第四節數系的擴充與復數的引入考試要求：1.理解復數的基本概念．2．理解復數相等的充要條件．3．了解復數的代數表示法及其幾何意義．4．會進行復數代數形式的四則運算．5．了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義．自查自測知識點一復數的有關概念1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)復數z＝a－bi(a，b∈R)中，虛部為b.(×)(2)復數可以比較大小．(×)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數z為純虛數．(×)(4)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模．(√)核心回扣1.定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}(i為虛數單位)中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部．2．分類：滿足條件(a，b為實數)復數的分類a＋bi為實數?b＝0a＋bi為虛數?b≠0a＋bi為純虛數?a＝0且b≠02．(教材改編題)若復數z＝m2+m-6m＋(m2－2mA．2 B．－3C．2或－3 D．1或－3B解析：因為復數z＝m2+m-6m＋(m2所以m≠0，m23.復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．4．共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．5．模：向量OZ的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2知識點二復數的幾何意義在復平面內，向量AB對應的復數是2＋i，向量CB對應的復數是－1－3i，則向量CA對應的復數是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD解析：由CA＝CB+BA知，1．復數z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應復平面內的點Z(a，2．復數z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應平面向量知識點三復數的運算法則1．(教材改編題)復數5i-2的共軛復數是－2＋i解析：5i-2＝2．已知復數z滿足(3＋4i)·z＝5(1－i)，則z的虛部是．－75解析：因為(3＋4i)·z所以z＝51-i3+4i＝51-i3-4i3+4所以z的虛部為－75設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.【常用結論】1．(1±i)2＝±2i，1+i1-i2．若ω＝－12＋32i，則有ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0，1＋ω+ω2＝0，3．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0(n∈N*)．4．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝z1z2，|z應用1復數z＝1-i1+i，則ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋A．1 B．－1C．i D．－iB解析：因為z2＝1-i1+i2應用21-i216＋(1＋2i)2＝－2＋4i解析：原式＝1-i228＋(－3＋4i)＝-2i復數的有關概念1．若z＝3＋4i，則|z|＝()A．5 B．5C．7 D．25B解析：因為z＝3＋4i，所以|z|＝32+42．(2024·泰安模擬)已知復數z與(z＋2)2＋8i都是純虛數，則z＝()A．2 B．－2C．2i D．－2iC解析：設z＝bi(b≠0)．因為(z＋2)2＋8i＝(bi＋2)2＋8i＝4－b2＋(4b＋8)i為純虛數，所以4-b2=0所以z＝2i.3．(2022·全國乙卷)已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b為實數，則()A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2A解析：由題可得z＝1＋2i，則z＋az＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋由z＋az＋b＝0，得1+a+b=0，2a-2=0解決復數概念問題的方法及注意事項(1)求一個復數的實部與虛部，只需將已知的復數化為代數形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復數的實部為a，虛部為b.(2)求一個復數的共軛復數，只需將此復數整理成標準的代數形式，實部不變，虛部變為原來的相反數，即得原復數的共軛復數．復數z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．復數的幾何意義【例1】(1)(2024·武漢模擬)已知i是虛數單位，復數m＋1＋(2－m)i在復平面內對應的點在第二象限，則實數m的取值范圍是()A．(－∞，－1)B．(－1，2)C．(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)A解析：因為復數m＋1＋(2－m)i在復平面內對應的點在第二象限，所以m+1＜0，2-m＞0，解得(2)(2023·新高考全國Ⅱ卷)在復平面內，(1＋3i)·(3－i)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A解析：因為(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，則所求復數對應的點為(6，8)，位于第一象限．(3)設復數z滿足|z＋1|＝|z－i|，z在復平面內對應的點為(x，y)，則()A．x＝0 B．y＝0C．x－y＝0 D．x＋y＝0D解析：由題可得z＝x＋yi.因為復數z滿足|z＋1|＝|z－i|，所以x+12+y2＝x2復數幾何意義問題的解題策略(1)復數z、復平面上的點Z及向量OZ間的相互聯系：z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?OZ＝(a，b)．(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題簡單化．1．(2024·岳陽模擬)已知復數z滿足z(1＋i)＝2i，則復數z在復平面內對應點所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A解析：因為z(1＋i)＝2i，所以z＝2i1+i＝22．設復數z滿足|z－1|＝2，z在復平面內對應的點為(x，y)，則()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．2x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4A解析：|z－1|＝x-12+所以(x－1)2＋y2＝4.復數的運算考向1復數的乘法運算【例2】(1)(2022·新高考全國Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)等于()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2iD解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.(2)計算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于()A．2i－13 B．13＋2iC．13－2i D．－13－2iD解析：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.(3)若z＋z＝6，z·z＝10，則z等于()A．1±3i B．3±iC．3＋i D．3－iB解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，由題意得2a=6，a2+b2=10復數乘法運算的要點(1)復數的乘法類似于多項式的乘法，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i2換成－1.(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．③(1±i)2＝±2i.考向2復數的除法運算【例3】(1)(2023·新高考全國Ⅰ卷)已知z＝1-i2+2i，則zA．－i B．iC．0 D．1A解析：因為z＝1-i2+2i＝1-i1-i2(2)(2023·全國乙卷)設z＝2+i1+iA．1－2i B．1＋2iC．2－i D．2＋iB解析：由題意可得z＝2+i1+i2+i5＝2+復數的除法運算法則的應用復數的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用分母“實數化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復數，使分母成為實數，再計算．考向3復數運算的綜合應用【例4】(1)(多選題)若復數z1＝1＋2i，z2＝7－3i，則下列說法正確的是()A．z1＝B．在復平面內，復數z2所對應的點位于第四象限C．z1·z2的實部為13D．z1·z2的虛部為－11ABC解析：由題意得，z1＝12+22＝5，故A正確；在復平面內，復數z2所對應的點為(7，－3)，位于第四象限，故B正確；因為z1·z2＝(1＋2i)(7－3i)＝7－3i＋14i＋6＝13＋11i，所以z(2)已知復數z滿足|z－1＋i|＝22，z為z的共軛復數，則z·z的最大值為18解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z－1＋i|＝|a－1＋(b＋1)i|＝a-12+b+12＝22的幾何意義為z在復平面內所對應的點(a，所以z所對應的點(a，b)的軌跡是以(1，－1)為圓心，22為半徑的圓．而zz＝a2＋b2可看作該圓上的點(a，b)到原點的距離的平方，所以(z·z)max＝(2＋22)2＝18.(1)研究復數模的問題，可利用數形結合法，考慮模的幾何意義求解．(2)若復數z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝r，點Z在以(0，0)為圓心，r為半徑的圓上．1．已知a∈R，若a-ia-2iA．－1 B．0C．1 D．2B解析：因為a-ia-2i＝a-iia-2i2＝2．(多選題)若復數z＝21+A．z的虛部為－1B．|z|＝2C．z2為純虛數D．z的共軛復數為－1－iABC解析：z＝21+i＝21-i1+i1-i＝2-2i2＝1－i.對于A，z的虛部為－1，正確；對于B，模長|z|＝2，正確；對于C，因為3．若復數z滿足(1＋2i)z＝1－i，則|z|＝()A．25 B．C．105 D．C解析：(方法一)由(1＋2i)z＝1－i，可得z＝1-i1+2i＝1-i1-2i1+2i1-2i＝1-2i(方法二)由(1＋2i)z＝1－i，可得|(1＋2i)z|＝|1－i|，即|1＋2i|·|z|＝|1－i|，得到5|z|＝2，故|z|＝1054．如果復數z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1 B．2C．2 D．5A解析：因為|z＋i|＋|z－i|＝2，所以點Z到點A(0，－1)與到點B(0，1)的距離之和為2，所以點Z的軌跡為線段AB.而|z＋i＋1|表示點Z到點(－1，－1)的距離，由數形結合，得最小距離為1.5．(多選題)(2024·湛江模擬)下列命題中，真命題是()A．若z為實數，則z＝zB．若z＝z，則z為實數C．若z為實數，則z·z為實數D．若z·z為實數，則z為實數ABC解析：不妨設z＝a＋bi，a，b∈R，故可得z＝a－bi.若z為實數，則z＝a，所以z＝a，故A正確；若z＝z，則a＋bi＝a－bi，故可得b＝0，所以z＝a∈R，故B正確；若z為實數，故可得z＝a，z＝a，顯然z·z若z·z∈R，即a2＋b2∈R，無法得到b＝0，故D錯誤．課時質量評價(三十一)1．在復平面內，復數z所對應的點A的坐標為(1，－1)，則z的實部與虛部的和是()A．2 B．0C．1＋i D．1－iB解析：由題意可知z＝1－i，所以復數z的實部是1，虛部是－1，其和為0.2．(2024·煙臺模擬)若復數z滿足(1＋2i)z＝4＋3i，則z等于()A．－2＋i B．－2－iC．2＋i D．2－iC解析：由(1＋2i)z＝4＋3i得z＝4+3i1+2i＝4+33．已知i為虛數單位，則2+iA．5 B．5iC．－75－125i D．－754．(數學與文化)歐拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(其中e＝2.718…，i為虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式建立了三角函數與指數函數的關系，在復變函數論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”．根據歐拉公式，下列結論中正確的是()A．eiπ的實部為0B．e2i在復平面內對應的點在第一象限C．|eiθ|＝1D．eiπ的共軛復數為1C解析：對于A，eiπ＝cosπ＋isinπ＝－1，則實部為－1，A錯誤；對于B，e2i＝cos2＋isin2在復平面內對應的點為(cos2，sin2)，因為cos2＜0，sin2＞0，所以e2i在復平面內對應的點位于第二象限，B錯誤；對于C，|eiθ|＝|cosθ＋isinθ|＝cos2對于D，eiπ＝cosπ＋isinπ，則其共軛復數為cosπ－isinπ＝－1，D錯誤．5．已知i為虛數單位，復數z滿足z(1－i)＝2i，則z＝．－1＋i解析：由題意可得z＝2i1-i＝26．(2024·石家莊模擬)設O是坐標原點，向量OA，OB對應的復數分別為2－3i，－3＋2i，那么向量BA對應的復數是5－5i解析：因為向量OA，所以OA＝(2，－3)，OB＝(－3，2)，所以BA＝OA-其對應的復數是5－5i.7．已知復數z滿足1≤|z－(1－i)|≤2，則復數z在復平面內對應的點Z所在區域的面積為．3π解析：令z＝a＋bi且a，b∈R，則1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，所以1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤4，即對應區域的面積是圓心為(1，－1)，半徑分別為1，2的兩個同心圓的面積的差，所以點Z所在區域的面積為4π－π＝3π.8．已知復數z＝1-i(1)求復數z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求實數a，b的值．解：(1)z＝-2i+3+3i2-i＝(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以a+b=1，2+a=-19．在復平面內，滿足條件|z＋4i|＝2|z＋i|的復數z對應的點的軌跡是()A．直線 B．圓C．橢圓 D．雙曲線B解析：設復數z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝x2|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝x2結合題意有x2＋(y＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，整理可得x2＋y2＝4.故復數z對應的點的軌跡是圓．10．(多選題)設z1，z2是復數，則下列說法中正確的是()A．z1－z2＝z1B．z1z2＝C．若z1z2∈R，則z1＝zD．若z1-z2ABD解析：設z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，z1－z2＝(a－c)－(b－d)i，z1－z2＝a－bi－(c－di)＝(a－c)－(bz1z2＝ac-bd+ad+bciz1·z2＝a2當z1＝i，z2＝－4i時，z1z2＝4∈R，但是z1≠z2，若z1-z2＝0，則a-c+b-di＝a-c2+b-d2＝0，所以a＝c，b＝d，11．(多選題)已知復數z1＝－2＋i(i為虛數單位)，復數z2滿足|z2－1＋2i|＝2，z2在復平面內對應的點為M(x，y)，則下列說法正確的是()A．復數z1在復平面內對應的點位于第二象限B．1z1＝－25C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4D．|z2－z1|的最大值為32＋2ABD解析：對于A，復數z1在復平面內對應的點的坐標為(－2，1)，該點位于第二象限，故A正確；對于B，1z1＝1-2+i＝-2-i對于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，又因為|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C錯誤；對于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，則|z1－1＋2i|＝-32+3|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋32，故D正確．12．(2024·鄒城模擬)一般地，任何一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中r是復數z的模，θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復數z＝a＋bi的輻角，r(cosθ＋isinθ)叫做復數z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．為了與“三角形式”區分開來，a＋bi(a，b∈R)叫做復數的代數表示式，簡稱