題型四圓的相關證明與計算例如圖①，在△ABC的邊BC上取一點O，以O為圓心，OC為半徑畫⊙O，⊙O與邊BC相交于點D，與邊AB相切于點E，AC＝AE，連接OA交⊙O于點F，連接CF并延長交線段AB于點G.例題圖①典例精講一題多設問(1)求證：AC是⊙O的切線；例題圖①【思維引導】已知點E是切點，第一反應是連接OE，證明∠OCA＝90°即可．(1)證明：如解圖①，連接OE，∵⊙O與邊AB相切于點E，∴OE⊥AB，即∠AEO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AE，OC＝OE，∴△ACO≌△AEO(SSS)，∴∠ACO＝∠AEO＝90°，又∵OC是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；例題圖①(2)若AB＝5，tanB＝，求⊙O的半徑；【思維引導】由AB和tanB可求得△ABC各邊的長，想辦法將半徑放入直角三角形中，利用勾股定理即可求解．(2)解：如解圖②，連接OE，則OE⊥AB.∵tanB＝

＝

，∴設AC＝4x，BC＝3x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴16x2＋9x2＝25，解得x＝1.例題圖①例題圖①∴BC＝3，AE＝AC＝4，∴BE＝AB－AE＝1，設⊙O的半徑為r，則OC＝OE＝r，OB＝BC－OC＝3－r，∵OB2＝OE2＋BE2，∴(3－r)2＝r2＋12，解得r＝

，∴⊙O的半徑為

；(3)若CD＝3BD，求sin∠OAB的值；【思維引導】題干中沒有告訴長度，只有比值，故需要利用比值設未知數，在Rt△OAB中，用同一未知數分別表示出∠OAB所對的直角邊和斜邊即可求解．解圖③(3)解：如解圖③，連接OE，則OE⊥AB.設BD＝a，則CD＝3a，∴OE＝OC＝OD＝

，BC＝CD＋BD＝4a.∴OB＝OD＋BD＝

.∴BE＝＝2a.∵∠OEB＝∠ACB＝90°，∠OBE＝∠ABC，∴△BEO∽△BCA.∴

＝

.∴

＝

.解得AC＝3a.∴OA＝＝

a.∴sin∠OAB＝

＝

＝

；解圖③(4)如圖②，若F是OA的中點，CG＝3，求陰影部分的面積；例題圖②【思維引導】陰影部分為不規則的兩個圖形，不能直接求，也沒法拆分，想辦法將陰影部分放在規則圖形內，利用和差法求解．(4)解：如解圖④，過點O作OM⊥CF于點M，M∵F是OA的中點，∠ACO＝90°，∴OF＝CF＝OC，∴△OCF是等邊三角形，∠AOC＝60°，∴∠CAO＝∠BAO＝30°，∠AOB＝120°，∴∠B＝30°，∴∠CGB＝90°，∵CG＝3，∴BG＝CG＝3.易證△OFM≌△AFG，∴FM＝FG，∴CM＝FM＝FG＝1，∴OF＝CF＝2，OM＝.∵S△BCG＝

BG·CG＝

，S△OCF＝

CF·OM＝，S扇形DOF＝

×π×22＝

.∴S陰影＝S△BCG－S△OCF－S扇形DOF＝

－

；例題圖②M(5)如圖③，若G是AB的中點，連接EF，求證：CF＝GE.例題圖③【思維引導】由邊角關系將問題轉化為證明∠EGF＝∠EFG.利用全等和等腰三角形的性質求證即可．(5)證明：如解圖⑤，連接OE，由(1)可知△ACO≌△AEO，∴∠ACO＝∠AEO＝90°，∠AOC＝∠AOE，又∵OC＝OE，OF＝OF，∴△COF≌△EOF(SAS)，∴∠OCF＝∠OEF，CE＝EF，∵OC＝OF＝OE，∴∠OCF＝∠OFC＝∠OFE＝∠OEF.∴∠GFE＝180°－∠OFC－∠OFE＝180°－2∠OCF，∵G是AB的中點，∠ACB＝90°，∴CG＝AG＝BG，∴∠GCB＝∠GBC，∴∠EGF＝180°－∠GCB－∠GBC＝180°－2∠OCF，∴∠GFE＝∠EGF，∴EF＝EG，∴CF＝GE.例題圖③1.

如圖，已知⊙O的直徑為10，AB、CD都是⊙O的直徑，BE⊥CD于點F，交⊙O于點E，在CD的延長線上取一點P，使得∠C＝∠DEP，連接AE.(1)求證：EP是⊙O的切線；第1題圖針對訓練(1)證明：如解圖，連接OE，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CED＝90°，∴∠C＋∠CDE＝90°，第1題圖∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵∠C＝∠DEP，∴∠DEP＋∠OED＝90°，即∠OEP＝90°，∵OE是⊙O的半徑，∴EP是⊙O的切線；(2)若∠BAE＝60°，求線段DE的長；第1題圖(2)解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠BAE＝60°，∴BE＝

AB＝5.∵CD為⊙O的直徑，CD⊥BE，∴EF＝BF＝

BE＝

，∵OE＝

AB＝5，∴OF＝＝

＝

，∴DF＝OD－OF＝

，∴DE＝＝

＝5；(3)若CF＝2EF，求△DEP的面積．第1題圖(3)解：設EF＝x，則CF＝2x，∵⊙O的直徑為10，∴OF＝2x－5，在Rt△OEF中，OE2＝EF2＋OF2，即52＝x2＋(2x－5)2，解得x＝4或x＝0(舍去)，∴EF＝4，CF＝8，OF＝3，∴DF＝CD－CF＝10－8＝2，第1題圖∵∠OEP＝90°，CD⊥BE，∴∠OEF＋∠FEP＝∠EPF＋∠FEP＝90°，即∠OEF＝∠EPF，又∵∠EFP＝∠OFE＝90°，∴△OEF∽△EPF，∴

＝

，即

＝

，解得PF＝

，∴PD＝PF－DF＝

－2＝

.∴S△DEP＝

EF·PD＝

×4×

＝

.第2題圖2.(2023自貢)如圖，點D在以AB為直徑的⊙O上，過D作⊙O的切線交AB延長線于點C，AE⊥CD于點E、交⊙O于點F，連接AD，FD.(1)求證：∠DAE＝∠DAC；(1)證明：如解圖，連接OD.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵CE是⊙O的切線，∴OD⊥CE，∵AE⊥CD，∴AE∥OD，∴∠DAE＝∠ODA，∴∠DAE＝∠DAC;(2)求證：DF·AC＝AD·DC；第2題圖(2)證明：如解圖，連接BF.∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，∵AE⊥EC，∴∠AFB＝∠E＝90°，∴BF∥EC，∴∠ABF＝∠C，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ADF＝∠C，第2題圖∵∠DAF＝∠DAC，∴△DAF∽△CAD，∴

＝

，∴DF·AC＝AD·DC；(3)若sin∠C＝，AD＝，求EF的長．第2題圖(3)解：∵sin∠C＝

，∴

＝

＝

，設OA＝OB＝OD＝r，則OC＝4r，AC＝5r，∴CD＝＝r，AE＝

r.∵AE∥OD，∴

＝

＝

，∴DE＝

CD＝

r，第2題圖∵∠AED＝90°，∴AE2＋DE2＝AD2，即(

r)2＋(

r)2＝(4)2，解得r＝8或r＝－8(舍去