相似三角形判定定理的證明第四章圖形的相似九年級數學上冊?北師大版學習目標1.理解并掌握相似三角形判定定理的證明.2.能綜合利用相似三角形的判斷定理判定兩個三角形相似并解決問題.導入新課

我們已經學習過相似三角形的判定定理有哪些？你能證明它們一定成立嗎？答：相似三角形的判定定理有：(1)兩角分別相等的兩個三角形相似；(2)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；(3)三邊成比例的兩個三角形相似．證明相似三角形的判定定理兩角分別相等的兩個三角形相似.用數學符號表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'相似三角形的判定定理1：探究新知已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.

求證：△ABC∽△A′B′C′.B’A’C’BAC證明：兩角分別相等的兩個三角形相似探究新知證明：在△A′B′C′的邊A′B′、A′C′上，分別截取A′D=AB，A′E=AC，連接DE.

∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC，∴△A′DE≌△ABC,∴∠A′DE=∠B，又∵∠B′=∠B，

∴∠A′DE=∠B′，∴DE∥B′C′，

B’A’DEC’BAC已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.

求證：△ABC∽△A′B′C′.探究新知過D連接DF//A′C′

∵DF//A′C′,DE∥B′C′∴四邊形EDFC′是平行四邊形

∴DE=FC′，∵

∴△A′DE∽△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.BACB’A’DEC’F探究新知兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似用數學符號表示：∵∠A=∠A'，∴ΔABC∽ΔA'B'C'相似三角形的判定定理2：探究新知已知：在△ABC與△A′B′C′中，∠A=∠A′，證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點D，使A′D=AB.過點D作DE∥B′C′,交A′C′于點E.∵DE∥B′C′,∠ADE=∠B′,∠A′ED=∠C′∴△A′DE∽△A′B′C′.求證：△A′B′C′∽△ABC.BACB’A’DEC’證明：兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似.探究新知

∵A′D=AB，

∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'探究新知三邊成比例的兩個三角形相似用數學符號表示：∴△ABC∽△A1B1C1∵

ABCA1B1C1相似三角形的判定定理3：探究新知ABCA1B1C1證明：三邊成比例的兩個三角形相似已知：在△ABC與△A1B1C1中，求證：△ABC∽△A1B1C1探究新知證明:在△A1B1C1的邊A1B1(或延長線)上截取A1D=AB,過點D作DE∥B1C1交A1C1于點E.∵DE∥B1C1

，∴△ADE∽△A1B1C1.ABCA1B1C1DE已知：在△ABC與△A1B1C1中，求證：△ABC∽△A1B1C1探究新知∴又∴∴∴（SSS）∵∴ABCA1B1C1DE探究新知相似三角形判定定理的運用

1．如圖，已知AD∥BC，∠A＝∠BDC＝90°.(1)求證：BA·BC＝DB·DC；(2)若BD＝6，DC＝8，求AB的長．證明:∵AD∥BC∴∠ADB＝∠DBC

又∠A＝∠BDC＝90°

∴△ABD∽△DCB

∴，

∴BA·BC＝DB·DC；探究新知(2)∵△ABD∽△DCB

∴，

又∵BD＝6，DC＝8，

∴BC＝

∴AB＝.1．如圖，已知AD∥BC，∠A＝∠BDC＝90°.(1)求證：BA·BC＝DB·DC；(2)若BD＝6，DC＝8，求AB的長．針對練習.2.如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，∠ACB＝90°.求證：(1)△ACD∽△CBD；(2)AD·BD＝CD2.證明：(1)∵∠A＋∠ACD＝90°，

∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD又∵CD是Rt△ABC的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°∴△ACD∽△CBD.(2)由(1)知△ACD∽△CBD，

∴∴AD·BD＝CD2.針對練習3.如圖，正方形ABCD的邊長為4，BF＝1，E為AB點．(1)證明圖中一對相似三角形；(2)求證：DE⊥EF.(1)解：△ADE∽△BEF證明如下：∵∠A＝∠BE為AB中點，∴AE＝BE＝2∴，

∴△ADE∽△BEF針對練習(2)證明：∵∠DEF＝180°－∠AED－∠BEF

＝180°－∠AED－∠ADE

＝∠A

＝90°∴DE⊥EF3.如圖，正方形ABCD的邊長為4，BF＝1，E為AB點．(1)證明圖中一對相似三角形；(2)求證：DE⊥EF.針對練習課堂練習1.如下圖，在大小為4×4的正方形網格中，是相似三角形的是（）①②③④①③2．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角頂角O在AB邊的中點上，這塊三角板繞O點旋轉，兩條直角邊始終與AC、BC邊分別相交于E、F，連接EF，則在運動過程中，△OEF與△ABC的關系是（）A．一定相似B．當E是AC中點時相似C．不一定相似D．無法判斷A課堂練習3．如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC=BC．圖中相似三角形共有（）A．1對B．2對C．3對D．4對C課堂練習4．如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，AB≠AC，下列結論中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正確的序號是

．①②課堂練習5.已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的長.解:∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=∴

又∠B=∠ACD,∴△ABC∽△DCA，∴∴AD=ABCD課堂練習6.已知:如圖,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.CDAB解：∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD∽△ACB,∴AB