重難點突破09函數零點問題的綜合應用目錄1、函數零點問題的常見題型：判斷函數是否存在零點或者求零點的個數；根據含參函數零點情況，求參數的值或取值范圍.求解步驟：第一步：將問題轉化為函數的零點問題，進而轉化為函數的圖像與軸(或直線)在某區間上的交點問題；第二步：利用導數研究該函數在此區間上的單調性、極值、端點值等性質，進而畫出其圖像；第三步：結合圖像判斷零點或根據零點分析參數.2、函數零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．3、求函數的零點個數時，常用的方法有：一、直接根據零點存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數圖象的交點確定函數的零點個數；三、結合導數，求函數的單調性，從而判斷函數零點個數.4、利用導數研究零點問題：（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.可以通過構造函數的方法，把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；（3）利用導數研究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數形結合思想研究；③構造輔助函數研究.題型一：零點問題之一個零點例1．（2023·江蘇南京·南京市第十三中學校考模擬預測）已知函數,.（1）求函數的單調遞減區間；（2）設，.①求證：函數存在零點；②設，若函數的一個零點為.問：是否存在，使得當時，函數有且僅有一個零點，且總有恒成立？如果存在，試確定的個數；如果不存在，請說明理由.例2．（2023·廣東·高三校聯考階段練習）已知函數，，在上有且僅有一個零點.(1)求的取值范圍；(2)證明：若，則在上有且僅有一個零點，且.例3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)證明：當時，有且只有一個零點；(3)若在區間各恰有一個零點，求的取值范圍.變式1．（2023·廣東茂名·高三統考階段練習）已知，函數，.(1)證明：函數，都恰有一個零點；(2)設函數的零點為，的零點為，證明.題型二：零點問題之二個零點例4．（2023·海南海口·統考模擬預測）已知函數.(1)求的最小值；(2)設.（ⅰ）證明：存在兩個零點，；（ⅱ）證明：的兩個零點，滿足.例5．（2023·甘肅天水·高三天水市第一中學校考階段練習）已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當時，，證明：函數有且僅有兩個零點，兩個零點互為倒數．例6．（2023·四川遂寧·高三射洪中學校考期中）已知函數．（1）若函數在處取得極值，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數的單調性；（3）當時，，證明：函數有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數．變式2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.（1）若.證明函數有且僅有兩個零點；（2）若函數存在兩個零點，證明：.變式3．（2023·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知函數在其定義域內有兩個不同的零點．（1）求的取值范圍；（2）記兩個零點為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．變式4．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數，，．(1)若，求證：（ⅰ）在的單調減區間上也單調遞減；（ⅱ）在上恰有兩個零點；(2)若，記的兩個零點為，求證：．題型三：零點問題之三個零點例7．（2023·山東·山東省實驗中學校聯考模擬預測）已知函數有三個零點.(1)求的取值范圍；(2)設函數的三個零點由小到大依次是.證明：.例8．（2023·廣東深圳·校考二模）已知函數.(1)當時，求的單調區間；(2)①當時，試證明函數恰有三個零點；②記①中的三個零點分別為，，，且，試證明.例9．（2023·廣西柳州·統考三模）已知．（1）若函數有三個不同的零點，求實數a的取值范圍；（2）在（1）的前提下，設三個零點分別為且，當時，求實數a的取值范圍．變式5．（2023·貴州遵義·遵義市南白中學校考模擬預測）已知函數（，）.（1）若，且在內有且只有一個零點，求的值；（2）若，且有三個不同零點，問是否存在實數使得這三個零點成等差數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.變式6．（2023·浙江·校聯考二模）設，已知函數有個不同零點.(1)當時，求函數的最小值：(2)求實數的取值范圍；(3)設函數的三個零點分別為、、，且，證明：存在唯一的實數，使得、、成等差數列.變式7．（2023·山東臨沂·高三統考期中）已知函數和有相同的最大值.(1)求，并說明函數在（1，e）上有且僅有一個零點；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.題型四：零點問題之max，min問題例10．（2023·湖北黃岡·黃岡中學校考三模）已知函數．(1)當時，求函數在上的極值；(2)用表示中的最大值，記函數，討論函數在上的零點個數．例11．（2023·四川南充·統考三模）已知函數，．(1)當時，求函數在上的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數，討論函數在上的零點個數．例12．（2023·四川南充·統考三模）已知函數，其中為自然對數的底數.(1)當時，求函數的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數，當時，討論函數在上的零點個數.變式8．（2023·廣東·高三專題練習）已知函數，，.(1)若函數存在極值點，且，其中，求證：；(2)用表示m，n中的最小值，記函數，，若函數有且僅有三個不同的零點，求實數a的取值范圍.變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．(1)若直線與曲線相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，討論函數的零點個數．變式10．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校考期末）已知函數.(1)若過點可作的兩條切線，求的值.(2)用表示中的最小值，設函數，討論零點的個數.題型五：零點問題之同構法例13．已知函數，若函數在區間內存在零點，求實數的取值范圍例14．已知．（1）若函數在上有1個零點，求實數的取值范圍．（2）若關于的方程有兩個不同的實數解，求的取值范圍．例15．已知函數．（1）若，求函數的極值；（2）若函數有且僅有兩個零點，求的取值范圍．題型六：零點問題之零點差問題例16．已知關于的函數，與，在區間上恒有．（1）若，，，求的表達式；（2）若，，，，求的取值范圍；（3）若，，，，，，求證：．例17．已知函數．（1）如，求的單調區間；（2）若在，單調增加，在，單調減少，證明：．例18．已知函數，．（1）當時，求函數的單調區間；（2）當，時，函數有兩個極值點，，證明：．題型七：零點問題之三角函數例19．（2023·山東·山東省實驗中學校考一模）已知函數．(1)若對時，，求正實數a的最大值；(2)證明：；(3)若函數的最小值為m，試判斷方程實數根的個數，并說明理由．例20．（2023·全國·高三專題練習）設函數.(1)證明：當時，；(2)記，若有且僅有2個零點，求的值.例21．（2023·廣東深圳·紅嶺中學校考模擬預測）已知，且0為的一個極值點．(1)求實數的值；(2)證明：①函數在區間上存在唯一零點；②，其中且．變式11．（2023·山東濟南·濟南市歷城第二中學校考二模）已知，（n為正整數，）．(1)當時，設函數，，證明：有且僅有1個零點；(2)當時，證明：．題型八：零點問題之取點技巧例22．已知函數為自然對數的底數，且．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．例23．已知函數．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．例24．已知函數．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．變式12．已知函數．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．

重難點突破09函數零點問題的綜合應用目錄1、函數零點問題的常見題型：判斷函數是否存在零點或者求零點的個數；根據含參函數零點情況，求參數的值或取值范圍.求解步驟：第一步：將問題轉化為函數的零點問題，進而轉化為函數的圖像與軸(或直線)在某區間上的交點問題；第二步：利用導數研究該函數在此區間上的單調性、極值、端點值等性質，進而畫出其圖像；第三步：結合圖像判斷零點或根據零點分析參數.2、函數零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．3、求函數的零點個數時，常用的方法有：一、直接根據零點存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數圖象的交點確定函數的零點個數；三、結合導數，求函數的單調性，從而判斷函數零點個數.4、利用導數研究零點問題：（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.可以通過構造函數的方法，把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；（3）利用導數研究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數形結合思想研究；③構造輔助函數研究.題型一：零點問題之一個零點例1．（2023·江蘇南京·南京市第十三中學校考模擬預測）已知函數,.（1）求函數的單調遞減區間；（2）設，.①求證：函數存在零點；②設，若函數的一個零點為.問：是否存在，使得當時，函數有且僅有一個零點，且總有恒成立？如果存在，試確定的個數；如果不存在，請說明理由.【解析】（1）由題可知，定義域為.則，令，解得（舍）或，故可得在單調遞減.（2），①由題可知.令，則其.⒈當時，，故在上單調遞減.又因為，故在區間上一定有一個零點；⒉當時，，令，解得，令，故可得，故在區間上單調遞增；令，故可得或，故在，單調遞減.又，故可得，又因為，故在區間上一定有一個零點.⒊當時，，令，解得，顯然存在零點.⒋當時，令，解得，故可得在區間單調遞增；在單調遞減.又因為，，故在區間上一定存在一個零點.綜上所述，對任意的，一定存在零點.②由①可知，當時，在上單調遞減.且只在區間上存在一個零點，顯然不滿足題意.當時，在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減.且且在區間上一定有一個零點，不妨設零點為，則，故要存在，使得當時，函數有且僅有一個零點，且總有恒成立，只需，即，（ⅰ）整理得，.則上述方程在區間上根的個數，即為滿足題意的的個數.不妨令,則，故方程（ⅰ）等價于.不妨令，故可得在區間上恒成立.故在區間上單調遞增.又因為，故可得函數在區間上只有一個零點.則方程（ⅰ）存在唯一的一個根.即當時，有且僅有一個，使得當時，函數有且僅有一個零點，且總有恒成立.例2．（2023·廣東·高三校聯考階段練習）已知函數，，在上有且僅有一個零點.(1)求的取值范圍；(2)證明：若，則在上有且僅有一個零點，且.【解析】（1），設，，①當時，若，則，在上無零點，不符合題意；②當時，若，則，∴在上單調遞增，∴，∴在上無零點，不符合題意；③當時，若，則，∴在上單調遞增，∵，，∴存在唯一，使得.當時，；當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，∵，，故在上有且僅有一個零點，符合題意；綜上，的取值范圍為.（2）記，，由（1）知：若，當時，，，當時，，，故在上單調遞減，在上單調遞增，又，，故存在唯一，使得，且.注意到，可知在上有且僅有一個零點，且，即.例3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)證明：當時，有且只有一個零點；(3)若在區間各恰有一個零點，求的取值范圍.【解析】（1）由題意，，，故，又，故曲線在點處的切線方程為，即（2）由題意，因為，故當時，，當時，，當時，，故當時，有且只有一個零點（3）由（2）可得，，故設，則①若，則，在上為減函數，故，故在上為減函數，不滿足題意；②若，i）當時，，單調遞減，且，，故存在使得，故在上單調遞增，在上單調遞減.又，，且，設，易得，故在單調遞增，故，故，故.故在上有一個零點，綜上有在區間上有一個零點ii）當時，，設，則，故為減函數，因為，，故存在使得成立，故在單調遞增，在單調遞減.又，，故存在使得成立，故在上，單調遞減，在上，單調遞增.又，故，且，，故，故存在使得，綜上有在區間上有一個零點.綜上所述，當時，在區間各恰有一個零點變式1．（2023·廣東茂名·高三統考階段練習）已知，函數，.(1)證明：函數，都恰有一個零點；(2)設函數的零點為，的零點為，證明.【解析】（1）函數的定義域為，，時，，時，，在上單調遞減，在上單調遞減增，時，，，，函數恰有一個零點.函數的定義域為，，時，，時，，在上單調遞減，在上單調遞增，時，，，令（表示中最大的數），，函數恰有一個零點；（2）由（1）得函數的零點為，且，的零點為，且，則有，，，，，在上單調遞增，由（1）可得，，，，，，，.原式得證.題型二：零點問題之二個零點例4．（2023·海南海口·統考模擬預測）已知函數.(1)求的最小值；(2)設.（ⅰ）證明：存在兩個零點，；（ⅱ）證明：的兩個零點，滿足.【解析】（1），所以當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為．（2）（ⅰ）證明：，，，因為，所以，所以當時，，時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則函數有最小值．由，，下面證明，在上，對，只要足夠小，必存在，使得：實際上，當時，，令，得，所以對，取，必有，即，所以在區間上，存在唯一的，，又，所以在區間上，存在唯一的，，綜上，存在兩個零點．（ⅱ）要證，需證，由，所以，因為在上單調遞減，因此需證：，，，所以，，設，，則，所以在上單調遞減，，即，結論得證，所以．例5．（2023·甘肅天水·高三天水市第一中學校考階段練習）已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當時，，證明：函數有且僅有兩個零點，兩個零點互為倒數．【解析】（1）的定義域為且，若，則當時，，故在上單調遞增；若，則當，當，故在上單調遞增，在上單調遞減.（2），所以，，因為在上遞增，在遞減，所以在上遞增，又，故存在唯一使得，所以在上遞減，在上遞增，又，所以在內存在唯一根，由得，又，故是在上的唯一零點．綜上，函數有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數.例6．（2023·四川遂寧·高三射洪中學校考期中）已知函數．（1）若函數在處取得極值，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數的單調性；（3）當時，，證明：函數有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數．【解析】（1）求導：，由已知有，即，所以，則，所以切點為，切線斜率，故切線方程為：.（2）的定義域為且，若，則當時，，故在上單調遞增；若，則當，當，故在上單調遞增，在上單調遞減.（3），所以，，因為在上遞增，在遞減，所以在上遞增，又，故存在唯一使得，所以在上遞減，在上遞增，又，所以在內存在唯一根，

由得，又，故是在上的唯一零點．綜上，函數有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數.變式2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.（1）若.證明函數有且僅有兩個零點；（2）若函數存在兩個零點，證明：.【解析】（1）由題可知，定義域當時，函數，則，（為的導函數）單調遞增，使.時，單調遞減；時，單調遞增所以由雙勾函數性質可知，在遞減，，，且，在上有且只有一個零點又，且所以在上有且只有一個零點綜上，函數有且僅有兩個零點

（2）由是函數的兩個零點，知要證需證令需證令與（1）同理得所以故變式3．（2023·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知函數在其定義域內有兩個不同的零點．（1）求的取值范圍；（2）記兩個零點為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）依題意，函數在定義域上有兩個不同的零點，即方程在）上有兩個不同的解，也即在上有兩個不同的解．令，則．當時，，所以在上單調逆增，當時，，所以在上單調遞減，所以．又，時，當時，，且，若函數與函數的圖象在上有兩個不同的交點，則．（2）因為為方程的兩根，所以，．不等式，變形可得，代入可得．因為，，所以原不等式等價于．又由，，作差得，所以．所以原不等式等價于恒成立．令，則，不等式等價于在上恒成立．令，則．①當時，，所以在上單調遞，因此，滿足條件；②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以在上不能恒小于零．綜上，．變式4．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數，，．(1)若，求證：（ⅰ）在的單調減區間上也單調遞減；（ⅱ）在上恰有兩個零點；(2)若，記的兩個零點為，求證：．【解析】(1)證明：(1)(ⅰ)因為，由令得的遞減區間為當時，，所以在的遞減區間上也遞減．(ⅱ)因為，由得，令，則.因為，且，所以必有兩個異號的零點，記正零點為，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，若在上恰有兩個零點，則由，得，所以，又對稱軸，所以所以.又，所以在上有且僅有一個零點．又令，解得.所以取，當時，所以在上有且僅有一個零點．故時，在上恰有兩個零點．(2)由（ⅱ）知，對在上恰有兩個零點，不妨設，因為，所以因為，所以所以題型三：零點問題之三個零點例7．（2023·山東·山東省實驗中學校聯考模擬預測）已知函數有三個零點.(1)求的取值范圍；(2)設函數的三個零點由小到大依次是.證明：.【解析】（1）因為定義域為，又，（ⅰ）當單調遞減；（ⅱ）當，記，則，當；當，所以在單調遞增，在上單調遞減，，又，所以，①當，則單調遞減，至多一個零點，與題設矛盾；②當，由（ⅱ）知，有兩個零點，記兩零點為，且，則在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，因為，令，則，所以，所以，且趨近0，趨近于正無窮大，趨近正無窮大，趨近負無窮大，所以函數有三零點，綜上所述，；（2）等價于，即，令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，由（1）可得，則，所以，所以，則滿足，，要證，等價于證，易知，令，則，令得，令得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，下面證明，由，即證，即證，即證，即證，令，，令，則，所以，所以，則，所以，所以，所以，所以，所以原命題得證.例8．（2023·廣東深圳·校考二模）已知函數.(1)當時，求的單調區間；(2)①當時，試證明函數恰有三個零點；②記①中的三個零點分別為，，，且，試證明.【解析】（1）當時，定義域為，所以，所以在定義域上單調遞減，其單調遞減區間為，無單調遞增區間．（2）①由定義域為，所以，令，因為，，設方程的兩根分別為，，且，則，，所以有兩個零點，，且，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以在處取得極小值，在處取得極大值，又，故，則，又因為，，且，故有，由零點存在性定理可知，在恰有一個零點，在也恰有一個零點，易知是的零點，所以恰有三個零點；②由①知，，則，因為，所以，所以要證，即證，即證，即證，即證，即證．令，則，當時，，所以在上單調遞減，所以，故式成立，所以．例9．（2023·廣西柳州·統考三模）已知．（1）若函數有三個不同的零點，求實數a的取值范圍；（2）在（1）的前提下，設三個零點分別為且，當時，求實數a的取值范圍．【解析】（1）當時，．令．當時，的零點與函數的零點相同．

當時，，所以只有一個零點，不合題意．

因此．又因為函數有三個不同的零點，所以有兩個均不等于1的不同零點．令，解得（舍去負值）．所以當時，，是減函數；當時，，是增函數．

因為，所以當，即時，有兩個不同零點．又因為時，，所以函數有三個不同的零點，實數a的取值范圍是

（2）因為，，所以．所以．所以．所以是的兩個根．

又因為，所以有一個小于0的根，不妨設為．根據有三個根，可知，

所以，即．因為，所以．所以，即．顯然，所以a的取值范圍是．變式5．（2023·貴州遵義·遵義市南白中學校考模擬預測）已知函數（，）.（1）若，且在內有且只有一個零點，求的值；（2）若，且有三個不同零點，問是否存在實數使得這三個零點成等差數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）若，則，.若，則函數在上單調遞增,則，故在無零點；若，令，得，.在上，，單調遞減，在上，，單調遞增.又在內有且只有一個零點，則，得，得,得.（2）因為，則，若有三個不同零點，且成等差數列，可設,故，則，故，，.此時，，，故存在三個不同的零點，故符合題意的的值為.變式6．（2023·浙江·校聯考二模）設，已知函數有個不同零點.(1)當時，求函數的最小值：(2)求實數的取值范圍；(3)設函數的三個零點分別為、、，且，證明：存在唯一的實數，使得、、成等差數列.【解析】（1）當時，，則，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，所以，.（2）因為，則，①當時，恒成立，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，此時函數至多兩個零點，不合乎題意；②當時，由可得或，列表如下：增極大值減極小值增由題意可知，有個不同的零點，則，又因為，令，記，則，其中，則，當時，，此時函數單調遞增；當時，，此時函數單調遞減.所以，，即，當且僅當時，等號成立，，故不等式組的解集為.因為，，故當時，函數有個不同的零點，綜上所述，實數的取值范圍是.（3）因為，，結合（2）中的結論可知，①當時，若存在符合題意的實數，則由于，因此，，，因此，、、成等差數列可得出，考慮，即，這等價于，令，所以，，令，則，當時，，則函數單調遞增，所以，，故函數單調遞增，因為，，所以，在上存在唯一零點，記為，當時，，即函數在上單調遞減，當時，，即函數在上單調遞增，由于，，，因此，在上無零點，在上存在唯一的零點，所以，存在唯一的實數，使得、、成等差數列;②當時，，不合乎題意.綜上所述，存在唯一的實數使得、、成等差數列.變式7．（2023·山東臨沂·高三統考期中）已知函數和有相同的最大值.(1)求，并說明函數在（1，e）上有且僅有一個零點；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.【解析】（1），令可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，∴時，取得最大值.即.，當時，時，，單調遞增；時，，單調遞減，∴.當時，，不合題意；當時，可知，不合題意.故，即.∴.∵，當時，，，∴，∴在上單調遞增，又，，∴在上有且僅有一個零點.（2）由（1）知，，的圖象大致如下圖：直線與曲線，三個交點的橫坐標從左至右依次為，，，且，∴且由即，，，∴即.①由即，∴.②由①，②，，又，即，∴.題型四：零點問題之max，min問題例10．（2023·湖北黃岡·黃岡中學校考三模）已知函數．(1)當時，求函數在上的極值；(2)用表示中的最大值，記函數，討論函數在上的零點個數．【解析】（1）當時，，由，得或，則和隨的變化如下表所示：0+0-0+0-極大極小極大∴在上有2個極大值：在上有1個極小值．（2）由，知．（ⅰ）當時，，∴，故在上無零點．（ⅱ）當時，．故當時，即時，是的零點；當時，即時，不是的零點．（ⅲ）當時，．故在的零點就是在的零點，．①當時，，故時，在是減函數，結合，可知，在有一個零點，故在上有1個零點．②當時，，故時，在是增函數，結合可知，在無零點，故在上無零點．③當時，，使得時，在是增函數；時，在是減函數；由知，．當，即時，在上無零點，故在上無零點．當，即時，在上有1個零點，故在上有1個零點．綜上所述，時，有2個零點；時，有1個零點；時，無零點例11．（2023·四川南充·統考三模）已知函數，．(1)當時，求函數在上的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數，討論函數在上的零點個數．【解析】（1）當時，，，由，得或，則和隨的變化如下表所示：0000極大極小極大在上有2個極大值：，

在上有1個極小值：.（2）由，知.（i）當時，，，故在上無零點．

（ii）當時，，．故當時，即時，，是的零點；當時，即時，，不是的零點.（iii）當時，．故在的零點就是在的零點，，．①當時，，故時，，在是減函數，結合，可知，在有一個零點，故在上有1個零點.②當時，，故時，，在是增函數，結合可知，在無零點，故在上無零點．③當時，，使得時，，在是增函數；時，，在是減函數；由知，．當，即時，在上無零點，故在上無零點．當，即時，在上有1個零點，故在上有1個零點.綜上所述，時，有2個零點；時，有1個零點；時，無零點.例12．（2023·四川南充·統考三模）已知函數，其中為自然對數的底數.(1)當時，求函數的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數，當時，討論函數在上的零點個數.【解析】（1）當時，，，由得：或；由得：列表：01+00+極大值極小值∴；；（2）由知：（i）當時，，故在上無零點.（ii）當時，，知：當時，，，是的零點；當時，，，不是的零點；（iii）當時，，故在的零點就是在的零點.由得：，設，則，在上單調遞增，又∵，，∴當時，即在上無零點；當時，即在上有1個零點；當時，即在上無零點；綜上所述：時，有2個零點；或時，有1個零點；時，無零點.變式8．（2023·廣東·高三專題練習）已知函數，，.(1)若函數存在極值點，且，其中，求證：；(2)用表示m，n中的最小值，記函數，，若函數有且僅有三個不同的零點，求實數a的取值范圍.【解析】（1）由題意，，，當時，恒成立，沒有極值.當時，令，即，解之得，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.∴時，有極大值為，時，有極小值為，當時，要證，即證，代入計算有，，，則有符合題意，即得證；當時，要證，即證，代入計算有，，，則有符合題意，即得證.綜上，當為極大值點和極小值點時，均成立.（2）①當時，，∴，故函數在時無零點；②當時，，，若，則，，故是函數的一個零點；若，則，∴，故時函數無零點.③當時，，因此只需要考慮，由題意，，，㈠當時，恒成立，∴在上單調遞增，，∴在恒成立，即在內無零點，也即在內無零點；㈡當時，，恒成立，∴在上單調遞減，即在內有1個零點，也即在內有1個零點；㈢時，函數在上單調遞減，∴，若，即時，在內無零點，也即在內無零點；若，即時，在內有唯一的一個零點，也即在內有唯一的零點；若，即時，由，，∴時，在內有兩個零點.綜上所述，當時，函數有3個零點.變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．(1)若直線與曲線相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，討論函數的零點個數．【解析】（1）設切點為，∵，∴∴（*）消去a整理，得，∴∴（2）①當時，，，∴在上無零點②當時，，．若，，此時，是的一個零點，若，，此時，不是的零點③當時，，此時的零點即為的零點．令，得，令，則，當時，；當時，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，（i）若，即時，在上無零點，即在上無零點（ii）若，即時，在上有一個零點，即在上有一個零點（iii）若，即時，在上有兩個零點，即在上有兩個零點（iv）若，即時，在上有一個零點，即在上有一個零點綜上所述，當或時，在上有唯一零點；當或時，在上有兩個零點；當時，在上有三個零點變式10．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校考期末）已知函數.(1)若過點可作的兩條切線，求的值.(2)用表示中的最小值，設函數，討論零點的個數.【解析】(1)設切點為則切線方程為在直線上，則，令，則，令，解得，所以或要想讓切線有兩條，只需滿足或(2)當時，，單調遞減，在取得最大值，，所以只需考慮在的零點個數.（i）若或，則當時，在無零點.當時，在單調遞減，而在有一個零點；（ii）若，則在單調遞減，在單調遞增，故當時，取得最小值，最小值為①若，即在無零點.②若，即，則在有唯一零點；③若，即，由于所以當時，在有兩個零點；當時，在有一個零點綜上，當有0個零點；當或時，有一個零點；當時，有兩個零點.題型五：零點問題之同構法例13．已知函數，若函數在區間內存在零點，求實數的取值范圍【解析】解：方法一：由可得，設，，，則，令，在單調遞減，在單調遞增，故（1）．①當時，令，當時，單調遞減，當時，單調遞增，（1），此時在區間內無零點；②當時，（1），此時在區間內有零點；③當時，令，解得或1或，且，此時在單減，，單增，單減，，單增，當或時，，此時在區間內有兩個零點；綜合①②③知在區間內有零點．方法二：由題意可得，即，因為當時等號成立，所以，即，，令，，易知在單減，在上單增，所以（1），又趨近于0和正無窮時，趨近于正無窮，所以．例14．已知．（1）若函數在上有1個零點，求實數的取值范圍．（2）若關于的方程有兩個不同的實數解，求的取值范圍．【解析】解：（1），，，所以，當時，，所以在，單調遞增，又因為，所以在，上無零點；當時，，使得，所以在，單調遞減，在單調遞增，又因為，，所以若，即時，在，上無零點，若，即時，在，上有一個零點，當時，，在，上單調遞減，在，上無零點，綜上當時，在，上有一個零點；（2）由，即，即，則有，令，，則，，所以函數在上遞增，所以，則有，即，，因為關于的方程有兩個不同的實數解，則方程，有兩個不同的實數解，令，則，當時，，當時，，所以函數在上遞減，在上遞增，所以（1），當時，，當時，，所以．例15．已知函數．（1）若，求函數的極值；（2）若函數有且僅有兩個零點，求的取值范圍．【解析】（1）當時，，，，顯然在單調遞增，且，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．在處取得極小值，無極大值．（2）函數有兩個零點，即有兩個解，即有兩個解，設，則，單調遞增，有兩個解，即有兩個解．令，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．，，當時，．題型六：零點問題之零點差問題例16．已知關于的函數，與，在區間上恒有．（1）若，，，求的表達式；（2）若，，，，求的取值范圍；（3）若，，，，，，求證：．【解析】解：（1）由得，又，，所以，所以，函數的圖象為過原點，斜率為2的直線，所以，經檢驗：，符合任意，（2），設，設，在上，，單調遞增，在上，，單調遞減，所以（1），所以當時，，令所以，得，當時，即時，在上單調遞增，所以，，所以，當時，即時，△，即，解得，綜上，，．（3）①當時，由，得，整理得，令△，則△，記，則，恒成立，所以在，上是減函數，則（1），即，所以不等式有解，設解為，因此．②當時，，設，則，令，得，當時，，是減函數，當，時，，是增函數，，（1），則當時，，則，因此，因為，，，所以，③當時，因為，為偶函數，因此也成立，綜上所述，．例17．已知函數．（1）如，求的單調區間；（2）若在，單調增加，在，單調減少，證明：．【解析】解：（Ⅰ）當時，，故當或時，；當或時，．從而在，單調增加，在，單調減少；（Ⅱ）．由條件得：（2），即，故，從而．因為，所以．將右邊展開，與左邊比較系數得，，．故．，又，即．由此可得．于是．例18．已知函數，．（1）當時，求函數的單調區間；（2）當，時，函數有兩個極值點，，證明：．【解析】（1）解：當時，，，，令，可得，令，可得，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（2）證明：函數的定義域為，，令，因為函數有兩個極值點，，所以，是函數的兩個零點，，，令，可得，令，可得，所以在上單調遞減，在，上單調遞增，所以，，由，可得，因為，所以，所以要證，即證，只需證（2），因為，所以（2），所以，得證．題型七：零點問題之三角函數例19．（2023·山東·山東省實驗中學校考一模）已知函數．(1)若對時，，求正實數a的最大值；(2)證明：；(3)若函數的最小值為m，試判斷方程實數根的個數，并說明理由．【解析】（1）由題知，令，所以，又因為時，，a為正實數，故在區間恒成立，所以函數在區間上單調遞增，且．①當時，在區間上恒成立，函數在上單調遞減，此時，符合題意．②當時，，，由零點存在定理，時，有，即函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以當時，有，此時不符合，綜上所述，正實數a的最大值為1．（2）由（1）知，當，時，，令時，有，即，所以，，，，累加得，即，所以（3）因為，所以，令，則在區間上恒成立，所以函數在區間上單調遞增，又，，由零點存在定理，時，有，即，因此，而函數在上遞減，在上遞增，所以，又因為，令，則，所以在區間上恒成立，即在區間上單調遞減，所以，即．設，則，令，則在區間上恒成立所以函數在區間上單調遞增，又，，由零點存在定理，時，，即，因此，又，設，則在區間上恒成立，所以函數在上遞增，于是且，而函數在上遞減，在上遞增，∴，即函數有唯一零點，故方程有唯一的實數解．例20．（2023·全國·高三專題練習）設函數.(1)證明：當時，；(2)記，若有且僅有2個零點，求的值.【解析】（1）當時，有，單調遞增，又，則可知，使得，所以在單調遞減，在單調遞增，又，則可知；（2）依題意，函數的定義域是，當時，，即，而，時，，時，，有兩個零點，符合題意；①當時，若，有，且，有，又，由（1）可知又，則所以在有1個零點：若，有，若，有，可知在有1個零點，符合題意：若，有在單調遞增，，（i）若，則當，有，（ii）若，又，則可知，使得；由（i）、（ii），則可知有在單調遞減，所以，又有，所以在至少有1個零點，則可知在至少有2個零點，不符合題意；若，有在單調遞增，又，則可知，使得，所以在單調遞增，則有，又有，所以在至少有1個零點，則可知在至少有2個零點，不符合題意；②當時，由，記，由①可知，有且僅有滿足題意，即時，滿足題意.綜上可知，實數a的值為，0，1.例21．（2023·廣東深圳·紅嶺中學校考模擬預測）已知，且0為的一個極值點．(1)求實數的值；(2)證明：①函數在區間上存在唯一零點；②，其中且．【解析】（1）由，則，因為0為的一個極值點，所以，所以．當時，，當時，因為函數在上單調遞減，所以，即在上單調遞減；當時，，則，因為函數在上單調遞減，且，，由零點存在定理，存在，使得，且當時，，即單調遞增，又因為，所以，，在上單調遞增；.綜上所述，在上單調遞減，在上單調遞增，所以0為的一個極值點，故.（2）①當時，，所以單調遞減，所以對，有，此時函數無零點；當時，設，則，因為函數在上單調遞減，且，，由零點存在定理，存在，使得，且當時，，即單調遞增，當時，，即單調遞減．又因為，所以，，在上單調遞增；因為，，所以存在，當時，，單調遞增