專題27三角形的內切圓（基礎）一．選擇題1．如圖，在△ABC中，AO，BO分別平分∠BAC，∠ABC，則點O是△ABC的（）A．外心 B．內心 C．中線交點 D．高線交點【分析】根據三角形的內心是三角形三個內角角平分線的交點即可得結論．【解答】解：∵AO，BO分別平分∠BAC，∠ABC，∴點O是△ABC的內心．故選：B．【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，解決本題的關鍵是區分三角形的內切圓與外接圓的定義．2．已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列選項中⊙O的半徑為b+c?a2A． B． C． D．【分析】根據圓切線的性質和相似三角形的性質分別進行判定即可．【解答】解：A、設圓的半徑是x，圓切AC于E，切BC于D，切AB于F，如圖（1），同樣得到正方形OECD，AE＝AF，BD＝BF，則a﹣x+b﹣x＝c，∴x=a+b?c故本選項錯誤；B、設圓切AB于F，圓的半徑是y，連接OF，如圖（2），則△BCA∽△OFA，OFBCyay=ab故本選項錯誤；C、連接OE、OD，∵AC、BC分別切圓O于E、D，∴∠OEC＝∠ODC＝∠C＝90°，∵OE＝OD，∴四邊形OECD是正方形，∴OE＝EC＝CD＝OD，設圓O的半徑是r，∵OE∥BC，∴∠AOE＝∠B，∵∠AEO＝∠ODB，∴△ODB∽△AEO，OEBDra?r解得：r=ab故本選項錯誤；D、從上至下三個切點依次為D，E，F；并設圓的半徑為x；∵BD＝BF，∴AD＝BD﹣BA＝BF﹣BA＝a+x﹣c；又∵b﹣x＝AE＝AD＝a+x﹣c；所以x=b+c?a故本選項正確．故選：D．【點評】本題主要考查對正方形的性質和判定，切線的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內切圓與內心，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能根據這些性質求出圓的半徑是解此題的關鍵．3．如圖，⊙I為△ABC的內切圓，AB＝9，BC＝8，CA＝10，點D，E分別為AB，AC上的點，且DE與⊙I相切，DE∥BC，則DE的長（）A．3.6 B．8827 C．3 D．【分析】如圖，⊙I與AB、AC、DE的切點為M、N、G，設DG＝DM＝x，EG＝EN＝y．首先求出AM、AN的長，由DE∥BC，得到ADAB【解答】解：如圖，⊙I與AB、AC、DE的切點為M、N、G，設DG＝DM＝x，EG＝EN＝y．∵AM＝AN=AB+AC?BC∴AD=112?x，AE∵DE∥BC，∴ADAB∴112解得x=116，y∴DE＝x+y=11故選：B．【點評】本題考查三角形內切圓與內心，切線長定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會利用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．4．如圖，在△ABC中，I是△ABC的內心，O是AB邊上一點，⊙O經過B點且與AI相切于I點．若tan∠BAC=247，則sin∠A．56 B．45 C．35【分析】延長AI交BC于D，連接OI，作BH⊥AC于H，如圖，根據內心的性質得∠OBI＝∠DBI，則可證明OI∥BD，再根據切線的性質得OI⊥AI，則BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC為等腰三角形，得到AB＝AC，接著在Rt△ABH中，利用正切的定義得到tan∠BAH=BHAH=247，于是可設BH＝24x，AH＝7x，利用勾股定理得到AB＝25x，則AC＝AB＝25x，CH＝AC﹣AH＝18x，然后在Rt△BCH中，利用勾股定理計算出BC【解答】解：延長AI交BC于D，連接OI，作BH⊥AC于H，如圖，∵I是△ABC的內心，∴BI平分∠ABC，即∠OBI＝∠DBI，∵OB＝OI，∴∠OBI＝∠OIB，∴∠DBI＝∠OIB，∴OI∥BD，∵AI為⊙O的切線，∴OI⊥AI，∴BD⊥AD，∵AI平分∠BAC，∴△ABC為等腰三角形，∴AB＝AC，在Rt△ABH中，tan∠BAH=BH設BH＝24x，AH＝7x，∴AB=BH2∴AC＝AB＝25x，∴CH＝AC﹣AH＝25x﹣7x＝18x，在Rt△BCH中，BC=CH2∴sinC=BH故選：B．【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了等腰三角形的判定與性質．5．如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，則下列說法正確的是（）A．點O是△ABC的內心 B．點O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形【分析】過O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF，根據垂徑定理和已知求出DM＝KQ＝FN，根據勾股定理求出OM＝ON＝OQ，根據三角形內心的定義求出即可．【解答】解：過O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF，由垂徑定理得：DM=12DE，KQ=12KH，∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN，∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，即O到三角形ABC三邊的距離相等，∴O是△ABC的內心，故選：A．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的內心的應用，注意：三角形的內心到三角形三邊的距離相等．6．三角形的內心是（）A．三條中線的交點 B．三條高的交點 C．三邊的垂直平分線的交點 D．三條角平分線的交點【分析】根據三角形的內心的性質解答即可．【解答】解：因為三角形的內心為三個內角平分線的交點，故選：D．【點評】此題主要考查了三角形內切圓與內心，解題的關鍵是要熟記內心的定義和性質．7．如圖，在△ABC中，點I為△ABC的內心，點D在BC上，且ID⊥BC，若∠ABC＝44°，∠C＝56°，則∠AID的度數為（）A．174° B．176° C．178° D．180°【分析】先利用三角形內角和得到∠BAC＝80°，再根據三角形內心性質得到∠ABI＝∠DBI＝22°，∠BAI＝40°，則可計算出∠AIB＝118°，∠BID＝68°，然后根據周角的定義計算∠AID的度數．【解答】解：∵∠ABC＝44°，∠C＝56°，∴∠BAC＝180°﹣44°﹣56°＝80°，∵點I為△ABC的內心，∴∠ABI＝∠DBI=12∠ABC＝22°，∠BAI=12∠∴∠AIB＝180°﹣22°﹣40°＝118°，∵ID⊥BC，∴∠BID＝90°﹣22°＝68°，∴∠AID＝360°﹣118°﹣68°＝174°．故選：A．【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．8．如圖，△ABC是一張三角形紙片，⊙O是它的內切圓，點D、E是其中的兩個切點，已知AD＝6cm，小明準備用剪刀沿著與⊙O相切的一條直線MN剪下一塊三角形（△AMN），則剪下的△AMN的周長是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】利用切線長定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，進而得出答案．【解答】解：如圖所示：∵△ABC是一張三角形的紙片，⊙O是它的內切圓，點D是其中的一個切點，AD＝6cm，設F是⊙O的切點，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴△AMN的周長＝AM+AN+MN＝AD+AE＝6+6＝12（cm）．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的內切圓、切線長定理；由切線長定理得出AM+AN+MN＝AD+AE是解題關鍵．9．如圖，正△ABC的三邊上有三點D，E，F，且AD＝BE＝CF，設AB＝x，DE＝y，△ADF的內切圓的半徑為3，則關于x的函數關系式為（）A．y＝x﹣6 B．y=32x C．y＝x﹣3 【分析】首先證明△DEF是等邊三角形，由S△ADF＝S△BDE＝S△EFC=12（AD+AF+DF）?3=12（x+y）?3，根據S△ABC﹣S△EDF＝3?S△ADF，可得34x2?34y2＝3?12【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，且AD＝BE＝CF∴AF＝BD＝CE，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF＝ED＝EF，∴△DEF是一個等邊三角形，∵S△ADF＝S△BDE＝S△EFC=12（AD+AF+DF）?3=12（x+∵S△ABC﹣S△EDF＝3?S△ADF，∴34x2?34y2＝3?12?（x+y∴（x2﹣y2）＝6（x+y），∴（x+y）（x﹣y）＝6（x+y），∵x+y≠0，∴x﹣y＝6，∴y＝x﹣6．故選：A．【點評】題主要考查了等邊三角形的判定與性質和全等三角形判定及三角形面積公式，根據已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解題關鍵，解題的突破點是記住S△ABC=12（a+b+c）?r（r是△10．如圖，Rt△ABC頂點A，B分別在y軸，x軸上，∠ABC＝90°，且AB＝20，AC＝105．將△ABC沿AC折疊，B點落在D處，∠BAD+∠CBX＝90°，則△AOB的內心的坐標是（）A．（4，4） B．（4.5，4.5） C．（6，6） D．（6，8）【分析】延長DC交x軸于E點，如圖，先利用勾股定理計算出BC＝10和證明AD∥OE，再根據折疊的性質得∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝20，接著判斷四邊形AOED為矩形，然后判斷△AOB∽△BEC，利用相似比得到OABE=OBCE=ABBC=2，設OB＝t，則CE=12t，BE＝20﹣t，在Rt△CBE中利用勾股定理得到（20﹣t）2+（12t）2＝102【解答】解：延長DC交x軸于E點，如圖，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，BC=A而∠BAD+∠CBE＝90°，∴∠BAD＝∠ABO，∴AD∥OE，∵△ABC沿AC折疊，B點落在D處，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝20，∴∠BEC＝90°，∴四邊形AOED為矩形，∴OE＝AD＝20，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠BAO＝∠CBE，而∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴OABE設OB＝t，則CE=12t，BE＝20﹣在Rt△CBE中，（20﹣t）2+（12t）2＝102整理得t2﹣32t+240＝0，解得t1＝12，t2＝20（舍去），∴OB＝12，∴OA=A設△AOB的內切圓的半徑為r，則r=12+16?20∴△AOB的內心的坐標為（4，4）．故選：A．【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．也考查了勾股定理、折疊的性質和相似三角形的判定與性質．11．如圖所示，△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，若∠DEF＝55°，則∠A的度數是（）A．35° B．55° C．70° D．125°【分析】根據三角形的內切圓與圓心和圓周角定理即可求解．【解答】解：連接OD，OF，OA，如下圖所示，∵△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，∵∠DEF＝55°，∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110°（圓心角是圓周角的2倍），∵在三角形AOD與三角形AOF中，∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360°，∵AD，AF是圓的切線，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，故選：C．【點評】本題考查了三角形的內切圓與圓心和圓周角定理，解題關鍵根據圓周角求出圓心角∠DOF即可得出答案．12．如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，則∠BEC的大小為（）A．64° B．120° C．122° D．128°【分析】根據圓周角定理可求∠CAD＝32°，再根據三角形內心的定義可求∠BAC，再根據三角形內角和定理和三角形內心的定義可求∠EBC+∠ECB，再根據三角形內角和定理可求∠BEC的度數．【解答】解：在⊙O中，∵∠CBD＝32°，∴∠CAD＝32°，∵點E是△ABC的內心，∴∠BAC＝64°，∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣64°）÷2＝58°，∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°．故選：C．【點評】本題考查了三角形的內心，圓周角定理，三角形內角和定理，關鍵是得到∠EBC+∠ECB的度數．二．填空題13．如圖，已知正方形ABCD的邊長為a，正方形EFGH的邊長為b，則△AEF的內切圓半徑為a?b2【分析】根據正方形的性質可以證明△AEF≌△BFG，得AE＝BF，再根據直角三角形內切圓的半徑等于兩條直角邊的和減去斜邊的差的一半進行計算．【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°，EF＝FG，∴∠AFE＝∠BGF，∴△AEF≌△BFG（AAS），∴AE＝BF，∴AE+AF＝AB＝a，∴△AEF的內切圓半徑a?b2故答案為a?b【點評】此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質以及直角三角形內切圓的半徑公式：直角三角形內切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半．14．如圖，點O是△ABC的內切圓的圓心，若∠BAC＝80°，則∠BOC＝130°（填度數）．【分析】運用三角形內角和定理得出∠ABC+∠ACB的度數，再根據點O是△ABC的內切圓的圓心，得出∠OBC+∠OCB＝50°，從而得出答案．【解答】解：∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∵點O是△ABC的內切圓的圓心，∴BO，CO分別為∠ABC，∠BCA的角平分線，∴∠OBC+∠OCB＝50°，∴∠BOC＝130°．故答案為：130°．【點評】本題主要考查對三角形的內角和定理，三角形的內切圓與內心等知識點的理解和掌握，能求出∠OBC+∠OCB的度數是解此題的關鍵．15．等腰△ABC中，∠A＝60°，其面積為7+4327，它的內切圓面積為73【分析】根據有一個角等于60°的三角形是等腰三角形，得到△ABC是等邊三角形，設它的內切圓的半徑為r，求出三角形的邊長和高代入三角形的面積公式解得r2=7+43813【解答】解：∵△ABC是等腰三角形．∵∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，設它的內切圓的半徑為r，∴BC＝23r，高＝3r，∴S△ABC=12×23r?3解得：r2=7+4∴內切圓面積為：7+43813π故答案為：73+12【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，等邊三角形的面積，圓的面積，熟練掌握三角形內切圓的性質是解題的關鍵．16．如圖，⊙O是△ABC的內切圓，與AB，BC，CA分別切于點D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，則∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°．【分析】利用切線的性質得出∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，進而利用四邊形內角和定理以及三角形內角和定理得出答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的內切圓，與AB，BC，CA分別切于點D，E，F，∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，又∵∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，∴∠B＝360°﹣120﹣90°﹣90°＝60°，∠C＝360°﹣110°﹣90°﹣90°＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°．故答案為：50°，60°，70°．【點評】此題主要考查了切線的性質以及四邊形內角和定理以及三角形內角和定理，熟練應用切線的性質定理是解題關鍵．17．在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，且△ABC的三邊都與圓O相切，則圓O的半徑r＝2．【分析】設⊙O半徑是r，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根據勾股定理求出AB，根據三角形的面積公式得出S△ACB＝S△OAC+S△OBC+S△OAB，代入求出即可．【解答】解：設⊙O半徑是r，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O為△ABC的內切圓，切點是D、E、F，∴OD⊥AB，OE⊥CB，OF⊥AC，OD＝OE＝OF＝r，∵AC＝6，BC＝8，由勾股定理得：AB＝10，根據三角形的面積公式得：S△ACB＝S△OAC+S△OBC+S△OAB，∴AC×BC＝AC×r+BC×r+AB×r，即：6×8＝6r+8r+10r，∴r＝2．故⊙O半徑是2．故答案為：2．【點評】本題主要考查了切線的性質，三角形的內切圓與內心，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能得出S△ACB＝S△OAC+S△OBC+S△OAB是解此題的關鍵．18．如圖，⊙O內切于△ABC，切點依次為D、E、F，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，那么AD＝3，BE＝2，CF＝5．【分析】根據切線長定理求出AD＝AF，FC＝EC，BD＝BE，設AD＝x，進而用x表示出BC的長，即可求出答案．【解答】解：∵⊙O內切于△ABC，切點依次為D、E、F，AB＝5，BC＝7，AC＝8，∴AD＝AF，FC＝EC，BD＝BE，設AD＝x，則AF＝x，∴FC＝8﹣x，BE＝BD＝AB﹣AD＝5﹣x，∴EC+BE＝8﹣x+5﹣x＝BC＝7，解得：x＝3，∴FC＝8﹣3＝5，BE＝BD＝5﹣3＝2，故答案為：3，2，5．【點評】此題主要是考查了切線長定理．要掌握圓中的有關定理，才能靈活解題．19．如圖，△ABC的三邊分別切⊙O于D、E、F，若∠A＝50°，則∠DEF＝65°．【分析】連OD，OF．則得到∠DOF與∠DEF的數量關系．而∠DOF與∠A是互補的，因此先求出∠DOF，再就能得到角DEF．【解答】解：連OD，OF，如圖，則OD⊥AB，OF⊥AC；∴∠DOF＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，又∵∠DEF=12∠DOF=12×故填65°．【點評】熟練掌握切線的性質定理和圓周角定理．記住四邊形的內角和為360°．20．如圖，在△ABC中，點O是△ABC的內心，∠A＝48°，∠BOC＝114°．【分析】利用內心的定義，OB，OC都是角平分線，因此可求出∠OBC與∠OCB的和，從而得到∠BOC的度數．【解答】解：∵O是△ABC的內心，∴OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣48∴∠BOC＝180°﹣66°＝114°．故答案為：114．【點評】此題主要考查了三角形的內心性質，理解三角形內心的定義，記住三角形內角和定理是解題的關鍵．21．如圖，△ABC的內切圓與三邊分別相切于點D、E、F，若∠B＝50°，則∠EDF＝65度．【分析】設△ABC的內切圓圓心為O，連接OE，OF，根據△ABC的內切圓與三邊分別相切于點D、E、F，可得OE⊥AB，OF⊥BC，再根據四邊形內角和可得∠EOF的度數，再根據圓周角定理即可得結論．【解答】解：如圖，設△ABC的內切圓圓心為O，連接OE，OF，∵△ABC的內切圓與三邊分別相切于點D、E、F，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB＝∠OFB＝90°，∵∠B＝50°，∴∠EOF＝180°﹣50°＝130°，∴∠EDF=12∠EOF故答案為：65．【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，切線的性質，解決本題的關鍵是掌握三角形內切圓與內心．22．如圖，△ABC的周長為24cm，AC＝8cm，⊙O是△ABC的內切圓，⊙O的切線MN與AB、BC分別交于點M、N，則△BMN的周長為8cm．【分析】設⊙O與△ABC與各邊的切點分別為D、E、F，⊙O與MN相切于G點，如圖，利用切線長定理得到AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，MD＝MG，NG＝NE，則可計算出AD+CE＝8，接著利用AB+BC＝16得到BD+BE＝8，然后利用等線段代換得到△BMN的周長＝BD+BE．【解答】解：設⊙O與△ABC與各邊的切點分別為D、E、F，⊙O與MN相切于G點，如圖，∴AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，∵AC＝8，即AF+CF＝8，∴AD+CE＝8，∵△ABC的周長為24，∴AB+BC+AC＝24，∴AB+BC＝16，即BD+AD+BE+CE＝16，∴BD+BE＝8，∵⊙O的切線MN與AB、BC分別交于點M、N，∴MD＝MG，NG＝NE，∴△BMN的周長＝BM+BN+MN＝BM+BN+MG+NG＝BM+BN+MD+NE＝BD+BE＝8（cm）．故答案為8．【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．也考查了切線長定理．23．如圖，⊙O是等邊△ABC的內切圓，分別切AB，BC，AC于點E，F，D，P是DF上一點，則∠EPF的度數是60°．【分析】連接OE、OF，如圖，根據三角形內切圓的定義和切線的性質得到OE⊥AB，OF⊥BC，則利用四邊形的內角和得到∠B+∠EOF＝180°，則可求出∠EOF＝120°，然后根據圓周角定理得到∠EPF的度數．【解答】解：連接OE、OF，如圖，∵⊙O是等邊△ABC的內切圓，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，∴∠B+∠EOF＝180°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∴∠EOF＝180°﹣∠B＝120°，∴∠EPF=12∠EOF＝60故答案為60°．【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了切線的性質、等邊三角形的性質和圓周角定理．三．解答題24．如圖，△ABC中，AC＝BC，I為△ABC的內心，⊙O經過B，I兩點，且O在BC邊上，⊙O與BC交于點D．（1）求證：CI為⊙O的切線；（2）若tan∠CBI=13，AB＝6，求【分析】（1）連接CI延長CI交AB于H，連接OI，作OE⊥BI于E．只要證明CH⊥AB，OI∥AB，即可推出OI⊥CI；（2）想辦法求出BE，OE即可解決問題；【解答】（1）證明：連接CI延長CI交AB于H，連接OI，作OE⊥BI于E．∵I是內心，∴∠IBH＝∠IBO，∵OB＝OI，∴∠OBI＝∠OIB，∴∠IBH＝∠OIB，∴OI∥AB，∵CA＝CB，∠HCA＝∠HCB，∴CH⊥AB，∴CH⊥OI∴IC是⊙O的切線．（2）∵tan∠CBI＝tan∠IBH=1∴IHBH=13，∵∴IH＝1，IB=1∵OE⊥BI，∴BE=10∵tan∠OBE=OE∴OE=10∴OB=B∵OI∥BH，∴OIBH∴53∴OC=25∴BC＝OB+OC=15【點評】本題考查三角形的內心與內切圓、等腰三角形的性質、切線的判定、勾股定理，平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，熟練應用內心的性質解決問題，學會利用參數解決問題，屬于中考?？碱}型．25．如圖1，⊙O為△ABC的外接圓，點D在圓上，AD為△ABC中∠CAB的外角平分線．（1）如圖1，證明：DB＝DC；（2）如圖2，延長DA交BC的延長線于M點，△CDM的內心P在AC上，若tan∠M=34，求tan∠【分析】（1）如圖1中，只要證明∠DBC＝∠3即可解決問題；（2）如圖2中，作PF⊥BM于F，PE⊥DM于E，連接PD、PM、PC、PA．首先證明MA＝MC，作AH⊥CM于H，由tan∠AMC=34=AHHM，設AH＝3k，HM＝4k，則AM＝CM＝5k，CF＝k，推出tan∠ACH=AHCH=3kk=3，由∠CAM＝∠【解答】（1）證明：如圖1中，∵∠2+∠DAC＝180°，∠DBC+∠DAC＝180°，∴∠2＝∠DBC，∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，∴∠DBC＝∠3，∴DB＝DC．（2）解：如圖2中，作PF⊥BM于F，PE⊥DM于E，連接PD、PM、PC、PA．∵P是△DCM的內心，∴∠PMA＝∠PMC，∠PDA＝∠PDC，∴PE＝PF，PA＝PC，易證△PEA≌△PFC，△PEM≌△PFM，∴AE＝CF，EM＝FM，∴AM＝CM，作AH⊥CM于H，∵tan∠AMC=3設AH＝3k，HM＝4k，則AM＝CM＝5k，CF＝k，∴tan∠ACH=AH∵∠CAM＝∠DBC＝∠DCB＝∠ACB，∴tan∠DCB＝3．【點評】本題考查三角形的內心、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．26．在△ABC中，M是BC邊的中點，I是內切圓的圓心，AH⊥BC于點H，E是直線IM與AH的交點，求證：AE＝r．其中r是內切圓的半徑．【分析】設圓I與BC相切于P，連接IP，設AB＝c，AC＝b，BC＝a，根據已知條件得到BM=a2，根據切線的性質得到PB=a+c?b2，根據三角函數的定義得到BH＝c?cos∠B=a2+根據三角形的面積公式得到AH=a+b+ca?r【解答】證明：設圓I與BC相切于P，連接IP，設AB＝c，AC＝b，BC＝a，則BM=a2，PB=a+c?b2，BH＝c?cos∵△IPM∽△MEH，∴EHIP∴EH＝r?b+ca三角形的面積公式知a?AH＝（a+b+c），∴AH=a+b+ca?r結合①，②可得AE＝AH﹣EH=a+b+ca?r﹣r?【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．27．如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓⊙O相交于點D，求證：DE＝DB．【分析】根據內心的概念得到∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，根據圓周角定理得到∠CAD＝∠CBD，根據三角形的外角的性質、等腰三角形的判定定理證明即可．【解答】證明：∵點E是△ABC的內心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，由圓周角定理得，∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠DBC，∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABE+∠BAD＝∠DEB，∴DE＝DB．【點評】本題考查的是三角形的內切圓和內心，掌握三角形的內心是三角形的三條角平分線的交點是解題的關鍵．28．如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D．（1）若∠BAC＝θ，求∠DBC；（2）求證：BD＝DE．【分析】（1）根據內心的性質得到AD是∠BAC的平分線，根據圓周角定理解答即可；（2）根據內心的性質、三角形的外角的性質證明．【解答】（1）解：∵點E是△ABC的內心，∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC=由圓周角定理得，∠DBC＝∠CAD=12（2）證明：∵點E是△ABC的內心，∴∠ABE＝∠CBE，又∠DBC＝∠BAD，∴∠ABE+∠BAD＝∠CBE+∠DBC，即∠DBE＝∠DEB，∴BD＝DE．【點評】本題考查的是三角形的內切圓與內心、外接圓與外心的概念和性質，掌握三角形的內心是三角形的三條角平分線的交點是解題的關鍵．29．如圖，△ABC外切于⊙O，切點分別為D、E、F，BC＝7，⊙O的半徑為3，（1）∠A＝60°，求△ABC的周長．（2）若∠A＝70°，點M為⊙O上異于F、E的動點，則∠FME的度數為55或125°．【分析】（1）連接OE、OF、OA，如圖，根據切線長定理可切線的性質得到BD＝BF，CD＝CE，OE⊥AC，OF⊥AB，OA平分∠BAC，則∠OAE＝30°，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到AE＝3，然后利用等線段代換得到△ABC的周長＝2BC+2AE；（2）先利用切線的性質得到∠OEA＝∠OFA＝90°，利用四邊形內角和得到∠EOF＝180°