9.2用樣本估計總體

【知識點】

1.頻率分布直方圖繪制步驟

①求極差，即一組數據中的最大值與最小值的差.

②決定組距與組數.組距與組數的確定沒有固定的標準，一般數據的個數越多，所分組數越多.當樣

本容量不超過100時，常分成5?12組.為方便起見，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”.

③將數據分組.

④列頻率分布表.計算各小組的頻率，第，?組的頻率是第卷i組捐頻官數.

⑤畫頻率分布直方圖.其中橫軸表示分組，縱軸表示磊.磊實際上就是頻率分布直方圖中各小長方

形的高度，它反映了各組樣本觀測數據的疏密程度.

2.頻率分布直方圖意義：各個小長方形的面積表示相應各組的頻率，頻率分布直方圖以面積的形式反

映數據落在各個小組的頻率的大小，各小長方形的面積的總和等于1.

3.總體取值規律的估計：我們可以用樣本觀測數據的頻率分布估計總體的取值規律.

4.頻率分布直方圖的特征：當頻率分布直方圖的組數少、組距大時，容易從中看出數據整體的分布特點，

但由于無法看出每組內的數據分布情況，損失了較多的原式數據信息；當頻率分布直方圖的組數多、組距

小時，保留了較多的原始數據信息，但由于小長方形較多，有時圖形會變得非常不規則，不容易從中看出

總體數據的分布特點.

5.常見的其他統計圖：條形圖、扇形圖、折線圖.

扇形圖主要用于直觀描述各類數據占總數的比例；

條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數據的頻數和頻率；

折線圖主要用于描述數據隨時間的變化趨勢.

6.各個統計圖特點

(1)不同的統計圖在表示數據上有不同的特點.如扇形圖主要用于直觀描述各類數據占總數的比例，條

形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數據的頻數和頻率，折線圖主要用于描述數據隨時間的變

化趨勢.

(2)不同的統計圖適用的數據類型也不同.如條形圖適用于描述離散型的數據，直方圖適用于描述連續

性數據.

7.第p百分位數的定義

一般地，一組數據的第P百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有P%的數據小于或等于這個

值，且至少有(100—P)%的數據大于或等于這個值.

8.計算第p百分位數的步驟

第1步，按從小到大排列原始數據.

第2步，計算i=nxp%.

第3步，若,?不是整數，而大于i的比鄰整數為則第〃百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p

百分位數為第i項與第(i+1)項數據的平均數.

9.四分位數

常用的分位數有第25百分位數、第50百分位數、第75百分位數，這三個分位數把一組由小到大排列

后的數據分成四等份，因此稱為四分位數.其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數等，第75

百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數等.

10.眾數、中位數、平均數定義

(1)眾數：一組數據中重復出現次數最多的數.

(2)中位數：把一組數據按從小到大的順序排列，處在中間位置(或中間兩個數的平均數)的數叫做這組數

據的中位數.

一1

(3)平均數：如果〃個數Xl，X2,X,,,那么X=1制+及+…+x”)叫做這〃個數的平均數.

11.頻率分布直方圖中的眾數、中位數、平均數

①在頻率分布直方圖中，眾數是最高矩形中點的橫坐標；

②中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等；

③平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.

12.方差、標準差的定義

一組數據X”X2,…，X”，用X表示這組數據的平均數，則這組數據的方差為X)2=5)—X

L11=1

2,標準差為X,—T2.

13.總體方差、總體標準差的定義

如果總體中所有個體的變量值分別為妨，％，…，次，總體平均數為—y,則稱W=尢1Z(匕-一Y)2

為總體方差，5=料為總體標準差.如果總體的N個變量值中，不同的值共有內個，記為H，丫2,…,

YM其中匕出現的頻數為川?=1,2,…，氏），則總體方差為群=三%（匕-7產

i=l

14.樣本方差、樣本標準差的定義

如果一個樣本中個體的變量值分別為力，以，…，為，樣本平均數為亍，則稱s2=：2（JL亍）2

1=1

為樣本方差，S=d?為樣本標準差.

15.方差、標準差特征

標準差、方差刻畫了數據的離散程度或波動幅度，標準差越大，數據的離散程度越大；標準差越小，

數據的離散程度越小.在刻畫數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的.但在解決實際問題中，一般多

采用標準差.

【典型例題】

題型一頻率分布直方圖的繪制與應用

例1.（2021?全國?高一課時練習）通過抽樣，我們獲得了100位居民某年的月平均用水量（單位：t）,如下

表：

3.12.52.02.01.51.01.61.81.91.6

3.42.62.22.21.51.20.20.40.30.4

3.22.72.32.11.61.23.71.50.53.8

3.32.82.32.21.71.33.61.70.64.1

3.22.92.42.31.81.43.51.90.84.3

3.02.92.42.41.91.31.41.80.72.0

2.52.82.32.31.81.31.31.60.92.3

2.62.72.42.11.71.41.21.50.52.4

2.52.62.32.11.61.01.01.70.82.4

2.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2

試用頻率直方圖分析該地居民月平均用水量的分布情況.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

根據數據計算極差確定組距和組數，再得到頻率分布表，畫出頻率分布直方圖，根據直方圖得到答案.

【詳解】

42

計算極差：4.3-02=4.1；將組距取為0.5,則萬|=8.4,取組數為9；

將數據分為：[0,0.5),[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5],

則得到頻率分布表:

分組頻數頻率

[0,0.5)40.04

[0.5,1)80.08

[1,1.5)150.15

[1.5,2)220.22

[2,2.5)250.25

[2.5,3)140.14

[3,3.5)60.06

[3.5,4)40.04

[4,4.5]20.02

合計1001.00

畫出頻率分布直方圖:

根據頻率分布直方圖：

用水量在［4,4.5］的居民最少；

多數居民的用水量在1,3）之間；

用水量在［2,2.5）的居民最多.

解題技巧（繪制頻率分布直方圖的注意事項）

1.在列頻率分布表時，極差、組距、組數有如下關系：

（1）若極贏差為整數，則極差就=組數；

（2）若簫不為整數，則黯的整數部分+1=組數.

2.組距和組數的確定沒有固定的標準，將數據分組時，組數力求合適，縱使數據的分布規律能較清楚

地呈現出來，組數太多或太少，都會影響我們了解數據的分布情況，若樣本容量不超過100,按照數據的多

少常分為5?12組，一般樣本容量越大，所分組數越多.

例2.（2021?全國?高一課時練習）下面是某市9月26日和9月29日市區出現堵車的時刻，試列出這兩天的

堵車時刻的頻率分布表和頻率直方圖，并分析該市每天大約在什么時間段是行車高峰期.

8:018:029:309:319:5110:2410:51

9月26

日

11:2115:5216:3017:2917:3018:0418:22

9月2910:311:

8:298:328:339:299:5810:14

日343

18:018:

14:0016:0816:2916:5416:5517:05

809

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

確定組距，由已知條件確定每組的頻數、頻率、頻率/組距可得頻率分布表，根據頻率分布表作出頻率直方

圖即可.

【詳解】

根據已知數據可得頻率分布表如下:

分組頻數頻率頻率/組距

J_

[8:00,9:00)5

66

[j_

[9:00,10:00)5

66

22

[10:00,11:00)

4?5

11

[11:00,12:00)2

15西

[12:00,13:00)000

[13:00,14:00)000

11

[14:00,15:00)1

3030

11

[15:00,16:00)1

3030

[

[16:00,17:00)5

66

11

[17:00,18:00)

3ToTo

22

[18:00,19:00)4

1515

合計3011

作出頻率分布直方圖如圖所示:

山頻率分布直方圖可以看出大約每天的8:00至心1:00與16:00至打9:00是行車高峰期.

例3.（2021.全國.高一單元測試）某制造商生產一批直徑為40mm的乒乓球，現隨機抽樣檢查20個，測得

每個球的直徑（單位：mm,保留兩位小數）如下：

40.0340.0039.9840.0039.9940.0039.98

40.0139.9839.9940.0039.9939.9540.01

40.0239.9840.0039.9940.0039.96

（1）完成下面的頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；

分組頻數頻率

[39.95,39.97)

[39.97,39.99)

[39.99,40.01)

[40.01,40.03]

合計

(2)假定乒乓球的直徑誤差不超過0。2mm為合格品.若這批乒乓球的總數為10000,試根據抽樣調查結果

估計這批產品的合格個數.

【答案】(1)頻率分布表見解析，頻率分布直方圖見解析；(2)8500.

【解析】

【分析】

(1)根據所給的頻數和樣本容量，用頻數除以樣本容量做出每一組數據對應的頻率，填入表中，畫出對應的

頻率分步直方圖和頻率分布折線圖.(2)計算抽樣產品在［39.98,40.02］的個數，計算合格率，即可求出這批產

品的合格只數.

【詳解】

(1)頻率分布表如下：

分組頻數頻率

[39.95,39.97)20.10

139.97,39.99)40.20

139.99,40.01)100.50

[40.01,40.03]40.20

合計201.00

頻率分布直方圖如圖.

頻率

二合格品頻率為與x100%=85%.

10000x85%=8500.

故根據抽樣調查結果，可以估計這批產品的合格個數為8500.

題型二頻率分布直方圖中的相關計算問題

例4.(2022.吉林?東北師大附中模擬預測(文))為了了解某工廠生產的產品情況，從該工廠生產的產品隨

機抽取了一個容量為20的樣本，測量它們的尺寸(單位：mm)，數據分為[92,94),[94,96),[96,98),[98,100),

[100,102),[102,104),[104,106]七組,其頻率分布直方圖如圖所示.

⑴求上圖中的x值；

(2)根據頻率分布直方圖，求20()件樣本尺寸在[98,100)內的樣本數；

⑶記產品尺寸在[98,102)內為A等品，每件可獲利5元；產品尺寸在[92,94)內為不合格品，每件虧損2元;

其余的為合格品，每件可獲利3元.若該機器一個月共生產3000件產品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻

率，若單月利潤未能達到11000元，則需要對該工廠設備實施升級改造.試判斷是否需要對該工廠設備實施

升級改造.

【答案】(l)x=0.12；

（2）36（件）；

（3）需要對該工廠設備實施升級改造.

【解析】

【分析】

（1）根據頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1進行求解即可；

（2）根據頻率分布直方圖中的數據進行求解即可；

（3）根據題意，結合頻率分布直方圖中的數據求出單月利潤，最后比較大小即可.

（I）

因為（0.02+0.04+0.06+0.07+0.09+0.10+x）x2=l,

解得x=0.12；

（2）

200件樣本中尺寸在［98,100）內的樣本數為200x0.09x2=36（件）

（3）

由題意可得，這批產品中優等品有3000x（0.18+0.20）=1140（件），

這批產品中不合格品有3000x0.04=120件，

這批產品中合格品有3000-1140-120=17403000-1140-120=1740（件），

1140x5+1740x3-120x2=10680元.

所以該工廠生產的產品一個月所獲得的利潤為10680元，

因為10680<11000,

所以需要對該工廠設備實施升級改造.

解題技巧（計算規律）

1.因為小長方形的面積=組距><慧=頻率，所以各小長方形的面積表示相應各組的頻率.這樣，頻率分布直

方圖就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小.

2.在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積之和等于1.

3.而黑芯=樣本量.

4.在頻率分布直方圖中,各長方形的面積之比等于頻率之比，各長方形的高度之比也等于頻率之比.

例5.（2021?四川?成都市溫江區第二中學校高二期末（理））某商品公司隨機選取了1000名購物者在某年

度的消費情況進行統計，并根據消費金額（單位：萬元）分成6組，制成如下圖所示的頻率分布直方

圖:

（2）在這些購物者中，求消費金額在區間（0.5,0.9］內的購物者的人數.

【答案】⑴。=3

（2）600人

【解析】

【分析】

（I）根據頻率分布直方圖的性質，各小矩形的面積之和為1,即可求出；

（2）先由頻率分布直方圖可求出消費金額在區間（050.9］內的頻率，再根據頻數=頻率x樣本容量，即可

得到購物者的人數.

（1）

由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得：

0.2x0.1+0.8x0.1+1.5x0.1+2x0.1+2.5x0.1+ax0.1=l,解得a=3.

（2）

消費金額在區間（0.5,0.9］內的頻率為0.2*0.1+0.8、0.1+2*0.1+3乂0」=0.6,

所以消費金額在區間（050.9］內的購物者的人數為0.6x1000=60（）A.

例6.（2021?四川省南充市李渡中學高二階段練習）對某校高一年級學生參加“社區志愿者”活動次數進行統

計,隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加''社區志愿者”活動的次數.據此作出頻數和頻率統

計表及頻率分布直方圖如下：

分組頻數頻率

[10,15)50.25

[15,20)12n

[20,25)mP

[25,30]10.05

合計M1

（1）求出表中M,p及圖中4的值;

（2）若該校高一學生有720人，試估計他們參加“社區志愿者”活動的次數在15,20）內的人數.

【答案】(1)M=20,p=0A,a=0.12；(2)432A.

【解析】

【分析】

利用頻率=.頻的數關系‘求出口'"、

（1）根據頻率分布表,〃、”以及。的值;

（2）利用參加“社區志愿者”活動的次數在［15,20）內的頻率，求出對應的頻數.

【詳解】

解：（I）根據頻率分布表，得;

???—=0.25,

M

，樣本容量為M=20：

.-./n=20-5-12-l=2,

2

對應的頻率為P=-=0.1,

?=—=0.6；

20

a=0-6=0.12；

20-15

（2）參力n“社區志愿者”活動的次數在［15,20）內的頻率為0.6,

.??估計參加“社區志愿者”活動的次數在口5,20）內的人數為

720x0.6=432（人）.

題型三對折線圖、扇形圖、條形圖的識讀

例7.（2020.北京.高二學業考試）2007年以前，北京市先后組織實施了多個階段的大氣污染防治行動，針對

燃煤、工業、揚塵排放和機動車排放等采取了數百項治理措施.2008年北京市首次探索區域聯防聯控，取得了

良好效果.2013年北京市制定實施以防治細顆粒物為重點的《2013-2017年清潔空氣行動計劃》，治理成效顯

著.

上圖是2000年至2018年可吸入顆粒物、細顆粒物、二氧化氮、二氧化硫等主要污染物年日均值的折線圖.根據

圖中信息，下列結論中正確的是（）

A.2013年到2018年,空氣中可吸入顆粒物的年日均值逐年下降

B.2013年到2018年，空氣中細顆粒物的年日均值逐年下降

C.2000年到2018年，空氣中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米

D.2000年到2018年，空氣中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年

【答案】B

【解析】

觀察折線圖，確定數據的變化規律，判斷各選項.

【詳解】

2014年空氣中可吸入顆粒物年II均值比2013年多，A錯；

2013年到2018年，空氣中細顆粒物的年日均值逐年下降，B正確；

2007年（含2007年）之前空氣中二氧化氮的年日均值都高于40微克/立方米，C錯；

2000年到2018年，空氣中二氧化硫的年日均值最低的年份是2018年，D錯.

故選：B.

解題技巧（各類統計圖的特點）

條形統計圖反映各組數據的頻數或頻率；

扇形統計圖反映各組數據占總數的比例；

折線統計圖反映數據隨時間的變化趨勢.

例8.（2021?全國?高一課時練習）為考查某校高二男生的體重，隨機抽取44名高二男生，實測體重數據（單

位：kg）如下：

57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,

55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48

將數據進行適當的分組，并畫出相應的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

分析數據的極差，選擇合適的組局，讓組數在5—8組左右為宜，作出頻率分布表，根據頻率分布表作出頻

率分布直方圖.

【詳解】

數據的極差為：69-42=27,所以可以4為組距，將數據分為8組，列表如下：

分組頻率累計頻數頻率

[41.5,45.5)T20.0455

[45.5,49.5)正T70.1591

[49.5,53.5)正T80.1818

153.5,57.5)正正正一160.3636

[57.5,61.5)正50.1136

[61.5,65.5)TF40.0909

[65.5,69.5)T20.0455

以此作出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖，如圖所示:

o1s.0

0a9

08

o0.7

0a6

05

o0.4

o0.3

o0.2

01

o.。

樣本數據

o.57561655695

例9.（2021.全國?高一單元測試）共享單車入住泉州一周年以來，因其“綠色出行，低碳環保”的理念而備受

人們的喜愛，值此周年之際，某機構為了了解共享單車使用者的年齡段，使用頻率、滿意度等三個方面的

信息，在全市范圍內發放5000份調查問卷，回收到有效問卷3125份，現從中隨機抽取80份，分別對使用者

的年齡段、26?35歲使用者的使用頻率、26?35歲使用者的滿意度進行匯總，得到如下三個表格：

表（一）

使用者年齡段25歲以下26歲?35歲36歲?45歲45歲以上

人數20401010

表（二）

使用頻率°~6次/月7?14次/月15?22次/月23?31次/月

人數510205

表（三）

滿意度非常滿意（9?10）滿意(8?9)一般(7?8)不滿意（6?7）

人數1510105

(1)依據上述表格完成下列三個統計圖形:

率使用者年齡段頻率條形圖

4

-

8

3

-

8

2

-

8

1

-

8

O25歲以下26~35歲36~45歲45歲以上使用者年齡段

使用頻率餅圖

(2)某城區現有常住人口30萬，請用樣本估計總體的思想，試估計年齡在26歲?35歲之間，每月使用共享

單車在7?14次的人數.

【答案】(1)詳見解析；(2)二萬人.

4

【解析】

(1)按照三個表格中的數據繪制圖形即可；

(2)先根據年齡在26歲?35歲之間的有40人，占總抽取人數的一半，得某城區30萬人口中年齡在26歲?

35歲之間的約有30xg=15(萬人)；再根據年齡在26歲?35歲之間每月使用共享單車在7?14次之間的有

10人，占總抽取人數的!，得年齡在26歲?35歲之間，每月使用共享單車在7?14次之間的約有15x?=?

(萬人).

【詳解】

⑴

率

頻使用者年齡段頻率條形圖

4

-

8-

3

--

8

2

-

8一

1

-

8一

o25歲以下26~35歲36~45歲45歲以上使用者年齡段

使川頻率餅圖

圖例

IIOF次/月

■7~14次/月

昌15~22次/月

密23~31次/月

人數滿意度折線圖

⑵由表（一）可知:

年齡在26歲?35歲之間的有40人，占總抽取人數的一半，用樣本估計總體的思想可知，某城區30萬人口

中年齡在26歲?35歲之間的約30xJ=15（萬人）；

又年齡在26歲?35歲之間每月使用共享單車在7?14次之間的有10人，占總抽取人數的7,用樣本估計總

體的思想可知，城區年齡在26歲?35歲之間15萬人中每月使用共享單車在7?14次之間的約仃

（萬人），

故年齡在26歲?35歲之間，每月使用共享單車在7?14次之間的人數約為v萬人.

4

【點睛】

本題考查閱讀理解能力和邏輯思維能力，考查頻率分布餅形圖、條形圖和折線圖，考查用樣本估計總體，

屬于中檔題.

題型四百分位數在具體數據中的應用

例10.（2022?天津市武清區楊村第一中學高三期末）某射擊運動員7次的訓練成績分別為:86,88,90,89,

88,87,85,則這7次成績的第80百分位數為（）

A.88.5B.89C.91D.89.5

【答案】B

【解析】

【分析】

根據百分位數的定義進行求解即可.

【詳解】

7次的訓練成績從小到大排列為：85,86,87,88,88,89,90,

7x80%=5.6,所以第80百分位數為從小到大排列的數據中的第6個數據，即89,

故選：B

解題技巧（計算一組n個數據的第p百分位數的步驟）

第1步,按從小到大排列原始數據.

第2步，計算i=nxp%.

第3步，若i不是整數,而大于i的比鄰整數為j,則第p百分位數為第j項數據;若i是整數，則第p百分位

數為第i項與第（i+1）項數據的平均數.

例11.（2022.安徽省蚌埠第三中學高一開學考試）從某城市隨機抽取14臺自動售貨機，對其銷售額進行統

計，數據如下：8,8,10,12,22,23,20,23,32,34,31,34,42,43,則這14臺自動售貨機的銷售

額的50%,80%分位數分別是,.

【答案】2334

【解析】

【分析】

根據百分位數的定義計算可得答案.

【詳解】

解：因為該組數據從小到大排列為:8,8,10,12,20,22,23,23,31,32,34,34,42,43.

且14x50%=7,笫7個與第8個數的平均值為:（23+23）=23,

所以這14臺自動售貨機的銷售額的50%分位數為23；

乂14x80%=11.2,所以這14臺自動售貨機的銷售額的80%分位數分別是第12項數據，即34,

故答案為：23；34.

例12.（2022?湖南?高一課時練習）下表為某市青少年（12~13歲）立定跳遠體能達標表（單位：cm）：

百分位5102030405060707580859095

數P,

12

127136147155162169175182186190195201211

歲

男

13

139149161169177184191198202207212219229

歲

12

109117128135141147153159163167171177186

歲

女

13

110119129137143149155161165169173179188

歲

(1)小蘭今年12歲就讀六年級，她立定跳遠的距離是153cm,求她立定跳遠的百分等級.

(2)小蘭明年就讀初中時，她想要立定跳遠的成績位于表中用的位置，問她立定跳遠至少要跳多少cm以上.

(3)若立定跳遠的成績達到/算是優良，小軍今年13歲，他立定跳遠的距離是200cm,請問他的立定跳遠

成績是不是優良？

【答案】⑴50

(2)165cm以上.

⑶不是

【解析】

【分析】

(1)根據表格中的數據得到女生立定跳遠距離153cm對應的百分位數為即可求解；

(3)根據表格中的數據可得到女生13歲立定跳遠距離百分為數4=165cm,即可求解；

所以她立定跳遠至少要跳165cm以上.

(3)由表格中的數據得到13歲男生立定跳遠距離百分位數舄$的值，比較即可得到結論.

(1)

解：根據表格中的數據可知，12歲的女生立定跳遠距離153cm對應的百分位數為%,

所以小蘭立定跳遠的百分等級50.

⑵

解：小蘭明年13歲，根據表格中的數據可知：13歲立定跳遠距離百分為數G=169cm,

所以她立定跳遠至少要跳169cm以上.

(3)

由表格中的數據可知：13歲男生立定跳遠距離百分位數隊=207cm,

因為200<207,所以他的立定跳遠成績不是優良.

題型五百分位數在統計表或統計圖中的應用

例13.(2022?遼寧丹東?高一期末)某地區想實行階梯電價，經調查發現，該地區居民用電量信息如下:

分位數50%分位數70%分位數80%分位數90%分位數

用電量

160176215230

/(kWh)

如果要求約70%的居民用電在第一階梯內，約20%的居民用電在第二階梯內，可確定第二階梯電價的用電

量/(kW.h)范圍為()

A.(160,176]B.(176,215]C.(176,230]D.(230,”)

【答案】C

【解析】

【分析】

利用百分位數的含義結合條件即得.

【詳解】

?.?約70%的居民用電在第一階梯內，約20%的居民用電在第二階梯內，

,由表中數據可得，第二階梯電價的用電量/(kW,h)范圍為(176,230].

故選：C.

解題技巧(頻率直方圖計算百分位數的規律)

求總體百分位數的估計，首先要從小到大排列數據，頻率直方圖看作數據均勻分布在直方圖上，然后

計算出i=nxp%,當i不是整數要取整，頻率直方圖要計算出比例值.

例14.(2022.河南焦作.高一期末)某小學制訂了一份調查問卷，讓學生家長對該校實行“雙減”的效果進行

評分，評分都在[40,100]內,將所有數據按[40,50],(50,60],(60,70],(70,80],(80,90],(90,100]進行

分組，整理得到頻率分布直方圖如下，則這次調查數據的70%分位數為.

.頻率

0.030k--------------T—I

0.025卜---------\\

0.020L---------------

0.015H----1-

0.010[

0005r;;n-iTrn

O1405。60708090100評分/務

【答案】80

【解析】

【分析】

利用百分位數的概念以及頻率分布直方圖求解..

【詳解】

因為前4組數據的頻率之和為0.05+0.15+0.2+0.3=0.7,

所以70%分位數為80.

故答案為：80

例15.(2022.北京平谷.高二期末)某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使

用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20,30),[30,40),

—,[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率A

緲li

0.04-------------------------------------------------------

0.02-----------------------------------------------j--1——?

0.01---------------------------------------

o2030405060708090分數

(1)已知樣本中分數在[40,50)的學生有5人，試估計總體中分數小于40的人數；

(2)試估計測評成績的75%分位數；

(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70,且樣本中分數不小于70的男女生人數相等.試估計總體中男

生和女生人數的比例.

【答案】⑴20人

（2）78.75

嗚

【解析】

【分析】

（1）根據頻率分布直方圖先求出樣本中分數在［40,90）的頻率，即可解出；

（2）先根據頻率分布直方圖判斷出75%分位數在［70,80）之間，即可根據分位數公式算出；

（3）根據頻率分布直方圖知分數不小于70分的人數中男女各占30人，從而可知樣本中男生有60人，女

生有40人，即可求出總體中男生和女生人數的比例.

（1）

由頻率分布直方圖知，分數在［50,90）的頻率為（0.01+0.02+0.04+0.02）x10=0.9,在樣本中分數在［50,90）

的人數為100x0.9=90（人），在樣本中分數在［40,90）的人數為95人，所以分數在［40,90）的人數為

400x0.95=380（A）,總體中分數小于40的人數為20人

（2）

測試成績從低到高排序，占人數75%的人分數在［70,80）之間，所以估計測評成績的75%分位數為

075-04

70+lOx------=70+8.75=78.75

0.8-0.4

（3）

由頻率分布直方圖知，分數不小于70分的人數共有60人，由已知男女各占30人，從而樣本中男生有60

人，女生有40人，故總體中男生與女生的比例為黑==.

題型六平均數、中位數、眾數在具體數據中的應用

例16.（2021山西?高一期末）一組數據共有7個整數，e，2,2,2,10,5,4,且2＜加＜10,若這組數

據的平均數、中位數、眾數中最大與最小數之和是該三數中間數字的兩倍，則第三四分位數是.

【答案】5

【解析】

【分析】

根據平均數，中位數，眾數的概念和已知條件，列式求解，注意分類討論，求得m的值，進而得到已知得

7個數，從小到大排列后，利用四舍五入法求得第三四分位數.

【詳解】

平均數=--—,眾數=2,當4W機＜10時，中位數為4,

則有2+g"=8nm=17舍掉；

當2＜，”4時，中位數為旭，則有2+'"+"=2/7?=＞m=3.

7

該7個數從小到大排列是2,2,2,3,4,5,10,因為數據個數為7,

而且7x75%=5.25,所以這組數據的第三四分位數為5.

解題技巧（眾數、中位數、平均數的意義）

（1）樣本的眾數、中位數和平均數常用來表示樣本數據的“中心值”，其中眾數和中位數容易計算，不受

少數幾個極端值的影響，但只能表達樣本數據中的少量信息，平均數代表了數據更多的信息，但受樣本中

每個數據的影響，越極端的數據對平均數的影響也越大.

（2）當一組數據中有不少數據重復出現時，其眾數往往更能反映問題，當一組數據中個別數據較大時，

可用中位數描述其集中趨勢.

例17.（2021.河南?溫縣第一高級中學高三階段練習（文））為了增加學生的鍛煉機會，某中學決定每年舉辦

一次足球和乒乓球比賽，據統計，近10年來，參加足球比賽的學生人數分別為為、演、￡、L、占。，它

們的平均數為已知這10年，參加乒乓球比賽的學生人數分別為肛-1、3々-1、3x「l、L、3/7,

它們的平均數以為（）

A.3-1B.3y,+1C.必D.3M

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平均數公式可求得結果.

【詳解】

由已知可得[=+；；???+/,

由平均數公式可得亢=（3%-1）+（3々-1）+除-1）+…+（3/-1）

=3（%+工2+芻+…+$0）]=37_[

故選：A.

例18.（2022.湖南.高一課時練習）某大學隨機抽取30名學生參加環保知識測試，得分（十分制）情況如圖

所示，試結合圖象分析得分的平均數、眾數、中位數之間的大小關系.

【解析】

【分析】

求出中位數，平均數，眾數，比較大小即可.

【詳解】

由圖知

平均數為--------------------------------------------5.97

眾數為5,

中位數為手=5.5,

故平均數〉中位數〉眾數.

例19.(2022?湖南?高一課時練習)某百貨公司連續40天的銷售額數據(單位：萬元)如下:

41252947383430384340

46364537373645433344

35284634303744263844

42363737493942323635

(1)根據上面的數據進行適當的分組，編制頻數分布表，并繪制頻率分布直方圖；

(2)在繪制的頻率分布直方圖上指出數據組的中位數、眾數、平均數所在區域，并比較它們之間的大小;

(3)試估計該百貨公司一年(按365天計算)的銷售額.

【答案】(1)見解析

(2)中位數為37,眾數為37,平均數為37.85,平均數最大，中位數和眾數相等，

(3)13815.25萬元

【解析】

【分析】

(1)首先找出該組數據的最大值和最小值，求出它們的差，然后決定組距和組數，找出分點后再列頻數分

布表和頻數分布直方圖，

(2)通過對中位數，眾數，平均數的計算進行比較，

(3)用平均數乘以365可求得結果

(1)

這組數的最小值為25,最大值為49,其差為49-25=24,取組距為5,將其分成5組，則分的組為

[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),

銷售額的頻率分布表如下：

組段頻數頻率

[25,30)40.10

130,35)60.15

[35,40)150.375

[40,45)90.225

[45,50)60.15

銷售額的頻率分布直方圖如下:

頻率

組

建-A

S0.

085.

一

O..070.一

OS.075.

.060.

06.

OS.5?

S0a50

S5?-

一

0?一

S.04?

S5一

.04?

S0

.03?一

.035一

O.0

02?—丁

O6.5?

O02?

C.010?

5.015/

M一

.oo

253035404550銷售額（萬元）

（2）

將40個數據從小到大排列依次為

25,26,28,29,30,30,32,33,34,34,35,35,36,36,36,36,37,37,37,37,

37,38,38,38,39,40,41,42,42,43,43,44,44,44,45,45,46,46,47,49,

所以中位數為37,眾數為37,

平均數為L（25+26+28+29+2x30+32+33+2x34+2x35+4x36+5x37

40

+3x38+39+40+41+42+2x43+3x44+2x45+2x46+47+49）=37.85,

中位數、眾數、平均數都在［35,40）,其平均數最大，中位數和眾數相等

（3）

由（2）可知平均每天的銷售額為37.85萬元，

所以該百貨公司一年的銷售額約為

365x37.85=13815.25萬元

題型七在頻率分布直方圖中求平均數、中位數、眾數

例20.（河南省新鄉市2021-2022學年高三上學期期末考試數學（文科）試題）《關于落實主體責任強化校

園食品安全管理的指導意見》指出：非寄宿制中小學、幼兒園原則上不得在校內設置食品小賣部、超市，

已經設置的要逐步退出.為了了解學生對校內開設食品小賣部的意見，某校對100名在校生30天內在該校

食品小賣部消費過的天數進行統計，將所得數據按照［0,5）、［5,10）、［10,15）、［15,20）、［20,25）、［25,30］分

成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.根據此頻率分布直方圖，下列結論不正確的是（）

A.該校學生每月在食品小賣部消費過的天數不低于20的學生比率估計為20%

B.該校學生每月在食品小賣部消費過的天數低于10的學生比率估計為32%

C.估計該校學生每月在食品小賣部消費過的天數的平均值不低于15

D.估計該校學生每月在食品小賣部消費過的天數的中位數介于10至15之間

【答案】C

【解析】

【分析】

利用頻率、頻數與樣本容量之間的關系可判斷AB選項；利用頻率分布直方圖計算平均數可判斷C選項；

利用中位數的定義可判斷D選項.

【詳解】

由圖可得,該校學生每月在食品小賣部消費過的天數在［20,30］內的占比為（0.024+0.016）x5=0.2,A正確;

該校學生每月在食品小賣部消費過的天數在［0,10）內的占比為（0.024+0.040）x5=0.32,B正確；

估計該校學生每月在食品小賣部消費過的天數的平均值為

2.5x0.12+7.5x0.2+12.5x0.38+17.5x0.1+22.5x0.12+27.5x0.08=13.2,C錯；

該校學生每月在食品小賣部消費過的天數在［0,1。）內的占比為0.32,

該校學生每月在食品小賣部消費過的天數在［0,15）的占比為（0.024+0.040+0.076）x5=0.7,

所以該校學生每月在食品小賣部消費過的天數的中位數介于1()至15之間，D正確；

故選：C.

解題技巧(知頻率分布直方圖中求平均數、中位數、眾數)

(1)眾數：頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點的橫坐標.

(2)中位數：