2/2專題31復數（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】復數的概念 4【考點2】復數的四則運算 5【考點3】復數的幾何意義 6【考點4】復數與方程 7【分層檢測】 8【基礎篇】 8【能力篇】 9【培優篇】 10考試要求：1.理解復數的基本概念.2.理解復數相等的充要條件.3.了解復數的代數表示法及其幾何意義.4.能進行復數代數形式的四則運算.5.了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義.知識梳理知識梳理1.復數的有關概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部(i為虛數單位).(2)分類：滿足條件(a，b為實數)復數的分類a＋bi為實數?b＝0a＋bi為虛數?b≠0a＋bi為純虛數?a＝0且b≠0(3)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).2.復數的幾何意義復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系.3.復數的運算(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3.復數的模與共軛復數的關系z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設，則（

）A．-1 B．0

· C．1 D．22．（2023·全國·高考真題）設，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．14．（2023·全國·高考真題）在復平面內，對應的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2022·全國·高考真題）（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．7．（2022·全國·高考真題）已知，且，其中a，b為實數，則（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．29．（2021·全國·高考真題）復數在復平面內對應的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2021·全國·高考真題）設，則（

）A． B． C． D．11．（2021·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．12．（2021·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．考點突破考點突破【考點1】復數的概念一、單選題1．（2023·黑龍江佳木斯·三模）復數的虛部是（

）A．1012 B．1011 C． D．2．（2024·河南鄭州·三模）復數（且），若為純虛數，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復數，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．（2024·山東濟寧·三模）已知復數，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．“”是“”的必要不充分條件D．“”是“”的充分不必要條件三、填空題5．（2024·貴州黔南·二模）為虛數單位，若是以的實部為虛部、以的虛部為實部的復數，則的共軛復數的模長為.6．（2024·湖北荊州·三模）棣莫弗定理：若為正整數，則，其中為虛數單位，已知復數，則，的實部為．反思提升：1.復數z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數，則虛部b＝0，與實部a無關；若z為虛數，則虛部b≠0，與實部a無關；若z為純虛數，當且僅當a＝0且b≠0.2.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).3.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數為eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，則z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(z·\o(z,\s\up6(－)))，若z∈R，則eq\o(z,\s\up6(－))＝z.【考點2】復數的四則運算一、單選題1．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（

）A． B． C． D．22．（2023·云南·模擬預測）已知，是方程的兩個復根，則（

）A．2 B．4 C． D．二、多選題3．（2024·河南·二模）已知復數，是的共軛復數，則下列說法正確的是（

）A．的實部為B．復數在復平面中對應的點在第四象限C．D．4．（2023·重慶·二模）已知復數，，則下列結論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則或C．若且，則 D．若，則三、填空題5．（22-23高三上·天津南開·期中）已知（i為虛數單位，）為純虛數，則．6．（2024·福建廈門·三模）復數滿足，，則.反思提升：(1)復數的乘法類似于多項式的乘法運算；(2)復數的除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數.【考點3】復數的幾何意義一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）如圖，復數對應的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標為（

）

A． B． C． D．2．（2024·湖南長沙·一模）復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、多選題3．（2021·全國·模擬預測）已知是復數，且為純虛數，則（

）A． B．C．在復平面內對應的點不在實軸上 D．的最大值為4．（2024·江西·二模）已知復數（且，為虛數單位），若，則下列說法正確的是（

）A．在復平面上對應的點位于第四象限B．C．D．若復數滿足，則在復平面內對應的點構成的圖形的面積為三、填空題5．（21-22高三上·北京西城·期中）在復平面內，復數所對應的點的坐標為，則.6．（2024·安徽·模擬預測）若復數在復平面內對應的點位于第三象限，則實數的取值范圍是.反思提升：1.復數z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).2.由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此解題時可運用數形結合的方法，把復數、向量與解析幾何聯系在一起，使問題的解決更加直觀.【考點4】復數與方程一、單選題1．（2024·湖南長沙·二模）關于的方程在復數范圍內的兩個根，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北邢臺·二模）已知復數，，下列說法正確的有（

）A．若，則B．若是關于x的方程（p，）的一個根，則C．若，則D．若，則或二、多選題3．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知，方程有一個虛根為，為虛數單位，另一個虛根為，則（

）A． B．該方程的實數根為1C． D．4．（2024·浙江溫州·三模）已知是關于的方程的兩個根，其中，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2023·河南·三模）已知（i為虛數單位），z為實系數方程的一個根，則．6．（2024·廣東廣州·二模）若（為虛數單位）是關于的實系數一元二次方程的一個虛根，則實數.反思提升：(1)對實系數二次方程來說，求根公式、韋達定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.(2)對復系數(至少有一個系數為虛數)方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（23-24高一下·浙江·期中）若復數滿足，則的虛部為（

）A． B．C． D．2．（2024·江西景德鎮·三模）下列有關復數，的等式中錯誤的是（

）A． B．C． D．3．（2024·江西宜春·模擬預測）若為純虛數，則（

）A．2 B．4 C． D．4．（2024·遼寧大連·模擬預測）已知（為虛數單位），則的虛部是（

）A． B． C．1 D．二、多選題5．（2024·河北滄州·模擬預測）復數，則下列說法正確的有（

）A．在復平面內對應的點都位于第四象限B．在復平面內對應的點在直線上C．D．的最小值為46．（2024·福建泉州·模擬預測）若則（

）A． B．C． D．是純虛數7．（2024·福建福州·三模）已知復數，下列結論正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則或 D．若且，則三、填空題8．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知復數滿足，則的最小值為.9．（2024·河北唐山·二模）已知為虛數單位，復數滿足，則復數的虛部為．10．（2024·北京·三模）若是純虛數，則實數a的值為.四、解答題11．（22-23高一下·福建三明·階段練習）已知復數.(1)若，求的值；(2)，，求.12．（22-23高三·全國·對口高考）已知復數（a，），存在實數t，使成立.(1)求證：為定值；(2)若，求a的取值范圍．【能力篇】一、單選題1．（2024·河南商丘·模擬預測）已知復數和滿足，則（

）A．1 B． C． D．2二、多選題2．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知復數滿足：為純虛數，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．的最小值為3 D．的最小值為3三、填空題3．（2024·上海靜安·二模）已知是虛數單位，復數是純虛數，則實數的值為．四、解答題4．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習）已知復數，為z的共軛復數，且．(1)求m的值；(2)若是關于x的實系數一元二次方程的一個根，求該一元二