學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共7頁甘肅省隴南市八中學2024-2025學年九年級數學第一學期開學統考試題題號一二三四五總分得分批閱人A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）如果一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0）的圖象經過第一、二、四象限，那么k、b應滿足的條件是（）A．k＞0，且b＞0 B．k＜0，且b＞0 C．k＞0，且b＜0 D．k＜0，且b＜02、（4分）如圖，要使□ABCD成為矩形，需添加的條件是（）A．AB=BC B．∠ABC=90° C．AC⊥BD D．∠1=∠23、（4分）要使式子在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4、（4分）若x1、x2是x2+x﹣1＝0方程的兩個不相等的實數根，則x1+x2﹣x1x2的值為（）A．+1 B．﹣2 C．﹣2 D．05、（4分）用配方法解方程，則方程可變形為A． B． C． D．6、（4分）已知正比例函數，且隨的增大而減小，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7、（4分）某科普小組有5名成員，身高（單位：cm）分別為：160，165，170，163，172，把身高160cm的成員替換成一位165cm的成員后，現科普小組成員的身高與原來相比，下列說法正確的是（）A．平均數變小，方差變小 B．平均數變大，方差變大C．平均數變大，方差不變 D．平均數變大，方差變小8、（4分）如圖在平面直角坐標系中若菱形的頂點的坐標分別為，點在軸上，則點的坐標是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）已知菱形ABCD的對角線長度是8和6，則菱形的面積為_____．10、（4分）某市某活動中心組織了一次少年跳繩比賽，各年齡組的參賽人數如表所示：年齡組12歲13歲14歲15歲參賽人數5191313則全體參賽選手年齡的中位數是________.11、（4分）如圖，一根橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，其中A點坐標（0,0）,B點坐標（8,0），然后把中點C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長了_________cm.12、（4分）如圖所示，一次函數y=ax+b的圖象與x軸相交于點（2，0），與y軸相交于點（0，4），結合圖象可知，關于x的方程ax+b=0的解是_____．13、（4分）如圖，是矩形的邊上一點，以為折痕翻折，使得點的對應點落在矩形內部點處，連接，若，，當是以為底的等腰三角形時，___________．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）如圖，在矩形OABC中，點A在x軸上，點C在y軸上，點B的坐標是，將沿直線BD折疊，使得點C落在對角線OB上的點E處，折痕與OC交于點D．（1）求直線OB的解析式及線段OE的長.（2）求直線BD的解析式及點E的坐標.15、（8分）某中學需要添置一批教學儀器，方案一：到廠家購買，每件原價40元，恰逢廠家促銷活動八折出售；方案二學校自己制作，每件20元，另外需要制作工具的租用費600元；設該學校需要購買儀器x件，方案一與方案二的費用分別為y1和y2（元）（1）請分別求出y1，y2關于x的函數表達式；（2）若學校需要購買儀器30～60（含30和60）件，問采用哪種方案更劃算？請說明理由．16、（8分）一水果店主分兩批購進某一種水果，第一批所用資金為2400元，因天氣原因，水果漲價，第二批所用資金是2700元，但由于第二批單價比第一批單價每箱多10元，以致購買的數量比第一批少25%．（1）該水果店主購進第一批這種水果的單價是多少元？（2）該水果店主計兩批水果的售價均定為每箱40元，實際銷售時按計劃無損耗售完第一批后，發現第二批水果品質不如第一批，于是該店主將售價下降a%銷售，結果還是出現了20%的損耗，但這兩批水果銷售完后仍賺了不低于1716元，求a的最大值．17、（10分）已知，關于x的一次函數y＝(1﹣3k)x+2k﹣1，試回答：(1)k為何值時，圖象交x軸于點(，0)？(2)k為何值時，y隨x增大而增大？18、（10分）如圖是甲、乙兩名射擊運動員的5次訓練成績的折線統計圖：（1）分別計算甲、乙運動員射擊環數；（2）分別計算甲、乙運動員射擊成績的方差；（3）如果你是教練員，會選擇哪位運動員參加比賽，請說明理由．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）若關于x的不等式組的解集為﹣＜x＜﹣6，則m的值是_____．20、（4分）如圖是小明統計同學的年齡后繪制的頻數直方圖，該班學生的平均年齡是__________歲.21、（4分）如圖，P是矩形ABCD的邊AD上一個動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和8，那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是__．22、（4分）使有意義的的取值范圍是______.23、（4分）如圖，在中，，，，為的中點，則______.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）計算：(1)(2)(3)(4)25、（10分）請閱讀材料，并完成相應的任務．阿波羅尼奧斯（約公元前262~190年），古希臘數學家，與歐幾里得、阿基米德齊名．他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，可以說是代表了希臘幾何的最高水平．阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線的長度關系，即三角形任意兩邊的平方和等于第三邊的一半與該邊中線的平方和的2倍．（1）下面是該結論的部分證明過程，請在框內將其補充完整；已知：如圖1所示，在銳角中，為中線．．求證：證明：過點作于點為中線設，，，在中，在中，__________在中，____________________（2）請直接利用阿波羅尼奧斯定理解決下面問題：如圖2，已知點為矩形內任一點，求證：（提示：連接、交于點，連接）26、（12分）如圖，△ABC中，AB＝AC．求作一點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，并證明你作圖的正確性．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、B【解析】試題分析：∵一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0）的圖象經過第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故選B．考點：一次函數的性質和圖象2、B【解析】

根據一個角是90度的平行四邊形是矩形進行選擇即可．【詳解】解：A、是鄰邊相等，可判定平行四邊形ABCD是菱形；

B、是一內角等于90°，可判斷平行四邊形ABCD成為矩形；

C、是對角線互相垂直，可判定平行四邊形ABCD是菱形；

D、是對角線平分對角，可判斷平行四邊形ABCD成為菱形；故選：B．本題主要應用的知識點為：矩形的判定．①對角線相等且相互平分的四邊形為矩形．②一個角是90度的平行四邊形是矩形．3、D【解析】

直接利用二次根式有意義的條件得出答案.【詳解】解：根據二次根式有意義的條件得：-x+3≥0，解得：.故選：D.本題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關鍵.4、D【解析】

根據韋達定理知x1+x2＝﹣1、x1x2＝﹣1，代入計算可得．【詳解】解：∵x1、x2是x2+x﹣1＝0方程的兩個不相等的實數根，∴x1+x2＝﹣1、x1x2＝﹣1，∴原式＝﹣1﹣（﹣1）＝0，故選：D．本題主要考查根與系數的關系，解題的關鍵是掌握韋達定理和整體代入思想的運用．5、C【解析】

把常數項移到右邊，兩邊加上一次項系數一半的平方，把方程變化為左邊是完全平方的形式．【詳解】解：，，，．故選：C．本題考查的是用配方法解方程，把方程的左邊配成完全平方的形式，右邊是非負數．6、D【解析】

根據正比例函數的性質，時，隨的增大而減小，即，即可得解.【詳解】根據題意，得即故答案為D.此題主要考查正比例函數的性質，熟練掌握，即可解題.7、D【解析】

根據平均數、中位數的意義、方差的意義，可得答案．【詳解】解：原數據的平均數為×（160+165+175+163+172）=166（cm），方差為×[（160-166）2+（165-166）2+（170-166）2+（163-166）2+（172-166）2]=19.6（cm2），新數據的平均數為×（165+165+170+163+172）=167（cm），方差為×[2×（165-167）2+（170-167）2+（163-167）2+（172-167）2]=11.6（cm2），所以平均數變大，方差變小，故選D．本題考查了方差，利用平均數、中位數和方差的定義是解題關鍵8、B【解析】

首先根據菱形的性質求出AB的長度，再利用勾股定理求出DO的長度，進而得到點C的坐標．【詳解】∵菱形ABCD的頂點A、B的坐標分別為(-6，0)、(4，0)，點D在y軸上，

∴AB=AO+OB=6+4＝10，

∴AD=AB=CD=10，

∴，

∴點C的坐標是：(10，8)．

故選：B．本題主要考查了菱形的性質以及坐標與圖形的性質，解題的關鍵是利用勾股定理求出DO的長度．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、1【解析】

根據菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半即可求解.【詳解】∵菱形的對角線長的長度分別為6、8，∴菱形ABCD的面積S＝BD?AC＝×6×8＝1．故答案為:1．本題考查了菱形的性質，熟知菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半是解決問題的關鍵.10、1【解析】

根據中位數的定義來求解即可，中位數是指將數據按大小順序排列起來，形成一個數列，居于數列中間位置的那個數據.【詳解】解：本次比賽一共有：5+19+13+13＝50人，∴中位數是第25和第26人的年齡的平均數，∵第25人和第26人的年齡均為1歲，∴全體參賽選手的年齡的中位數為1歲．故答案為1．中位數的定義是本題的考點，熟練掌握其概念是解題的關鍵.11、1【解析】

根據勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD-AB即為橡皮筋拉長的距離．【詳解】Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根據勾股定理，得：AD==5（cm）；∴AD+BD-AB=1AD-AB=10-8=1cm；故橡皮筋被拉長了1cm．

故答案是：1．此題主要考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．12、x=1【解析】【分析】一次函數y=ax+b的圖象與x軸交點橫坐標的值即為方程ax+b=0的解．【詳解】∵一次函數y=ax+b的圖象與x軸相交于點（1，0），∴關于x的方程ax+b=0的解是x=1，故答案為：x=1．【點睛】本題主要考查了一次函數與一元一次方程的關系．任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值．13、【解析】

過點B'作B'F⊥AD，延長FB'交BC與點G，可證四邊形ABGF是矩形，AF=BG=4，∠BGF=90°，由勾股定理可求B'F=3，可得B'G=2，由勾股定理可求BE的長.【詳解】解：如圖，過點B'作B'F⊥AD，延長FB'交BC與點G，∵四邊形ABCD是矩形∴AD=BC=8，∠DAB=∠ABC=90°∵AB'=B'D，B'F⊥AD∴AF=FD=4，∵∠DAB=∠ABC=90°，B'F⊥AD∴四邊形ABGF是矩形∴AF=BG=4，∠BGF=90°∵將△ABE以AE為折痕翻折，∴BE=B'E，AB=AB'=5在Rt△AB'F中，∴B'G=2在Rt△B'EG中，B'E2=EG2+B'G2，∴BE2=（4-BE）2+4∴BE=故答案為：.本題考查了翻折變換，矩形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理，求B'G的長是本題的關鍵.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）直線OB的解析式為，；（2）直線BD的解析式為，.【解析】

（1）先利用待定系數法求直線OB的解析式，再利用兩點間的距離公式計算出OB，然后根據折疊的性質得到BE=BC=6，從而可計算出OE=OB-BE=4；

（2）設D（0，t），則OD=t，CD=8-t，根據折疊的性質得到DE=DC=8-t，∠DEB=∠DCB=90°，根據勾股定理得（8-t）2+42=t2，求出t得到D（0，5），于是可利用待定系數法求出直線BD的解析式；設E（x，），利用OE=4得到x2+（）2=42，然后解方程求出x即可得到E點坐標．【詳解】解：（1）設直線OB的解析式為，將點代入中，得，∴，∴直線OB的解析式為.∵四邊形OABC是矩形．且，∴，，∴，．根據勾股定理得，由折疊知，．∴（2）設D（0，t），∴，由折疊知，，，在中，，根據勾股定理得，∴，∴，∴，.設直線BD的解析式為．∵，∴，∴，∴直線BD的解析式為．由（1）知，直線OB的解析式為.設點，根據的面積得，∴，∴.本題考查了待定系數法求一次函數解析式：先設出函數的一般形式，如求一次函數的解析式時，先設y=kx+b；將自變量x的值及與它對應的函數值y的值代入所設的解析式，得到關于待定系數的方程或方程組；解方程或方程組，求出待定系數的值，進而寫出函數解析式．也考查了矩形的性質和折疊的性質．15、（1）y1＝32x，y2＝20x+600；（2）30≤x＜50時，方案一劃算．【解析】

（1）根據題意得到y1，y2與x的關系即可；（2）分別根據題意列出不等式直接解題即可【詳解】（1）由題意，可得：y1＝40×0.8x＝32x，y2＝20x+600；（2）當32x＝20x+600時，解得：x＝50，此時y1＝y2，即x＝50時，兩種方案都一樣，當32x＞20x+600時，解得：x＞50，此時y1＞y2，即50＜x≤60時，方案二劃算，當32x＜20x+600時，解得：x＜50，此時y1＜y2，即30≤x＜50時，方案一劃算．本題主要考查一次函數與不等式的簡單應用，本題關鍵在于理解題意找出y1，y2與x的關系16、（1）水果店主購進第一批這種水果的單價是20元；（2）a的最大值是1．【解析】

（1）根據題意可以列出相應的分式方程，從而可以解答本題，注意分式方程要檢驗；（2）根據題意可以得到關于a的不等式，從而可以求得a的最大值．【詳解】（1）設第一批水果的單價是x元，，解得，x＝20，經檢驗，x＝20是原分式方程的解，答：水果店主購進第一批這種水果的單價是20元；（2）由題意可得，，解得，a≤1，答：a的最大值是1．本題考查分式方程的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程和不等式，利用分式方程和不等式的性質解答．17、（1）k＝﹣1；（2）【解析】

（1）把點（，0）代入y＝（1﹣3k）x+2k﹣1，列出關于k的方程，求解即可；（2）根據1﹣3k＞0時，y隨x增大而增大，解不等式求出k的取值范圍即可．【詳解】解：（1）∵關于x的一次函數y＝（1﹣3k）x+2k﹣1的圖象交x軸于點（，0），∴（1﹣3k）+2k﹣1＝0，解得k＝﹣1；（2）1﹣3k＞0時，y隨x增大而增大，解得．本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，熟知一次函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．也考查了一次函數的性質．18、（1）8（環），8（環）；（2）2.8，0.8；（3）選擇甲，因為成績呈上升趨勢；選擇乙，因為成績穩定．【解析】

（1）由折線統計圖得出甲、乙兩人的具體成績，利用平均數公式計算可得；（2）根據方差計算公式計算可得；（3）答案不唯一，可從方差的意義解答或從成績上升趨勢解答均可．【詳解】（1）＝×（6+6+9+9+10）＝8（環），＝×（9+7+8+7+9）＝8（環）；（2）＝×[（6﹣8）2×2+（9﹣8）2×2+（10﹣8）2]＝2.8，＝×[（9﹣8）2×2+（7﹣8）2×2+（8﹣8）2]＝0.8；（3）選擇甲，因為成績呈上升趨勢；選擇乙，因為成績穩定．本題主要考查折線統計圖與方差，解題的關鍵是根據折線統計圖得出解題所需數據及平均數、方差的計算公式．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、1【解析】

先解不等式組得出其解集為，結合可得關于的方程，解之可得答案．【詳解】解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式組的解集為，∴，解得，故答案為：1．本題考查了解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．20、【解析】

利用總年齡除以總人數即可得解.【詳解】解：由題意可得該班學生的平均年齡為.故答案為：14.4.本題主要考查頻數直方圖，解此題的關鍵在于準確理解頻數直方圖中所表達的信息.21、4.1【解析】

首先連接OP，由矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和1，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面積，然后由S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA?PE＋OD?PF求得答案．【詳解】解：連接OP，

∵矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和1，

∴S矩形ABCD＝AB?BC＝41，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝，

∴OA＝OD＝5，

∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，

∴S△AOD＝S△ACD＝12，

∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA?PE＋OD?PF＝×5×PE＋×5×PF＝（PE＋PF）＝12，

解得：PE＋PF＝4.1．

故答案為：4.1．此題考查了矩形的性質以及三角形面積問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．22、【解析】

根據二次根式的被開方數是非負數和分式的分母