河北承德市雙灤區(qū)實驗中學2024-2025學年高三上學期11月月

考數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合河=｛尤若尸M=M,則集合尸可以為（）

A.{3}B.C.D.[-1,3]

,2,

2.設復數(shù)Z==^,則Z的虛部是（

1+1

A.1B.-1C.iD.-i

將函數(shù)/（x）=cos[2尤-5]的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉?/p>

3.

的2倍，得到的函數(shù)g（x）的圖象的解析式為（)

g(尤)=gcosf8x-y

A.g(x)=2cosl8x-yB.

1兀g(x)=1cos171

C.g(x)=2cos—x——D.—X——

2323

4.已知向量〃，匕滿足忖=1,什=石，,一20=3,則。力=（）

A.-2B.-1C.1D.2

在等比數(shù)列｛｝中，已知%8

5.g=2,6Z46Z6=2,則公比4=()

A.-2B.亞C.2D.±2

6.已知函數(shù)/（x）=f-步⑴，則曲線y=在點（2,42））處的切線方程為（）

A.3x-y-4=0B.3x-y+4=0

C.3x+y+4=0D.3%+y-4=0

7.設。是空間中的一個平面，/,根，〃是三條不同的直線，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若mua,〃ua,/±m(xù),Z±n,貝！J/_La

B.若Him,mLa,n±a,則/

C.若Ulm,mlIn,/_La,則〃_Lc

D.若mua,ILn,nLa,則〃/機

5,

—X2,0<X<2

16

8.已知函數(shù)/（x）是定義在R上偶函數(shù)，當xNO時，/?=,若函數(shù)

+1,%>2

y=f（x）-機僅有4個零點，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.哈)B.(0,|)C.[0,|)D.(-吟

二、多選題

9.下列命題中，是假學您的是（）

A.如果那么改＞歷B.如果那么次？,。/

nh

C.如果，＞b,那么D.如果。＞Z?,c＜d,那么〃一■（?＞/?—d

CC

10.已知函數(shù)/a）=^sin（2x+=）+2cos2（x+9,則下列函數(shù)判斷正確的是（）

36

A./Q）為奇函數(shù)

B.的圖象關于直線x對稱

7T

C.在。F上單調(diào)遞減

2

TT

D./（尤）的圖象關于點（-：,0）對稱

4

11.如圖，ABCZ）是邊長為2的正方形，AA，BB-CCX,OR都垂直于底面AS。，且

33

。R=5A41=5CG=38q=3,點E在線段CC1上，平面由肛交線段⑨于點人則（）

A.A1,耳，G，。［四點不共面

B.該幾何體的體積為8

C.過四點a，G，8,。四點的外接球表面積為12兀

D.截面四邊形尸的周長的最小值為10

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知孫超是方程爐-5彳+3=0的兩個實數(shù)根，則手+?的值是.

13.已知點。是VABC內(nèi)部一點，并且滿足。4+2OB+OC=0,△AOC的面積為』，BOC

的面積為S?,則2=.

14.函數(shù)/(尤)=；d-2x-31ru的單調(diào)遞減區(qū)間為.

四、解答題

15.已知不等式工2-(2.+1)尤+a(a+l)<0的解集為集合A,集合3=(-2,2).

⑴若a=2,求AB；

⑵若AB=0,求實數(shù)。的取值范圍.

16.在VABC中，。,6,。分別是角4,3,(7的對邊，b=2區(qū)瓜inB=ccsB+2.

(1)求角B的大小及VA2C外接圓的半徑R的值；

(2)若AO是—54C的內(nèi)角平分線，當VABC面積最大時，求AO的長.

17.已知數(shù)列｛%｝是首項為2,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且%是6%和%的等差中項.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵若數(shù)列作“｝滿足2=；-------\-------,求也｝的前2024項和品24.

[og2an-log2an+l

18.如圖，已知等腰梯形A3CD中，AD//BC,AB=AD=^BC=2,E是BC的中點,

AEBD=M,將一應近沿著人后翻折成^^人石，使4M，平面AECD

⑴求證：。，平面耳。加；

(2)求平面B\MD與平面B｝AD夾角的余弦值;

⑶在線段2c上是否存在點P,使得MP〃平面片4。，若存在，求出券的值；若不存在,

￡>jC

說明理由.

19.設函數(shù)y=〃x),其中F(x)=a?-lnx(a>0),

⑴求/'(X)；

(2)若y=/(x)在口,+8)是嚴格增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若y=/(尤)在［2,4］上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CBCCDACAABCBC

題號11

答案BCD

1.C

【分析】根據(jù)子集的定義即可判斷.

【詳解】因為尸M=M,所以尸

故選：C

2.B

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法即可得到答案.

【詳解】z=?="正=q=-i,虛部為—1,

l+i22

故選：B.

3.C

【分析】直接根據(jù)圖像伸縮變換的結(jié)論得出答案.

【詳解】對于y=Acos(ox+0)經(jīng)過如題所示變換后，。縮小4倍，A擴大2倍，

則g(x)=2cos[x_g]

故選：C

4.C

【分析】利用向量數(shù)量積的運算律化簡計算即得.

【詳解】因卜一2"=|a|2-4a-b+4|ZJ=9,

又同=1,|/?|=73,

故13-4a2=9，解得a力=1.

故選:C.

5.D

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得到q6=64,即可求出公比.

【詳解】由已知有28=%。6=。2/?Wq4=2d-2q4=4q6,所以/=力=空=54,從而

44

9=±2.

答案第1頁，共11頁

故選：D.

6.A

【分析】首先求導得到了'⑴=1,從而得到尸(x)=2x-l,再利用導數(shù)的幾何意義求解切線

方程即可.

【詳解】由“工)=/一步⑴，得_f(x)=2x—廣⑴,

所以1(1)=2_1(1),得/'(1)=1,所以〃x)=x2—x,f'(x)=2x-l,

所以"2)=22-2=2,切點為色,2).

左=/⑵=3,

所以所求切線方程為廣2=3(x-2),即3x-y-4=0.

故選：A

7.C

【分析】根據(jù)空間中線線、線面的位置關系判斷即可.

【詳解】對于A中，由〃2ua,“uaUJL〃2,/JL〃，只有當，"與”相交時才能得到/_La,所

以A錯誤；

對于B中，由〃/機，mLa,可得/_La,又由所以〃/〃，所以B錯誤；

對于C中，若lllm,mJIn,所以〃/〃，又/_La,所以〃J_<z,所以C正確；

對于D中，由/_!_〃，貝!!///&或/ua,

當///a時，由根ua,則加/〃或機.與/異面；

當/ua時，由mu。，則加〃/或優(yōu)與/相交，所以D錯誤.

故選：C

8.A

【分析】探討函數(shù)“X)的性質(zhì)并畫出函數(shù)“X)圖象，然后把函數(shù)y=〃x)-機僅有4個零

點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=y(x)圖象與直線>=加有4個交點，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】當04x<2時，小)=。2在［0,2］上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為［0,斗，

當x>2時，〃尤)=(%+1在(2,+oo)上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為￡),

24

又函數(shù)/(X)是定義在R上偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，作出函數(shù)/(X)圖象：

答案第2頁，共11頁

函數(shù)y=f(x)-m僅有4個零點,則函數(shù)y=/(X)圖象與直線y=機有4個交點,

當1<加<，時，函數(shù)、=/(無)圖象與直線y有4個交點，

所以實數(shù)，〃的取值范圍是(1,之).

4

故選：A

9.ABC

【分析】利用不等式的性質(zhì)依次判斷選項即可.

【詳解】對選項A,如果〃>>，當〃<0時，ac<be,故A錯誤.

對選項B,如果當。=0時，ac2=be2,故B錯誤.

(1h

對選項C,如果，>6,當。<0時，故C錯誤，

cc

對選項D,a>b,c<d,則一c>—d,所以〃—故D正確.

故選：ABC

10.BC

【分析】利用三角降塞公式和輔助角公式，化簡函數(shù)解析式為/(X)=2COS2X+1,運用奇偶

性定義判斷A項，利用代入檢驗法判斷B,D項，利用余弦函數(shù)的圖象判斷C項即可.

【詳解】由/(x)=73sin(2x+—)+2cos2(x+—),

36

可得了(%)—sin(2x+—)+cos(2x+—)+1=2sin(2x+—+—)+1=2cos2x+l.

3336

對于A,H/(-x)=2cos(-2x)+1=2cos2x+1=f(x),則/(%)為偶函數(shù)，故A錯誤；

對于B,因當％時，2]=兀，cos2x=-l,故/(%)的圖象關于直線％對稱，即B正確；

TT

對于C,當無€[0,/]時，z=2xe[O,7t],而y=2cosz+l在[0,兀]上單調(diào)遞減，故C正確；

JiJirJI

對于D,當工=-■7時，cos2x=cos(-二)=0,故函數(shù)f(x)=2cos2x+l的圖象關于點(-■-,1)

424

對稱，即D錯誤.

故選：BC.

答案第3頁，共11頁

11.BCD

【分析】對于A,利用4G//AA證明四點共面；對于B,通過補形可知，此幾何體體積是

底面邊長為2的正方形，高為4的長方體體積的一半，進而求體積；對于C,過A，G，B,

D構造正方體ABCD-AS2G2,則外接球直徑為正方體ABCD-A/2cA的體對角線，進

而求表面積；對于D,利用面面平行的性質(zhì)定理證明四邊形2瓦＞尸為平行四邊形，則周長

l=2（BE+ER）,進而求8E+E2的最小值即可.

【詳解】對于A,取AA中點M,取靠近，的三等分點N,

易知四邊形NMBG為平行四邊形，四邊形NMA2為平行四邊形，

所以MN〃A2，MN”BG,則4￡〃42，

所以A，B-q,2四點共面，故A錯誤；

對于B,由對稱性知,此幾何體體積是底面邊長為2的正方形,高為4的長方體體積的一半,

所以V=2x2x4x』=8,故B正確；

2

對于c,過四點A，a,B,。構造正方體ABCD-A與G。?，

Dx

所以，外接球直徑為正方體ABC。-A坊G2的體對角線，

所以2R=26，貝1JR=百，所以此四點的外接球表面積為4加R2=12兀，故C正確;

答案第4頁，共11頁

對于D,

由題意，平面平面8C3|G，平面A￡?2Ac平面BEA=2/，平面8C耳C】c平面

BED}=BE,

所以2B/ABE,同理可得3///￡?也，

所以四邊形BE。/為平行四邊形，則周長/=2（班+即），

沿CG將相鄰兩四邊形推平，當B,E,2三點共線時，BE+ER最小,最小值為5,

所以周長的最小值為10,故D正確，

故選：BCD

12.2

3

【分析】由題意可得為三=3,網(wǎng)+%=5,利用工+三=_+無j_可求值.

%％2

x2xx

【詳解】：再,9是方程爐-5尤+3=0的兩個實數(shù)根，

._3__,_-5__

??MW——=3,芯+/——~—5,

2222

.%x2_%]+x2_（x,+x2）—2X1X2_5—2x319

?<I====.

x2%\x2x1x233

19

故答案為：—.

13.2

【分析】利用。4+2。5+0。=0，確定點。的位置，如圖所示，結(jié)合三角形面積關系求解.

【詳解】因為OA+2Q5+OC=0，

所以QA+OC=-2O3=25O，

所以80=g（0A+0C）,取AC的中點D,貝ij0D=g（0A+0C）,.180=0￡）,

答案第5頁，共11頁

所以。為的中點，如圖所示，則△AOC的面積為號，5OC的面積為S2,

q—7vq—V-V—?v

-2COD，?u,COD-QBOC，??uAOC~乙°BOC,

所以22.

故答案為：2

14.(0,3)/(0,3)

【分析】利用導數(shù)求得了(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】函數(shù)〃尤)的定義域為(0,+8),

尸⑴=X_2_。=上一21=(x-3)(x+l),

XXX

由廣(x)=0得x=3,由廣(無)<0得0<x<3,

所以/(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞減.

故答案為：(0,3)

15.(l)AuB=(-2,3]

(7){<7|“(-3或<722}

【分析】(1)可得出A=[a,a+l],a=2時，可得出集合A,然后進行并集的運算即可；

(2)根據(jù)A=[a,。+1],3=(—2,2),并且A8=0即可得出。+14-2或aN2,從而可得出。

的取值范圍.

【詳解】(1)

a=2時，d-(2a+l)x+a(a+l)V0解得2WxV3,A=[2,3],且8=(-2,2),

AA3=(-2,3]；

(2)

由--(2。+1)尤+。(。+1)V0解得av%Va+1,A=[a,a+1],B-(-2,2),且AB=0,

答案第6頁，共11頁

a+1G—2a22,

:.a<-3^a>2,

實數(shù)a的取值范圍為或a22}.

2兀

16.(1)B=,R=2

【分析】(1)利用輔助角公式和三角形角的范圍得出2=亍，再根據(jù)正弦定理得到三角形

外接圓半徑;

(2)根據(jù)余弦定理和基本不等式的(ac)max=4,此時V4?C面積最大，再根據(jù)角的關系和

正弦定理計算得出結(jié)果;

【詳解】（1）由yfisinB=cosB+2得gsinB-cosB=2,貝!Jsin（B-《）=1,

71715兀c7171八2兀

—<B——<——，:.B——二—n5=——

666623

rhnr壯士工用/曰2R=---=2y=4nR=2

由正弦定理得sinB.2兀

sin——

3

(2)在VA6C中，由余弦定理得)2=/+/一2a℃os5

2

貝U12=Q?+/—2QCCOS—7t,即/+C?—ac=12,

a>0,c>0,/.a2+c2—ac=12>3ac=>4,

當且僅當，=。=2時，(ac)max=4,

（S"C）1MX=gacsinB=1x4sing=6

止匕時，ZBAC=ZC=-|7i--7rU-.

在AABD中,Z.ADB=—+—=—,

6124

2x6

/tn2

由正弦定理得一=>A。=—7=^~=>\/6.

.271.71V2

sin——sin—

34~T

17.⑴？=2"

2024

⑵

2025

答案第7頁，共11頁

【分析】（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解；

（2）利用裂項相消法結(jié)合對數(shù)運算公式求數(shù)列的前九項和即可.

【詳解】（1）設數(shù)列｛4｝的公比為4>。，則%=20）

因為。4是6%和〃3的等差中項，所以2%=6〃2+。3，

即2x2/=6x2q+2/,

3

解得4=2或4=—］（舍去）或q=。（舍去）

所以4=2x2〃」=2〃.

(2)由(1)知4=2\

]_]_j___1_

nn+1

log22-log22+n〃+1

++

,T=2024

一12024..ecu

2024

故也｝的前2024項和4024

2025

18.（1）證明見解析

⑵孚

B.P1

（3）存在，-

【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形ABED是菱形，得到AEL耳,

證明出AE_L平面耳,再證明出四邊形AECD是平行四邊形，故AE11CD,所以。￡>_1_平

面用60；

（2）證明出AE,耳M,DM兩兩垂直，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出兩平面的

法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面片MD與平面片4。夾角余弦值；

（3）假設線段耳C上存在點尸，使得MP//平面片A。，作出輔助線，得到AM,P,。四

點共面，四邊形4WPQ為平行四邊形，所以PQ=AM=gc。，所以P是與C的中點，求出

V

8c.

答案第8頁，共11頁

【詳解】（1）如圖，在梯形ABC。中，連接。E,因為E是BC的中點，所以=

又AO=‘8C=2,所以AD=5E,

2

又因為AD//BE,所以四邊形ABED是平行四邊形，

因為AB=AD,所以四邊形ABED是菱形，從而AE_LBD,

一B4E沿著AE翻折成△旦AE后，有AEL瓦

又B、M0M=M,B幽,DMu平面4。射，所以平面耳DM,

由題意，易知AD//CE,AD=CE,所以四邊形AEC。是平行四邊形，

故AE//CD,所以CD,平面耳。M.

（2）因為-L平面AEC￡>,DMu平面AECD,則有用

由（1）知4￡'_14〃,4￡'_1_功11,故AE,21M,DM兩兩垂直，

以M為坐標原點，ME,M2M與所在直線分別為％小軸，建立空間直角坐標系,

因為AB=BE=M,所以,ABE為等邊三角形，同理VADE也為等邊三角形,

則4(0,0,百),4(-1,0,0),￡>(0,后0),

設平面B]AD的一個法向量為m=(x,y,z),

m-AD=(尤,y,z)?(1,A/3,0)=尤+\/3y=0

則/LL\LL'

mBxD=(x,y,z)?(0,，3,-j3)=.3y—,3z=0

令y=i得x=-百,z=i,故相=卜6』,1),

答案第9頁，共11頁

又平面印⑷)的一個法向量為"=(1,0,0),

則-hd-卜"時(1，。,。)|一叵姮,

卜(‘*舛|〃「V37T7T"7