBC2BDBD

得出△AOEs△瓦)￡,得出N巫D=NAEO=90。，得出NAra=NDEF,再由平行線判定得出AF〃。后，

20

AE//FD,從而得出四邊形是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】(1)?.?AB=AC,且A8是。。的直徑，

二.AC=2AO.

?/ZBAC=90°,

Ar

.二在R3A。。中，tanZAOC=——=2.

AO

?：AELOC,

?二在Rt^AOE中,tanZAOC=——.

OE

，邈=2,

OE

.OE_1

*AE-2；

(2)過(guò)點(diǎn)與作創(chuàng)交E。延長(zhǎng)線于點(diǎn)

."BAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°

AO=BO,

:.^AOE^ABOM,

:.AE=BM,OE=OM.

OE_j_

,~AE~29

:.BM=2OE=EM,

:.ZMEB=ZMBE=45°,

:.ZAEB=ZAEO+AMEB=135°,ZBEC=180°-ZMEB=135°,

:.ZAEB=ZBEC.

?.?AB=AC,ABAC=90°f

/.ZABC=45°,

:.ZABM=ZCBE1

:.ZBAE=ZCBE,

:.△AEBs^BEC.

(3)如圖，連接。E,DF\

?.?AB是。。的直徑,

ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

AB=AC,ABAC=90°,

:.BC=2BD,NDAB=45°.

由（2）知，AAEB^ABEC,

器BC需譚㈤。皿

:.AAOEsABDE,

:.ABED=ZAEO=90°.

:.ZDEF=90°.

;.ZAFB=NDEF,

:.AF//DE.

由（2）知，ZA￡B=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

ZDFB=NDAB=45°,

：.ZDFB=ZAEF,

:.AE//FD,

■■■四邊形AED廠是平行四邊形,

.:仞與石尸互相平分.

【點(diǎn)睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),

考查推理能力、幾何直觀、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)等，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是關(guān)鍵.

28.(2024.陜西?中考真題)問(wèn)題提出

(1)如圖1,在“1BC中,AB=15,ZC=30°,作AABC的外接圓。O.則ACB的長(zhǎng)為.;(結(jié)果

保留兀)

22

c

問(wèn)題解決

圖1

(2)如圖2所示，道路A5的一側(cè)是濕地.某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測(cè)點(diǎn)D,E,C,線段AD,AC和

3c為觀測(cè)步道，其中點(diǎn)A和點(diǎn)8為觀測(cè)步道出入口，已知點(diǎn)E在AC上，且AE=EC,ZZMS=60°,

NABC=120。，AB=1200m,AD=BC=900m,現(xiàn)要在濕地上修建一個(gè)新觀測(cè)點(diǎn)P,使/DPC=60。.再

在線段A3上選一個(gè)新的步道出入口點(diǎn)?并修通三條新步道尸尸，PD,PC,使新步道PF經(jīng)過(guò)觀測(cè)點(diǎn)E,

并將五邊形ABCPD的面積平分.

DC

請(qǐng)問(wèn)：是否存在滿足要求的點(diǎn)尸和點(diǎn)F?若存在，求此時(shí)PF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(點(diǎn)A,B,C,

P,。在同一平面內(nèi)，道路48與觀測(cè)步道的寬、觀測(cè)點(diǎn)及出入口的大小均忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào))

【答案】(1)25萬(wàn)；(2)存在滿足要求的點(diǎn)尸和點(diǎn)凡此時(shí)尸尸的長(zhǎng)為9006+1200)m.

【分析】(1)連接。4、OB,證明AOLB等邊三角形，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可求解；

(2)點(diǎn)尸在以。為圓心，圓心角為120。的圓上，如圖，由題意知直線尸尸必經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)得到四邊

形AFMD是平行四邊形，求得句W=4)=900m,作于點(diǎn)N,解直角三角形求得CN和的長(zhǎng)，

再證明△PMCSADPC,利用相似三角形的性質(zhì)求得PC?=720000,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：(1)連接。4、OB,

：.ZAOB=60°,

"?OA=OB,

等邊三角形,

,?AB=15,

04=08=15,

?AA300TT-15.,

??ACB的長(zhǎng)為———=25n；

loU

故答案為：25萬(wàn)；

(2)存在滿足要求的點(diǎn)尸和點(diǎn)孔此時(shí)PF的長(zhǎng)為(300瓶+1200)m.理由如下,

解：ZDAB=60°,/ABC=120。,

ZDAB+ZABC^180°,

AD//BC,

/lD=BC=900m,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

,/要在濕地上修建一個(gè)新觀測(cè)點(diǎn)產(chǎn)，使/DPC=60°,

...點(diǎn)P在以。為圓心，CD為弦，圓心角為120。的圓上，如圖,

經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的直線都平分四邊形ABCD的面積,

.新步道尸產(chǎn)經(jīng)過(guò)觀測(cè)點(diǎn)E,并將五邊形ABCPD的面積平分,

直線PF必經(jīng)過(guò)。的中點(diǎn)M,

/.ME是的中位線,

?*.ME//AD,

VMF//AD,DM//AF,

???四邊形AFMD是平行四邊形,

：.FM=AD=900m,

作CN上PF于點(diǎn)N,

24

??,四邊形AfTWD是平行四邊形，ZDAB=6Q°f

：.ZPMC=ZDMF=ZDAB=60°,

CM=^CD=^AB=600(m)

：.MN=CMcos60°=300(m),CN=CM.sin60°=300g(m),

ZPMC=ZDPC=60°,

:.Z\PMC^Z\DPC,

.PCCMPC600

??=,艮nnIJ=，

CDPC1200PC

/.PC-=720000，

在RtAPCN中，PN=y]PC2+CN2=V720000-270000=300方(m),

PF=300A+300+900=(300君+1200)m.

答：存在滿足要求的點(diǎn)P和點(diǎn)F,此時(shí)PF的長(zhǎng)為（3006+1200）m.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判

定和性質(zhì)，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

29.（2024?江蘇連云港?中考真題）【問(wèn)題情境】

（1）如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面

積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2）,這時(shí)候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的

由此可見(jiàn)，圖形變化是解決問(wèn)題的有效策略;

【操作實(shí)踐】

（