微專題12函數中的構造思想微專題12函數中的構造思想

題型一構造函數研究函數的單調性例1已知函數f(x)=

x2-ax+(a-1)lnx,1<a<5,證明:對任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有

>-1.證明令g(x)=f(x)+x=

x2-ax+(a-1)lnx+x,1<a<5,則g'(x)=x-a+

+1≥2

+1-a=1-

,因為1<a<5,所以g'(x)>0,即g(x)在(0,+∞)上單調遞增,從而當x1>x2>0時有g(x1)>g(x2),即f(x1)+x1>f(x2)+x2,f(x1)-f(x2)>-(x1-x2),則

>-1.【方法歸納】

一些不等式的證明或者大小比較的實質是函數單調性的應

用,即對要證明的不等式或比較大小的代數式分析,找出共同特征,由此構造

新函數,再利用新函數的單調性研究問題.1-1設函數f(x)的導函數為f'(x),對任意x∈R,都有f'(x)>f(x)成立,則3f(ln2)與

2f(ln3)的大小關系是

.答案2f(ln3)>3f(ln2)解析令g(x)=

,則有g'(x)=

>0,所以g(x)在R上單調遞增,則g(ln3)>g(ln2),即

>

,即2f(ln3)>3f(ln2).1-2若定義在

上的函數f(x),其導函數是f'(x),且f(x)<f'(x)tanx成立,則

f

與f

的大小關系是

.答案

f

>f

解析令g(x)=cosxf(x),則g'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx=cosx[f'(x)-f(x)tanx]<0在

上恒成立,則g(x)在

上單調遞減,∴g

>g

,即cos

f

>cos

·f

,

f

>

f

,即

f

>f

.題型二構造函數解不等式例2(1)設f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x<0時,f'(x)g(x)+f

(x)g'(x)>0,且g(1)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是

.(2)設函數f(x)是定義在(-∞,0)上的可導函數,其導函數為f'(x),且有f(x)+xf'(x)<

x,則不等式(x+2018)f(x+2018)+2f(-2)>0的解集為

.答案(1)(-∞,-1)∪(0,1)(2)(-∞,-2020)解析(1)令F(x)=f(x)g(x),則當x<0時,F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,則F(x)為增函

數,又由f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,得F(x)為奇函數,又由g

(1)=0得F(1)=0,結合F(x)的圖象可得F(x)<0的解集為(-∞,-1)∪(0,1).(2)令F(x)=xf(x),則F'(x)=f(x)+xf'(x)<x<0,則F(x)在(-∞,0)上是減函數,(x+2018)f

(x+2018)+2f(-2)>0?(x+2018)f(x+2018)>-2f(-2),即F(x+2018)>F(-2),則x+20

18<-2,x<-2020,故不等式的解集為(-∞,-2020).【方法歸納】

利用導數公式、運算法則的逆向應用構造函數,結合導數與

函數單調性的關系研究函數的單調性,利用函數奇偶性的定義研究奇偶性,畫

出新函數的大致圖象,再利用圖象解不等式.2-1設f(x)是定義在R上的可導函數,且滿足f(x)+xf'(x)>0,則不等式f(

)>

f(

)的解集為

.答案[1,2)解析令F(x)=xf(x),則F'(x)=f(x)+xf'(x)>0,則F(x)是R上的遞增函數,所以f

(

)>

f(

)?

f(

)>

f(

),即F(

)>F(

),則

>

,x<2,故解集是[1,2).2-2已知f(x)是定義在R上的可導函數,其導函數f'(x)滿足f'(x)>1,且f(2)=3,則

關于x的不等式f(x)<x+1的解集為

.答案(-∞,2)解析因為f'(x)>1?(f(x)-x)'>0,所以函數g(x)=f(x)-x遞增,且g(2)=f(2)-2=1,所

以不等式f(x)<x+1即為g(x)<g(2),解得x<2.2-3已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,f(1)=0,當x>0時,

>0成立,則不等式f(x)>0的解集是

.答案(-1,0)∪(1,+∞)解析令g(x)=

(x≠0),則g'(x)=

>0在(0,+∞)上恒成立,則g(x)在(0,+∞)上遞增,又函數f(x)是定義在R上的奇函數,則g(x)是定義域上的偶函數,

f(1)=0,則g(-1)=g(1)=0,作出g(x)的大致圖象如圖,由圖可得不等式f(x)>0的解

集是(-1,0)∪(1,+∞).

2-4設函數f(x)是定義在R上的可導函數,其導函數為f'(x),且f'(x)>f(x),且f(3)

=1,則不等式f(x)>ex-3的解集為

.解析令g(x)=

,則g'(x)=

>0,g(x)在R上是遞增函數,∵f(3)=1,∴f(x)>ex-3?

>

?g(x)>g(3),則x>3,故不等式f(x)>ex-3的解集為(3,+∞).題型三構造函數求解不等式恒成立問題例3已知函數f(x)=(lnx-k-1)x(k∈R).(1)若對于任意x∈[e,e2],都有f(x)<4lnx成立,求k的取值范圍;(2)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1x2<e2k.解析(1)由題意得,已知條件可轉化為不等式(x-4)lnx-(k+1)x<0對于x∈[e,e2]恒成立,即k+1>

對于x∈[e,e2]恒成立.令g(x)=

,則g'(x)=

,令t(x)=4lnx+x-4,x∈[e,e2],則t'(x)=

+1>0,所以t(x)在區間[e,e2]上單調遞增,故t(x)min=t(e)=e-4+4=e>0,故g'(x)>0,所以g(x)在區間[e,e2]上單調遞增,所以g(x)max=g(e2)=2-

.所以k+1>2-

,即實數k的取值范圍為

.(2)證明:易知函數f(x)在區間(0,ek)上單調遞減,在區間(ek,+∞)上單調遞增,且f

(ek+1)=0.不妨設x1<x2,則0<x1<ek<x2<ek+1,要證x1x2<e2k,只需證x2<

,即證ek<x2<

.因為f(x)在區間(ek,+∞)上單調遞增,又f(x1)=f(x2),所以證明f(x1)<f

即可,構造函數h(x)=f(x)-f

=(lnx-k-1)x-

,即h(x)=xlnx-(k+1)x+e2k

,x∈(0,ek).則h'(x)=lnx+1-(k+1)+e2k

=(lnx-k)

,因為x∈(0,ek),所以lnx-k<0,x2<e2k,即h'(x)>0,所以函數h(x)在區間(0,ek)上單調遞增,故h(x)<h(ek),而h(ek)=f(ek)-f

=0,故h(x)<0,所以f(x1)<f

,即f(x2)=f(x1)<f

,所以x1x2<e2k成立.【方法歸納】

已知不等式恒成立求參數的取值范圍問題的常用方法是分

離參數法和構造函數法,在無法使用參數分離法時,一般利用構造函數法求

解,將不等式f(x)≥g(x)變形為不等式f(x)≥0型,一般情況下,設F(x)=f(x)-g(x),再

轉化為F(x)min≥0,x∈D(D為恒成立區間),求解含參函數y=F(x),x∈D的最小值,

使其滿足F(x)min≥0,x∈D,進而總結出所求參數的取值范圍.需要注意的是,構

造新函數時要遵循新函數性質較易研究的原則,比如在不等式兩邊變形后再

構造新函數.3-1已知函數f(x)=ex,g(x)=ax2+bx+1(a,b∈R).(1)當a=1時,求函數h(x)=

的單調減區間;(2)當a=0時,若f(x)≥g(x)對任意的x∈R恒成立,求b的取值集合.解析(1)由a=1,得h(x)=

,所以h'(x)=

=-

.由h'(x)=0,得x1=1,x2=1-b.所以當b>0時,函數h(x)的單調減區間為(-∞,1-b),(1,+∞);當b=0時,函數h(x)的單調減區間為(-∞,+∞);當b<0時,函數h(x)的單調減區間為(-∞,1),(1-b,+∞).(2)令φ(x)=f(x)-g(x),當a=0時,φ(x)=ex-bx-1,所以φ'(x)=ex-b.①當b≤0時,φ'(x)>0,函數φ(x)在R上單調遞增.又φ(0)=0,所以x∈(-∞,0)時,φ(x)<0,即f(x)<g(x).②當b>0時,由φ'(x)>0,得x>lnb;由φ'(