第四章數列4.2等差數列4.2.1等差數列的概念(2)內容索引學習目標活動方案檢測反饋學習目標1.鞏固等差數列的概念及其通項公式．2.探索發現等差數列的性質并能運用這些性質解決問題．3.能在具體的問題情景中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題．活動方案例1某公司購置了一臺價值為220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會逐年減少．經驗表明，每經過一年其價值就會減少d(d為正常數)萬元．已知這臺設備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設備將報廢．請確定d的取值范圍．活動一等差數列的實際應用【解析】

設使用n年后，這臺設備的價值為an萬元，則可得數列{an}．由已知條件，得an＝an－1－d(n≥2)．由于d是與n無關的常數，所以數列{an}是一個公差為－d的等差數列．因為購進設備的價值為220萬元，所以a1＝220－d，于是an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd.解這個不等式組，得19<d≤20.9，所以d的取值范圍為(19,20.9]．先把實際問題轉化為數學問題，用所學的數學知識解決此數學問題，最后回歸到實際問題中去，從而實際問題得到解決．某公司經銷一種數碼產品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規律，如果公司不開發新產品，也不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？【解析】

由題意可知，設第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則an－

an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年獲利構成等差數列{an}，且首項a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，則該公司經銷這一產品將虧損，由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，即從第12年起，該公司經銷這一產品將虧損．例2已知等差數列{an}的首項a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{bn}．(1)求數列{bn}的通項公式；(2)b29是不是數列{an}的項？若是，它是{an}的第幾項？若不是，請說明理由．活動二等差數列的定義及通項公式的綜合應用【解析】

(1)設數列{bn}的公差為d′.由題意可知，b1＝a1，b5＝a2，于是b5－b1＝a2－a1＝8.因為b5－b1＝4d′，所以4d′＝8，所以d′＝2，所以bn＝2＋(n－1)×2＝2n，所以數列{bn}的通項公式是bn＝2n.(2)數列{an}的各項依次是數列{bn}的第1,5,9,13，…項，這些下標構成一個首項為1，公差為4的等差數列{cn}，則cn＝4n－3.令4n－3＝29，解得n＝8，所以b29是數列{an}的第8項．已知等差數列{an}：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的項嗎？請說明理由；(2)若ap，aq(p，q∈N*)是數列{an}中的項，則2ap＋3aq是數列{an}中的項嗎？請說明理由．【解析】

a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1)令an＝4n－1＝135，解得n＝34，所以135是數列{an}中的第34項．令an＝4n－1＝4m＋19，則n＝m＋5∈N*，所以4m＋19是數列{an}中的第m＋5項．(2)因為ap，aq是數列{an}中的項，所以ap＝4p－1，aq＝4q－1，所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，其中2p＋3q－1∈N*，所以2ap＋3aq是數列{an}中的第2p＋3q－1項．探究1

在等差數列{an}中，公差為d，則am與an有何關系？活動三理解等差數列的基本性質【解析】

an＝am＋(n－m)d例3在等差數列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首項a1與公差d.【解析】

由題意，得a12＝a5＋(12－5)d，即31＝10＋7d，解得d＝3.又a5＝a1＋4d＝10，即a1＋12＝10，解得a1＝－2.探究2

在等差數列{an}中，若依次抽取數列中的偶數項，所構成的新數列有何特征？若從第1項起，相隔3項抽取數列中的項，所構成的新數列又有何特征？若構造新數列：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，則所得數列又有何特征？【解析】

在等差數列{an}中，若依次抽取數列中的偶數項，所構成的數列還是等差數列，且其公差為原數列公差的2倍．若從第1項起相隔3項抽取數列中的項，所構成的數列仍為等差數列，且其公差為原數列公差的4倍．構造數列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，新數列仍成等差數列，其公差為原數列公差的4倍．例4已知數列{an}是等差數列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t.求證：ap＋aq＝as＋at.【解析】

設數列{an}的公差為d，則ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，as＝a1＋(s－1)d，at＝a1＋(t－1)d，所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，as＋at＝2a1＋(s＋t－2)d.因為p＋q＝s＋t，所以ap＋aq＝as＋at.在等差數列{an}中，若a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8，a6＋a7的值．【解析】

a5＋a8＝a6＋a7＝18在等差數列{an}中，已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，且a2·a5＝52，求公差d的值．在等差數列{an}中，m，n，p，q∈N*.(1)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；(2)若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap；(3)當公差不為0時，若am＋an＝ap＋aq，則m＋n＝p＋q.檢測反饋1.在等差數列{an}中，若a5＝6，a8＝15，則a14的值為(

)A.32 B.33C.－33 D.2913524B2.已知等差數列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于(

)A.8 B.4C.6 D.1212345【解析】

因為a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.AA.a2＝7 B.數列{an}為遞增數列C.an＝n2＋2