6.2平面向量的運算（學案）知識自測知識自測一．向量的加法運算法則1.三角形法則已知向量、，在平面上任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(BC,\s\up6(→))＝，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做與的和，記作＋，即＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。記憶口訣：2.平行四邊形法則已知兩個向量，，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，以OA，OB為鄰邊作?OACB，則以O為起點的向量eq\o(OC,\s\up6(→))就是向量與的和．這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則記憶口訣：3.加法的運算律(1)交換律：(2)結合律：二．向量的減法運算1.相反向量：與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作－.性質：①和－互為相反向量。②零向量的相反向量仍是零向量。③由兩個向量的和的定義可知：＋(－)＝(－)+=0，即任意向量與其相反向量的和是零向量。2.向量的減法(1)定義：向量加上的相反向量，叫做與b的差，即－＝＋(－)，求兩個向量差的運算叫做向量的減法；向量的減法可以轉化為向量的加法來進行：減去一個向量就等于加上這個向量的相反向量.（2）運算法則：三角形法則或平行四邊形法則記憶口訣：共起點，箭頭指向被減數三．向量的數乘運算1.向量的數乘運算（1）定義：一般地，我們規定實數λ與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λ.（2）規定：①|λ|＝|λ|||②當λ>0時，λ的方向與的方向相同；當λ<0時，λ的方向與的方向相反；當λ＝0時，λ＝0.（3）運算律：設λ，μ為實數，則①λ(μ)＝λμ；②(λ＋μ)＝λ＋μ；③λ(＋)＝λ＋λ(分配律)．2.共線定理：3.線性運算：向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算四．向量的數量積1.夾角（1）定義：已知兩個非零向量，，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝，eq\o(OB,\s\up12(→))＝，則∠AOB＝θ叫做向量與的夾角(2)圖示：注意：只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩個向量的夾角（3）范圍：當θ＝0時，兩向量，共線且同向；當θ＝eq\f(π,2)時，兩向量，相互垂直，記作⊥；當θ＝π時，兩向量，共線但反向2.向量的數量積定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，則把數量||||cosθ叫做與的數量積(或內積)記法：·，即·＝||||·cosθ，其中θ是與的夾角注意：數量積的結果為數量,不再是向量。（3）設，是非零向量，它們的夾角是θ，則①⊥?·＝0.②當與同向時，·＝||||；當與反向時，·＝－||||.③·＝||2或||＝3.數量積的運算律(1)交換律：(2)數乘結合律：(3)分配律：向量數量積的運算不滿足乘法結合律：4.投影：設θ是，的夾角，則||cosθ叫做向量在向量的方向上的投影||cosθ叫做向量在向量的方向上的投影知識簡用知識簡用題型一向量的加法運算【例1-1】（2022·湖南·高一課時練習）如圖，已知下列各組向量，，求作．【例1-2】．（2022山西）化簡下列各式：(1)；(2)；(3)．題型二向量的減法運算【例2-1】（2021·全國·高一課時練習）如圖，在各小題中，已知，分別求作．【例2-2】（2022浙江）化簡下列各式：（1）(＋)＋(－－)；（2）－－.（3）（4）；（5）＋．題型三向量的數乘運算【例3-1】（2022·福建）計算：（1）；（2）.（3）；（4）．【例3-2】（2022·黑龍江）已知非零向量，不共線．(1)如果，，，求證：，，三點共線；(2)欲使和共線，試確定實數的值．題型四向量的數量積【例4-1】（2022·上海市）已知單位向量滿足，則向量的夾角為______．【例4-2】（2022·上海市）已知向量與的夾角為，且，則在方向上的投影是______.【例4-3】（2022·臺州市）已知，，與的夾角為，那么等于【例4-4】（2022·上海市金山中學高一期末）已知向量滿足的夾角為，則的值是_____．【例4-5】（2022·河北）已知向量，的夾角為，，則向量在方向上的投影為__．6.2平面向量的運算（學案）知識自測知識自測一．向量的加法運算法則1.三角形法則已知非零向量、，在平面上任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(BC,\s\up6(→))＝，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做與的和，記作＋，即＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。記憶口訣：作平移，首尾連，由起點指終點．2.平行四邊形法則已知兩個不共線向量，，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，以OA，OB為鄰邊作?OACB，則以O為起點的向量eq\o(OC,\s\up6(→))就是向量與的和．這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則記憶口訣：作平移，共起點，四邊形，對角線3.加法的運算律(1)交換律：＋＝＋.(2)結合律：(＋)＋＝＋(＋).二．向量的減法運算1.相反向量：與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作－.性質：①和－互為相反向量。②零向量的相反向量仍是零向量。③由兩個向量的和的定義可知：＋(－)＝(－)+=0，即任意向量與其相反向量的和是零向量。2.向量的減法(1)定義：向量加上的相反向量，叫做與b的差，即－＝＋(－)，求兩個向量差的運算叫做向量的減法；向量的減法可以轉化為向量的加法來進行：減去一個向量就等于加上這個向量的相反向量.（2）運算法則：三角形法則或平行四邊形法則記憶口訣：共起點，箭頭指向被減數三．向量的數乘運算1.向量的數乘運算（1）定義：一般地，我們規定實數λ與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λ.（2）規定：①|λ|＝|λ|||②當λ>0時，λ的方向與的方向相同；當λ<0時，λ的方向與的方向相反；當λ＝0時，λ＝0.（3）運算律：設λ，μ為實數，則①λ(μ)＝λμ；②(λ＋μ)＝λ＋μ；③λ(＋)＝λ＋λ(分配律)．2.共線定理：向量(≠0)與共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使＝λ3.線性運算：向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算四．向量的數量積1.夾角（1）定義：已知兩個非零向量，，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝，eq\o(OB,\s\up12(→))＝，則∠AOB＝θ叫做向量與的夾角(2)圖示：注意：只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩個向量的夾角（3）范圍：當θ＝0時，兩向量，共線且同向；當θ＝eq\f(π,2)時，兩向量，相互垂直，記作⊥；當θ＝π時，兩向量，共線但反向2.向量的數量積定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，則把數量||||cosθ叫做與的數量積(或內積)記法：·，即·＝||||·cosθ，其中θ是與的夾角注意：數量積的結果為數量,不再是向量。（3）設，是非零向量，它們的夾角是θ，則①⊥?·＝0.②當與同向時，·＝||||；當與反向時，·＝－||||.③·＝||2或||＝3.數量積的運算律(1)交換律：·＝·(2)數乘結合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)．(3)分配律：(＋)·＝·＋·.向量數量積的運算不滿足乘法結合律：4.投影：設θ是，的夾角，則||cosθ叫做向量在向量的方向上的投影||cosθ叫做向量在向量的方向上的投影知識簡用知識簡用題型一向量的加法運算【例1-1】（2022·湖南·高一課時練習）如圖，已知下列各組向量，，求作．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）作圖見解析；（4）作圖見解析.【解析】（1）將的起點移至的終點，即可得，如下圖：（2）將的起點移至的終點，即可得，如下圖：（3）以，為頂點作平行四邊形，應用平行四邊形法則可得，如下圖：（4）將的起點移至的終點，應用三角形法則可得，如下圖：【例1-2】．（2022山西）化簡下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1).(2).(3).題型二向量的減法運算【例2-1】（2021·全國·高一課時練習）如圖，在各小題中，已知，分別求作．【答案】見解析【解析】將的起點移到同一點，再首尾相接，方向指向被減向量，如圖，，

(1)

(2)

(3)

(4)【例2-2】（2022浙江）化簡下列各式：（1）(＋)＋(－－)；（2）－－.（3）（4）；（5）＋．【答案】（1）；（2）（3）；（4）；（5）.【解析】（1）法一：原式法二：原式;（2）法一：原式.法二：原式.（3）方法一(統一成加法)：方法二(利用)：（4）．（5）題型三向量的數乘運算【例3-1】（2022·福建）計算：（1）；（2）.（3）；（4）．【答案】（1）；（2）.(3)；(4).【解析】（1）=.（2）=（3）原式．（4）原式．【例3-2】（2022·黑龍江）已知非零向量，不共線．(1)如果，，，求證：，，三點共線；(2)欲使和共線，試確定實數的值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）證明：，，，，，且有公共點，故，，三點共線；（2）解：和共線，存在實數，使得，且，可得．題型四向量的數量積【例4-1】（2022·上海市）已知單位向量滿足，則向量的夾角為______．【答案】【解析】已知為單位向量，則，，，故答案為：.【例4-2】（2022·上海市）已知向量與的夾角為，且，則在方向上的投影