2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中三校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷共5頁(yè)，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．開考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級(jí)、考號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.第一部分選擇題（共60分）一．單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.62.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，且）為純虛數(shù)，則（）A. B. C. D.3.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.4.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量不一定共面B.已知向量組是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面D.若，則的夾角是鈍角5.若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝kx－1的距離不可能是（）A.4 B.6C.3＋1 D.86.已知定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的都有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.4 B.2 C. D.7.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，過F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的面積為（）A. B. C. D.8.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的件產(chǎn)品，其中一等品有件，合格品有件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個(gè)工廠隨機(jī)抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件為“是一等品”，為“是合格品”，為“是不合格品”，則下列結(jié)果正確的是（）A.B.C.D10.函數(shù)的圖象在上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，則可能為（）A.2π B. C.3π D.11.如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，在線段上，則下列說法中正確的有（）A.平面B.平面C.存在點(diǎn)，滿足D.的最小值為12.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則在上單調(diào)遞減 B.若，無最大值，也無最小值C.若，則 D.若，則第二部分非選擇題（共90分）三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.求值：___________14.已知直線l過點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到l的距離為____________．15.已知橢圓C：1左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_____．16.某干燥塔底面是半徑為1的圓面O，圓面有一個(gè)內(nèi)接正方形框架，在圓O的劣弧上有一點(diǎn)P，現(xiàn)在從點(diǎn)P出發(fā)，安裝三根熱管，則三根熱管的長(zhǎng)度和的最大值為____________．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖，在四棱錐中，底面，為直角，，?分別為?的中點(diǎn)，（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積.18.如圖，在中，是上一點(diǎn)，平分.（1）求證：；（2）若，，，求的內(nèi)切圓面積.19.有一種魚的身體吸收汞，當(dāng)這種魚身體中的汞含量超過其體重的（即百萬(wàn)分之一）時(shí)，人食用它，就會(huì)對(duì)人體產(chǎn)生危害.現(xiàn)從一批該魚中隨機(jī)選出條魚，檢驗(yàn)魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）求上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、極差，并估計(jì)這批魚該項(xiàng)數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（2）有，兩個(gè)水池，兩水池之間有個(gè)完全相同小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時(shí)通過條魚.（ⅰ）將其中汞的含量最低的條魚分別放入水池和水池中，若這條魚的游動(dòng)相互獨(dú)立，均有的概率進(jìn)入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；（ⅱ）將其中汞的含量最低的條魚都先放入水池中，若這條魚均會(huì)獨(dú)立地且等可能地從其中任意一個(gè)小孔由水池進(jìn)入水池且不再游回水池，求這兩條魚由不同小孔進(jìn)入水池的概率.20.已知底面ABCD為菱形直四棱柱，被平面AEFG所截幾何體如圖所示.（1）若，求證：；（2）若，，三棱錐GACD的體積為，直線AF與底面ABCD所成角的正切值為，求銳二面角的余弦值.21.已知兩個(gè)定點(diǎn)A（-4，0），B（-1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l：y=kx-4.（1）求曲線E的方程；（2）若直線l與曲線E交于不同的C，D兩點(diǎn)，且∠COD=90°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率；（3）若k=，Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過Q作曲線E的兩條切線QM，QN，切點(diǎn)為M，N，探究：直線MN是否過定點(diǎn).22.設(shè)橢圓：，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓外，且．（1）求橢圓的方程；（2）若，點(diǎn)為橢圓上橫坐標(biāo)大于1的一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，并與直線，交于M，N兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，的面積分別為，，求的最小值．2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中三校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷共5頁(yè)，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．開考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級(jí)、考號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.第一部分選擇題（共60分）一．單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.6答案：C【解析】分析：采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個(gè)數(shù)為4.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題.2.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，且）為純虛數(shù)，則（）A. B. C. D.答案：D【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)其為純虛數(shù)可得且，即可求得答案.【詳解】由題意得,∵為純虛數(shù)∴且，∴，另解：設(shè)（），則，即，，∴，故選：D.3.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.答案：D【解析】分析：依題意，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋裕矗怨蔬x：D4.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量不一定共面B.已知向量組是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面D.若，則的夾角是鈍角答案：C【解析】分析：根據(jù)向量的定義以及運(yùn)算規(guī)則逐項(xiàng)分析可以求解.【詳解】解：對(duì)A，若兩個(gè)向量是共線的，由于空間任意兩個(gè)向量一定共面，因此這三個(gè)向量一定共面，故錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)椋怨裁妫荒軜?gòu)成基底，錯(cuò)誤；對(duì)C，對(duì)，則四點(diǎn)共面，由可得，且，所以四點(diǎn)共面，正確；對(duì)D，若可為，所以不一定為鈍角，故錯(cuò)誤；故選：C5.若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝kx－1的距離不可能是（）A.4 B.6C3＋1 D.8答案：D【解析】分析：根據(jù)題意作出示意圖，判斷出直線過定點(diǎn)，進(jìn)而求出圓心到直線距離的最大值，然后判斷各個(gè)答案.【詳解】如圖，圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圓心坐標(biāo)為(－3，3)，半徑為1，直線y＝kx－1過定點(diǎn)．由圖可知，圓心C到直線y＝kx－1距離的最大值為，則點(diǎn)P到直線y＝kx－1距離的最大值為5＋1＝6；當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線距離的最小值為0．即距離的范圍是[0,6].故選：D.6.已知定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的都有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.4 B.2 C. D.答案：D【解析】分析：根據(jù)條件先求出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】由，得，則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，結(jié)合條件判斷函數(shù)的周期，利用周期性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．7.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，過F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的面積為（）A. B. C. D.答案：C【解析】分析：利用作差法構(gòu)建斜率、中點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)方程，再結(jié)合即可求解出a、b，進(jìn)而求出面積.【詳解】設(shè)，，則有，兩式作差得：，即，弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又∵，∴，∴，又∵，∴可解得，，故橢圓的面積為.故選：C8.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.答案：D【解析】分析：分離變量將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，進(jìn)而求出的最大值，設(shè)及，然后通過基本不等式求得答案.【詳解】由題意可得，對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設(shè)，則，再設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“=”.所以，即實(shí)數(shù)a的最小值為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的件產(chǎn)品，其中一等品有件，合格品有件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個(gè)工廠隨機(jī)抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件為“是一等品”，為“是合格品”，為“是不合格品”，則下列結(jié)果正確的是（）A.B.C.D.答案：ABD【解析】分析：依題意可得、、為互斥事件，即可判斷B、C，再根據(jù)古典概型的概率公式得到、、，即可判斷A，最后根據(jù)和事件的概率公式判斷D；【詳解】解：由題意知、、為互斥事件，∴，故B正確、C錯(cuò)誤；∵從件中抽取產(chǎn)品符合古典概型的條件，∴、、，則，∴A、D正確，故選：ABD.10.函數(shù)的圖象在上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，則可能為（）A.2π B. C.3π D.答案：BC【解析】分析：根據(jù)的取值范圍，求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：函數(shù)，，．又函數(shù)在上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，，解得．故選：BC．11.如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，在線段上，則下列說法中正確的有（）A.平面B.平面C.存在點(diǎn)，滿足D.的最小值為答案：AD【解析】分析：對(duì)于A，在平面找一條直線，使其與平行即可；對(duì)于B，先由證明四點(diǎn)共面，再證四點(diǎn)共面，進(jìn)而能判斷直線與平面的位置關(guān)系；對(duì)于C，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算即可；對(duì)于D，把三棱錐的正面和上底面展開，即能找到的最小值，構(gòu)造直角三角形求解即可.【詳解】對(duì)于A，連接，分別是棱的中點(diǎn)，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面在平面內(nèi)，所以平面，故A正確；對(duì)于B，易知，所以四點(diǎn)共面，又點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，平面，而平面，直線平面，故B不正確；對(duì)于C，以為正交基底，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，若，則，，在線段延長(zhǎng)線上，而不在線段上，故C不正確；對(duì)于D，把圖1的正面和上底面展開如圖2所示，連接即為所求，過做PG垂直于且與其相交于，與相交于，易得，，，，在中，，，故D正確.故選：AD12.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則在上單調(diào)遞減 B.若，無最大值，也無最小值C.若，則 D.若，則答案：ABC【解析】分析：利用函數(shù)的單調(diào)性，極限，不等式的性質(zhì)及函數(shù)最值，逐一判斷即可.【詳解】若，則且，，，則，故在上單調(diào)遞減，故A正確；若，則當(dāng)且趨于時(shí)，趨于；當(dāng)且趨于時(shí)，趨于，故無最大值，也無最小值，故B正確；若，則當(dāng)時(shí)，，故，即，故C正確；若，舉反例：，則，故.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC第二部分非選擇題（共90分）三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.求值：___________答案：【解析】分析：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：.14.已知直線l過點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到l的距離為____________．答案：【解析】分析：過點(diǎn)A作，垂足為B，記點(diǎn)B坐標(biāo)為，利用和列方程組求解可得.【詳解】過點(diǎn)A作，垂足為B，記點(diǎn)B坐標(biāo)為，則，所以解得，，，則，即點(diǎn)到l的距離為.故答案：15.已知橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_____．答案：(，]【解析】分析：設(shè)，由已知得到的范圍，再由橢圓的定義得到n，m間的關(guān)系，代入、換元，求出e的范圍.【詳解】設(shè)，由，知，因?yàn)椋跈E圓上，，所以四邊形為矩形，；由，可得1，由橢圓的定義可得，①，平方相減可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案為：.16.某干燥塔的底面是半徑為1的圓面O，圓面有一個(gè)內(nèi)接正方形框架，在圓O的劣弧上有一點(diǎn)P，現(xiàn)在從點(diǎn)P出發(fā)，安裝三根熱管，則三根熱管的長(zhǎng)度和的最大值為____________．答案：【解析】分析：連接BD，DP，設(shè)，利用直徑所對(duì)圓周角為直角，以及三角函數(shù)定義表示出所求，然后利用輔助角公式化簡(jiǎn)可解.【詳解】如圖．連接，設(shè)，則，在中，，在中，所以

，其中，所以，由的范圍可以取到最大值．故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖，在四棱錐中，底面，為直角，，?分別為?的中點(diǎn)，（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積.答案：（1）證明見解析；（2）.【解析】分析：（1）利用線面平行的判斷定理以及面面平行的判定定理證得命題成立；（2）由，利用三棱錐的體積公式求解即可．【詳解】（1）證明：由已知，且為直角，為的中點(diǎn)，，故是矩形，，平面，又∵，分別為，的中點(diǎn).∴，∴平面又∵，所以平面平面.（2）設(shè)到平面的距離為∵面，是的中點(diǎn)∴∴∴三棱錐的體積為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，考查棱錐的體積公式，考查學(xué)生計(jì)算能力，證明面面平行的一般方法如下：1.如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。2.如果兩個(gè)平面都垂直同一條直線，那么這兩個(gè)平面是互相平行的。3.根據(jù)兩個(gè)平面平行的定義，證明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)。18.如圖，在中，是上一點(diǎn)，平分.（1）求證：；（2）若，，，求的內(nèi)切圓面積.答案：（1）見解析（2）【解析】分析：（1）易知，，則，，在和中，分別利用正弦定理即可得證；（2）在中，利用余弦定理求得，再利用平方關(guān)系求得，再利用二倍角的正弦公式求得，再根據(jù)，求得，再根據(jù)（1）可求得，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)求得內(nèi)切圓的半徑，從而可求得答案.【小問1詳解】解：因?yàn)槠椒郑裕谥校驗(yàn)椋裕谥校驗(yàn)椋裕忠颍裕裕矗弧拘?詳解】解：在中，，則，所以，因?yàn)椋裕矗裕驗(yàn)椋裕瑒t，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，解得，所以的內(nèi)切圓面積為.19.有一種魚的身體吸收汞，當(dāng)這種魚身體中的汞含量超過其體重的（即百萬(wàn)分之一）時(shí)，人食用它，就會(huì)對(duì)人體產(chǎn)生危害.現(xiàn)從一批該魚中隨機(jī)選出條魚，檢驗(yàn)魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）求上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、極差，并估計(jì)這批魚該項(xiàng)數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（2）有，兩個(gè)水池，兩水池之間有個(gè)完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時(shí)通過條魚.（ⅰ）將其中汞的含量最低的條魚分別放入水池和水池中，若這條魚的游動(dòng)相互獨(dú)立，均有的概率進(jìn)入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；（ⅱ）將其中汞的含量最低的條魚都先放入水池中，若這條魚均會(huì)獨(dú)立地且等可能地從其中任意一個(gè)小孔由水池進(jìn)入水池且不再游回水池，求這兩條魚由不同小孔進(jìn)入水池的概率.答案：（1）中位數(shù)為；眾數(shù)為；極差為；估計(jì)這批魚該項(xiàng)數(shù)據(jù)的百分位數(shù)約為；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】分析：(1)由中位數(shù)—排序后處于中間的數(shù)，如有兩個(gè)數(shù)取其平均數(shù)；眾數(shù)—出現(xiàn)頻率最高的數(shù)、極差—最大數(shù)與最小數(shù)的差；百分比位數(shù)—數(shù)據(jù)集中有n個(gè)數(shù)：當(dāng)np為整數(shù)時(shí)，當(dāng)np不為整數(shù)時(shí)；即可求出對(duì)應(yīng)值；(2)（ⅰ）記：“兩魚最終均在水池”；：“兩魚最終均在水池”求出概率，由它們的互斥性即可求得兩條魚最終在同一水池的概率；（ⅱ）記：“兩魚同時(shí)從第n個(gè)小孔通過”且魚的游動(dòng)獨(dú)立，知，而10個(gè)事件互斥，則“兩魚同時(shí)從一個(gè)小孔通過”的概率即可求，它與“兩條魚由不同小孔通過”為互斥事件，進(jìn)而求得其概率【詳解】解：（1）由題意知，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為數(shù)據(jù)的眾數(shù)為數(shù)據(jù)的極差為估計(jì)這批魚該項(xiàng)數(shù)據(jù)的百分位數(shù)約為（2）（ⅰ）記“兩魚最終均在水池”事件，則記“兩魚最終均在水池”為事件，則∵事件與事件互斥，∴兩條魚最終在同一水池的概率為（ⅱ）記“兩魚同時(shí)從第一個(gè)小孔通過”為事件，“兩魚同時(shí)從第二個(gè)小孔通過”為事件，依次類推；而兩魚的游動(dòng)獨(dú)立∴記“兩條魚由不同小孔進(jìn)入水池”為事件，則與對(duì)立，又由事件，事件，互斥∴即【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)據(jù)特征值的概念，以及利用條件概率公式，結(jié)合互斥事件、獨(dú)立事件等概念求概率；注意獨(dú)立事件：多個(gè)事件的發(fā)生互不相關(guān)，且可以同時(shí)發(fā)生；互斥事件：一個(gè)事件發(fā)生則另一個(gè)事件必不發(fā)生，即不能同時(shí)發(fā)生20.已知底面ABCD為菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截幾何體如圖所示.（1）若，求證：；（2）若，，三棱錐GACD的體積為，直線AF與底面ABCD所成角的正切值為，求銳二面角的余弦值.答案：（1）證明見解析（2）【解析】分析：（1）根據(jù)題意可證平面BDG，可得，得證平面ACE，得，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)可證；（2）根據(jù)題意可得，，利用空間向量求二面角．【小問1詳解】連接BD，交AC于點(diǎn)O，底面ABCD為菱形，∴，由直四棱柱得底面ABCD，又平面ABCD，∴，又，BD，平面BDG，∴平面BDG，因?yàn)槠矫鍮DG，∴已知，又，AC，平面ACE，∴平面ACE，因?yàn)槠矫鍮DG，∴∵平面平面CFGD平面平面，平面平面，∴，則【小問2詳解】已知，，可求，由，則在直四棱柱中，底面ABCD，所以為直線AF與底面ABCD所成角，，則在平面ACF內(nèi)作，可知底面ABCD，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則設(shè)平面BCE的法向量為，則取，得，，得，由（1）知平面ACE，所以平面ACE的一個(gè)法向量為則，所以銳二面角的余弦值為21.已知兩個(gè)定點(diǎn)A（-4，0），B（-1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l：y=kx-4.（1）求曲線E的方程；（2）若直線l與曲線E交于不同的C，D兩點(diǎn)，且∠COD=90°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率；（3）若k=，Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過Q作曲線E的兩條切線