定比點差法、齊次化、極點極線問題、蝴蝶問題、坎迪定理

目錄

次口識點歸納..........................................................2

題型歸納.............................................................2

題型一：定比點差法..............................................2

題型二：齊次化...................................................6

題型三：極點極線問題............................................8

題型四：蝴蝶問題................................................13

題型五：坎迪定理................................................19

過關測試........................................................25

r

知識點歸納

1、定比點差法是一種在解析幾何有應用的方法。在解析幾何中，它主要用于處理非中點弦問題，通過設定線

段上的定比分點，利用圓錐曲線上兩點坐標之間的聯(lián)系與差異，通過代點、擴乘、作差等步驟，解決相應的圓錐

曲線問題。定比點差法的核心思想是“設而不求”，即設定未知數(shù)但不直接求解,而是通過代數(shù)運算消去未知

數(shù)，得到所需的結果。這種方法在處理復雜問題時具有獨特的優(yōu)勢，能夠簡化計算過程，提高解題效率。

2、齊次化是一種數(shù)學處理方法，它通過將問題轉化為齊次形式(即各項次數(shù)相等)來簡化計算和提高求解效

率。在解析幾何中，齊次化常用于處理與斜率相關的問題，如過某定點的兩條直線的斜率關系。通過齊次化

聯(lián)立，可以將復雜的二次曲線方程轉化為關于斜率的一元二次方程,從而更容易地求解斜率之和或斜率之積

等問題。

3、極點極線是數(shù)學中的重要概念，尤其在圓錐曲線研究中占據(jù)關鍵地位。極點通常指圓錐曲線上的特殊點，

其切線方程與曲線方程相同;對于不在曲線上的點，其關于曲線的調和共軌點軌跡形成的直線也被稱為極線。

極線則是與極點緊密相關的一條直線，對于曲線上的極點，其極線即為該點處的切線;對于曲線外的點，其極

線則是通過該點作曲線的兩條切線所得的切點弦.

4、坎迪定理是數(shù)學領域中的一個重要定理，也被稱為蝴蝶定理的一般形式。該定理描述了在圓內的一段弦上

任意一點與圓上任意兩點相連并延長交圓于另外兩點，連接這兩延長交點與弦上另外兩點相交，所得線段長

度的倒數(shù)之差為常數(shù)。

題型歸納

題型一:定比點差法

1.(2024.高三.江西吉安?期末)已知橢圓Ci：《+<=l(a>b>0)的離心率為平，且經(jīng)過點

ab2

(一空符)?

(I)求橢圓G的標準方程；

(II)已知拋物線G的焦點與橢圓G的右焦點重合，過點F(0,-2)的動直線與拋物線&相交于43兩

個不同的點,在線段上取點Q,滿足|APHQ8|=?|P8|,證明：點Q總在定直線上.

2.已知橢圓名■+%=l(a>b>0),過橢圓的左焦點F且斜率為V3的直線I與橢圓交于/、8兩點(A點

ab

在8點的上方)，若有#=2萬，求橢圓的離心率.

3.(2024.重慶沙坪壩.模擬預測)已知a>b>0,直線Z過橢圓G：5+4=1的右焦點尸且與橢圓G交于

ab

v2

人、口兩點"與雙曲線G*/1的兩條漸近線小。分別交于雙、N兩點.

⑴若|OF|=后且當Z，c軸時，ZWON的面積為|■，求雙曲線&的方程；

⑵如圖所示,若橢圓G的離心率e=空，U。且血=AAN(A>0),求實數(shù)A的值.

4.已知橢圓。：5+曾=1（?！?〉。）的離心率為多'過右焦點干且斜率為卜（卜〉。）的直線與,相交于

4B兩點，若乖=3萬，求%

5.已知（+與=1,過點P（0,3）的直線交橢圓于4例可以重合），求腎取值范圍.

yq\iJD\

6.已知橢圓春+9=1的左右焦點分別為E'W4bp是橢圓上的三個動點、，且屈=加’崩=

〃演若4=2,求〃的值.

題型二:齊次化

7.已知橢圓的中心為O,長軸、短軸分別為2a,2b(a>b>0),P,Q分別在橢圓上，且OP，OQ,求證:

|OF|2+|OQ|2為定值.

2

8.如圖，過橢圓C：34=l(a>b>0)上的定點P(g,%)作傾斜角互補的兩直線，設其分別交橢圓C

于A8兩點，求證:直線A8的斜率是定值.

_______________5'

9.已知橢圓C：［+苧=1的左頂點為A,P,Q為。上的兩個動點,記直線AP,AQ的斜率分別為自，無，

若fcifc2—2，試判斷直線PQ是否過定點.若過定點，求該定點坐標;若不過定點，請說明理由.

22

10.已知橢圓C：^+^-=l.過點A（l,等），兩個焦點為（-1,0）和（1,0）.設瓦斤是橢圓。上的兩個動點.

（1）如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2,證明:直線EF恒過定點；

（2）如果直線4E的斜率與直線入尸的斜率之積為2,證明：直線班恒過定點.

___________晝

題型三:極點極線問題

n.(2024.湖南長沙.三模)已知橢圓。:《+4=1@>仇>0)的左、右焦點分別為為上頂點，離心

bi

率為直線8月與圓4/+4娟—3=0相切.

(1)求橢圓C的標準方程；

22

(2)橢圓方程T:q+^=l(a>b>0),平面上有一點P(g,%).定義直線方程/:等+等=1是橢

abab

圓「在點p(g,%)處的極線.

①若P(g,"o)在橢圓。上,證明：橢圓。在點尸處的極線就是過點P的切線；

②若過點P(—4,0)分別作橢圓。的兩條切線和一條割線,切點為X、V,割線交橢圓。于M、N兩點、,

過點M、N分別作橢圓。的兩條切線，且相交于點Q.證明：Q、X、K三點共線.

□

.閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey則稱點

12+F=0,P（XQ,

yo）和直線I：Axox+Cyoy+D（x+x0）+E（y+y。）+F=0是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在

圓錐曲線方程中，以田/替換，，以考三替換刀；以yoy替換，，以誓幺替換“，即可得到,為）對

應的極線方程.特別地,對于橢圓［+y=1,與點P（T0,y0）對應的極線方程為苦+等=1；對于雙

ab2a2b2

曲線與—￡=1,與點P（g，U。）對應的極線方程為W—粵=1;對于拋物線/=2/，與點P（g,9。）

bba~

對應的極線方程為"o"=p（±o+為.即對于確定的圓錐曲線,每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）

極點與極線的基本性質、定理:①當P在圓錐曲線G上時,其極線Z是曲線G在點尸處的切線;②當P在

G外時,其極線Z是從點尸向曲線G所引兩條切線的切點所在的直線（即切點弦所在直線）;③當尸在G

內時,其極線Z是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：已知

橢圓G：亨+￡=1.

（1）點P是直線Z：y=-ys+2上的一個動點，過點P向橢圓G引兩條切線，切點分別為河，N,是否存

在定點T恒在直線上,若存在，當面=市時,求直線的方程；若不存在,請說明理由.

（2）點P在圓/+才=4上，過點P作橢圓G的兩條切線，切點分別為4,5求△RLB面積的最大值.

____________屈

13.閱讀材料：

（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：4/+°才+20X+2坳+斤=0,則稱點P（&,僅））和直

線/：4刈）2+309+。（必+的）+后（?/+%）+尸=0是圓錐曲線3的一對極點和極線.事實上,在圓錐曲

線方程中，以g/替換/，以生產(chǎn)替換以另一變量y也是如止匕），即可得到點P（g,隊）對應的極線方

222

程.特別地，對于橢圓寫+4=1,與點P（g,加對應的極線方程為考+鋁>=1；對于雙曲線9-

ababb

2

2

4=1,與點P（XO,隊）對應的極線方程為考—釁=1；對于拋物線y=2pc,與點P（g,y0）對應的極

b~ab-

線方程為yoy=p（xo+x）.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.

（二）極點與極線的基本性質、定理

①當P在圓錐曲線G上時,其極線Z是曲線G在點P處的切線；

②當P在G外時,其極線Z是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；

③當P在G內時,其極線Z是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.

結合閱讀材料回答下面的問題：

（1）已知橢圓C：4+￥=l（a>b>0）經(jīng)過點F（4,0），離心率是圣,求橢圓C的方程并寫出與點P

azbz2

對應的極線方程；

（2）已知Q是直線Z：y=-j-x+4上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓。引兩條切線，切點分別為

N,是否存在定點T恒在直線MN上,若存在，當而=赤時,求直線MN的方程；若不存在,請說明理

由.

_________/

題型四:蝴蝶問題

14.已知橢圓「三+點=l(a>b>0)的離心率為|■，半焦距為c(c>0),且a—c=L經(jīng)過橢圓的左焦點

尸，斜率為紅(自#0)的直線與橢圓交于人、8兩點，O為坐標原點.

(1)求橢圓『的標準方程；

⑵當自=1時，求S^OB的值；

⑶設R(l,0),延長AR,訪分別與橢圓交于C,。兩點，直線CD的斜率為無，求證：旦為定值.

15.（2024.高三.江蘇泰州.期末）如圖，已知橢圓「:與+5=1,矩形ABCD的頂點A,B在①軸上，C,。在

橢圓「上，點。在第一象限.CB的延長線交橢圓「于點E,直線AE與橢圓「、沙軸分別交于點尸、G,直

線CG交橢圓「于點H,口4的延長線交FA于點河.

（1）設直線AE、CG的斜率分別為向、無，求證：為定值;

（2）求直線FH的斜率k的最小值；

（3）證明：動點河在一個定曲線上運動.

______________________________E

22

16.設橢圓E：與+7/%=l(a>b>0)的左、右焦點分別為E(—c,0),用(c,0),過焦點且垂直于；r軸的直線與

ab

橢圓E相交所得的弦長為3,直線夕=—3與橢圓E相切.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)斜率為自(自W0)的直線過E，與橢圓E交于48兩點，延長4月,8用，分別與橢圓E交于C,D兩點,

直線CD的斜率為無，求證g為定值.

?2

17.設拋物線C：娟=2pHp>0)的焦點為尸，點。(p,0),過F的直線交C于河，N兩點.當直線垂直

于力軸時，同=3.

(1)求。的方程；

(2)設直線MD,ND與。另一個交點分別為A,記直線的斜率為自、防求g的值.

一&

_____________步

18.在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：4+當=l(a>6>0),尸是橢圓的右焦點且，從下列條

ab

件中任選一個補充在上面問題中并作答:注:如果選擇多個條件作答，按第一個計分.

條件①:橢圓。的離心率e=],焦點到相應準線的距離是3.

條件②:橢圓。與圓7W：(c—6y+才=16外切,又與圓N：x2+(y—2V3)2=3外切.

⑴求橢圓。的方程.

⑵已知48是橢圓。上關于原點對稱的兩點，4在2軸的上方，連接A尸，BF并分別延長交橢圓。于

。，后兩點，證明：直線DE過定點.

_____________的

題型五:坎迪定理

22

19.橢圓C-+%=l(b>0)的左、右頂點分別為4,人2,上頂點為點,線8。的傾斜角為135°.

(1)求橢圓。的方程；

(2)過D且斜率存在的動直線與橢圓。交于M、N兩點，直線AM與4N交于P,求證：P在定直線上.

20.已知橢圓E:冬+4=l(a>b>0)的左、右頂點分別為4B，長軸長為4,離心率為警，點。在橢圓E

ab2

上且異于兩點，M(4,yM),7V(4,yjv)分別為直線AC,上的點.

(1)求橢圓E的方程；

⑵求統(tǒng)T'N的值；

(3)設直線與橢圓E的另一個交點為。，證明：直線CD過定點.

______________________________B

21.（2024.全國.模擬預測）已知不過坐標原點O且斜率為1的直線與橢圓r：4+y2=l交于點A，B,M為

AB的中點.

（1）求直線（W的斜率；

⑵設P（—2,0）,直線E4,與橢圓r的另一個交點分別為C,0（均異于橢圓頂點），證明:直線CD過

定點.

22.在平面直角坐標系*;中，如圖，已知<+1■=1的左、右頂點為48,右焦點為斤,設過點T（tm）的

直線刃4、TB與橢圓分別交于點河（如如）、NQ2,紡），其中m>0,%>0,紡<0.

T7V

⑴設動點P滿足9加一p4=4,求點P的軌跡;

⑵設立1=2,*2=7,求點T的坐標；

O

（3）設力=9,求證:直線MN必過N軸上的一定點（其坐標與小無關）.

23.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓Y+J/2=1的左，右頂點分別為人，過點M(-l,0)作直線I交

橢圓于兩點，若直線皿的斜率分別為心.求證*為定直

24.已知橢圓+%=l(a>6>0)的左右頂點分別為A和離心率為喜，且點7心高)在橢圓上.

ab2'2'

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點M(l,0)作一條斜率不為0的直線交橢圓于P,Q兩點,連接AP,BQ,直線AP與BQ交于點

N,探求點N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程;若不在，請說明理由.

_______________________________B

2

25.（2024?上海楊浦?一模）設4,4分別是橢圓「4+y2=l（a>1）的左、右頂點，點B為橢圓的上頂點.

y

B

Ft)Aix

⑴若4K?母=—4,求橢圓「的方程；

（2）設a=2，月是橢圓的右焦點，點Q是橢圓第二象限部分上一點，若線段的中點M在“軸上，求

△月8Q的面積.

（3）設a=3,點P是直線T=6上的動點，點。和。是橢圓上異于左右頂點的兩點，且C,。分別在直線

PA,和上42上，求證:直線CD恒過一定點.

過關測試

26.已知橢圓C：*+V=l（a>b>0）的離心率為過橢圓C的右焦點并垂直于c軸的直線交橢圓

C于P,M（點P位于x軸上方）兩點，且△OPA1（O為坐標原點）的面積為1-.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線Z交橢圓。于4B異于點P）兩點,且直線PA與PB的斜率之積為一年,求點尸到直

線/距離的最大值.

_______________________________B

27.（2024.全國.一模）如圖，已知橢圓r的短軸長為4,焦點與雙曲線產(chǎn)了一號=1的焦點重合.點尸（4,0）,

4——tt

（i）求常數(shù)力的取值范圍，并求橢圓「的方程.

（2）（本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結論進行解答）

極點與極線是法國數(shù)學家吉拉德?迪沙格于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡

述的.對于橢圓r：4+與=1，極點P（g,%）（不是原點）對應的極線為IP苦+等=1,且若極點P

ab

在立軸上，則過點尸作橢圓的割線交r于點4,四,則對于岳上任意一點Q,均有kQAi+kQB=2A；PQ（當斜

率均存在時）.已知點Q是直線Z1上的一點，且點Q的橫坐標為2.連接PQ交夕軸于點E.連接PA,PB

分別交橢圓「于河,N兩點.

①設直線AB、分別交y軸于點。、點T,證明：點E為。、T的中點；

②證明直線：AW恒過定點，并求出定點的坐標.

___________盟

28.(2024.云南昆明.模擬預測)橢圓方程「:4+M=l(a>b>0),平面上有一點。(如隊).定義直線方程

ab

22

產(chǎn)+等=1是橢圓r在點P(x°,y。)處的極線.已知橢圓方程。:手+4=L

a~b43

(1)若P(l,%)在橢圓。上,求橢圓。在點P處的極線方程；

⑵若P(g,加在橢圓。上，證明:橢圓。在點P處的極線就是過點P的切線；

(3)若過點P(—4,0)分別作橢圓。的兩條切線和一條割線,切點為X,Y,割線交橢圓。于兩點，

過點河，N分別作橢圓。的兩條切線，且相交于點Q.證明：Q,X,Y三點共線.

29.(2024.重慶.模擬預測)已知橢圓。：考■+笄=l(a>b>0)的右焦點為F(l,0),點A,B是橢圓C上關于

ab

原點對稱的兩點，其中/點在第一象限內，射線/尸，8斤與橢圓C的交點分別為“，N.

⑴若刀=屈，刀=2前,求橢圓。的方程；

(2)若直線MN的斜率是直線AB的斜率的2倍,求橢圓C的方程.

30.(2024?山東濟南?二模)已知橢圓。的焦點坐標為E(—l,0)和E(l,0),且橢圓經(jīng)過點

(1)求橢圓。的方程；

⑵若7(1,1),橢圓。上四點河，N,P,Q滿足而=3亍4，病=3星,求直線MN的斜率.

22

31.已知橢圓。：曰+5■=1,E,月為其左右焦點，P為橢圓。上一動點，直線PE交橢圓于點A,直線PE

橢圓交于點8,設國=&而，崩=〃演，求證：4+〃為定值.

_________________①

32.（2024.河北滄州.一模）已知橢圓?？肌?烏=1。（a>b>0）經(jīng)過點（血,1）,離心率為