函數(shù)性質(zhì)

目錄

【高考預(yù)測】概率預(yù)測+題型預(yù)測+考向預(yù)測

【應(yīng)試總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)：對稱中心平移和對稱軸平移后求值問題

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略

【題型一】中心對稱性質(zhì)1：幾個(gè)復(fù)雜的奇函數(shù)

【題型二】中心對稱性質(zhì)2：與三角函數(shù)結(jié)合的中心對稱

【題型三】軸對稱

【題型四】中心對稱和軸對稱構(gòu)造出周期性

【題型五】畫圖：類周期函數(shù)

【題型六】恒成立和存在型問題

【題型七】嵌套函數(shù)

高考預(yù)測

概率預(yù)測☆☆☆☆☆

題型預(yù)測選擇題、填空題☆☆☆☆☆

考向預(yù)測函數(shù)圖像的畫法與零點(diǎn)問題

應(yīng)試

函數(shù)知識無處不在，它可以和任何知識結(jié)合起來考察，尤其是由數(shù)學(xué)語言來判斷函數(shù)的周期或者對稱

軸以及對稱中心，再解決相應(yīng)的問題，所以熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)是基礎(chǔ)，而高考考察的即為延申的代

數(shù)問題，包括抽象函數(shù)的理解和圖像的變化。對于高三的學(xué)生，需要把常見的結(jié)論以及數(shù)學(xué)語言的理解熟

練于心，才能保證做題的速度與準(zhǔn)確度。

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯(cuò)點(diǎn)：對稱中心平移和對稱軸平移后求值問題

若f(x)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和，當(dāng)h(x)=m時(shí)，則f(x)關(guān)于

點(diǎn)(0,m)中心對稱，即可以理解為將奇函數(shù)g(x)向上平移了m個(gè)單位，即f(x)+f(-x)=2f(0)=2m；

當(dāng)h(x)wm時(shí),則有f(x)+f(-x)=2h(x).

推論若f(x)=g(x)+m,則f(x)max+f(x)min=2f(0)=2m.

例(1)已知f(x)=ax+@—2,則f(ln3)+f(In-)=~4.

x3

(2)已知f(x)=ax+P-csinx+3,則f(ln3)+f(In—)=6.

x3

(3)已知函數(shù)f(x)=ln(Vl+x2-x)+2，則f(lg5)+f(lg1)=4.

(4)已知函數(shù)f(x)=ln(71+9X2-3X)+1，則f(lg2)+f(lg|)=2.

注意辨別奇函數(shù)g(x)和常數(shù)項(xiàng)m后直接用f(x)+f(-x)=2f(0)=2m來破解.

變式1：(2024.浙江紹興.二模)己知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間［-1,0］上單調(diào)遞增,且滿足/(4-力=/⑺,

/(2-x)=-/(%),貝IJ()

10

A.㈤=0B./(0.9)+/(1.2)<0

k=\

c./(2.5)>/(log280)D.〃sinl)</「nj

變式2：(2024?廣西?二模)已知定義在R上的函數(shù)滿足/(2+x)2-x)=4x.若“2彳-3)的圖象關(guān)

于點(diǎn)(2,1)對稱，且"0)=0,則()

A.〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(U)對稱

B.函數(shù)g(x)=〃x)-2x的圖象關(guān)于直線尤=2對稱

C.函數(shù)g(x)=/(x)-2x的周期為2

D./(1)+/(2)++"50)=2499

<搶分通關(guān)

【題型一】中心對稱性質(zhì)1：幾個(gè)復(fù)雜的奇函數(shù)

中心對稱的數(shù)學(xué)語言：

若"X)滿足“a+x)+/伊-x)=2c,則/⑺關(guān)于］貨,1中心對稱

特殊的奇函數(shù)：(考試難點(diǎn))：

,“wr—uu/Mi代人1m-nx-m+nx.,1-x,1-kx,x-1

1、對數(shù)與反比例復(fù)合：y=log-----,y=log-----,如：loga；—,log―—,log--

am+tvcam-nx1+xa1+kxax+1

2、指數(shù)與反比例復(fù)合：y=-^^-,y=-^4，y=^—y=p?

a-1a+11+a1-a

22

3、對數(shù)與無理式復(fù)合：y=loga(V(kx)+l±kx),如：y=loga(V(x)+l+x)

三次函數(shù)的對稱中心的橫坐標(biāo)即為二次求導(dǎo)的零點(diǎn)。

典例精講

【例1】(2024?陜西西安.三模)已知函數(shù)“xbig+lNTTI-q,^/(fl-l)+/(2a2)>2,則°的取

值范圍為.

【例2】(多選)(2024?重慶?模擬預(yù)測)函數(shù)〃X)=2：21g")=ln(jl+9f_3@,那么()

A./(x)+g(x)是偶函數(shù)B.〃辦g(x)是奇函數(shù)

g")

C.是奇函數(shù)D.g(7(x))是奇函數(shù)

“X)

【例3】(多選)(2024?湖南婁底?一模)已知函數(shù)〃x)的定義域和值域均為{xU#0,xeR},對于任意非

零實(shí)數(shù)尤,％尤+y30,函數(shù)滿足：/(x+y)(/(x)+/(y))=/(%)/(>>),且〃x)在(一雙0)上單調(diào)遞減,

/(1)=1,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

2023

B.=22023-2

Z=1

c./(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減D.y(x)為奇函數(shù)

名校模擬

【變式1］(2024.江西上饒.二模)定義在R上的奇函數(shù)〃x)滿足/(2-x)=f(x),且在［0,1］上單調(diào)遞減,

若方程〃x)=l在(T0］上有實(shí)數(shù)根，則方程/(力=-1在區(qū)間［3,11］上所有實(shí)根之和是()

A.28B.16C.20D.12

【變式2］(2024?全國?模擬預(yù)測)函數(shù)〃x)=的部分圖象為()

2+

【變式3](2024.上海徐匯.二模)已知函數(shù)y=/(x),其中/(x)=bgi三.

⑴求證：y=/(x)是奇函數(shù)；

(2)若關(guān)于x的方程/⑶=log1(尤+人)在區(qū)間[3,4]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

2

【題型二】中心對稱性質(zhì)2：與三角函數(shù)結(jié)合的中心對稱

1.三角函數(shù)的對稱中心(對稱軸)有無數(shù)個(gè)，適當(dāng)結(jié)合條件確定合適。

2.要注意一個(gè)隱含性質(zhì)：一次函數(shù)是直線，它上邊任何一個(gè)點(diǎn)都可以作為對稱中心。一般情況下，選擇它與

坐標(biāo)軸交點(diǎn)，或則別的合適的點(diǎn)

?—I

典例精講

【例1】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=e2i-ef+singx-[+1,則不等式

/(2x+l)+/(2-x"2的解集為()

A.(—8,2]B.[2,+cc)C.[—2,2]D.[―2,+co)

【例2】(2024.湖南.模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃力滿足〃尤+8)=/(%),/(%)+/(8-x)=0,當(dāng)年?0,4)時(shí),

/(x)=ln[l+si吟X)則函數(shù)萬(x)=〃3x)-“X)在(0,8)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

?—?

名校模擬

【變式1](多選)(2024.江蘇.一模)已知函數(shù)〃x)=K，則()

2-cos2x

A.〃x)的最小正周期為兀B.〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(私0)對稱

C.不等式/(x)>x無解D.的最大值為孝

【變式2](2024.河南.一模)已知函數(shù)〃尤)及其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的定義域均為R,記g(x)=/'(x).且

2024

/(l-3x)+/(3x-l)=0,g(l+x)+g(l-x)=0,當(dāng)/(x)=sin^x,貝|士|/。)|=_____.(用數(shù)字作

2z=i

答)

【題型三】軸對稱

數(shù)學(xué)語言：

1.函數(shù)f（x）對于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)X滿足〃a+x）=/W-x）,則函數(shù)/⑺關(guān)于直線無=答對稱，特別

地當(dāng)〃x）=/（2a-x）時(shí)，函數(shù)/（X）關(guān)于直線無=。對稱;

2.如果函數(shù)y=/（x）滿足f（a+x）=f（a-x）,則函數(shù)y=/（*）的圖象關(guān)于直線”=。對稱.

3.y=于（a—%）與y=（%-。）關(guān)于直線x=對稱。

常見的偶函數(shù)：

偶函數(shù):①函數(shù)/。）=±（/+。-'）.

②函數(shù)/（x）=log/aH+l）_登.

③函數(shù)/（⑼類型的一切函數(shù).

典例精講

【例1】（多選）（23-24高三下.山東荷澤?階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且

/（x+y）-/（x-y）=產(chǎn)⑺―產(chǎn)（力/（1）=2,〃X+1）為偶函數(shù)，貝?（）

A./（3）=2B./（X）為奇函數(shù)

2024

C./（2）=0D.Z/（幻=°

k=l

【例2】（2024?寧夏銀川?二模）定義域?yàn)镽的函數(shù),⑴滿足/（x+2）為偶函數(shù)，且當(dāng)不<馬<2時(shí)，

"（三）-/（占）］（三-%）>0恒成立，若a=/（l）,b=f（lnl0）,c=y（3j）,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【例3】（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)〃x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且/（2x+l）為奇函數(shù).若/1）=g,，￡|=T

皿/2023、/2023、，、

A.-B.—cD

66-4-i

?—?

名校模擬

【變式1］（2024?全國.模擬預(yù)測）若定義在R上的函數(shù)〃x）滿足川x|）=f（",且

〃2+x）+〃2—x）=6,〃3）=6,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.〃8+x)=/(x)B.〃x）的圖象關(guān)于直線x=4對稱

C."201)=3D.y=〃x+2）-3是奇函數(shù)

【變式2](多選)(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=^(x+l)為偶函數(shù),ja/(l-x)=/(x+3),當(dāng)

時(shí)，/(x)=2-2\貝U()

A.的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱B.的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C.的最小正周期為2D./(1)+/(2)+-+/(30)--1

【變式3](多選)(2024?河北邢臺.一模)已知函數(shù)和函數(shù)g(x)的定義域均為R,若〃2x-2)的圖

象關(guān)于直線x=l對稱，g(x)=f(x+l)+x-l,g(x+l)+f(-x)=x+2,且40)=0,則下列說法正確的是

()

A.〃x)為偶函數(shù)

B.g(x+4)=g(x)

C.若在區(qū)間(0,1)上的解析式為/W=log2(%+l),則/⑺在區(qū)間(2,3)上的解析式為

y(x)=i-iog2(x-i)

20

D.'⑺=210

i=l

【題型四】中心對稱和軸對稱構(gòu)造出周期性

基本規(guī)律

關(guān)于對稱中心與對稱軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論

1.若函數(shù)有兩個(gè)對稱中心(a,0)與(b,0)),則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。

2.若函數(shù)有兩條對稱軸x=a與x=b,則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。

3.若函數(shù)有一個(gè)對稱中心(a,0)與一條對稱軸x=b,,則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|。

I—I

典例精講

【例1】(2023?浙江?一模)設(shè)函數(shù)y=的定義域?yàn)镽,且/(x+1)為偶函數(shù)，”尤-1)為奇函數(shù)，當(dāng)xe[-1,1]

2023

時(shí)，/(x)=l-x2,則￡〃左)=.

k=l

【例2】(2024?陜西西安?二模)已知函數(shù)/(x)滿足/(x+y)=/(x)+/(y)+2q,；則八100)=.

【例3】(多選)(2023?江西?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,/(x+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函

數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí)，/(x)=a-log2x.則下列結(jié)論正確的是()

A./(1)=1B./(8)=-1

206100

c.Z〃%)=TD.優(yōu))=50

k=lk=\

I—1

名校模擬

【變式1](多選)(2024.吉林白山.二模)己知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于(L2)中心對稱，若

""一"=則()

4

A.八2—3力+/(3力=4B.f(x)=f(x-4)

20

C.7(2025)=^046D.^/(z)=-340

i=l

【變式2](多選)(2024.廣東韶關(guān)二模)已知定義在R上的函數(shù)/(x),g(力的導(dǎo)函數(shù)分別為(⑺,g'(x),

且〃x)=/(4—x),/(l+x)-g(x)=4,/,(x)+g,(l+x)=0,則()

A.g(x)關(guān)于直線x=l對稱B.g'⑶=1

C.尸(x)的周期為4D.尸(〃)H5)=0(〃eZ)

【變式3](2024.全國.模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，“x+l)+〃x+2)=0,

13

且當(dāng)xe0,-時(shí)，/(x)=^-+log2(3x+l).若八租+1)<-=,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

_，」X+12

A.（24+；,2々+：）（左e：e

B.々一；，左一g](左z)

C.（4一/,/+/]（左eZ）2*-|,2^+|WeZ）

D.

【題型五】畫圖：類周期函數(shù)

基本規(guī)律

“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析:

1.是從左往右放大，還是從右往左放大。

2.放大(縮小)時(shí)，要注意是否函數(shù)值有0。

3.放大(縮小)時(shí)，是否發(fā)生了上下平移。

?—?

典例精講

【例1】定義：若存在非零常數(shù)鼠T,使得函數(shù)式尤)滿足/0+。=/(尤)+左對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)無恒成立，則

稱函數(shù)八尤)為*距周期函數(shù)“，其中T稱為函數(shù)的“類周期則()

A.一次函數(shù)均為常距周期函數(shù)”

B.存在某些二次函數(shù)為"距周期函數(shù)”

C.若“1距周期函數(shù)比x)的“類周期”為1,且/⑴=1,貝：加尸尤

D.若g(x)是周期為2函數(shù)，且函數(shù)yu)=x+g(x)在[0,2]上的值域?yàn)閇0,1],則函數(shù)y(x)=x+g(x)在區(qū)間[2",

2"+2]上的值域?yàn)棰?，2?+1]

名校模擬

【變式1】定義“函數(shù)y=/（x）是。上的。級類周期函數(shù)”如下：函數(shù)y=〃x）,xeD,對于給定的非零常數(shù)

。，總存在非零常數(shù)T,使得定義域。內(nèi)的任意實(shí)數(shù)X都有4（X）=/（X+T）恒成立，此時(shí)T為〃X）的周期.

若y=〃x）是[1，內(nèi)）上的“級類周期函數(shù)，且7=1，當(dāng)xe[l,2）時(shí)，〃x）=2x+l,且y=〃x）是[1,+向上的

單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.[2,+co）C.g'+s]D.[10,+oo）

【變式2】（多選）（2023?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）已知函數(shù)定義域?yàn)镽,滿足f（x+2）=；/（無），當(dāng)-

時(shí),〃x）=|x|.若函數(shù)y=〃x）的圖象與函數(shù)g（x）=-2023<x<2023）的圖象的交點(diǎn)為（孫兀），

（%%），（%，%），（其中因表示不超過x的最大整數(shù)），貝！1（）

A.8（力是偶函數(shù)8.〃=2024C.￡玉=0

【題型六】恒成立和存在型問題

基本規(guī)律

常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：

(1)VxeD,/(x)>相o/(%)^?>m.

(2)3xeD,/(x)>mO/(x)max>m；

(3)V尤eDf{x}>g(x)<=>(/(%)-g>0；

(4)BxeD,f(x)>g(x)^>(f(x)-g(x))imx>0；

(5)VjqeD,x2&M,/(%)>g(%)o/(為"山>gO^max;

(6)&D,X2^M,/(%1)>g(x2)>g(x2)min.

(7)VX]GD,3X,&M,>g(X2)min；

(8)招eO,Vx2eAf,/(%)>g(%)o/(再).>g(%)?1ax;

典例精講

—尤2+ax+20—4<無<0

【例1】（2024?上海黃浦?二模）設(shè)函數(shù)〃x）=2\"~，若/。）>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取

ax-2x+3,0<x<4

值范圍是（

A.(1,+8)

【例2】(2024.全國.模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃尤)對任意x,yeR恒有/(x+y)=/(x)+〃y),且當(dāng)x<0時(shí),

/(x)<0,/(2)=3.若存在尤4-2,2],使得/(x)>“—2根成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為()

A.(-3,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D.(-1,3)

【例3】(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=『一若弱eR,使得了(%)<10m+4M成

[log3x,x>3

立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為()

-

911r5n

L44j2」

(9]「1'/5]「八、

C.IU,+^ID.I-oo,--D[0,+8)

i—i

名校模擬

【變式1](多選)(2024?全國?模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)滿足：對任意x,yeR,

三斗苴小)+小)]恒成立，且/(1)=T，則()

A.函數(shù)〃尤)的圖象過點(diǎn)(。,1)

B.函數(shù)“X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

C.g(x)=[〃x)T的圖象關(guān)于點(diǎn)D)對稱

D./(98)+2/(99)+/(100)=0

【變式2](2024?上海奉賢?二模)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=/(x),其圖象是連續(xù)的曲線，且存在定義域

也為R的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x).

⑴求函數(shù)=e，+e』在點(diǎn)(0,/(0))的切線方程；

(2)已知/(x)=acosx+bsinx,當(dāng)。與》滿足什么條件時(shí)，存在非零實(shí)數(shù)%,對任意的實(shí)數(shù)尤使得

"r)=—礦⑺恒成立？

⑶若函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，且滿足/(x)+〃2r)=3.試判斷_f(x+2)=r(2-”對任意的實(shí)數(shù)x是否恒

成立，請說明理由.

【變式3](21-22高三上?全國?階段練習(xí))已知函數(shù)〃司=|4尤+4-|4尤+斗

(1)若a=2,求不等式〃x)+；x<l的解集；

(2)若mccR,3ae[0,2],使得機(jī)能成立，求實(shí)數(shù)根的取值范圍.

【題型七】嵌套函數(shù)

在某些情況下，我們可能需要將某函數(shù)作為另一函數(shù)的參數(shù)使用，這一函數(shù)就是嵌套函數(shù).在函數(shù)里面調(diào)用

另外一個(gè)函數(shù)，就叫做函數(shù)嵌套.如果調(diào)用自己本身，就叫做遞歸調(diào)用，也叫遞歸嵌套.

一嵌套函數(shù)解析式問題的解題方法：

換元法：將被嵌套的部分換為一個(gè)主元3即求出y=f(t)解析式，屬于通法.

待定系數(shù)法：將被嵌套部分換成一個(gè)常數(shù)，最后解出這個(gè)常數(shù)即可.

二不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)

不動(dòng)點(diǎn)：對于函數(shù)f(x)(xeD),我們把方程f(x)=x的解x稱為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，即y=f(x)-^y=x

圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

例如：函數(shù)f(x)=2x-l有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為1,函數(shù)g(x)=2x2—1的不動(dòng)點(diǎn).有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)一；，1.

穩(wěn)定點(diǎn)：對于函數(shù)f(x)(xeD),我們把方程f[f(x)]=x的解x稱為函數(shù)f(x)的穩(wěn)定點(diǎn)，即y=f[f(x)]

與y=x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。很顯然，若X。為函數(shù)y=f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，則X。必為函數(shù)y=f(x)的穩(wěn)定點(diǎn).

證明：因?yàn)閒(Xo)=Xo，所以f(f(Xo))=f(x())=x0,故X。也是函數(shù)y=f(x)的穩(wěn)定點(diǎn).

I—I

典例精講

-xex+1,x<0

【例1】(2024?全國模擬預(yù)測)已知函數(shù),1°/?（無）=-2/（x）+4（aeR）,若

Inx——,x>0

4

函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.g'+s]B.2C.(1,+8)D.(0,+8)

【例2】(2024?安徽池州?模擬預(yù)測)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定

理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函

數(shù)“X)，存在一個(gè)點(diǎn)看，使得/(x())=Xo，那么我們稱“X)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).若存在"個(gè)點(diǎn)為(i=l,2,

滿足了(%)=%，則稱/(X)為“〃型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是()

A./(x)=l-lnxB./(x)=5-lnr-ex

Ax—2

C.f(x}=-------D.f(x)=2sinx+2cosx

x

【例3】(2023?浙江溫州二模)定義：對于函數(shù)〃x),若/1)=%,則稱與為的