Page202024級2024年秋季第一次月考數學試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.［1，2]【答案】C【解析】【分析】依據交集運算律求解即可.

【詳解】.故選:C.2.復數為虛數單位）的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由虛數的定義求解．【詳解】復數的虛部是－1．故選：B．【點睛】本題考查復數的概念，駕馭復數的概念是解題基礎．3.在等差數列中，，直線過點，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差數列通項的性質求出公差，即可求出通項公式，表示出，即可求出結果.【詳解】因為是等差數列，，令數列的公差為，所以，，則，所以，則直線的斜率為.故選：A4.命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是A.隨意一個有理數，它平方是有理數 B.隨意一個無理數，它的平方不是有理數C.存在一個有理數，它的平方是有理數 D.存在一個無理數，它的平方不是有理數【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由命題的否定的定義知，“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是隨意一個無理數，它的平方不是有理數．考點：命題的否定．5.苂光定量PCR是一種通過化學物質的苂光信號，對在PCR擴增進程中成指數級增加的靶標DNA進行實時監測的方法.在PCR擴增的指數時期，苂光信號強度達到閥值時，DNA的數量與擴增次數滿意，其中為DNA的初始數量，為擴增效率.已知某被測標本DNA擴增6次后，數量變為原來的100倍，則擴增效率約為（）（參考數據：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據題意，得出方程，結合對數的運算性質，即可求解.【詳解】由題意，可得，即，所以，可得，解得.故選：C.6.五名學生按隨意次序站成一排，則和站兩端的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先和排兩端，再將其余三人全排列，共有種狀況，將五名學生按隨意次序站成一排，共有種狀況，再利用古典概型公式求解即可.【詳解】首先將和排兩端，共有種狀況，再將其余三人全排列，共有種狀況，所以共有種狀況.因為五名學生按隨意次序站成一排，共有種狀況，故和站兩端的概率為.故選：B7.化簡的結果是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正余弦的二倍角公式化簡即可.【詳解】原式化簡為.故選：D.8.已知函數是定義在上的奇函數，且，，則（）A. B.0 C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】由函數為奇函數可得，，再依據求出函數的周期，再依據函數的周期即可得解.【詳解】因為是定義在上的奇函數，所以，，因為，所以，則，所以，所以是以為周期的一個周期函數，所以.故選：A．9.函數的圖象可能是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用解除法，結合函數的奇偶性以及函數值的符號分析推斷.【詳解】因為定義域為，且，所以為奇函數，函數圖象關于原點對稱，故B，D都不正確；對于C，時，，，所以，所以，故C不正確；對于選項A，符合函數圖象關于原點對稱，也符合時，，故A正確．故選：A.10.已知函數的圖像關于點中心對稱，則（）A.在區間上單調遞增B.在區間有兩個極值點C.直線是曲線的對稱軸D.直線是曲線切線【答案】D【解析】【分析】依據給定條件，求出函數的解析式，再逐項分析推斷作答.【詳解】因為函數的圖象關于點中心對稱，即，則，而，有，則，對于A，當時，，而正弦函數在上單調遞減，因此函數在上單調遞減，A不正確；對于B，當時，，而正弦函數在上只有1個極值點，因此函數在有唯一極值點，B錯誤；對于C，因為，因此直線不是函數圖象的對稱軸，C錯誤；對于D，直線過點，并且，即點在曲線上，由，求導得，明顯，因此曲線在處的切線方程為，即，D正確.故選：D11.已知函數，函數有6個零點，則非零實數m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函數的圖像，原問題轉化為函數與共有6個交點，等價于與有三個交點，結合圖像得出其范圍.【詳解】作出函數的圖像如下：數，且函數有6個零點等價于有6個解，等價于或共有6個解等價于函數與共有6個交點，由圖可得與有三個交點，所以與有三個交點則直線應位于之間，所以故選：B.【點睛】方法點睛：數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖像，然后數形結合求解.12.若直線與函數圖象交于不同的兩點，且點，若點滿意，則A. B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】先推斷是奇函數，再依據直線過原點，得到點A，B關于原點對稱，將，轉化為求解.【詳解】∵，∴是奇函數，又直線過原點，∴點A，B關于原點對稱，∵，∴，∴，∴，解得，∴，故選：C．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.計算：______．【答案】【解析】【分析】依據指數冪和對數運算公式，化簡求值.【詳解】原式.故答案為：14.若直線是函數的圖象在某點處的切線，則實數_________．【答案】【解析】【分析】利用求得切點坐標，代入切線方程，從而求得.【詳解】令，解得，所以切點為，將代入切線得.故答案為：15.由曲線圍成的圖形的面積為______.【答案】【解析】【分析】曲線圍成的圖形關于軸，軸對稱，故只須要求出第一象限的面積即可，結合圓的方程運算求解.【詳解】將或代入方程，方程不發生變更，故曲線關于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可，當，時，曲線可化為：，表示的圖形為以為圓心，半徑為的一個半圓，則第一象限圍成的面積為，故曲線圍成的圖形的面積為.故答案為：.16.已知和是函數的兩個不相等的零點，則的范圍是______．【答案】【解析】【分析】依據零點確定兩個方程，用比值換元法轉化為單變量，從而利用求導和二次求導即可.【詳解】和是函數兩個不相等的零點，不妨設，，兩式相減得，令，，，令，所以，令

恒成立，在是單調遞增，恒成立，在是單調遞增，恒成立，，，故答案為：．【點睛】本題考察導數雙變量和構造函數證明不等式的方法.

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明或演算過程．17.如圖所示，角的終邊與單位圓交于點，將繞原點按逆時針方向旋轉后與圓交于點.（1）求；（2）若的內角，，所對的邊分別為，，，，，，求.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）依據三角函數的定義及誘導公式干脆得解；（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，進而可得面積.【小問1詳解】由題知，，所以；【小問2詳解】由題知，，，，且，所以，而，則，故，由正弦定理可知，整理得，解得，故，或.18.“雙減”政策執行以來，中學生有更多的時間參與志愿服務和體育熬煉等課后活動.某校為了解學生課后活動的狀況，從全校學生中隨機選取人，統計了他們一周參與課后活動的時間（單位：小時），分別位于區間，，，，，，用頻率分布直方圖表示如下，假設用頻率估計概率，且每個學生參與課后活動的時間相互獨立.（1）估計全校學生一周參與課后活動的時間位于區間的概率；（2）從全校學生中隨機選取人，記表示這人一周參與課后活動的時間在區間的人數，求的分布列和數學期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）依據頻率分布直方圖計算對應頻率即為所求概率；（2）用頻率估計概率，可知，利用二項分布概率公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；依據二項分布數學期望公式可求得.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知：人中，一周參與課后活動的事務位于區間的頻率為，用頻率估計概率，全校學生一周參與課后活動的時間位于區間的概率為.【小問2詳解】用頻率估計概率，從全校學生中隨機抽取人，則該人一周參與課后活動的事務在區間的概率，，則全部可能的取值為，；；；；的分布列為：數學期望.19.如圖，四棱錐中，，，，，與交于點，過點作平行于平面平面.（1）若平面分別交，于點，，求的周長；（2）當時，求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）4（2）.【解析】【分析】（1）依題意可得，再依據面面平行的性質得到，，，依據三角形相像的性質計算可得；（2）首先證明平面平面，取的中點，即可得到平面，再建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】由題意可知，四邊形是直角梯形，∴與相像，又，∴，，因為過點作平行于平面的面分別交，于點，，即平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性質定理得，，，所以與相像，相像比為，即，因為的周長為6，所以的周長為.【小問2詳解】∵平面平面，∴平面與平面的夾角與平面與平面的夾角相等，∵，，，∴，∴，又，，平面，∴平面，平面，∴平面平面，取的中點，因為為等邊三角形，∴，平面平面，平面，∴平面，以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量，則，即，取，則，∵平面，∴是平面的一個法向量，設平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為.20.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓長軸兩個端點間的距離與兩個焦點之間的距離的差為，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）過點作直線l交C于P?Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，定點.【解析】【分析】（1）依據題意，列出方程組，即可求得a，c的值，依據a，b，c的關系，即可求得b的值，即可求得答案；（2）當直線l不與x軸重合時，可設直線l的方程為：，與橢圓聯立，依據韋達定理，可得的表達式，代入所求，化簡整理，即可得結果；當直線l與x軸重合時，可求得P，Q坐標，可得的表達式，經檢驗符合題意，綜合即可得答案.【詳解】（1）由題意得：，解得，又，所以橢圓C的方程為：.（2）當直線l不與x軸重合時，可設直線l的方程為：，，聯立直線與曲線方程，整理得：，則，，假設存在定點，使得為定值，則=.當且僅當，即時，(為定值)，這時，當直線l與x軸重合時，此時，，，，，當時，(為定值)，滿意題意.所以存在定點使得對于經過點的隨意一條直線l均有(恒為定值).【點睛】解題的步驟為（1）設直線，（2）與曲線聯立，得到關于x（y）的一元二次方程，（3）依據韋達定理，求得（）的表達式，（4）代入所求，化簡整理，即可得答案，考查分析理解，計算求值的實力，屬中檔題.21.已知函數，.（1）求函數的微小值；（2）證明：當時，.【答案】（1）當時，無微小值；當時，取微小值為.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）首先依據題意得到，再利用導數分類探討求解極限值即可.（2）首先將題意轉化為證明，再分類探討對，和的狀況進行證明即可.【小問1詳解】∵，，∴，所以，.當時，即時，，函數在上單調遞增，無微小值；當時，即時，令，解得，函數在上單調遞減；令，解得，函數在上單調遞增.∴時，函數取得微小值.綜上所述，當時，無微小值；當時，取微小值為.【小問2詳解】令，.當時，要證，即證，即，即證，①當時，令，，所以在上單調遞增，故，即.∴，令，，當，，在上單調遞減；，，在上單調遞增.故，即，當且僅當時取等號，又∵，∴，由上面可知：，所以當時，.②當時，即證.令，，可得在上單調遞減，在上單調遞增，，故.③當時，當時，，由②知，而，故，當時，，由（2）知，故；所以，當時，.綜上①②③可知，當時，.選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計分．22.在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（1）求曲線的直角坐標方程；（2）已知點，直線的參數方程為(為參數，)，且直線與曲線交于A、兩點，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據參數方程消參即可得出直角坐標方程；（2）轉化直線的參數方程與曲線方程聯立，結合韋達定理計算即可.【小問1詳解】曲線的參數方程為為參數），則，即，兩式相減，可得曲線的直角坐標方程：小問2詳解】直線與曲線交于A