第16講一次函數與正比例函數模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．掌握正比例函數的概念；2．掌握一次函數的概念，能根據條件寫出一次函數的關系式；知識點一一次函數的定義一次函數：一般地，形如y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的函數，叫做一次函數，其中x是自變量，y是x的函數。知識點二正比例函數的定義正比例函數：特別地，當b=0時，y=kx（k為常數，k≠0），y叫做x的正比例函數.函數圖象經過點的含義：函數圖象上的點是由適合函數解析式的一對x、y的值組成的，因此，若已知一個點在函數圖象上，那么以這個點的橫坐標代x，縱坐標代y，方程成立.考點一：正比例函數的定義例1．（23-24八年級下·遼寧鐵嶺·期中）下列函數：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函數的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（2023春·吉林松原·八年級統考階段練習）下列函數是正比例函數的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023春·四川廣元·八年級統考期末）下列函數是正比例函數的是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市沈東初級中學校考開學考試）若是關于x的正比例函數，則的值為．考點二：一次函數的識別例2.（2023春·河南駐馬店·八年級?？茧A段練習）下列函數中，是一次函數的是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2023春·貴州銅仁·八年級統考階段練習）下列函數：①；②；③；④，其中一次函數的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-2】（2023秋·陜西西安·八年級?？奸_學考試）函數①；②；③；④；⑤．是一次函數的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市虹橋初級中學校?？奸_學考試）給出下列函數：①；②；③；④．其中是一次函數的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個考點三：根據一次函數的定義求參數例3.（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市虹橋初級中學校?？奸_學考試）已知，y是x的一次函數，則．【變式3-1】（2023秋·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學?？茧A段練習）函數是關于x的一次函數的條件為（

）A．且 B． C．且 D．【變式3-2】（2023春·河南安陽·八年級統考階段練習）已知函數是一次函數，則k的值為．【變式3-3】（2023春·遼寧營口·八年級統考期末）若函數是一次函數，則．考點四：求一次函數自變量或函數值例4.（2023春·廣西桂林·八年級?？茧A段練習）已知一次函數的圖象經過點，則．【變式4-1】（2023春·福建泉州·八年級統考期中）若點在直線上，則代數式的值為（

）A．3 B． C．2 D．0【變式4-2】（2023春·山東臨沂·八年級統考期末）若點在函數的圖象上，則代數式的值為．【變式4-3】（2023春·河北廊坊·八年級統考期末）已知一次函數．(1)當時，求的值；(2)當時，求的值；(3)判斷點是否在直線上．考點五：列一次函數解析式并求值例5.（2023春·全國·八年級專題練習）已知點A（8，0）及在第一象限的動點P（x，y），且x+y=10，設△OPA的面積為S．(1)求出S關于x的函數解析式，并求出x的取值范圍；(2)當S=12時，求P的坐標．【變式5-1】（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）甲、乙兩地相距120km，現有一列火車從乙地出發，以80km/h的速度向甲地行駛．設x（h）表示火車行駛的時間，y（km）表示火車與甲地的距離．（1）寫出y與x之間的關系式，并判斷y是否為x的一次函數；（2）當x=0.5時，求y的值．【變式5-2】（2023秋·全國·八年級隨堂練習）如圖，甲、乙兩地相距，現有一列火車從乙地出發，以的速度向丙地行駛．設表示火車行駛的時間，表示火車與甲地的距離．（1）寫出與之間的關系式，并判斷是否為的一次函數；（2）當時，求的值．【變式5-3】（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┳鹄蠍塾资侵腥A民族的傳統美德，為鼓勵在“爭做孝心好少年”主題活動中表現優秀的同學，某班準備購買鋼筆和筆記本作為獎品．某文具商店給出了兩種優惠方案：①買一支鋼筆贈送一本筆記本，多于鋼筆數的筆記本按原價收費；②鋼筆和筆記本均按定價的八折收費．已知每支鋼筆定價為15元，每本筆記本定價為4元．該班班長準備購買x支鋼筆和本筆記本，設選擇第一種方案購買所需費用為元，選擇第二種方案購買所需費用為元．(1)請分別寫出，與x之間的關系式；(2)若該班班長準備購買10支鋼筆，且只能選擇其中一種優惠方案，請你通過計算說明選擇哪種方案更為優惠．考點六：根據正比例函數的定義求函數表達式例6.（23-24八年級下·吉林·期中）已知與成正比例，且當時，．(1)求與之間的函數關系式；(2)若點在這個函數的圖象上，求的值．【變式6-1】（23-24八年級下·江蘇南通·期中）已知與成正比例，且當時，．(1)求y與x的函數關系式；(2)設點在（1）中函數的圖象上，求a的值．【變式6-2】（23-24八年級下·廣東中山·期中）已知y與成正比例，當時；(1)求y關于x的函數解析式；(2)當時，求x的值．【變式6-3】（23-24八年級上·江蘇泰州·階段練習）已知與成正比例，當時，．(1)求出y與x的函數關系式；(2)設點在這個函數的圖象上，求a的值．(3)試判斷點是否在此函數圖像上，說明理由．一、單選題1．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）下列函數中，y是x的正比例函數的是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級下·廣東惠州·階段練習）下列函數中，y是x的一次函數的有（

）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2024·陜西西安·三模）若關于的方程的解是，則直線一定經過點（

）A． B． C． D．4．（23-24八年級下·全國·課后作業）下列問題中，兩個變量之間是正比例函數關系的是（）A．矩形的周長一定，它的長y與寬xB．書的總頁數一定，未讀的頁數與已讀的頁數C．某場電影票價固定，該場電影售票收入為y元與售票數量為x張D．圓的面積y（cm2）與它的半徑x（cm）之間的關系5．（23-24八年級下·河北石家莊·期中）新定義：是一次函數（，a，b為實數）的“關聯數”．若“關聯數”是的一次函數是正比例函數，則點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題6．（23-24八年級下·遼寧大連·期中）若點在函數的圖象上，則的值為．7．（23-24八年級下·河南洛陽·期中）已知是關于的一次函數，則一次函數解析式是．8．（23-24八年級下·內蒙古鄂爾多斯·期中）在平面直角坐標系中，直線過點，則的值為．9．（2024八年級下·上海·專題練習）已知一次函數的圖象經過點，，則的值為．10．（2024九年級下·廣東·專題練習）拖拉機開始工作時，油箱中有油升，如果每小時耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作時間（時）之間的函數關系式是，自變量x必須滿足．三、解答題11．（23-24八年級下·重慶·期中）一個正比例函數的圖象經過點．(1)求正比例函數的解析式；(2)當時，求的值．12．（23-24八年級下·全國·假期作業）已知.(1)當m，n為何值時，是的一次函數？(2)當m，n為何值時，是的正比例函數？13．（20-21八年級下·湖北武漢·階段練習）已知，且與x成正比例，與成正比例，當時，，當時，(1)求出y與x之間的函數關系式；(2)計算時，y的值．14．（23-24八年級上·甘肅蘭州·期中）寫出下列各題中y關于x的函數關系式，并判斷y是否為x的一次函數，是否為正比例函數．(1)長方形的面積為3，長方形的長y與寬x之間的關系；(2)剛上市時西瓜每千克元，買西瓜的總價y元與所買西瓜x千克之間的關系；(3)倉庫內有粉筆400盒，如果每個星期領出36盒，倉庫內余下的粉筆盒數y與星期數x之間的關系；(4)小林的爸爸為小林存了一份教育儲蓄，首次存入10000元，以后每個月存入500元，存入總數y元與月數x之間的關系．15．（2024·陜西渭南·一模）書法是文字美的藝術表現形式，中國書法歷史悠久，書體沿革流變，書法藝術異采迷人，是中國漢字特有的一種傳統藝術．某校舉辦以“發揚藝術之光，傳承書法風采”為主題的書法比賽活動，校團委計劃購買某種標價為120元/套的書法套具，文具店老板給出了如下優惠條件：如果一次性購買不超過10套，單價為120元/套；如果一次性購買超過10套，那么每增加1套，購買的所有書法套具的單價每套降低5元，但單價不得低于60元/套．設校團委一次性購買書法套具x套，購買的實際單價為y元/套．(1)求y與x之間的函數關系式；(2)當時，求校團委購買這些書法套具的實際付款總額．16．（22-23八年級下·山東濟寧·階段練習）定義：如果函數的圖象經過點，我們就把此函數稱作“族函數”．比如：正比例函數的圖象經過點，所以正比例函數就是“族函數”．(1)①以下數量關系中，y不是x的函數的是___________（填選項）②以下是“族函數”的是___________（填選項）A．

B．C．

D．

E．F．(2)已知一次函數為常數，．①若該函數是“族函數”，求k的值．②無論k取何值，該函數必經過一定點，請寫出該定點的坐標．

第16講一次函數與正比例函數模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．掌握正比例函數的概念；2．掌握一次函數的概念，能根據條件寫出一次函數的關系式；知識點一一次函數的定義一次函數：一般地，形如y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的函數，叫做一次函數，其中x是自變量，y是x的函數。知識點二正比例函數的定義正比例函數：特別地，當b=0時，y=kx（k為常數，k≠0），y叫做x的正比例函數.函數圖象經過點的含義：函數圖象上的點是由適合函數解析式的一對x、y的值組成的，因此，若已知一個點在函數圖象上，那么以這個點的橫坐標代x，縱坐標代y，方程成立.考點一：正比例函數的定義例1．（23-24八年級下·遼寧鐵嶺·期中）下列函數：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函數的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查的是正比例函數的識別，形如，這樣的函數是正比例函數，根據定義逐一分析即可．【詳解】解：是正比例函數；當時，是正比例函數；是一次函數；不是正比例函數，不是正比例函數．故是正比例函數的有①③，共2個，故選：B．【變式1-1】（2023春·吉林松原·八年級統考階段練習）下列函數是正比例函數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據正比例函數的定義，形如，進行判斷即可．【詳解】A：是反比例函數，不是正比例函數，不符合題意；B：是二次函數，不是正比例函數，不符合題意；C：是一次函數，不是正比例函數，不符合題意；D：是正比例函數，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查正比例函數的定義，熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵．【變式1-2】（2023春·四川廣元·八年級統考期末）下列函數是正比例函數的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正比例函數的定義即可解答．【詳解】解：A．，符合正比例函數的含義，故本選項正確；B．是和的形式，故本選項錯誤；C．自變量次數不為1，故本選項錯誤；D．自變量次數不為1，故本選項錯誤，故選A．【點睛】本題主要考查了正比例函數的定義，形如（k為常數且），自變量次數為1的函數是正比例函數．【變式1-3】（2023秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市沈東初級中學?？奸_學考試）若是關于x的正比例函數，則的值為．【答案】【分析】利用正比例函數的定義分析得出，再代入計算即可求解．【詳解】解：是關于的正比例函數，且，解得：，．故答案為：．【點睛】此題主要考查了正比例函數的定義，正確把握定義是解題關鍵．考點二：一次函數的識別例2.（2023春·河南駐馬店·八年級校考階段練習）下列函數中，是一次函數的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據一次函數的定義條件進行逐一分析即可．【詳解】解：A、是一次函數，故此選項符合題意；B、是反比例函數，故此選項不符合題意；C、當時不是一次函數，故此選項不符合題意；D、是二次函數，故此選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了一次函數．解題的關鍵是掌握一次函數的定義，一次函數的定義條件是：k、b為常數，，自變量次數為1．【變式2-1】（2023春·貴州銅仁·八年級統考階段練習）下列函數：①；②；③；④，其中一次函數的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據形如，、是常數）的函數，叫做一次函數進行分析即可．【詳解】解：①；③是一次函數，共2個．故選：B．【點睛】此題主要考查了一次函數定義，關鍵是掌握一次函數形如，、是常數），一次函數解析式的結構特征：；自變量的次數為1；常數項可以為任意實數．【變式2-2】（2023秋·陜西西安·八年級?？奸_學考試）函數①；②；③；④；⑤．是一次函數的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據一次函數的定義，函數式為整式且自變量的最高次數為1，一次項系數不為0，逐一判斷．【詳解】解：①是一次函數；②是一次函數；③是反比例函數，不是一次函數；④是一次函數；⑤是二次函數，綜上分析可知，①②④是一次函數，共3個，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數的定義.關鍵是明確一次函數解析式為整式，自變量的最高次數為1，一次項系數不為0．【變式2-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市虹橋初級中學校?？奸_學考試）給出下列函數：①；②；③；④．其中是一次函數的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據一次函數的定義逐一判斷即可求解．【詳解】解：①、是一次函數，故符合題意；②、是一次函數，故符合題意；③、是一次函數，故符合題意；④、是二次函數，故不符合題意，則是一次函數的有3個，故選B．【點睛】本題考查了一次函數的定義，熟練掌握其定義是解題的關鍵．考點三：根據一次函數的定義求參數例3.（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市虹橋初級中學校?？奸_學考試）已知，y是x的一次函數，則．【答案】【分析】先根據一次函數的定義列出關于m的不等式組，求出m的值即可．【詳解】解：因為是x的一次函數，可得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查的是一次函數的定義，根據一次函數的定義列出關于m的不等式是解答此題的關鍵．【變式3-1】（2023秋·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學?？茧A段練習）函數是關于x的一次函數的條件為（

）A．且 B． C．且 D．【答案】C【分析】根據一次函數的定義進行求解即可．【詳解】解：∵是關于x的一次函數，∴，解得：，故選：C．【點睛】本題主要考查了一次函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握定義，一般地，形如（k，b為常數，）的函數，叫作一次函數．【變式3-2】（2023春·河南安陽·八年級統考階段練習）已知函數是一次函數，則k的值為．【答案】2【分析】直接利用一次函數的定義分析得出k的值即可．【詳解】解：∵函數是一次函數，∴，解得，故答案為：2．【點睛】此題主要考查了一次函數的定義，正確把握定義是解題關鍵．【變式3-3】（2023春·遼寧營口·八年級統考期末）若函數是一次函數，則．【答案】2【分析】一般地，形如的函數，叫做一次函數.【詳解】解：由題意可得：，解得，故答案為：2.【點睛】本題主要考查了一次函數的定義，關鍵是掌握一次函數解析式的結構特征:，自變量的次數為1；常數項可以為任意實數.考點四：求一次函數自變量或函數值例4.（2023春·廣西桂林·八年級校考階段練習）已知一次函數的圖象經過點，則．【答案】3【分析】把點代入一次函數，列出關于的一元一次方程，解之即可得的值．【詳解】解：一次函數的圖象經過點，把點代入一次函數，得，解得：．故答案為：3．【點睛】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征，直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式．根據一次函數圖象上點的特征得出關于的一元一次方程是解題的關鍵．【變式4-1】（2023春·福建泉州·八年級統考期中）若點在直線上，則代數式的值為（

）A．3 B． C．2 D．0【答案】A【分析】把點代入，得出，將其代入進行計算即可．【詳解】解：把點代入得，整理得：，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，求代數式的值，解題的關鍵是掌握一次函數圖象上點的坐標都符合一次函數表達式，以及整式添加括號，若括號前為負號，要變號．【變式4-2】（2023春·山東臨沂·八年級統考期末）若點在函數的圖象上，則代數式的值為．【答案】5【分析】把點代入函數得到，再利用等式的基本性質變形即可得出結論．【詳解】解：點代入函數的圖象上，，，．故答案為：5．【點睛】本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，運用到整體代入思想．熟知一次函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．【變式4-3】（2023春·河北廊坊·八年級統考期末）已知一次函數．(1)當時，求的值；(2)當時，求的值；(3)判斷點是否在直線上．【答案】(1)的值為5(2)的值為6(3)點不在直線上【分析】（1）把代入解析式求得即可；（2）把代入解析式求得即可；（3）把代入求得的值，進行比較即可得到答案．【詳解】（1）解：當時，，的值為5；（2）解：當時，，解得：，的值為6；（3）解：當時，，點不在直線上．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．考點五：列一次函數解析式并求值例5.（2023春·全國·八年級專題練習）已知點A（8，0）及在第一象限的動點P（x，y），且x+y=10，設△OPA的面積為S．(1)求出S關于x的函數解析式，并求出x的取值范圍；(2)當S=12時，求P的坐標．【答案】(1)S=-4x+40，0<x<10(2)P（7，3）【分析】（1）首先把x+y=10，變形為y=10-x，再利用三角形的面積求法：S=底×高÷2，可以得到S關于x的函數表達式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面積S＞0，可得到x的取值范圍；（2）把S=12代入函數解析式即可．【詳解】（1）根據題意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10，∴y=10-x，∴OA=8，P（x，10-x）∴S=×8(10-x)=-4x+40．又∵x>0，且10-x>0，∴0<x<10．（2）當S=12時，即12=40-4x，解得x=7，∴y=10-7=3，∴S=12時，P點坐標（7，3）．【點睛】此題考查一次函數的性質，解題的關鍵是數形結合運用三角形的面積公式進行計算．【變式5-1】（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）甲、乙兩地相距120km，現有一列火車從乙地出發，以80km/h的速度向甲地行駛．設x（h）表示火車行駛的時間，y（km）表示火車與甲地的距離．（1）寫出y與x之間的關系式，并判斷y是否為x的一次函數；（2）當x=0.5時，求y的值．【答案】（1），y是x的一次函數；（2）【分析】（1）根據題意，首先計算得出y與x之間的關系式，再根據一次函數的性質分析，即可得到答案；（2）根據（1）的結論，將x=0.5代入到一次函數并計算，即可得到答案．【詳解】（1）根據題意，火車與乙地的距離表示為：80x（km）∵甲、乙兩地相距120km∴火車與甲地的距離表示為：（km），即；當火車到達甲地時，即∴，即火車行駛1.5h到達甲地∴y是x的一次函數；（2）根據（1）的結論，得：．【點睛】本題考查了一次函數的知識；解題的關鍵是熟練掌握一次函數的性質，從而完成求解．【變式5-2】（2023秋·全國·八年級隨堂練習）如圖，甲、乙兩地相距，現有一列火車從乙地出發，以的速度向丙地行駛．設表示火車行駛的時間，表示火車與甲地的距離．（1）寫出與之間的關系式，并判斷是否為的一次函數；（2）當時，求的值．【答案】（1），是的一次函數；（2）140【分析】（1）根據題意，首先計算得出y與x之間的關系式，再根據一次函數的性質分析，即可得到答案；（2）根據（1）的結論，將x=0.5代入到一次函數并計算，即可得到答案．【詳解】（1）根據題意，火車與乙地的距離表示為：80x（km）∵甲、乙兩地相距100km∴火車與甲地的距離表示為：（100+80x）km∴y=100+80x∴y是x的一次函數；（2）當時，得：y=100+80×0.5=140．【點睛】本題考查了一次函數的知識；解題的關鍵是熟練掌握一次函數的性質，從而完成求解．【變式5-3】（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┳鹄蠍塾资侵腥A民族的傳統美德，為鼓勵在“爭做孝心好少年”主題活動中表現優秀的同學，某班準備購買鋼筆和筆記本作為獎品．某文具商店給出了兩種優惠方案：①買一支鋼筆贈送一本筆記本，多于鋼筆數的筆記本按原價收費；②鋼筆和筆記本均按定價的八折收費．已知每支鋼筆定價為15元，每本筆記本定價為4元．該班班長準備購買x支鋼筆和本筆記本，設選擇第一種方案購買所需費用為元，選擇第二種方案購買所需費用為元．(1)請分別寫出，與x之間的關系式；(2)若該班班長準備購買10支鋼筆，且只能選擇其中一種優惠方案，請你通過計算說明選擇哪種方案更為優惠．【答案】(1)與x之間的關系式為，與x之間的關系式為(2)選擇方案②更為優惠【分析】（1）分別根據方案①和方案②列出關系式即可；（2）將分別代入、求出結果比較大小即可．【詳解】（1）解：方案①：，方案②：，與x之間的關系式為，與x之間的關系式為；（2）當時，；.，選擇方案②更為優惠．【點睛】本題考查一次函數的應用，根據題意列出關系式是關鍵．考點六：根據正比例函數的定義求函數表達式例6.（23-24八年級下·吉林·期中）已知與成正比例，且當時，．(1)求與之間的函數關系式；(2)若點在這個函數的圖象上，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了求正比例函數解析式，求自變量的值：（1）設出函數解析式，再代入已知的數據求解即可；（2）把代入（1）所求解析式中進行求解即可．【詳解】（1）解：設，∵當時，，∴，∴，∴；（2）解：∵點在這個函數的圖象上，∴，∴．【變式6-1】（23-24八年級下·江蘇南通·期中）已知與成正比例，且當時，．(1)求y與x的函數關系式；(2)設點在（1）中函數的圖象上，求a的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查的是成正比例的含義，利用待定系數法求解函數解析式，掌握求解的方法是解本題的關鍵；（1）根據題意設設，再利用待定系數法求解函數解析式即可；（2）把點代入（1）中的函數解析式即可得到答案．【詳解】（1）解：設，當時，，解得：，與x的函數關系式為，即；（2）把代入得，∴．【變式6-2】（23-24八年級下·廣東中山·期中）已知y與成正比例，當時；(1)求y關于x的函數解析式；(2)當時，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了正比例函數定義，一次函數自變量等知識，熟練掌握求解析式的方法，一次函數的相關知識是解題的關鍵（1）設解析式為，把，代入，可求，進而可得解析式；（2）將代入（1）的關系式，計算求解即可．【詳解】（1）解：設解析式為，把，代入得：，解得：，∴解析式為；（2）解：將代入得：，解得．∴x的值為．【變式6-3】（23-24八年級上·江蘇泰州·階段練習）已知與成正比例，當時，．(1)求出y與x的函數關系式；(2)設點在這個函數的圖象上，求a的值．(3)試判斷點是否在此函數圖像上，說明理由．【答案】(1)(2)(3)點不在此函數的圖象上，理由見解析【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖象上的點的坐標特征、解一元一次方程，熟練掌握相關知識的運用是解答的關鍵．（1）設，將x、y值代入求出k值即可求解；（2）將點代入（1）中函數關系式中求解即可；（3）將代入（1）中函數關系式中求解判斷即可．【詳解】（1）根據題意，設，∵當時，，∴，解得：，∴，即，∴y與x的函數關系式為；（2）將點代入得：，解得：；（3）當時，，則點不在此函數的圖象上．一、單選題1．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）下列函數中，y是x的正比例函數的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了正比例函數的定義，注意把握正比例函數的概念是解題關鍵．根據正比例函數的定義：一般地，兩個變量x，y之間的關系式可以表示成形如（k為常數，且）的函數，那么y就叫做x的正比例函數逐項判斷即可．【詳解】解：A、是一次函數，故本選項錯誤；B、是正比例函數，故本選項正確；C、自變量的次數是二次，故本選項錯誤；D、自變量的次數是不是1，不是正比例函數，故本選項錯誤；故選：B．2．（23-24八年級下·廣東惠州·階段練習）下列函數中，y是x的一次函數的有（

）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數的定義，一次函數解析式的結構特征為：；自變量的次數為1；常數項可以為任意實數．一般地，形如（，是常數）的函數，叫做一次函數．根據定義作答即可．【詳解】解：y是x的一次函數的有：①，②，共2個，故選：B．3．（2024·陜西西安·三模）若關于的方程的解是，則直線一定經過點（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，一次函數的性質等等，先把代入方程中得到，進而得到當時，，據此可得答案．【詳解】解：∵關于x的方程的解是，∴，∴，∴直線解析式為，∴當時，，即直線一定經過點，故選：D．4．（23-24八年級下·全國·課后作業）下列問題中，兩個變量之間是正比例函數關系的是（）A．矩形的周長一定，它的長y與寬xB．書的總頁數一定，未讀的頁數與已讀的頁數C．某場電影票價固定，該場電影售票收入為y元與售票數量為x張D．圓的面積y（cm2）與它的半徑x（cm）之間的關系【答案】C【分析】本題考查正比例函數的定義，根據正比例函數的定義逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、矩形的周長一定，它的長y與寬x是一次函數的關系，不是正比例函數的關系；不符合題意；B、書的總頁數一定，未讀的頁數與已讀的頁數是一次函數的關系，不是正比例函數的關系；不符合題意；C、某場電影票價固定，該場電影售票收入為y元與售票數量為x張是正比例函數，符合題意；D、圓的面積y（cm2）與它的半徑x（cm）之間的關系不是正比例函數，不符合題意；故選C．5．（23-24八年級下·河北石家莊·期中）新定義：是一次函數（，a，b為實數）的“關聯數”．若“關聯數”是的一次函數是正比例函數，則點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本題考查了正比例函數，判斷點所在的象限以及新定義；根據“關聯數”是的一次函數是正比例函數，得出，得出，再代入，分別計算，即可作答．【詳解】解：∵“關聯數”是的一次函數是正比例函數，∴∴則∴在第二象限故選：B二、填空題6．（23-24八年級下·遼寧大連·期中）若點在函數的圖象上，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，利用一次函數圖象上點的坐標特征，把點代入函數中求即可，掌握一次函數圖象及性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵點在函數的圖象上，∴，解得：，故答案為：．7．（23-24八年級下·河南洛陽·期中）已知是關于的一次函數，則一次函數解析式是．【答案】【分析】本題考查了一次函數的定義，形如（，為常數）的函數為一次函數．根據定義得：且，求出的值即可．【詳解】解：由已知可得且解得且∴．故一次函數解析為：故答案為：．8．（23-24八年級下·內蒙古鄂爾多斯·期中）在平面直角坐標系中，直線過點，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式是解題的關鍵．把代入即可得到，代入即可求解．【詳解】解：∵直線過點，，，，故答案為：2020．9．（2024八年級下·上?！ｎ}練習）已知一次函數的圖象經過點，，則的值為．【答案】25【分析】將，代入得到，，由代入即可求解，本題考查了，一次函數圖象上點的坐標特征，知道函數圖象上點的坐標符合函數解析式以及因式分解是解題的關鍵．【詳解】解：∵一次函數的圖象經過點，，∴，，∴，，∴，故答案為：25．10．（2024九年級下·廣東·專題練習）拖拉機開始工作時，油箱中有油升，如果每小時耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作時間（時）之間的函數關系式是，自變量x必須滿足．【答案】；．【分析】本題主要是考查根據實際問題列一次函數關系式，根據余油量原有油量用油量，時間應≥0，用油量不能超過原有油量得出，讀懂題意，找到所求量的等量關系是解題的關鍵．【詳解】解：依題意得，時間應，用油量不能超過原有油量，∴，解得，∴，故答案為：，．三、解答題11．（23-24八年級下·重慶·期中）一個正比例函數的圖象經過點．(1)求正比例函數的解析式；(2)當時，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數法求正比例函數解析式，已知函數值求自變量．（1）將點代入正比例函數，求出，即可得到正比例函數的解析式；（2）將代入正比例函數，即可求出x的值．【詳解】（1）解：正比例函數的圖象經過點，，，即正比例函數的解析式；（2）解：當時，，∴．12．（23-24八年級下·全國·假期作業）已知.(1)當m，n為何值時，是的一次函數？(2)當m，n為何值時，是的正比例函數？【答案】(1)(2)，【詳解】解：（1）是的一次函數，且，為任意實數，解得.（2）是的正比例函數，且，，解得，13．（20-21八年級下·湖北武漢·階段練習）已知，且與x成正比例，與成正比例，當時，，當時，(1)求出y與x之間的函數關系式；(2)計算時，y的值．【答案】(1)(2)21【分析】（1）根據正比例的定義可設，，再將當時，，當時，代入計算即可得；（2）將直接代入（1）中的結果即可得．【詳解】（1）解：由題意可設，，，，當時，，當時，，，解得，，即與之間的函數關系式為．（2）解：將代入得：．【點睛】本題主要考查了正比例函數的定義、求函數解析式，熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵．14．（23-24八年級上·甘肅蘭州·期中）寫出下列各題中y關于x的函數關系式，并判斷y是否為x的一次函數，是否為正比例函數．(1)長方形的面積為3，長方形的長y與寬x之間的關系；(2)剛上市時西瓜每千克元，買西瓜的總價y元與所買西瓜x千克之間的關系；(3)倉庫內有粉筆400盒，如果每個星期領出36盒，倉庫內余下的粉筆盒數y與星期數x之間的關系；(4)小林的爸爸為小林存了一份教育儲蓄，首次存入10000元，以后每個月存入500元，存