重難點(diǎn)07函數(shù)的周期性、對(duì)稱性十大題型匯總

題型解讀

滿分技巧/

技巧一.函數(shù)周期的常見結(jié)論設(shè)函數(shù)y=/(%),%eR,a>0.

1.若+a)=f(x-a),則函數(shù)的周期為2a；

2若+a)=-f(x),則函數(shù)的周期為2a;

3.若/(x+a)=為則函數(shù)的周期為2a；

4.若/(x+a)=-六，則函數(shù)的周期為2a；

技巧二.對(duì)稱軸常見類型

1./(%+a)=f(b-x)=y=/(%)圖像關(guān)于直線x=審對(duì)稱

2./(%+a)=/(a一乃qy=f(%)的圖象關(guān)于直線％=a對(duì)稱

3./(%)=/(2a一％)=y=/(%)的圖象關(guān)于直線％=a對(duì)稱

4./(-x)=/(2a+%)=y=/(%)的圖象關(guān)于直線％=。對(duì)稱

技巧三.對(duì)稱中心常見類型

1.7(%+a)+/(b一％)=2cQy=/(%)圖像關(guān)于直線(巴鼻-,c)對(duì)稱

2.f[x+a)+f(_a-x)=2b<=>y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,。)對(duì)稱

3.f(x)+f(2a一x)=26oy=f(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,。)對(duì)稱

4.7(-x)+f(2a+x)=2boy=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱

技巧四.周期與對(duì)稱性的區(qū)分

L若+a)=±/(x+b),則f(x)具有周期性；

2.若f(x+a)=±f(b-x)廁f(x)具有對(duì)稱性：

口訣：”內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性"。

技巧五.周期的計(jì)算

L若函數(shù)關(guān)于直線x=8與x=。對(duì)稱，那么函數(shù)/(久)的周期為2|6-a\；

2.若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(切0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)伯,0)對(duì)稱，則函數(shù)/O)的周期是2|6-a|;

3.若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(立0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的周期是4|6-a\;

4.若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則其周期為2a;

5.若函數(shù)/■(%)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則其周期為4a

，]要題型提分練

題型1簡(jiǎn)單的周期性求值

【例題1](2023秋?高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)f⑺是周期為3的周期函數(shù)，且〃-1)=3，則”2)=

【答案】3

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性結(jié)合已知直接求解即可

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(%)是周期為3的周期函數(shù)，且f(-1)=3,

所以f(2)="2-3)=1)=3,

故答案為：3

【變式1-1J1.(2020?浙江?高一期末)已知函數(shù)f⑺對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件“X+2)=-，若/'(2)=,

則/(2020)=()

A.-iB-C.-2D.2

22

【答案】C

【解析】根據(jù)條件得函數(shù)周期，再根據(jù)周期求結(jié)果.

【詳解】???/(尤+2)=-念/(%+4)==fix)T=4

1

??"(2020)=/(4)=-扃=-2

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期及其應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

【變式1-1]2.(多選)(2023春?安徽蚌埠?高一統(tǒng)考期末)若定義在R上的函數(shù)f(x)分別滿足下列條件，

其中可以得出人乃的周期為2的有()

A./(x)=f(x-2)B.f(x+2)=f(x—2)

C./(—%)=f(x+2)D.f(x-1)=f(x+1)

【答案】AD

【分析】根據(jù)周期性的定義即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對(duì)于A,7(x)=fix-2)可知f(x)的周期為2,故A正確，

對(duì)于B,由/(%+2)=f(x-2)得/(X+4)=f(x),故了。)的周期為4,故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,由f(-乃=/(%+2)得f(久)關(guān)于x=1對(duì)稱，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,7(X-1)=f(x+1)=f(x)=+2),f(x)的周期為2,故D正確,

故選：AD

【變式1-1]3.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中校考期末)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足

f(x+4)=/(%)恒成立，且f(1)=1,則f(2)+/(3)+f(4)的值為

【答案】-1

【分析】由函數(shù)的奇偶性得到f(0)=0，且f(-x)=-TO),結(jié)合函數(shù)的周期和f(l)=1，求出f(2)J(3)J(4),

得到答案.

【詳解】因?yàn)槿?)是定義在R上的奇函數(shù)，

故/X0)=0,且/(T)=-/(X),

又以X+4)=f(x),所以/'(4)=5(0)=0,

目/'(%+4)=f(x)=-/(-x),

當(dāng)x=一2時(shí)，f⑵=-/(2),故2/(2)=0,解得：/⑵=0,

/(—X)=-/0)種,當(dāng)x=1時(shí)，/(T)=一/(I)=-1,

又/■(%+4)=f(x),所以/'(3)=f(-l)=-1,

故/(2)+/(3)+/(4)=0-1+0=-1.

故答案為：-1

【變式1-1J4.(2023春?安徽亳州?高一渦陽(yáng)縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末定義在R上的函婁好⑴滿足八久+3)+

/(%+D=f(2),貝好(2024)=

【答案】0

【分析】根據(jù)題意得到4為函數(shù)f(x)的周期，求出f(0)=0得到/(2024)=0.

【詳解】由/1(x+3)+f(x+1)=/(2),

代入x-2得，f(x+1)+f(x-1)=/⑵.

兩式相減得,fix+3)=/(%-1),gp/(x+4)=f(x),所以4為函數(shù)/(x)的周期.

因此/'(2024)=/(4X506)=f(0),

在/0+3)+/(%+1)=/⑵中,令"=-1,則f(2)+/(0)=f(2),

所以/'(0)=0,即f(2024)=0.

故答案為：0

【變式1-1】5.(2023?全國(guó)?高一課堂例題)已知偶函數(shù)，(久)滿足f(x+4)=f(x)+2/(2),則

/(2022)=

【答案】0

【分析】由偶函數(shù)的定義和賦值法，以及找出函數(shù)的周期，然后計(jì)算即可.

【詳解】令x=-2,則f⑵=/(-2)+2/(2),又f(-2)=f⑵,

所以八2)=0,于是"X+4)=fix)+2/(2)化為:fix+4)=/(%),

所以f(x)的周期T=4,

所以“2022)="以5x4+2)=/(2)=0.

故答案為：0.

【變式(2023春湖北咸寧?高一統(tǒng)考期末定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(尤+2)+/(%)=3且/⑴=

0,貝療(2023)=()

A.-3B.0C.1D.3

【答案】D

【分析】判斷出函婁好0)是以4為周期的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的周期可求解.

【詳解】fix+2)+/(x)=3,則f(X+4)+f(x+2)=3,從而/(x+4)=f(x),

即"無(wú))以4為周期，故/(2023)=/(3)=3-/(1)=3.

故選：D.

題型2對(duì)稱中心問(wèn)題

【例題2](2022秋?河北保定?高一河北省唐縣第一中學(xué)校考期中)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，

則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.f(x-1)—1B.y7(%—1)+1

C./(x+1)—1D./(x+1)+1

【答案】C

【分析】根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，可通過(guò)函數(shù)平移變換得到所求函數(shù).

【詳解】由題意知：將“功圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)

稱，則所得函數(shù)為奇函數(shù)，

???fix+1)-1為奇函數(shù).

故選：C.

【變式2-1]1.(2023秋?湖南湘西?高一校考期中)已知函數(shù)y=%+b的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，貝！=()

A.0B.-1

C.1D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)特征，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)必過(guò)原點(diǎn)，代入方程求出6的值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=%+b定義域?yàn)镽,且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

則有圖象必過(guò)原點(diǎn)，

即0=0+b,解得b=0,

當(dāng)b=0時(shí)，貝!]一(一x)=x,可知y=%圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以6=0.

故選：A.

【變式2-1]2.(2023春?云南普洱?高一校考階段練習(xí)定義在R上的函數(shù)f(切為奇函數(shù),/(1)=1，又gQ)=

/(%+2)也是奇函數(shù)，貝療(2021)=

【答案】1

【分析】根據(jù)f(久)為奇函數(shù),9(久)=+2)也是奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的定義化簡(jiǎn)變形可得f(x)的周期為4,

然后利用周期可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-/(%),

因?yàn)間(x)=fix+2)為奇函數(shù),所以/(―x+2)=-/(%+2),

所以/1-(%-2)+2]=-f(x-2+2),EP/(-x+4)=-f(x),

所以+4)=f(-x),所以/O+4)=f(x),

所以f(久)的周期為4,

因?yàn)?1)=1,所以“2021)=/(505x4+1)=/⑴=1,

故答案為：1

【變式2-1]3.(2021春?江西撫州?高一臨川一中校考期末)已知函數(shù)f0)對(duì)任意xGR都有f(x+2)+

f0-2)=0,若曠=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,0)對(duì)稱，且f(1)=2,貝妤(2019)=()

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】由對(duì)任意xeR都有/(久+2)+f(x-2)=0,得周期7=8,由丫=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,0)對(duì)

稱，得V=/(%)為奇函數(shù)，將"2019)逐步轉(zhuǎn)化，即可得到本題答案?

【詳解】由對(duì)任意xeR都有/(x+2)+/(%—2)=。①，得/(x+6)+/(%+2)=0②，

兩式相減得，/■(久+6)=f(x-2),所以周期T=8,

由y=/(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱，得y="X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，

則y=f(%)為奇函數(shù)，

在①式中，令％=3,得/(5)=-/(I),又f(-5)=-/⑸,所以/(-5)=2,

所以,f(2019)=f(252X8+3)=f(3)=f(-5)=2.

故選：D

【變式2-1]4.(2022秋?浙江嘉興?高一統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函數(shù)f(久)滿足f(x+6)+/(%)=0,

且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，則“2022)=

【答案】0

【分析】求出函數(shù)的周期為12,即可得到f(2022)=-/(0),又外0)=。即可得解.

【詳解】f(x+6)+/(%)=0,f(x+6)=-/(x),

???fix+12)=-f(x+6)=/(x),所以函數(shù)/'(x)是以12為周期的函數(shù),

/(2022)=/(12x168+6)=/(6)=-/(0)

又函數(shù)y=/(%-1)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，利用函數(shù)圖像平移知，

函數(shù)y=/■(*)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，即/(0)=0,所以/(2022)=0

故答案為：0

【變式2-1]5.(2021秋廣東茂名?高一校考期末)已知/Xx)=詈,則舄)+f(言)+f(言)+-+

/(—)=

八100，

【答案】100

【解析】分析得出/<2-￡)+/(無(wú))=2得解.

【詳解】

2-X+1+x+1

??./（%）=二7/■（2一x）+/（%）=2-x-lx-1

1QR199

?"（麗）+"麗）+"赤）+…+"赤）

1199319799101

rf（—）+f（—）］+1*（—）+f（—）1+,??rf（—）+f（—）］

L74oo7八ioo417hoo7八loo刀17hoo7八100刀

=2X50=100

故答案為：100.

【點(diǎn)睛】由函數(shù)解析式得到/(2-%)+/(%)=2是定值是解題關(guān)鍵.

【變式2-1]6.(2022秋?上海松江?高一上海市松江二中校考期中)函數(shù)y=合的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,c)中心對(duì)

稱，則6+c=

【答案】4

【分析】根據(jù)分式函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)椤▁)=U=W^=l+合

所以該函數(shù)的對(duì)稱中心為(41),由已知可知該函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,c)中心對(duì)稱，

所以有6=3,c=l0b+c=4,

故答案為：4

【變式2-1】7.(多選)(2022秋?山東濰坊?高一校考期中)若定義在R上的減函數(shù)y=f(x-3)的圖象關(guān)

于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，且gO)=/(x)-2,則下列結(jié)論一定成立的是()

A.g⑶=-2B.g(0)=-2

C.f(x+2)+/(3x—4)>。的解集為(—8,D.g(—2)+g(l)>—4

【答案】BCD

【分析】分析出函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，分析出函數(shù)gQ)的對(duì)稱性和單調(diào)性，可判斷ABD

選項(xiàng)的正誤；利用函數(shù)/(%)的單調(diào)性解不等式f(x+2)+f(3x-4)>0,可判斷C選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=*-3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，且在R上為減函數(shù)，

將函數(shù)y=f(%-3)的圖象向左平移3個(gè)單位，可得到函數(shù)y=f(%)的圖象，

所以，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，且該函數(shù)在R上為減函數(shù).

對(duì)于AB選項(xiàng)，g(0)=/(0)-2=-2,且g(x)=/(%)-2,

故函數(shù)g(x)在R上為減函數(shù),所以，g(3)<g(0)=-2,A錯(cuò)B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng),由f(x+2)+f(3x-4)>0可得f(x+2)>-f(3x-4)=f(4-3%),

因?yàn)楹瘮?shù)/0)在R上為減函數(shù)，貝收+2<4-3x,解得“<1C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)間(-K)+g(x)=/(-x)+/(x)-4=-4,

g(—2)+g(l)>g(—l)+g(l)=-4,D對(duì).

故選:BCD.

題型3對(duì)稱軸問(wèn)題

【例題31(2021秋?上海長(zhǎng)寧?高一上海市延安中學(xué)校考期末)奇函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

/⑶=3,則/(-1)+/(0)=

【答案】-3

【解析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求f(0),利用函數(shù)的對(duì)稱性求“D

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以f(0)=0,

因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于直線X=2對(duì)稱，/(4-x)=f(x),則/(I)=/⑶,

f(-l)=-/(D=—f⑶=-3,所以〃一1)+f(0)=-3.

故答案為：-3

【變式3-1J1.(多選)(2023秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函數(shù)/(久)滿足/(久-2)

為偶函數(shù)，且在［-2,+8)上單調(diào)遞減.則下列判斷正確的是()

A.f(-4)>f(0)B.f(-3)>f(0)

C./O)圖象的對(duì)稱軸為x=-2D.若f(a)>/(l),則-5<a<l

【答案】BCD

【分析】運(yùn)用偶函數(shù)性質(zhì)得函數(shù)對(duì)稱性可分析A項(xiàng)、C項(xiàng)，再運(yùn)用函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性可分析B項(xiàng)、D

項(xiàng).

【詳解】"(x-2)為偶函數(shù),

."(%-2)=f(-x-2),

."(x)圖象關(guān)于直線久=-2對(duì)稱，故C項(xiàng)正確；

.?將x=-2代入f(X-2)=f(-x-2)得:f(-4)=f(0),故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

將%=-1代入-2)=/(-X-2)得:f(-3)=/(-I),

又"(久)在［-2,+8)上單調(diào)遞減，

?/(-I)>/(0),即：/(-3)>f(0),故B項(xiàng)正確；

■./(a)>/(l),/(%)圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，/。)在[-2,+8)上單調(diào)遞減，

''-la—(—2)|<|1—(—2)|,即：|a+2|<3,解得：-5<a<1.故D項(xiàng)正確.

故選：BCD.

【變式3-1]2.(多選)(2023秋?湖南衡陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末)奇函數(shù)/(比)0eR)滿足"%)=/(I-無(wú))，則

下列選項(xiàng)正確的是()

A./(x)的一個(gè)周期為2B./(100.4)</(2.6)

C./(2x-為偶函數(shù)D./(2x—4)為奇函數(shù)

【答案】ACD

【分析】由/⑴=/(I-x)得4)的對(duì)稱軸為％=1結(jié)合/(%)的奇函數(shù)性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一辨析即可.

【詳解】f(x)=f(l-%)，/■(%)的對(duì)稱軸為X=|,

f(x+2)=/(-%-1)=-f(x+1)=-/(-X)=f(x),-T=2,A正確;

T=2,故f(100.4)=/(0.4),/(2.6)=f(0.6),

/⑺關(guān)于x=司寸稱,故f(0.4)=f(0.6),B錯(cuò)誤；

f(2%-1)=-2x)=-fG+2x)=f(—2x-0,f(2x-偶函數(shù),C正確；

f(2x-4)=f(2x+4)=-f(-2x-4),f(2x-4)為奇函數(shù),D正確,

故選:ACD.

【變式3-1]3.(多選)(2023秋?湖北十堰?高一統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(-8,2]上單調(diào)遞

增,且/+2)為偶函數(shù)，則()

A.〃久)的對(duì)稱中心為(2,0)

B.”切的對(duì)稱軸為直線x=2

C./(-I)>/(4)

D.不等式+3)>f(4%)的解集為(—8,gu(1,+8)

【答案】BD

【分析】由題意可得/(%)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2,即可判斷A,B;結(jié)合對(duì)稱性可得f(x)在[2,+8)上單

調(diào)遞減，從而/(-1)=f⑸<f⑷，即可判斷C;由不等式/(%+3)>f(4切結(jié)合/"(X)的對(duì)稱性及單調(diào)性,

可得|x+3-2|<|4x-2|,解不等式即可判斷D.

【詳解】因?yàn)椤熬?2)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(久)圖象的對(duì)稱軸為直線％=2,故A錯(cuò)誤，B

正確；

又“X)在(-8,2]上單調(diào)遞增，所以f(x)在[2,+8)上單調(diào)遞減，所以八-1)=/(5)<f(4),故C錯(cuò)誤；

由不等式f(x+3)>/(4x)結(jié)合f(x)的對(duì)稱性及單調(diào)性,得|%+3—2|<|4>—2|,即(為+3-2》<

(4x-2)2,即(5x-1)(3%-3)>0,解得x<]或%>1,所以不等式+3)>/'(4%)的解集為(一8,g)u

(1,+°°),故D正確，

故選:BD.

【變式3-1]4(2022秋?浙江紹興?高一統(tǒng)考期末匿函數(shù)=(x2-1)(%2+ax+b)=f(4一x),

則a+b=.

【答案】7

【分析】由題得f(D=f⑶,/(0)=/(4)，得到方程組，解出即可.

【詳解】???/(x)=/(4-x),.-./(I)=/⑶，/(0)=/⑷,

EP(°=著￡：黑廣窯，解得仁，故a+b=7,

l-b=15x(16+4a+b)lb=15

此時(shí)/(%)=(%2-l)(x2-8%+15),

/(4—x)=[(4—x)2—1][(4—x)2—8(4—x)+15]=(%2—l)(x2—8%+15)=/(%)

故答案為：7.

【變式3-1]5.(2021秋?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=(%2-x)(%2+ax+b)的圖象關(guān)于直

線％=2對(duì)稱，貝［Ja+b=函數(shù)y=/(%)的最小值為

【答案】5-：

4

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性可得/(2+%)=/(2-乃問(wèn)對(duì)%進(jìn)行賦值，求見歷構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閥=/(%)圖像關(guān)于直線％=2對(duì)稱，所以/(2+%)=7(2-x)

當(dāng)％=1時(shí),/(3)=f(1)得(9-3)(9+3。+b)=0①

當(dāng)％=2時(shí),/(4)=/(0)得(16-4)(16+4a+b)=0②

聯(lián)立①②可得:a=-7,b=12,所以a+b=5；

所以/(%)=(%2—x)(x2—7x+12)=x(x—l)(x—3)(%—4)=(x2—4%)(%2—4%+3),

令t=x2-4x=(x—2)2—4>—4,

則f(t)=t(t+3)=t2+3t,tN—4,

因?yàn)?'(t)=t2+3t是開口向上，對(duì)稱軸為t=-1,

所以函數(shù)f(t)=t2+3t在(-4,-1)上單調(diào)遞減，在(_*+8)上單調(diào)遞增，

所以/'(t)min=/(-J)=一.

故答案為:-3

【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)對(duì)稱性求參數(shù)，以及求函數(shù)最值的問(wèn)題，熟記函數(shù)對(duì)稱性，以及二次函數(shù)的

性質(zhì)即可，屬于常考題型.

【變式3-1J6.(2022秋?廣東廣州?高一廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中)若函數(shù)f0)=3一/)(/+法+c)(c>

0)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則2+：+為勺最小值是

【答案】j/0.375

O

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)有零點(diǎn)/=-a,￡2=a,又結(jié)合函數(shù)/(久)關(guān)于直線乂=-2對(duì)稱，可得另

外兩個(gè)零點(diǎn)憶=-4,久4=a-4,即可得關(guān)于a,b,c的等式關(guān)系，結(jié)合基本不等式求最值即可.

【詳解】解:由于/(x)=(a2-x2)(x2+bx+c)(c>0),且a中0,所以/(a)=0=/(-a)

則=-a,x2=a是函數(shù)f（%）的兩個(gè)零點(diǎn)

又函數(shù)/(x)=(a2-x2)(x2+bx+c)(c>0)的圖象關(guān)于直線％=-2對(duì)稱，則函數(shù)/(x)另外兩個(gè)零點(diǎn)為冷=

-ci_4,X4=Q—4

則方程/+bx+c=0的兩根分別為—a-4,a-4,所以｛/二薪工,二

則b=8,c+a?=16,又c>0,所以0<c<16

9

于是2+=*+"A償+,(a2+c)x專+；i+4+-+1x

azc)i+i

11113

x-1—=—|—=一

168488

當(dāng)且僅當(dāng)白=貯，即c=a2=8時(shí)，等號(hào)成立，所以2+*單勺最小值是|.

azcbc8

故答案為：|.

O

題型4對(duì)稱軸、對(duì)稱中心問(wèn)題

【例題4]（2023秋?安徽蕪湖?高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）設(shè)/（%）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且

/(I+X)=f(-x),若f（-AI則嗚）=（）

A「|B./C.|D.|

【答案】B

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知等式判斷函數(shù)的周期，利用周期進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?（X）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),

所以由/(I+X)=/(-X)=-/(X)0/(2+x)=-/(I+x)=>f(2+x)=f(x),

函數(shù)該函數(shù)的周期為2,

喈)=/(4+A「—=/

故選：B

【變式4-1]1.（2023秋?湖北孝感?高一湖北省孝感市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)f（久）的定

義域?yàn)镽,fix+2）為偶函數(shù)，/（-2%+1）為奇函數(shù)，則（）

A./(-I)=0B./(2)=0C./(4)=0D./g)=0

【答案】A

【分析】根據(jù)f(x+2)為偶函數(shù),f(-2x+1)為奇函數(shù)，可得了(久)是周期為4的周期函數(shù)進(jìn)而可得/(-1)=0.

【詳解】因?yàn)?％+2)為偶函數(shù),所以/?(%+2)=/(2-x),

因?yàn)?'(-2x+1)為奇函數(shù),所以/'(-2久+1)=-f(2x+1),

即/(一(2x+1)+2)=-f(2x+1),以x替代2x+1得/(r+2)=-/(x),

所以f(x+2)=-/(x),故/1(%+4)=-/(x+2)=/(%),

可知/(")是周期為4的周期函數(shù)，

由/'(-x+2)=-f(x)得/'(-x+2)+/(x)=0,所以/Xx)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，

所以/(―1)=/(-I+4)=/(3)=/(2+1)=-/(I)=0,

所以A選項(xiàng)正確，BCD選項(xiàng)無(wú)法判斷.

故選：A

【變式4-1]2.(2023秋?吉林?高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末)若“X)是定義域在R上的奇函數(shù)，且

/(-%+2)=+2),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(4)=0B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱

C./(X+8)=/(x)D.若/(—3)=-1,貝仔(2023)=-1

【答案】B

【分析】A選項(xiàng)，由奇函數(shù)性質(zhì)得到/(0)=0,再用賦值法得到f(4)=“0)=0；B選項(xiàng)，由八-x+2)=

/(x+2)得到函數(shù)關(guān)于x=2對(duì)稱；C選項(xiàng)，有奇偶性和f(一乂+2)=/(%+2)推導(dǎo)出f(x+8)=/(%)；D選

項(xiàng)，利用函數(shù)周期性和奇偶性求出答案.

【詳解】因?yàn)榫?)是定義域在R上的奇函數(shù)，所以f(o)=o,且--久)=-/(%),

A選項(xiàng),f[-x+2)=f(x+2)中,令x=2得:/⑷=/(0)=0,A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)門+；x+z=2,故)/=/(x)的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng),f[-x+2)=/(%4-2)中,將久替換為x+2得：/(-%-2+2)=f(x+4),即/(-%)=/(%+4),

所以-7'(久)=/(x+4),故-f(x-4)=/(x),

所以+4)=f(x-4),所以/(x)的—?7個(gè)周期為8,則f0+8)=/(x),C正確;

D選項(xiàng)，因?yàn)閒(x)的一個(gè)周期為8,所以/(2023)=/(8x253-1)=/(-I),

因?yàn)?x)為奇函數(shù)，所以/(2023)=/(-I)=-/(I),

-fix-4)=f(x)中,令x=1得：f(-3)=-/(I),

因?yàn)榘栓D3)=-1,所以-f⑴=-1,故〃1)=1,所以“2023)=-/(I)=-1,D正確.

故選：B

【變式4-1】3.(2022秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高一鄂爾多斯市第一中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/(%-1)(%6R)是

偶函數(shù),且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)象0)成中心對(duì)稱,當(dāng)久e[-1,1]時(shí),f(%)=x-1,則/(2017)=()

A.—2B.—1C.0D.2

【答案】C

【分析】利用函數(shù)f(X-1)(%GR)的奇偶性和函數(shù)/(X)的對(duì)稱性，推出/(X)的周期為8,再根據(jù)周期可求出

結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(久-DOGR)是偶函數(shù)，所以“―X—1)=f(x-1),

因?yàn)楹瘮?shù)/'(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱，所以/'(2-x)+/(%)=0,所以/'(2-久)=-/(%),

將%換為x+3，得/(—%—1)=—f(%+3),

又f(-久-1)=/(x-1),所以f(x-1)=-/(x+3),

將x換為％+4,得/(x+3)=-f(x+7),

所以/(%-1)=f(x+7),

將x換為x+1，得/'(x)=/(x+8),所以/'(%)是周期函數(shù)，且周期為8,

所以f(2017)=f(252x8+1)=/(I)=1-1=0.

故選：C

【變式4-1]4.(2023秋㈣I卜高一四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末)已知/⑺是定義在R上的函

數(shù)，且滿足“3久-2)為偶函數(shù),fQx-1)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的是()

A.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱B.函數(shù)人為的周期為2

C.函數(shù)"%)關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對(duì)稱D./(2023)=0

【答案】D

【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】因?yàn)槿司?是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(3久-2)為偶函數(shù)，

所以-2)=所以-2),

令t=3%—2,貝！]比=等

所以f(t)=/(-t-4)即/(%)=/(—4-x),所以函數(shù)關(guān)于x=-2對(duì)稱，

又f(2x-1)為奇函數(shù)

所以/'(-2x-1)=-f(2x-1),

令m=2x—1,貝!!久="黃,

所以fg)=/(-m-2),SP/(-x-2)=-/(x),

所以f0)+所一x-2)=0,

所以/0)關(guān)于(T0)對(duì)稱,

所以/'(-4-%)=-f(-x-2),所以-4)=-f(x-2),即一/'(%)=f(x+2),

所以+4)=f(x),即函數(shù)的周期7=4,

綜上可得ABC錯(cuò)誤；

又由“2"-1)為奇函數(shù)可得/(—I)=0,

所以“2023)=f(-l+506X4)=/(-I)=0,D正確；

故選：D

【變式4-1]5.(2023秋?河北邯鄲?高一校考期末)已知定義在R上的函數(shù)〃久)滿足〃久+6)+f(6-久)=0,

且/0)的圖象關(guān)于直線久=3對(duì)稱，函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，則/'(2022)=

【答案】0

【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合條件可得函數(shù)是以12為周期的函數(shù)進(jìn)而可得“2022)=/(6)=-/(0),

然后結(jié)合條件可得f(0)=0,即得.

【詳解】fix+6)+/(6-x)=0,/(x+6)=-/(6一x),又/(x)的圖象關(guān)于直線比=3對(duì)稱，則/(%+3)=

f(3-%),

所以/1(x+6)=/(3-x-3)=/(-%),-/(6-x)=/(-%),

???/(x)=-/(6+x),f(x+12)=-/(x+6)=/(x),

所以函婁好是以12為周期的函數(shù)，

???f(2022)=/(12X168+6)=f(6)=-/(0),

又函數(shù)y=fix-1)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，

利用函數(shù)圖像平移知，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，即f(0)=0,

所以f(2022)=0.

故答案為：0.

題型5函數(shù)值求和問(wèn)題

【例題5](2023秋?安徽淮南?高一校考階段練習(xí))已知f(x)是定義域?yàn)?-8,+8)的奇函數(shù)，滿足/(1-%)=

/(I+%),若/⑴=3,則/⑴+/⑵+f(3)+-+/(2023)=()

A.2023B.0C.3D.-2023

【答案】B

【分析】根據(jù)已知求出人久)的周期、f(l),f(2),f(3),f(4)可得答案.

【詳解】因?yàn)?0)是定義域?yàn)?-8,+8)的奇函數(shù)，所以/(-x)=-/(%),/(0)=0,

因?yàn)閒(1-x)=/(I+久),所以/'(一無(wú))=/(I+1+x)=f(2+x)=-/(x),

可得/(2+2+x)=—f[x+2)=可%),所以/(久)的周期為4,

因?yàn)閒(0)=f⑷=0,/(I)=3,/(I-x)=f(l+x),所以/Xo)=/⑵=0,

/(-I)=7(3)=-/(l)=-3,

所以AD+"2)+”3)+/⑷=0,

則/'(1)+f⑵+/(3)+…+/(2023)=505X0+0=0.

故選：B.

【變式5-1J1.(2023春?云南紅河?高一校考期中股/。)的定義域?yàn)镽，目滿足f(1—x)=/(I+x),/(x)+

f(-x\-2若*1)=3則f(l)+f(2)+f(3)+…+f(2022)

八)'石7()'人Jf(2023)+f(2028)+f(2030))

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】D

【分析】由題設(shè)遞推關(guān)系可得“X+2)4-f(x)=2、f(x+4)=/'(%)且/(0)=/(2)=-f(3)=1,進(jìn)而求目

標(biāo)式的值.

【詳解】由/(I—乃=/(I+%),則/(2-x)=f(x),又+/(-x)=2,易得〃0)=1,

所以f(2-%)+/(-%)=2,即f(%+2)+/(%)=2,又f(1)=3,易得f(2)=1J(3)=-1,

所以+4)+/(x+2)=2,則"X+4)=/(x),即/(4)=/(0)=1,

綜上,/(I)+/(2)+/(3)+-??+f(2022)=505X[/(I)+/(2)+/(3)+/(4)]+f⑴+/(2)=2024,

/(2023)+f(2028)+/(2030)=f(3)+/(0)+f(2)=1,

所以"1)+”2)+/3)+…+"2。22)=2024

f(2023)4-7(2028)4-/(2030)

故選：D

【變式5-1]2.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知函數(shù)f⑺的定義域?yàn)镽,若“2久+1)為偶函數(shù)，且f(久)+

/(4-%)=2/(1)=2,則2：："(般)=()

A.23B.22C.19D.18

【答案】A

【分析】由已知條件推導(dǎo)出函數(shù)周期為4,/(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,可求

【詳解】由/0)+/(4—x)=2,令乂=2得/(2)=1.

令％=1,得f⑴+/(3)=2,7/(I)=2,Af(3)=0.

因?yàn)?'(2x+1)為偶函數(shù),f(2x+1)=/(-2x+1),即/(I+x)=/(I-x),.?.曲線/(%)關(guān)于直線x=1對(duì)

稱.

又/(x)+5(4一x)=2,圖像關(guān)于點(diǎn)(2,1)中心對(duì)稱,

/(%)=2-/(4-x)=2-/[l-(x-3)]=2-f[l+(%-3)]=2-f(x-2),

可得/1(%+2)=2-7(x),gp/(x)=2-f(x+2),

又f(x+4)=f\2+(x+2)]=2-f(x+2)=f(x),

??.的周期T=4.

⑴=2f(4)=f(0)=2-”2)=1,/(l)+f(2)+f(3)+f(4)=4,

2jj"(n)=5x4+/(l)+/(2)=23.

故選：A.

【變式5-1]3.(2023秋?全國(guó)?高一專題練習(xí))設(shè)f(久)是定義在R上的奇函數(shù)，且fC-x)=f《+久)，

則f(1)+f⑵+/⑶+f(4)+/(5)=

【答案】0

【分析】根據(jù)奇函數(shù)求出〃0)=0,再由所給條件結(jié)合奇函數(shù)求出周期即可得解.

【詳解】因?yàn)?（%）是定義在R上的奇函數(shù)，且/c一％）=/?+%），

所以/1Q-x)=-/(x-1)=/■Q+x),

BP/(x+1)=-/(X)=f(x+2)=/(%),

所以函數(shù)周期為T=2,

由”均是定義在R上的奇函數(shù)知，/(0)=0,

在/G_x)=/G+*)中，令X=(可得/(I)=/(°)=0,

又/⑵=/(0)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2[/(l)+f(2)]+f⑴=0,

故答案為：0

【變式5-1J4.(2022秋?河南信陽(yáng)?高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù)〃”)是定義域?yàn)?-8,+8)的奇函數(shù)，滿足f(2-

%)=/W,若/⑴=2,則f⑴+/⑵+/⑶+-/(2022)=()

A.-2B.2C.0D.2022

【答案】B

【分析】由奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)周期，求出一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)值，進(jìn)而得解.

【詳解】/(x)是奇函數(shù),/(2-x)=/(%),故/'(%)關(guān)于x=1對(duì)稱,

f(x+2)=f(2-(x+2))=/(-x)=-f(x),

f(x+4)=/(x+2+2)=-f(x+2)=-(-/(%))=/(x),

故T=4,所以f(0)=0,

/(l)=2/(2)=/(2-2)=/(0)=0J(3)=/(-l+4)=/(-l)=-/(I)=-2,

f(4)=f(0+4)=/(O)=0,所以f⑴4-f(2)+/(3)+/(4)=0,

由于2022=505x4+2,所以/(I)+/(2)+/(3)+…+/(2022)=/(I)+f(2)=2.

故選：B.

題型6已知部分函數(shù)問(wèn)題

【例題6】2021秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末圮知定義在R上的偶函數(shù)/(久)對(duì)任意的x滿足/(“)=，(2-久),

且％e[0,1]時(shí)，/(久)=%2,貝!If(一|)=.

【答案】；/0.25

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的周期性，利用代入法進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),

所以/'(—X)=/(X)=/(2-%)=>fix)=f(2+%),

因此函數(shù)f(x)的周期為2,

于是f(-X殲2)=嗚=(丁=工

故答案為：;

【變式6-1]1.(2023春河南信陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末)設(shè)/⑺是周期為3的奇函數(shù)，當(dāng)-1Wx<0時(shí),/(%)=

2/—1,貝葉◎等于()

A.-iB.-iC.D.i

2442

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性得到/圖=-/(-|),計(jì)算得到答案.

【詳解】/(久)是周期為3的奇函數(shù)，則/Q=/G_3)=/G)=_/(_習(xí)=_G_1)=

故選：D.

【變式6-1]2.(2021秋?安徽安慶?高一安慶市第七中學(xué)校考期中)設(shè)f(x)是定義域在R上的奇函數(shù)，

/(X+2)=-/0),當(dāng)0<xW1時(shí)，/(x)=x,則/'(5.5)的值為.

【答案】0.5/|

【分析】轉(zhuǎn)化條件得/(%+4)=f(x),進(jìn)而可得/5.5)=/(1.5),再利用條件與奇函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)?2)=-/(%),所以f(久+4)=-f(x+2)=/(x),

則“乃是以4為周期的周期函數(shù),

又f0)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)oWXW1時(shí)，f(X)=X,

所以/'(5.5)=/(5.5-4)=/(1.5)=/(-0.54-2)=-/(-0.5)=/(0.5)=0.5.

故答案為：0.5.

【變式6-1]3.(2022春?四川南充?高一四川省南充高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試)已知定義在R上的函數(shù)f(?滿

足f(%)=2-7'(一久),且函數(shù)y=/■(久+1)是偶函數(shù)，當(dāng)xe時(shí)，f(%)=1-x2,則

/(2022)=

【答案】1

【分析】由于函數(shù)y=/(%+1)是偶函數(shù)，可得函數(shù)/(%)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，從而有/(-?=f(x+2),

再結(jié)合/(%)=2-/-嗎可得函數(shù)f(x)的周期為4然后利用周期和f(x)=2-f(-x)將2022化到久G[-1,0]

上即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+1)是偶函數(shù),所以/1(1一x)=f(l+x),所以f(-%)=f(x+2),

因?yàn)?'(%)=2-/(-%),所以/(x)+/(x+2)=2,所以/O+2)+/(x+4)=2

所以/0)=/(%+4),所以函數(shù)f(x)的周期為4,

所以“2022)=/(2)=/(0)=1—()2=1,

故答案為：1.

【變式6-1]4.(2023秋?全國(guó)?高一專題練習(xí))定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足V*6R,/(%)=/(2-%),且

當(dāng)0<%<1時(shí)，/(久)=%2-3%+a,則2音31fq)1=.

【答案】2024

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)及f(x)=f(2-久)求出函數(shù)的周期，由f(0)=。求出a，從而求出“1),f(2),/(3),

/(4),最后根據(jù)周期性計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閒O)是奇函數(shù),所以/■(%)=-/(-X),又久x)=f(2-x),

所以/1(2-%)=-/(-%),即+2)=-/(%),所以/(x+4)=-f(x+2)=-[-/(x)]=/(x),

所以八支）是周期為4的周期函數(shù).

因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，所以/(0)=0,又當(dāng)0WxW1時(shí)，/(%)=/一3x+a,所以/(O)=a,則a=0,

所以當(dāng)0<%<1時(shí)/(久)=x2-3x，所以f(l)=-2,/(2)=/(O)=0,/(3)=-/(I)=2,/(4)=/(O)=0,

所以|/(1)|+|/(2)|+|f⑶|+|/(4)|=4,

所以干普1/(。=505-SUIAOI+(1/■⑴I+lf(2)I+If(3)1)=505x4+4=2024.

故答案為：2024

【變式6-1]5.(2023春?四川德陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(%)滿足f(x+4)=/(%),/(-%)=/(%),且

當(dāng)％e[0,2]時(shí)，/(x)-x2+1,則/(2023)=.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)/O)是周期為4的函數(shù)，結(jié)合f(2023)=/(-I)="1),代入即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)f(%)滿足/(久+4)=/(%),可得函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，

又因?yàn)楫?dāng)％6[0,2]時(shí)，/(x)=x2+1,/(-x)=/(%),

所以“2023)=f(505X4+3)=/(3)=/(-I)=/(I)=I2+1=2.

故答案為：2.

【變式6-1]6.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知定義在R上的函婁好(x)滿足f(2x+2)=-f(2x),且y=

f(2x-1)的圖象關(guān)于直線x=:對(duì)稱.若Xe(|,￡)時(shí)，f(x)=