2024遼寧中考數學二輪專題訓練題型四規律探索題類型一圖形遞推變化典例精講例1如圖，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的頂點A，A1，A2，A3，…，在射線OM上，頂點B，B1，B2，B3，B4，…，在射線ON上，連接AB2交A1B1于點D，連接A1B3交A2B2于點D1，連接A2B4交A3B3于點D2，…，連接B1D1交AB2于點E，連接B2D2交A1B3于點E1，…，按照這個規律進行下去，設△ACD與△B1DE的面積之和為S1，△A1C1D1與△B2D1E1的面積之和為S2，△A2C2D2與△B3D2E2的面積之和為S3，…，若AB＝2，則Sn等于______．(用含有正整數n的式子表示)例1題圖基本模型【解題步驟】分析圖形可知，所有圖形都是由如圖所示的基本模型構成，故求出S1，S2，S3的面積可類比出Sn的面積．①求S1的面積：根據題意可得：∠AOB＝45°，∠ABO＝90°，∴OB＝AB，∵AB＝AC＝B1C＝BB1＝______，AB∥A1B1，∴A1B1＝2AB＝________，∴A1B1＝A1C1＝B2C1＝B1B2＝________，∵AC∥ON，∴eq\f(CD,DB1)＝eq\f(AC,B1B2)＝____，∴CD＝________B1C＝________，B1D＝__________B1C＝__________．同理可得，B2D1＝________B2C1＝________．∵B1D∥B2D1，∴eq\f(DE,B2E)＝eq\f(B1D,B2D1)＝________，∴S△B1DE＝________S△B1B2D＝________，∵S△ACD＝____，∴S1＝________；②求S2，S3，…的面積：A2B2＝________，S△B2D1E1＝________S△B2B3D1＝________，∵S△A1C1D1＝________，∴S2＝________；S3＝________；③總結，類比可得：Sn＝________．例2如圖，在平面直角坐標系中，△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBnCn都是等腰直角三角形，點B，B1，B2，B3，…，Bn都在x軸上，點B1與原點重合，點A，C1，C2，C3，…，Cn都在直線l：y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(4,3)上，點C在y軸上，AB∥A1B1∥A2B2∥…∥AnBn∥y軸，AC∥A1C1∥A2C2∥…∥AnCn∥x軸，若點A的橫坐標為－1，則點Cn的縱坐標是________．例2題圖基本模型【解題步驟】分析圖形可知，所有圖形都是由如圖所示的基本模型構成，故求出點C1，C2，C3，C4的縱坐標可類比出點Cn的縱坐標．①求點C1的坐標：∵點C1在直線y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(4,3)上，∴設點C1的坐標為(t，______)．∵△B1B2C1是等腰直角三角形，且點B1與原點O重合，∴B1B2＝B2C1，即t＝______，解得t＝2.∴點C1的縱坐標為________；②求點C2，C3，C4的坐標：設點C2的坐標為(m，______)，∵△B2B3C2是等腰直角三角形，∴m－2＝________，解得m＝________，∴點C2的縱坐標為________．同理可得，點C3的縱坐標為_________；點C4的縱坐標為________；③總結，類比可得：點Cn的縱坐標為________．遼寧近年中考真題精選1.如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點E，使AE＝DA，連接EB，點F1是CD的中點，連接EF1,BF1，得到△EF1B；點F2是CF1的中點，連接EF2，BF2，得到△EF2B；點F3是CF2的中點，連接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此規律繼續進行下去，若矩形ABCD的面積等于2，則△EFnB的面積為_________________________．(用含正整數n的式子表示)第1題圖基本模型：____________________2.如圖，在△A1C1O中，A1C1＝A1O＝2，∠A1OC1＝30°，過點A1作A1C2⊥OC1，垂足為C2，過點C2作C2A2∥C1A1交OA1于點A2，得到△A2C2C1；過點A2作A2C3⊥OC1，垂足為C3，過點C3作C3A3∥C1A1交OA1于點A3，得到△A3C3C2；過點A3作A3C4⊥OC1，垂足為C4，過點C4作C4A4∥C1A1交OA1于點A4，得到△A4C4C3；…；按照上面的作法進行下去，得到△An＋1Cn＋1Cn的面積為________．(用含正整數n的代數式表示)第2題圖基本模型：__________________3.如圖，等邊△A1C1C2的周長為1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延長線上取點C3，使D1C3＝D1C1，連接D1C3，以C2C3為邊作等邊△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延長線上取點C4，使D2C4＝D2C2，連接D2C4，以C3C4為邊作等邊△A3C3C4；…；且點A1，A2，A3，…都在直線C1C2同側，如此下去，則△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn＋1的周長和為________．(n≥2，且n為整數)第3題圖基本模型：__________________基本模型：,,,,,)4.如圖，點B1在直線l：y＝eq\f(1,2)x上，點B1的橫坐標為2，過B1作B1A1⊥l，交x軸于點A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長B2C1交x軸于點A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長B3C2交x軸于點A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3，延長B4C3交x軸于點A4；…；按照這個規律進行下去，點Cn的橫坐標為________(結果用含正整數n的代數式表示)．第4題圖基本模型：__________________5.如圖，直線l1的解析式是y＝eq\f(\r(3),3)x，直線l2的解析式是y＝eq\r(3)x，點A1在l1上，A1的橫坐標為eq\f(3,2)，作A1B1⊥l1交l2于點B1，點B2在l2上，以B1A1，B1B2為鄰邊在直線l1，l2間作菱形A1B1B2C1，分別以A1，B2為圓心，以A1B1為半徑畫弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，記扇形B1A1C1與扇形B1B2C1重疊部分的面積為S1；延長B2C1交l1于點A2，點B3在l2上，以B2A2，B2B3為鄰邊在l1，l2間作菱形A2B2B3C2，分別以A2，B3為圓心，以A2B2為半徑畫弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，記扇形B2A2C2與扇形B2B3C2重疊部分的面積為S2；…；按照此規律繼續作下去，則Sn＝__________________________(用含有正整數n的式子表示)．第5題圖基本模型：________________針對訓練1.如圖，在平面直角坐標系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．將△OAB進行n次變換得到△OAnBn，則△OAnBn的面積為________．第1題圖2.如圖，∠MON＝30°，點A1在ON上，點C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON于點B1，以A1B1和B1C1為鄰邊作矩形A1B1C1D1，點A1，A2關于點B1對稱，A2C2∥A1C1交OM于點C2，C2B2⊥ON于點B2，以A2B2和B2C2為鄰邊作矩形A2B2C2D2，連接D1D2，點A2，A3關于點B2對稱，A3C3∥A2C2交OM于點C3，C3B3⊥ON于點B3，以A3B3和B3C3為鄰邊作矩形A3B3C3D3，連接D2D3，…，依此規律繼續下去，則D2021D2022＝________．第2題圖3.如圖，直線y＝－x＋1分別交x軸、y軸于點A、B，點O1、A1分別是BO、BA的中點，連接A1O1、AO1；O2、A2分別是BO1、BA1的中點，連接A2O2、A1O2，…，按此規律進行下去，則S△AnAn＋1On＋1的面積是________．第3題圖4.如圖，四邊形OAA1B1是邊長為1的正方形，以對角線OA1為邊作第二個正方形OA1A2B2，連接AA2，得到△AA1A2；再以對角線OA2為邊作第三個正方形OA2A3B3，連接A1A3，得到△A1A2A3；再以對角線OA3為邊作第四個正方形OA3A4B4，連接A2A4，得到△A2A3A4，…，則△AnAn＋1An＋2的面積等于________．第4題圖5.如圖，n個腰長為1的等腰直角三角形(Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3，…)有一條腰在同一直線上，設△A1B2C1的面積為S1，△A2B3C2的面積為S2，△A3B4C3的面積為S3，…，則Sn＝________．(用含n的代數式表示)第5題圖6.如圖，分別過x軸上點A1(1，0)，A2(2，0)，…，An(n，0)作x軸的垂線，與反比例函數y＝eq\f(6,x)(x＞0)的圖象的交點分別為B1，B2，…，Bn，若△A1B1A2的面積為S1，△A2B2A3的面積為S2，…，△AnBnAn＋1的面積為Sn，則Sn＝________．(用含n的式子表示)第6題圖7.已知直線m：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)與直線n：y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)交于點A，直線n與x軸交于點B1，過B1作B1C1⊥x軸，交直線m于點C1，作菱形AB1D1C1得點D1，過D1作B2C2⊥x軸，分別與直線n和直線m交于點B2，C2，作菱形AB2D2C2得點D2，過點D2作B3C3⊥x軸，分別與直線n和直線m交于點B3，C3，作菱形AB3D3C3得點D3，…，設△B1C1D1的面積為S1，△B2C2D2的面積為S2，△B3C3D3的面積為S3，…，依次類推，則△B2022C2022D2022的面積S2022的值是________．第7題圖8.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，作BC1⊥AC，垂足為C1，作CB1⊥AB，垂足為B1，BC1與CB1交于點A1；作B1C2⊥AC，垂足為C2，作C1B2⊥AB，垂足為B2，B1C2與C1B2交于點A2；作B2C3⊥AC，垂足為C3，作C2B3⊥AB，垂足為B3，B2C3與C2B3交于點A3；…；若△A1BC的面積為1，則四邊形AnBnAn＋1Cn的面積為________．第8題圖9.如圖，∠MON＝90°，點A1，A2，A3，….An＋1在射線OM上，點B1，B2，B3，…，Bn＋1在射線ON上，連接A1B2，A2B1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，A1B2∥A2B3∥A3B4…∥AnBn＋1，A2B1∥A3B2∥A4B3…∥An＋1Bn，A1B2與A2B1相交于點C1，A2B3與A3B2相交于點C2，A3B4與A4B3相交于點C3，…，AnBn＋1與An＋1Bn相交于點Cn，OA1＝OB1＝1，則四邊形AnCnBnO的周長為________．第9題圖10.如圖，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…的頂點A，A1，A2，A3，…在射線OM上，頂點B，B1，B2，B3，B4，…在射線ON上，連接AB2交A1B1于點D，連接A1B3交A2B2于點D1，連接A2B4交A3B3于點D2，…，連接B1D1交AB2于點E，連接B2D2交A1B3于點E1，…，按照這個規律進行下去，設四邊形A1DED1的面積為S1，四邊形A2D1E1D2的面積為S2，四邊形A3D2E2D3的面積為S3，…，若AB＝2，則Sn等于________．(用含有正整數n的式子表示)第10題圖11.正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如圖所示的方式放置，點A1，A2，A3，…和點B1，B2，B3，…分別在直線y＝－x＋2和x＝1上，且A1在x軸上，則點C2022的橫坐標是________．第11題圖12.如圖，在平面直角坐標系中，點A(－2，0)，直線l：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)與x軸交于點B，以AB為邊作等邊△ABA1，過點A1作A1B1∥x軸，交直線l于點B1，以A1B1為邊作等邊△A1B1A2，過點A2作A2B2∥x軸，交直線l于點B2，以A2B2為邊作等邊△A2B2A3，以此類推，連接AB1，與A1B交于點C1，連接A1B2，與A2B1交于點C2，以此類推，則點C2022的縱坐標是________．第12題圖類型二圖形周期變化典例精講例3如圖，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n為正整數)均為等邊三角形，它們的邊長依次為2，4，6，…，2n，頂點A3，A6，A9，…，A3n均在y軸上，點O是所有等邊三角形的中心，則點A2016的坐標為________．例3題圖【解題步驟】①確認周期：觀察圖形可知，三角形的頂點______個為一個循環；②確定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴點A2016在y軸上，且是第________個三角形的頂點；③求A2016的坐標：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高為________．∵點O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴點A2016的坐標為________．遼寧近年中考真題精選1.如圖①，邊長為1的正三角形ABC放置在邊長為2的正方形內部，頂點A在正方形的一個頂點上，邊AB在正方形的一邊上，將△ABC繞點B順時針旋轉，當點C落在正方形的邊上時，完成第1次無滑動滾動(如圖②)；再將△ABC繞點C順時針旋轉，當點A落在正方形的邊上時，完成第2次無滑動滾動(如圖③)；…；每次旋轉的角度都不大于120°，依次這樣操作下去，當完成第2016次無滑動滾動時，點A經過的路徑總長為________．第1題圖針對訓練1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，第一象限內有一條折線，構成這條線段的端點的坐標是這樣的：A1(1，1)、A2(1，2)、A3(2，2)、A4(2，3)、A5(3，3)、A6(3，4)、A7(4，4)，…，依此規律，點A71的坐標為________．第1題圖2.如圖，多邊形A1A2A3A4A5A6、多邊形A7A8A9A10A11A12、…、多邊形A6n－5A6n－4A6n－3A6n－2A6n－1A6n(n為正整數)均為正六邊形，它們的邊長依次是2、4、…、2n，頂點A6、A12、…、A6n均在x軸上，點O是所有正六邊形的中心，則A2021的坐標是________．第2題圖3.如圖，四邊形OA1B1C1是邊長為1的正方形，點A1、C1分別在x軸、y軸的負半軸上，連接OB1，以OB1的長為邊長向右側作正方形OA2B2C2，點A2在y軸的負半軸上，點C2在x軸的正半軸上，連接OB2，以OB2的長為邊長向上方作正方形OA3B3C3，點A3、C3分別在x軸、y軸的正半軸上，…，按照這個規律進行下去，點B2021的坐標為________．第3題圖4.如圖，在直角坐標系中，以原點O為圓心的同心圓的半徑由內向外依次為1，2，3，4，…，同心圓與直線y＝x和y＝－x分別交于A1，A2，A3，A4，…，則點A30的坐標是________．第4題圖5.如圖，在平面直角坐標系中，等腰Rt△OA1A2的直角邊OA1在y軸的正半軸上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2為直角邊作第二個等腰Rt△OA2A3，以OA3為直角邊作第三個等腰Rt△OA3A4，…，依此規律，得到等腰Rt△OA2021A2022，則點A2022的坐標為________．第5題圖6.如圖，在平面直角坐標系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等邊三角形，且點A1，A3，A5，A7，A9的坐標分別為A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依據圖形所反映的規律，則A100的坐標為________．第6題圖7.如圖，邊長為4的等邊△ABC，AC邊在x軸上，點B在y軸的正半軸上，以OB為邊作等邊△OBA1，邊OA1與AB交于點O1，以O1B為邊作等邊△O1BA2，邊O1A2與A1B交于點O2，以O2B為邊作等邊△O2BA3，邊O2A3與A2B交于點O3，…，依此規律繼續作等邊△On－1BAn，則A2020的橫坐標為________．第7題圖參考答案類型一圖形遞推變化典例精講例1eq\f(7×22n－1,9)【解題步驟】①2，4，4，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(4,3)，eq\f(2,3)，eq\f(8,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×4＝eq\f(8,9)，eq\f(1,2)×2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，eq\f(2,3)＋eq\f(8,9)＝eq\f(14,9)；②8，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×8＝eq\f(32,9)，eq\f(1,2)×4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，eq\f(8,3)＋eq\f(32,9)＝eq\f(56,9)，eq\f(224,9)；③eq\f(7×22n－1,9).例2eq\f(3n－1,2n－2)【解題步驟】①eq\f(1,3)t＋eq\f(4,3)，eq\f(1,3)t＋eq\f(4,3)，2；②eq\f(1,3)m＋eq\f(4,3)，eq\f(1,3)m＋eq\f(4,3)，5，3，eq\f(9,2)，eq\f(27,4)；③eq\f(3n－1,2n－2).遼寧近年中考真題精選1.eq\f(2n＋1,2n)【解析】設AB＝CD＝a，AD＝CB＝EA＝b，則DE＝2b，DF1＝CF1＝eq\f(1,2)a，CF2＝eq\f(1,4)a，CF3＝eq\f(1,8)a，∴S△EF1B＝S四邊形BCDE－S△DEF1－S△CBF1＝eq\f(1,2)(2b＋b)a－eq\f(1,2)×2b×eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)ab＝eq\f(3,4)ab＝eq\f(3,4)×2＝eq\f(3,2)；S△EF2B＝S四邊形BCDE－S△DEF2－S△CBF2＝eq\f(1,2)(2b＋b)a－eq\f(1,2)×2b×eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)×eq\f(1,4)ab＝eq\f(5,8)ab＝eq\f(5,8)×2＝eq\f(5,4)；S△EF3B＝S四邊形BCDE－S△DEF3－S△CBF3＝eq\f(1,2)(2b＋b)a－eq\f(1,2)×2b×eq\f(7,8)a－eq\f(1,2)×eq\f(1,8)ab＝eq\f(9,16)ab＝eq\f(9,16)×2＝eq\f(9,8)；…；由面積變化規律可知S△EFnB＝eq\f(2n＋1,2n).基本模型：2.eq\f(\r(3),4n)【解析】∵A1O＝A1C1＝2，∠A1OC1＝30°，A1C2⊥OC1，∴A1C2＝eq\f(1,2)A1O＝1，C1C2＝C2O＝eq\r(3)，又∵A2C3⊥OC1，∴A2C3∥A1C2，∴A2C3是△A1C2O的中位線，∴A2C3＝eq\f(1,2)A1C2＝eq\f(1,2)，S△A2C2C1＝eq\f(1,2)C1C2·A2C3＝eq\f(\r(3),4)；以此類推，S△A3C3C2＝eq\f(\r(3),42)；S△A4C4C3＝eq\f(\r(3),43)；…；∴S△An＋1Cn＋1Cn＝eq\f(\r(3),4n).基本模型：3.eq\f(2n－1,2n－1)【解析】∵△A1C1C2是等邊三角形，∴∠A1C2C1＝60°，∵C1D1⊥A1C2，∴D1C2＝eq\f(1,2)C1C2，∠D1C1C2＝30°，∵C1D1＝D1C3，∴∠D1C3C2＝∠D1C1C2＝30°，∴∠C2D1C3＝∠C2C3D1＝30°，∴C2C3＝C2D1＝eq\f(1,2)C1C2，∴C△A2C2C3＝eq\f(1,2)C△A1C1C2＝eq\f(1,2)，同理C△A3C3C4＝eq\f(1,2)C△A2C2C3＝eq\f(1,22)，∴△AnCnCn＋1的周長為eq\f(1,2n－1)，∴這些三角形的周長和為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－1)＝eq\f(2n－1,2n－1).基本模型：4.7×eq\f(3n－1,2n)【解析】如解圖，過點B1作B1M⊥x軸于點M，過點C1作C1N⊥x軸于點N，∵點B1的坐標為(2，1)，∴點M的坐標為(2，0)，即B1M＝1，OM＝2，由△A1MB1∽△B1MO可得A1M＝eq\f(1,2)，又∵△C1NA1≌△A1MB1，∴A1N＝1，C1N＝eq\f(1,2)，∴點C1的橫坐標為eq\f(7,2)；同理可得，點C2的橫坐標為eq\f(7,2)×eq\f(3,2)；點C3的橫坐標為eq\f(7,2)×(eq\f(3,2))2；…；∴點Cn的橫坐標為7×eq\f(3n－1,2n).第4題解圖基本模型：5.(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))2n－2【解析】∵直線l1∶y＝eq\f(\r(3),3)x，∴∠A1Ox＝30°，∵直線l2∶y＝eq\r(3)x，∴∠B1Ox＝60°，∴∠A1OB1＝30°.∵A1B1⊥l1，∴∠OB1A1＝60°，∵四邊形A1B1B2C1是菱形，∴A1C1∥B1B2，∴∠B1A1C1＝∠A1B1O＝60°，∵A1B1＝A1C1，∴△A1B1C1是等邊三角形，∴S1＝2(S扇形A1B1C1－S△A1B1C1).∵點A1的橫坐標為eq\f(3,2)，∴點A1的縱坐標為eq\f(\r(3),2)，OA1＝eq\r(3).如解圖，過點A1作A1D⊥x軸于點D，則△A1OB1∽△DOA1，∴eq\f(A1B1,DA1)＝eq\f(A1O,DO)，即eq\f(A1B1,\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(3),\f(3,2))，∴A1B1＝1，∴S1＝2×(eq\f(π,6)－eq\f(\r(3),4))＝eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2).在△A2A1C1中，A1C1＝A1B1＝1，∠C1A1A2＝30°，∴A2C1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)，∴A2B2＝A2C1＋B2C1＝eq\f(3,2)，∴S2＝2[(eq\f(π,6)×(eq\f(3,2))2－eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(eq\f(3,2))2]＝(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))2，同理S3＝(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))4，S4＝(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))6，∴Sn＝(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))2(n－1)＝(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))2n－2.第5題解圖基本模型：針對訓練1.3·2n【解析】∵A，A1，A2…An都在平行于x軸的直線上，點的縱坐標都相等，∴An的縱坐標是3，這些點的橫坐標有一定的規律An＝2n；B，B1，B2，…，Bn都在x軸上，Bn的縱坐標是0，這些點的橫坐標也有一定的規律Bn＝2n＋1，點An的坐標是(2n，3)，Bn的坐標是(2n＋1，0)，∴△OAnBn的面積＝eq\f(1,2)×3×OBn＝3·2n.2.22020·eq\r(7)【解析】由題意得D1D2＝eq\r(22＋（\r(3)）2)＝eq\r(7)＝20·eq\r(7)，D2D3＝eq\r(42＋（2\r(3)）2)＝2eq\r(7)＝21·eq\r(7)，D3D4＝eq\r(82＋（4\r(3)）2)＝4eq\r(7)＝22·eq\r(7)，…，∴DnDn＋1＝2n－1·eq\r(7).∴D2021D2022＝22020·eq\r(7).3.eq\f(1,22n＋3)【解析】把x＝0代入y＝－x＋1得，y＝1，∴OB＝1，把y＝0代入y＝－x＋1得，x＝1，∴OA＝1，∴OA＝OB，∵點O1、A1分別是BO、BA的中點，∴OO1＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(1,2)，O1A1是△OAB的中位線，∴O1A1∥OA，O1A1＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(1,2)，如解圖，連接OA1，O1A2，∵O1A1∥OA，∴S△AO1A1＝S△OO1A1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,23)，同理，O2A2＝eq\f(1,2)O1A1＝eq\f(1,4)，O2O1＝eq\f(1,2)BO1eq\f(1,4)，S△A1O2A2＝S△O1O2A2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,25)，…，∴S△AnAn＋1On＋1＝eq\f(1,22n＋3).第3題解圖4.2n－1【解析】設△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面積分別為S1、S2、S3，∵四邊形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝eq\f(1,2)，∵∠OAA1＝90°，∴OAeq\o\al(2,1)＝12＋12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝1，同理可求：S3＝2，S4＝4，…，∴Sn＝2n－2，∴△AnAn＋1An＋2的面積Sn＋1＝2n－1.5.eq\f(n,2n＋2)【解析】如解圖，連接B1B2，B2B3，B3B4，∵n個腰長為1的等腰三角形有一條腰在同一直線上，∴B1B2＝B2B3＝B3B4＝1，∴△A1B1B2的面積＝eq\f(1,2)，∵B1B2∥AA4，∴eq\f(B1B2,AA1)＝1，eq\f(B2B3,AA2)＝eq\f(1,2)，eq\f(B3B4,AA3)＝eq\f(1,3)，∴S1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,4)，∵S2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,1＋2)＝eq\f(1,3)，S3＝eq\f(1,2)×eq\f(3,3＋1)＝eq\f(3,8)，∴Sn＝eq\f(1,2)×eq\f(n,n＋1)＝eq\f(n,2n＋2).第5題解圖6.eq\f(3,n)【解析】如解圖，分別連接OB1，OB2，…，OBn，∵點A1(1，0)，A2(2，0)，…，An(n，0)，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…，∵B1，B2，…，Bn在反比例函數y＝eq\f(6,x)(x＞0)的圖象上，∴S△AnOBn＝eq\f(1,2)×6＝3，∴S1＝S△A1OB1＝3，S2＝eq\f(1,2)S△A2OB2＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(1,3)S△A3OB3＝eq\f(3,3)，…，Sn＝eq\f(1,n)S△AnOBn＝eq\f(3,n).第6題解圖7.24041【解析】由eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)得x＝0，則A(0，eq\f(1,2))，令y＝0，由y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)＝0得x＝1，則B1(1，0)，C1(1，1)，∴B1C1＝1，如解圖，連接AD1，D1D2，D2D3，由菱形的對稱性可得AD1＝2，∴S菱形AB1D1C1＝eq\f(1,2)AD1·B1C1＝eq\f(1,2)×2×1＝1，∴S1＝eq\f(1,2)S菱形AB1D1C1＝eq\f(1,2)，把x＝2分別代入y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)與y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)得y＝eq\f(3,2)和y＝－eq\f(1,2)，∴B2(2，－eq\f(1,2))，C2(2，eq\f(3,2))，∴B2C2＝2，由菱形的對稱性得AD2＝4，∴S2＝eq\f(1,2)S菱形AB2D2C2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×4×2＝2，把x＝4分別代入y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)與y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)得y＝eq\f(5,2)和y＝－eq\f(3,2)，∴B3(4，－eq\f(3,2))，C3(4，eq\f(5,2))，∴B3C3＝4，由菱形的對稱性得AD3＝8，∴S3＝eq\f(1,2)S菱形AB3D3C3＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×8×4＝8，同理可得S4＝32，S5＝128，…，由上可知Sn＝22n－3，∴S2022＝24041.第7題解圖8.eq\f(3n,22n－1)【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵BC1⊥AC，∴∠CBA1＝15°，同理可得∠BCB1＝15°，∴∠CA1C1＝30°，A1B＝A1C，∴CC1＝eq\f(1,2)A1C，∵△A1BC的面積為1，∴eq\f(1,2)A1B·CC1＝1，即eq\f(1,2)A1C·eq\f(1,2)A1C＝1，∴A1C＝2，∴A1C1＝eq\f(\r(3),2)A1C＝eq\r(3)，∵A1C1⊥AC，B1A2⊥AC，∴A1C1∥B1A2，同理，A1B1∥A2C1，∴四邊形A1B1A2C1是平行四邊形，∵∠B1BC＝∠C1CB，∠BB1C＝∠CC1B＝90°，BC＝CB，∴△BB1C≌△CC1B(AAS)，∴BC1＝CB1，∵A1B＝A1C，∴A1B1＝A1C1，∴四邊形A1B1A2C1是菱形，∴A1C1＝A2C1，∵CB1∥C1B2，∴∠A2C1A1＝∠CA1C1＝30°，如解圖，過點A1作A1M⊥A2C1于M，∴A1M＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)eq\r(3)，∴菱形A1B1A2C1的面積＝A2C1·A1M＝eq\f(3,2)＝eq\f(31,22×1－1)；同理可得，菱形A2B2A3C2的面積＝eq\f(9,8)＝eq\f(32,22×2－1)；菱形A3B3A4C3的面積＝eq\f(27,32)＝eq\f(33,22×3－1)；…；由上可知四邊形AnBnAn＋1Cn的面積＝eq\f(3n,22n－1).第8題解圖9.2(eq\r(3))n【解析】∵OA1＝OB1＝1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，∴OA2＝eq\f(1,tan∠OA2B1)＝eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)，∴A1A2＝OA2－OA1＝eq\r(3)－1，∵∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，∴∠B2A1O＝60°，∵∠B2A1O＝∠B1A2O＋∠A1C1A2，∴∠A1C1A2＝30°，∴∠B1A2O＝∠A1C1A2＝30°，∴A1A2＝A1C1＝eq\r(3)－1，同理OB2＝eq\r(3)，B1B2＝B1C1＝eq\r(3)－1，∴四邊形A1C1B1O的周長為1＋1＋eq\r(3)－1＋eq\r(3)－1＝2eq\r(3)，∵A1B2∥A2B3，A2B1∥A3B2，∴∠OA1B2＝∠OA2B3，∠OB1A2＝∠OB2A3，∴四邊形OA1C1B1∽四邊形OA2C2B2，且相似比為eq\f(OA2,OA1)＝eq\r(3)，同理四邊形OA2C2B2∽四邊形OA3C3B3，且相似比為eq\r(3)；以此類推，四邊形OAn－1Cn－1Bn－1∽四邊形OAnCnBn，且相似比為eq\r(3)；∴四邊形OA1C1B1∽四邊形OAnCnBn，且相似比為(eq\r(3))n－1，∴eq\f(四邊形OA1C1B1的周長,四邊形OAnCnBn的周長)＝eq\f(1,（\r(3)）n－1)，∴四邊形AnCnBnO的周長為2eq\r(3)×(eq\r(3))n－1＝2(eq\r(3))n.10.eq\f(1,9)×4n＋2【解析】設△ADC的面積為S，由題意得，AC∥B1B2，AC＝AB＝2，B1B2＝4，∴△ACD∽△B2B1D，∴eq\f(S△ADC,S△B1B2D)＝(eq\f(AC,B1B2))2＝eq\f(1,4)，∴S△B1B2D＝4S，∵eq\f(CD,DB1)＝eq\f(AC,B1B2)＝eq\f(1,2)，CB1＝2，∴DB1＝eq\f(4,3)，同理D1B2＝eq\f(8,3)，設△B1DE的邊B1D上的高為h1，△B2D1E的邊B2D1上的高為h2，∵B1D∥B2D1，∴△B1DE∽△D1B2E，∴eq\f(h1,h2)＝eq\f(B1D,B2D1)＝eq\f(\f(4,3),\f(8,3))＝eq\f(1,2)，又∵h1＋h2＝4，∴h1＝eq\f(4,3)，S1＝eq\f(1,2)(B1B2)2－eq\f(1,2)B1D·h1＝eq\f(1,9)×43，同理可得S2＝eq\f(1,9)×44，…，Sn＝eq\f(1,9)×4n＋2.11.22021＋1【解析】如解圖，令y＝0，則y＝－x＋2＝0，得x＝2，∴點A1的坐標為(2，0)．令x＝0，則y＝－x＋2＝2，∴M(0，2)，∴OM＝OA1＝2，∴∠MA1O＝45°，∴∠A1PN＝45°，∵四邊形A1B1C1A2為正方形，∴∠MA1B1＝90°，∴∠NA1B1＝45°，∴∠A1B1N＝45°，∴A1N＝B1N＝2－1＝1，∴A1P＝A1B1＝A1A2＝A2C1＝B1C1＝eq\r(2)，B1(1，－1)，如解圖，連接A2B1，A1C1，則∠A1B1A2＝∠C1A1B1＝45°，∴∠A2B1N＝∠C1A1N＝90°，∴點C1的橫坐標與A1的橫坐標相等為2，A2與B1的縱坐標相等為－1，當y＝－1時，y＝－x＋2＝－1，得x＝3，∴點A2的坐標為(3，－1)．∵四邊形A2B2C2A3為正方形，∴∠PA2B2＝90°，∵∠A1PN＝45°，∵A2B2＝A2P＝2eq\r(2)，∴PB2＝eq\r(2)A2B2＝4，∴B2(1，－3)，如解圖，連接A3B2，A2C2，則A3B2∥x軸，A2C2∥y軸，∴點C2的橫坐標與A2的橫坐標相等為3，A3與B2的縱坐標相等為－3，當y＝－3時，y＝－x＋2＝－3，得x＝5，∴點A3的坐標為(5，－3)．∴點C3的橫坐標為5.同理可得，C4的橫坐標為9，C5的橫坐標為17，…，由上可得規律，Cn的橫坐標為2n－1＋1(n≥2)，∴點C2022的縱坐標為22021＋1.第11題解圖12.eq\f(22023－3,6)eq\r(3)【解析】∵直線l：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)與x軸交于點B，∴B(－1，0)，∴OB＝1，∵A(－2，0)，∴OA＝2，∴AB＝1，∵△ABA1是等邊三角形，∴A1(－eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))，把y＝eq\f(\r(3),2)代入y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)，求得x＝eq\f(1,2)，∴B1(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，∴A1B1＝2，設C1到x軸的距離為h1，C1到A1B1的距離為h1′，∴h1＋h1′＝yA1＝eq\f(1,2)eq\r(3)，∵A1B1//AB，∴△A1B1C1∽△BAC1，∴eq\f(h1,h1′)＝eq\f(BA,A1B1)＝eq\f(1,2)，∴h1＝eq\f(1,3)(h1＋h1′)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)eq\r(3)＝eq\f(1,6)eq\r(3)，∴C1的縱坐標為eq\f(1,6)eq\r(3)；∵A1B1＝2，∴A2(－eq\f(1,2)，eq\f(3\r(3),2))，將y＝eq\f(3\r(3),2)代入y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)中，得eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)＝eq\f(3\r(3),2)，求得x＝eq\f(7,2)，∴B2(eq\f(7,2)，eq\f(3\r(3),2))，∴A2B2＝4，設C2到A1B1的距離為h2，C2到A2B2的距離為h2′，∴h2＋h2′＝eq\f(1,2)A1B1·eq\r(3)＝eq\r(3)，∵A1B1//A2B2，∴△A1B1C2∽△B2A2C2，∴eq\f(h2,h2′)＝eq\f(A1B1,A2B2)＝eq\f(1,2)，∴h2＝eq\f(1,3)(h2＋h2′)＝eq\f(1,3)×eq\r(3)＝eq\f(1,3)eq\r(3)，∴C2的縱坐標為yA1＋h2＝eq\f(1,2)eq\r(3)＋eq\f(1,3)eq\r(3)＝eq\f(5,6)eq\r(3)；同理可得，C3的縱坐標為eq\f(13,6)eq\r(3)；C4的縱坐標為eq\f(29,6)eq\r(3)；…，∴Cn的縱坐標為eq\f(2n＋1－3,6)eq\r(3).∴點C2022的縱坐標是eq\f(22023－3,6)eq\r(3).第12題解圖類型二圖形周期變化典例精講例3(0，448eq\r(3))【解題步驟】①3；②3，672,672；③eq\r(3)，eq\f(2\r(3),3)，eq\f(4\r(3),3)，2eq\r(3)，(0，448eq\r(3))遼寧近年中考真題精選1.560π【解析】第一次操作：A點運動路徑長為l1＝eq\f(120×π×1,180)＝eq\f(2,3)π，第二次操作：A點運動路徑長為l2＝eq\f(30×π×1,180)＝eq\f(1,6)π，第三次操作：A點運動路徑長為l3＝0，第四次操作：A點運動路徑長為l4＝eq\f(30×π×1,180)＝eq\f(1,6)π，第五次操作：A點運動路徑長為l5＝eq\f(120×π×1,180)＝eq\f(2,3)π，第六次操作：A點運動路徑長為l6＝0，第七次操作：A點運動路徑長為l7＝eq\f(120,180)×π×1＝eq\f(2,3)π，…，以此類推，不難發現每三次操作，A點的運動路徑總長相同，即為l＝eq\f(2,3)π＋eq\f(1,6)π＋0＝eq\f(5,6)π，又∵2016÷3＝672剛好整除，∴A點的運動總路徑長為l總＝672×eq\f(5,6)π＝560π.針對訓練1.(36，36)【解析】觀察這些端點的坐標，有以下規律：當n為奇數時，第n個點的坐標為(eq\f(n＋1,2)，eq\f(n＋1,2))；當n為偶數時，第n個點的坐標為(eq\f(1,2)n，eq\f(1,2)n＋1)．由此可知，點A71的坐標為(36，36)．2.(337，－337eq\r(3))【解析】觀察圖形可知，六邊形的頂點是6個為一個循環，∵2021÷6＝336……5，∴點A2021是第337個正六邊形的頂點，且在第四象限，如解圖連接OA5，A5，A11，并延長至A2021，∵點O是所有正六邊形的中心，易得△OA5A6、△OA11A12…，都是等邊三角形，∴OA5＝2、OA11＝4、…，OA2021＝337×2＝674，作A2021P⊥x軸于點P，∵∠A2021OP＝60°，∴A2021P＝OA2021·sin60°＝337eq\r(3)，OP＝OA2021·cos60°＝337，∴點A2021的坐標是(337，－337eq\r(3))．第2題解圖3.(－21010，－21010)【解析】由題意得，點B1，B2，B3，B4分別在第三象限，第四象限，第一象限，第二象限的角平分線上，且點B5與點B1在一條直線上，∴周期為4.∵2021÷4＝505……1，∴點B2021在第三象限的角平分線上．∵四邊形OA1B1C1是邊長為1的正方形，∴OA1＝1，∴OB1＝eq\r(2).∵正方形OA2B2C2的邊長等于OB1，∴OA2＝eq\r(2)，∴OB2＝eq\r(2)OA2＝2＝(eq\r(2))2.∵正方形OA3B3C3的邊長等于OB2，∴OA3＝2，∴OB3＝eq\r(2)OA3＝2eq\r(2)＝(eq\r(2))3.同理可得，OB2021＝(eq\r(2))2021，∴點B2021的橫坐標為－(eq\r(2))