第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.2.2二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)第四課時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)21.2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)5二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)1.(一題多解)(2024安徽安慶宿松期中)若拋物線y=x2+bx+c經(jīng)

過A(-2,6),B(8,6)兩點(diǎn),則拋物線的對(duì)稱軸為

(

)A.直線x=5B.直線x=3C.直線x=1D.直線x=-1B解析解法一:∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(-2,6),B(8,6)兩點(diǎn),

∴這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,∴拋物線的對(duì)稱軸為直

線x=

=3,故選B.解法二:將(-2,6)、(8,6)代入函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x2+bx+c,得

解得

所以函數(shù)表達(dá)式為y=x2-6x-10=(x-3)2-19,所以對(duì)稱軸為直線x=3,故選B.方法歸納拋物線對(duì)稱軸的確定當(dāng)拋物線上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等時(shí),如(x1,b),(x2,b),則該拋物線

的對(duì)稱軸為直線x=

.2.(教材變式·P21T4)(2024安徽阜陽(yáng)界首期中)將拋物線y=-2x2-4x先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位得到的拋物線的表達(dá)式是

(

)A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3C.y=-2(x-1)2-1

D.y=-2(x-1)2+1C解析∵y=-2x2-4x=-2(x2+2x+1-1)=-2(x+1)2+2,∴將拋物線y=

-2x2-4x先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位得到的拋物

線的解析式是y=-2(x-2+1)2+2-3,即y=-2(x-1)2-1.故選C.3.(2024安徽合肥四十八中期中)點(diǎn)(m,n)在二次函數(shù)y=-x2+3

的圖象上,則m+n的最大值是(M9121002)(

)A.3B.2

C.

D.

C解析將(m,n)代入y=-x2+3,得n=-m2+3,∴m+n=-m2+m+3=-

+

,∵-1<0,∴m=

時(shí),m+n的最大值為

,故選C.4.(配方法)(2023山東泰安中考)二次函數(shù)y=-x2-3x+4的最大值

是

.

解析y=-x2-3x+4=-

+

.∵a=-1<0,∴當(dāng)x=-

時(shí),y取得最大值,最大值為

.5.(新考向·開放性試題)(2023上海中考)一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+

bx+c圖象的頂點(diǎn)在y軸正半軸上,且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是

上升的,那么這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式可以是

.(寫出一個(gè)即可)y=-x2+1解析由題意得b=0,a<0,c>0,∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式可以

是y=-x2+1.答案不唯一.6.(新獨(dú)家原創(chuàng))已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線y=b2x2+2b2x+

c上,且x1<x2<-1,則(y1-y2)·(x1-x2)

0.(填“>”“<”或

“=”)(M9121002)<解析拋物線y=b2x2+2b2x+c的對(duì)稱軸為直線x=-

=-1.因?yàn)閎2>0,所以圖象開口向上,由x1<x2<-1,得y1>y2,∴x1-x2<0,y1-y2>0,

∴(y1-y2)(x1-x2)<0.7.(新考向·開放性試題)(2024河南信陽(yáng)平橋月考)我們知道研

究函數(shù)問題,一般先觀察函數(shù)解析式,然后畫出函數(shù)圖象,再

通過觀察函數(shù)圖象總結(jié)函數(shù)的性質(zhì),最后利用函數(shù)模型解決

實(shí)際問題.已知二次函數(shù)y=

x2-6x+21,按照要求回答問題.(M9121002)(1)畫函數(shù)圖象的一般步驟是列表、描點(diǎn)、連線,請(qǐng)按照以上

步驟在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象;x…024681012…y…

…(2)請(qǐng)觀察你所畫的函數(shù)圖象,寫出3條該函數(shù)的性質(zhì);(3)請(qǐng)你針對(duì)該函數(shù)再設(shè)計(jì)一個(gè)問題,并解答...

解析

(1)列表:x…024681012…y…21115351121…描點(diǎn)、連線,畫出函數(shù)圖象如圖.

(2)①該函數(shù)圖象開口方向向上;②頂點(diǎn)坐標(biāo)是(6,3);③當(dāng)x<6時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x>6時(shí),y隨x的增大而增大.答案不唯一.(3)答案不唯一,如求當(dāng)0<x≤8時(shí),y的取值范圍.解:由圖象可知,當(dāng)0<x≤8時(shí),3≤y<21.知識(shí)點(diǎn)6二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系8.(2023貴州中考)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,

則點(diǎn)P(a,b)所在的象限是(M9121002)(

)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限D(zhuǎn)解析∵二次函數(shù)圖象的開口向上,對(duì)稱軸在y軸的右側(cè),

∴a>0,x=-

>0,∴b<0,∴P(a,b)在第四象限.故選D.9.(2023安徽蚌埠懷遠(yuǎn)期末)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象

與y軸正半軸相交,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為

,下列結(jié)論:①abc<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正確的有

個(gè).

3解析①∵拋物線開口向下,∴a<0,∵拋物線與y軸正半軸相

交,∴c>0,∵對(duì)稱軸在y軸的右側(cè),∴b>0,∴abc<0,故①正確;②

∵拋物線的對(duì)稱軸為x=

,∴x=-

=

,∴a+b=0,故②正確;③∵拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,∴

=1,∴4ac-b2=4a,故③正確;④∵a+b=0,c>0,∴a+b+c>0,故④錯(cuò)誤.故正確的是①②③.10.(2024安徽六安霍邱月考,6,?)若拋物線y=x2-mx+m+3(m是常數(shù))的頂點(diǎn)在x軸上,則m的值為

(

)A.-2B.6C.-2或6D.-6或2能力提升全練C解析拋物線y=x2-mx+m+3的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

,∵頂點(diǎn)在x軸上,∴縱坐標(biāo)為0,∴4(m+3)-m2=0,解得m=-2或m=6,故選C.11.(易錯(cuò)題)(2023四川樂山中考,9,?)如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)、B(m,0),且1<m<2,有下列結(jié)論:①b<0;②a+b>0;③0<a<-c;④若點(diǎn)C

,D

在拋物線上,則y1>y2.其中,正確的結(jié)論有(M9121002)(

)B

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)

D.1個(gè)解析∵拋物線開口向上,∴a>0.∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的

右側(cè),∴b<0,故①正確.∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方,∴c<

0.∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),∴a-b+c=0,∴c=b-a.∵當(dāng)x=2時(shí),y>

0,∴4a+2b+c>0,∴4a+2b+b-a>0,∴3a+3b>0,∴a+b>0,故②正

確.∵a-b+c=0,∴a+c=b.∵b<0,∴a+c<0,∴0<a<c,故③正確.∵

A(-1,0),B(m,0)且1<m<2,∴點(diǎn)C

到對(duì)稱軸的距離比點(diǎn)D

到對(duì)稱軸的距離近,∴y1<y2,故④錯(cuò)誤.故選B.12.(新考法)(2023黑龍江牡丹江中考改編,18,?)將拋物線y=x2+6x+9向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右平移

個(gè)單

位長(zhǎng)度后,得到的新拋物線經(jīng)過原點(diǎn).2或4解析本題將常規(guī)的求平移后的拋物線的表達(dá)式的問題,改

成平移后的拋物線過原點(diǎn),求平移單位的問題,較新穎.拋物

線y=x2+6x+9=(x+3)2向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的拋物線

的表達(dá)式為y=(x+3)2-1.設(shè)拋物線向右平移h個(gè)單位長(zhǎng)度后,得

到的新拋物線經(jīng)過原點(diǎn),則新拋物線的表達(dá)式為y=(x+3-h)2-

1.∵新拋物線經(jīng)過原點(diǎn),∴當(dāng)x=0時(shí),y=0,∴(3-h)2-1=0,解得h=2

或4.13.(安徽常考·雙空題)(2021安徽中考改編,14,?)設(shè)拋物線y=x2+(a+1)x+a,其中a為實(shí)數(shù).(M9121002)(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-1,m),則m=

;(2)將拋物線y=x2+(a+1)x+a向上平移2個(gè)單位,所得拋物線頂

點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是

.02解析

(1)將點(diǎn)(-1,m)代入拋物線表達(dá)式y(tǒng)=x2+(a+1)x+a,得(-1)2+(a+1)×(-1)+a=m,解得m=0.(2)將拋物線y=x2+(a+1)x+a向上平移2個(gè)單位可得拋物線y=x2

+(a+1)x+a+2,∴y=

-

(a-1)2+2,∴設(shè)拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)n=-

(a-1)2+2,∵-

<0,∴n的最大值為2.14.(2023山東東營(yíng)中考改編,25,?)如圖,拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),點(diǎn)C,D在拋物線上.設(shè)B(t,0),當(dāng)t=2時(shí),BC=4.(M9121002)(1)求拋物線的表達(dá)式.(2)當(dāng)t為何值時(shí),矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng),向右平移拋物線,當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G,H,且直線GH平分矩形ABCD的面積時(shí),求拋物線平移的距離.解析

(1)當(dāng)t=2時(shí),BC=4,∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-4),由題意得,將(0,0),(10,0),(2,-4)代入y=ax2+bx+c,得

解得

∴拋物線的表達(dá)式為y=

x2-

x.(2)∵四邊形ABCD為矩形,∴CD∥AB,DA⊥x軸,CB⊥x軸,由

拋物線的對(duì)稱性得AE=OB=t,∴AB=10-2t.當(dāng)x=t時(shí),點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為

t2-

t,∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2(AB+BC)=2·

=-

t2+t+20=-

(t-1)2+

,∵-

<0,∴當(dāng)t=1時(shí),矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值,最大值為

.(3)如圖,連接AC,BD相交于點(diǎn)P,連接OC,取OC的中點(diǎn)Q,連接

PQ,∵t=2,∴B(2,0),∴A(8,0).∵BC=4,∴C(2,-4).∵直線GH平分矩形ABCD的面積,∴直線GH過點(diǎn)P.由平移的性質(zhì)可知,四邊形OCHG是平行四邊形,∴PQ=CH,∵四邊形ABCD是矩形,∴點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).∴P(5,-2),∴PQ=

OA,∵OA=8,∴CH=PQ=

OA=4,∴拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位.

15.(新考向·新定義試題)已知關(guān)于x的函數(shù)y,當(dāng)t≤x≤t+1時(shí),

函數(shù)y的最大值為P,最小值為Q,令函數(shù)g=

,則稱函數(shù)g為函數(shù)y的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.(1)若y=x+1,t=0,求函數(shù)y的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”g的值;(2)若y=x2-2x+k.①當(dāng)k=1,t≤0時(shí),求函數(shù)y的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”g的最小值;②當(dāng)函數(shù)y的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”g的值為

時(shí),求t的值.素養(yǎng)探究全練解析

(1)∵y=x+1,t=0,∴當(dāng)0≤x≤1時(shí),P=1+1=2,Q=0+1=1,∴g=

=

.(2)①當(dāng)k=1時(shí),y=x2-2x+1=(x-1)2,當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)x≤1時(shí),y隨x的增大而減小,∵t≤0,∴t+1≤1,∴當(dāng)x=t+1時(shí),Q=(t+1-1)2=t2,當(dāng)x=t時(shí),P=(t-1)2,∴g=

=

=

=-t+

,∵t≤0,∴當(dāng)t=0時(shí),g有最小值,為

,∴函數(shù)y的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”g的最小值是

.②y=x2-2x+k=(x-1)2+k-1,∴對(duì)稱軸是直線x=1,分三種情況:i.當(dāng)t+1≤1,即t≤0時(shí),y隨x的增大而減小,在t≤x≤t+1中,P=t2-2t+k,Q=(t+1-1)2+k-1=t2+k-1,∴g=

=

=

,解得t=

(舍);ii.當(dāng)t≥1時(shí),y隨x的增大而增大,在t≤x≤t+1中,Q=t2-2t+k,P=(t+1-1)2+k-1=t2+k-1,∴g=

=

=

,解得t=

(舍);iii.當(dāng)t<1<t+1,即0<t<1時(shí),Q=k-1,當(dāng)x=t時(shí),y=t2-2t+k,當(dāng)x=t+1時(shí),y=(t+1-1)2+k-1=t2+k-1,若t2+k-1>t2-2t+k,則t>

,P=t2+k-1,∴

<t<1,∴g=

=

=

,解得t=

(負(fù)值舍去);若t2+k-1<t2-2t+k,則t<

,P=t2-2t+k,∴0<t<

,∴g=

=

=

,解得t1=1+

(舍),t2=1-

.綜上所述,t的值是

或1-

.專題解讀方法一:分別判斷兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式中所有參數(shù)的取

值范圍,同一參數(shù)的取值范圍相同,為正確選項(xiàng).方法二:先由

一個(gè)函數(shù)圖象確定參數(shù)的取值范圍,進(jìn)而判斷另一個(gè)函數(shù)圖

象的位置.1.(2024安徽合肥廬江期中)函數(shù)y=kx+k和函數(shù)y=-kx2+4x+4

(k是常數(shù),且k≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是

(

)微專題在同一平面直角坐標(biāo)系中判斷函數(shù)圖象A

A

B

C

D解析當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)y=kx+k的圖象過第一、二、三象限,函

數(shù)y=-kx2+4x+4的圖象開口向下,∴B不符合題意.當(dāng)k<0時(shí),函

數(shù)y=