人教版A2019-必修第一冊高一數學組第五章三角函數5.1任意角和弧度制5.1.1任意角學習目標1.了解任意角的概念，理解并掌握正角、負角、零角的定義．2.能在規定范圍內，找到與已知角終邊相同的角，并判定其為第幾象限角．3.能寫出與任一已知角終邊相同的角的集合，能表示特殊位置(或給定區域內)的角的集合．新課引入復習回顧什么是角？范圍是多大？定義：有公共端點的兩射線組成的幾何圖形叫角.頂點邊邊角的范圍：0°～360°初中定義新課引入探究新知識新課引入探究新知識新課引入探究新知識現實生活中隨處可見超出0°～360°

范圍的角．例如，體操中有“前空翻轉體540度”“后空翻轉體720度”這樣的動作名稱，這里不僅有超出0°～360°

范圍的角，而且旋轉的方向也不相同；又如，下圖是兩個齒輪旋轉的示意圖，被動輪隨著主動輪的旋轉而旋轉，而且被動輪與主動輪有相反的旋轉方向．這樣，OA繞點O旋轉所成的角與O′B繞點O′旋轉所成的角就會有不同的方向．因此，要準確地描述這些現象，不僅要知道旋轉的度數，還要知道旋轉的方向，這就需要對角的概念進行推廣．新課引入探究新知識我們規定，一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角．如果一條射線沒有做任何旋轉，就稱它形成了一個零角．這樣，零角的始邊與終邊重合．新課引入探究新知識新課引入探究新知識這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（anyangle），包括正角、負角和零角．新課引入探究新知識新課引入探究新知識我們通常在直角坐標系內討論角．為了方便，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合．那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．你能說說在直角坐標系內討論角的好處嗎？新課引入探究新知識xyO始邊終邊

終邊終邊終邊（1）置角的頂點于原點終邊落在第幾象限就是第幾象限角（2）始邊重合于x軸的正半軸終邊xyO新課引入探究新知識思考1將角按照上述方法放在直角坐標系中后，給定一個角，就有唯一的一條終邊與之對應．反之，對于直角坐標系內任意一條射線OB(如圖)，以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關系？分析

不唯一，如果－32°角的終邊是OB，那么328°，－392°，…角的終邊都是OB，即所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和．1新課引入探究新知識思考2如何判斷兩個角的終邊是否相同？分析若β＝α＋k·360°，k∈Z，則角β與角α的終邊相同；否則，終邊不相同．新課引入探究新知識在直角坐標系中，角的終邊繞原點旋轉360°后回到原來的位置。因此，在直角坐標系中討論角可以很好地表現角的“周而復始”的變化規律。新課引入探究新知識

解題方法（任意角和象限角的表示）1．判斷角的概念問題的關鍵與技巧．(1)關鍵：正確的理解角的有關概念，如銳角、平角等；(2)技巧：注意“旋轉方向決定角的正負，旋轉幅度決定角的絕對值大小．

新課引入探究新知識2．象限角的判定方法．(1)圖示法：在坐標系中畫出相應的角，觀察終邊的位置，確定象限．(2)利用終邊相同的角：第一步，將α寫成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判斷β的終邊所在的象限；第三步，根據β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限．新課引入探究新知識新課引入探究新知識解題方法（終邊相同的角的表示）1．在0°到360°范圍內找與給定角終邊相同的角的方法(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當所給角是負角時，采用連續加360°的方式；當所給角是正角時，采用連續減360°的方式，直到所得結果達到所求為止．新課引入探究新知識2．運用終邊相同的角的注意點所有與角α終邊相同的角，連同角α在內可以用式子k·360＋α，k∈Z表示，在運用時需注意以下四點：(1)k是整數，這個條件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°與α之間用“＋”連接，如k·360°－30°應看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍．新課引入探究新知識

新課引入探究新知識解題方法（任意角終邊位置的確定和表示

）1．表示區間角的三個步驟：第一步：先按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數倍，即得區間角集合．2．nα或所在象限的判斷方法：(1)用不等式表示出角nα或的范圍；(2)用旋轉的觀點確定角nα或所在象限．新課引入探究新知識練習1在0°～360°范圍內，請指出與下列角的終邊相同的角，并說出它們是第幾象限角．(1)430°；(2)909°；(3)－60°；(4)－1550°.解：(1)因為430°＝360°＋70°，所以430°的角與70°的角終邊相同，是第一象限角．(2)因為909°＝2×360°＋189°，所以909°的角與189°的角終邊相同，是第三象限角．(3)因為－60°＝－360°＋300°，所以－60°的角與300°的角終邊相同，是第四象限角．(4)因為－1550°＝－5×360°＋250°，所以－1550°的角與250°的角終邊相同，是第三象限角．新課引入探究新知識練習2終邊落在x軸的正半軸上的角的集合怎樣表示？終邊落在x軸的負半軸上的角的集合怎樣表示？終邊落在x軸上的角的集合怎樣表示？解：終邊落在x軸的正半軸上的角的集合為{α|α＝k·360°，k∈Z}，終邊落在x軸的負半軸上的角的集合為{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在x軸上的角的集合為{α|α＝k·180°，k∈Z}．新課引入探究新知識練習3寫出如圖所示陰影部分的角α的范圍．(1)

(2)解：(1){α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2){α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．新課引入課堂小結1.將任意角化為α＋k·360°(k