考點09.平面直角坐標系與函數初步（精講）【命題趨勢】平面直角坐標系作為數與形的橋梁、函數入門工具重要性不言而喻，平面直角坐標系和函數初步幾乎年年都會考查，分值為10分左右，主要考查坐標的相關概念與坐標變換、函數的相關概念和實際應用等。函數對比數與式、方程、幾何等知識模塊來說相對較抽象，從形到數，從數到形，數形結合是該知識模塊學習的重要方法，同時需儲備一定的直觀想象和操作能力，才是學好的關鍵。預計2024年各地中考還將出現，難度不高，在選擇、填空題中出現的可能性較大．【知識清單】1：平面直角坐標系（☆☆）1）有序數對：有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對，記作（a，b）．2）平面直角坐標系平面直角坐標系定義在平面內畫兩條互相垂直并且原點重合的數軸，這樣就建立了平面直角坐標系。兩軸水平的數軸叫做x軸或橫軸，通常取向右方向為正方向；豎直的數軸叫做y軸或縱軸，通常取向上方向為正方向。（見圖1）原點兩坐標軸交點為平面直角坐標系原點。坐標平面坐標系所在的平面叫做坐標平面。象限x軸和y軸把平面直角坐標系分成四部分，每個部分稱為象限。按逆時針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（見圖1）點的坐標對于坐標平面內任意一點A，過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應的數a、b分別叫做點A的橫坐標和縱坐標，有序數對A(a，b)叫做點A的坐標，記作A(a，b).（見圖2）。圖1圖22：點的坐標特征與變換（☆☆☆）1）點的坐標特征：已知點P（a，b）第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0；原點：a=0，b=0；x軸上：b=0；y軸上：a=0；2）軸對稱與中心對稱：已知點P（x，y）（1）點P關于x軸對稱的點的坐標（x，-y）；（2）點P關于y軸對稱的點的坐標（-x，y）．（3）點P關于原點的對稱點為（-x，-y）．3）圖形（點）在坐標系中的平移：已知點P（x，y）1）點P向右平移a個單位，坐標變為（x+a，y）；2）點P向左平移a個單位，坐標變為（x-a，y）；3）點P向上平移b個單位，坐標變為（x，y+b）；4）點P向下平移b個單位，坐標變為（x，y-b）．4）兩個公式（1）中點公式：若、，則AB中點C坐標為：；（2）兩點距離公式：已知兩點：、，則．3：坐標方法的簡單應用（☆☆）確定一個物體的位置的方法：1）有序實數對確定點的位置--行列定位法；2）方位角+距離確定點的位置--極坐標定位法；3）用“經緯度”確定點的位置--經緯定位法；4）區域定位法。4：函數（☆☆☆）1）函數的相關概念：變量：在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量.常量：在一個變化過程中，數值始終不變的量稱為常量.函數的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.函數的取值范圍：使函數有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.確定函數取值范圍的方法：1）函數解析式為整式時，字母取值范圍為全體實數；2）函數解析式含有分式時，分式的分母不能為零；3）函數解析式含有二次根式時，被開方數大于等于零；4）函數解析式中含有指數為零的式子時，底數不能為零；5）實際問題中函數取值范圍要和實際情況相符合，使之有意義.函數值概念：如果在自變量取值范圍內給定一個值a，函數對應的值為b，那么b叫做當自變量取值為a時的函數值.函數解析式：用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式.函數圖像上點的坐標與解析式之間的關系：1）將點的坐標代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點在解析式上，反之，不在。2）兩個函數圖形交點的坐標就是這兩個解析式所組成的方程組的解。2）函數的三種表示法的優缺點優點缺點解析法準確反映整個變化過程中自變量與函數的關系求對應值是要經過比較復雜的計算，而且實際問題中有的函數值不一定能用解析式表示列表法自變量和與它對應的函數值數據一目了然所列對應數值個數有限，不容易看出自變量與函數值的對應關系，有局限性圖像法形象的把自變量和函數值的關系表示出來圖像中只能得到近似的數量關系【易錯點歸納】1.有序數對（a，b）與（b，a）順序不同，含義也不同，坐標軸上的點不屬于任何象限。2.到x軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；距離都是非負數，而坐標可以是負數。3.因為橫軸向右為正，所以點向右平移時橫坐標變大，向左平移時橫坐標變小，同理向上平移時縱坐標變大，向下平移縱坐標變小，注意和函數平移的區別?！竞诵目键c】核心考點1.平面直角坐標系例1：（2023·湖北宜昌·統考一模）圖中顯示了10名學生平均每周用于閱讀課外書的時間和用于看電視的時間（單位：h），下列說法中錯誤的是（

）A．只有一個同學的閱讀和看電視的時間相同 B．只有兩個同學的看電視時間是相同的C．只有兩個同學的閱讀時間是相同的 D．閱讀時間大于看電視時間的同學較多變式1．（2023·山西太原·統考一模）法國數學家笛卡爾發明了平面直角坐標系，使平面內的點與有序實數對建立了一一對應關系，將幾何問題通過代數方法來研究．這種解決問題的方法是（

）A．數形結合 B．類比 C．一般到特殊 D．分類討論變式2.（2023·陜西西安·九年級?？茧A段練習）在校運會開幕式彩旗方隊中，小蘭的位置不管是列還是行都在正中間，用數對表示為．則彩旗方隊一共有（

）人．A． B． C． D．例2：（2023年浙江省臺州市中考數學真題）如圖是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知“車”所在位置的坐標為，則“炮”所在位置的坐標為（

）．

A． B． C． D．變式1.（2023·山西晉城·校聯考模擬預測）北斗七星是指大熊座的天樞、天璇、天璣、天權、玉衡、開陽、搖光七星，古人把這七星聯系起來想象成為古代舀酒的斗形，故名北斗．愛好天文的小祺將自己觀察到的北斗七星畫在如圖所示的網格上，建立適當的平面直角坐標系，若表示“搖光”的點的坐標為，表示“開陽”的點的坐標為，則表示“天權”的點（正好在網格點上）的坐標為．

核心考點2.點的坐標特征與變換例3：（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）已知，，則在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋住的點的坐標可能是（

）

A． B． C． D．變式1.（2023年浙江省麗水市中考數學真題）在平面直角坐標系中，點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式2.（2023·河南駐馬店·統考三模）點在第二象限內，則m的值可以是．（寫出一個即可）例4：（2023·廣東湛江·統考二模）已知點在x軸上，則a的值為．變式1.（2023·廣東香洲·二模）在平面直角坐標系中，點在軸上，則的值是____．變式2.（2023·廣東湛江·統考一模）已知點，當時，點在第象限，當點在軸上時，．例5：（2023·江蘇鹽城·校考模擬預測）若點關于原點對稱的點在第二象限，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．或變式1.（2023·四川眉山·?？既＃┢矫嬷苯亲鴺讼祪扔幸稽c，已知x，y滿足，則點M關于軸對稱的點N在第象限．變式2.（2023年山東省聊城市中考數學真題）如圖，在直角坐標系中，各點坐標分別為，，．先作關于x軸成軸對稱的，再把平移后得到．若，則點坐標為（

）

A． B． C． D．例6：（2022·遼寧大連·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，將線段向右平移4個單位長度，得到線段，點A的對應點C的坐標是_______．變式1.（2023·遼寧·模擬預測）如圖，頂點，的坐標分別為，，將平移后，點A的對應點的坐標是，則點的對應點的坐標是．變式2．（2022·貴州畢節·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點；把點向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點；把點向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點；把點向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點；…；按此做法進行下去，則點的坐標為_________．例7：（2022·黑龍江·校一模）將按如圖方式放置在平面直角坐標系中，其中，頂點A的坐標為，將繞原點逆時針旋轉，每次旋轉，則第2022次旋轉結束時，點A對應點的坐標為．變式1.（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點，點在軸的正半軸上，且，將沿軸向右平移得到，與交于點．若：：，則點的坐標為．

變式2.（2023·河北邯鄲·三模）如圖，在正方形中，已知點，．將正方形繞點順時針旋轉角度后，點的對應點恰好落在坐標軸上，則點的對應點的坐標為（

）

A．或B．或或C．或D．或變式3.（2023·河南周口·校聯考三模）風力發電是一種常見的綠色環保發電形式，它能夠使大自然的資源得到更好地利用．如圖1，風力發電機有三個底端重合、兩兩成角的葉片，以三個葉片的重合點為原點，水平方向為軸建立平面直角坐標系（如圖2所示），已知開始時其中一個葉片的外端點的坐標為，在一段時間內，葉片每秒繞原點順時針轉動，則第時，點的對應點的坐標為（

）

A． B． C． D．例8：（2023·江蘇江都·二模）如果點P（x，y）的坐標滿足x+y=xy，那么稱點P為“和諧點”，若某個“和諧點“P到x軸的距離為2，則P點的坐標為______．變式1．（2023·浙江·校聯考三模）在平面直角坐標系中，給出如下定義：點A到x軸、y軸距離的較大值，稱為點A的“長距”，當點P的“長距”等于點Q的“長距”時，稱P，Q兩點為“等距點”，若，兩點為“等距點”，則k的值為．例9：（2023·河北石家莊·校聯考模擬預測）平面直角坐標系中，點，，，若軸，則線段的最小值及此時點C的坐標分別為（）A． B． C． D．變式1.（2023·河南信陽·校考三模）如圖，平面直角坐標系中，對折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A的對應點落在上，折痕是，連接，，已知點，則點C的坐標是（

）

A． B． C．（8，6） D．變式2．（2023·江蘇南通·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，點，，在坐標軸上，，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點，；②再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線，交于點，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．核心考點3.坐標方法的簡單應用例10．（2023·廣東佛山·統考二模）下列選項中，能確定物體位置的是（

）A．距離學校500米 B．季華路 C．東經，北緯 D．北偏西變式1．（2023春·河北保定·八年級校聯考期中）下列四種描述中，能確定具體位置的是（

）A．東經，北緯B．某電影院5號廳2排C．北京長安大街D．一架飛機距離地面10千米例11：（2023·山東濱州·九年級統考期末）閱讀理解：如圖1，在平面內選一定點O，引一條有方向的射線，再選定一個單位長度，那么平面上任一點M的位置可由的度數與的長度m確定，有序數對稱為M點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．應用：在圖2的極坐標系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊在射線上，則正六邊形的頂點C的極坐標應記為（

）A． B． C． D．變式1．（2023年江蘇省連云港市中考數學真題）畫一條水平數軸，以原點為圓心，過數軸上的每一刻度點畫同心圓，過原點按逆時針方向依次畫出與正半軸的角度分別為的射線，這樣就建立了“圓”坐標系．如圖，在建立的“圓”坐標系內，我們可以將點的坐標分別表示為，則點的坐標可以表示為．

核心考點4.函數例12：（2023·安徽滁州·八年級校考階段練習）球的體積是，球的半徑為，則，其中變量和常量分別是（

）A．變量是，；常量是，B．變量是，；常量是 C．變量是，，；常量是 D．變量是，；常量是變式1．（2023·湖北恩施·統考一模）函數中，自變量x的取值范圍是（）A．且 B． C．或 D．變式2．（2023·廣東湛江·校聯考一模）當時，函數的值是（

）A． B． C． D．例13：（2023·廣西·統考一模）下列各曲線中哪個不能表示y是x的函數的是（）A． B． C． D．變式1.（2023·北京海淀·八年級統考期末）如圖，有一個球形容器，小海在往容器里注水的過程中發現，水面的高度h、水面的面積S及注水量V是三個變量．下列有四種說法：①S是V的函數；②V是S的函數；③h是S的函數；④S是h的函數．其中所有正確結論的序號是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④變式2．（2023·河北滄州·九年級統考開學考試）下列各式，不能表示是的函數的是（

）A． B． C． D．變式3．（2023·山東德州·二模）下列關于兩個變量關系的四種表述中，正確的是．（填序號即可）①圓的周長C是半徑r的函數；②表達式中，y是x的函數；③如表中，n是m的函數；m123n632④如圖中，曲線表示y是x的函數．

例14：（2023·廣西南寧·統考二模）南湖隧道是南寧市建成的首條水底隧道．一輛小汽車勻速通過南湖隧道，小汽車車身在隧道內的長度記為y米，小汽車進入隧道的時間記為t秒，則y與t之間的關系用圖象描述大致是（

）

A．

B．

C．

D．

變式1.（2023·湖南永州·?？级＃?023年1月22日，電影《流浪地球2》在萬達廣場上映，小趙一家開車去觀看．最初以某一速度勻速行駛，中途停車加油耽誤了幾分鐘，為了按時到達劇場，小趙在不違反交通規則的前提下加快了速度，仍保持勻速行駛．在此行駛過程中，汽車離家的距離y（千米）與行駛時間t（小時）的函數關系的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

例15：（2023·江西南昌·統考一模）一個鋼球由靜止開始從足夠長的斜面頂端沿斜面勻變速下，速度變化規律如下表：時間01234…速度01.534.56…則時，這個鋼球的速度是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·北京西城·?？寄M預測）如圖，購買一種蘋果所付款金額y（元）與購買量x（千克）之間的函數圖象由線段和射線組成，則一次購買3千克這種蘋果比分三次每次購買1千克這種蘋果可節省（）A．4元 B．3元 C．2元 D．1元變式2．（2023·廣東湛江·統考一模）在我國川西高原某山脈間有一河流，當河流中的水位上升到一定高度時因河堤承壓有潰堤的危險．于是水利工程師在此河段的某處河堤上修了一個排水的預警水庫連通另一支流．當河流的水位超過警戒位時就有河水流入預警的水庫中，當