第5講對數與對數函數課標要求命題點五年考情命題分析預測1.理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數.2.了解對數函數的概念.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點.3.知道對數函數y＝logax與指數函數y＝ax互為反函數（a＞0，且a≠1）.對數的運算2022浙江T7；2022天津T6；2021天津T7；2020全國卷ⅠT8該講命題熱點為對數運算、對數函數的圖象與性質的判斷及應用，常與指數函數綜合考查，且難度有上升趨勢.在2025年備考過程中要熟練掌握對數的運算性質和換底公式；學會構造新函數，結合單調性比較大小；注意對函數圖象的應用，注意區分對數函數圖象和指數函數圖象.對數函數的圖象及應用2019浙江T6對數函數的性質及應用2021新高考卷ⅡT7；2021全國卷乙T12；2020全國卷ⅠT12；2020全國卷ⅡT11；2020全國卷ⅢT12；2019全國卷ⅠT3學生用書P0341.對數與對數運算（1）對數的概念一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么數x叫做以a為底N的對數，記作①x＝logaN，其中a叫做對數的②底數，N叫做③真數.以10為底的對數叫做常用對數，記作④lgN；以e為底的對數叫做自然對數，記作⑤lnN.（2）對數的性質、運算性質及換底公式性質loga1＝⑥0，logaa＝⑦1，alogaN＝⑧N（N＞0），其中a＞0運算性質如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：（1）loga（M·N）＝⑨logaM＋logaN；（2）logaMN＝⑩logaM－logaN（3）logaMn＝?nlogaM，logaan＝?n（n∈R）.換底公式logab＝?logcblogca（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；推論：（1）logab·logba＝?1；（2）logambn＝nmlogab；（3）logab·logbc·logcd＝log2.對數函數的圖象和性質函數y＝logax（a＞1）y＝logax（0＜a＜1）圖象性質定義域：?（0，＋∞）.值域：?R.圖象過定點?（1，0），即恒有loga1＝0.當x＞1時，y＞0；當0＜x＜1時，y＜0.當x＞1時，y＜0；當0＜x＜1時，y＞0.在（0，＋∞）上單調遞?增.在（0，＋∞）上單調遞?減.規律總結1.對數函數y＝logax（a＞0，且a≠1）的圖象過定點（1，0），且過點（a，1），（1a－1），函數圖象只在第一、四象限.2.如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右對數函數的底數逐漸增大.注意當對數函數的底數a的大小不確定時，需分a＞1和0＜a＜1兩種情況進行討論.3.反函數指數函數y＝ax（a＞0，且a≠1）與對數函數y＝logax（a＞0，且a≠1）互為反函數，它們的圖象關于直線?y＝x對稱（如圖所示）.反函數的定義域、值域分別是原函數的值域、定義域，互為反函數的兩個函數具有相同的單調性、奇偶性.1.[全國卷Ⅰ]設alog34＝2，則4－a＝（B）A.116 B.19 C.18 解析解法一因為alog34＝2，所以log34a＝2，則有4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝1解法二因為alog34＝2，所以a＝2log34＝log39log34＝log49，所以4a＝9，所以42.[多選]以下說法正確的是（CD）A.若MN＞0，則loga（MN）＝logaM＋logaNB.對數函數y＝logax（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函數C.函數y＝ln1+x1－x與y＝ln（1＋x）－ln（D.對數函數y＝logax（a＞0且a≠1）的圖象過定點（1，0）且過點（a，1）,（1a－1），函數圖象只在第一、四象限3.lg25＋lg2·lg50＋（lg2）2＝2.4.若loga34＜1（a＞0，且a≠1），則實數a的取值范圍是（0，34）∪（1，＋∞5.設loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n的值為12.6.[2023北京高考]已知函數f（x）＝4x＋log2x，則f（12）＝1解析因為f（x）＝4x＋log2x，所以f（12）＝412＋log212＝2＋log22－1＝2學生用書P035命題點1對數的運算例1（1）[2022天津高考]化簡（2log43＋log83）（log32＋log92）的值為（B）A.1 B.2 C.4 D.6解析（2log43＋log83）（log32＋log92）＝（2log223＋log233）×（log32＋log322）＝（log23＋13log23）（log32＋12log32）＝43×log23×（2）[2022浙江高考]已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝（C）A.25 B.5 C.259 D.解析由2a＝5得a＝log25.又b＝log83＝log23log28＝13log23，所以a－3b＝log25－log23＝log253＝log453log42＝2log453＝log方法技巧對數運算的一般思路（1）轉化：①利用ab＝N?b＝logaN（a＞0且a≠1）對題目條件進行轉化；②利用換底公式化為同底數的對數運算.（2）利用恒等式：loga1＝0，logaa＝1，logaaN＝N，aloga（3）拆分：將真數化為積、商或底數的指數冪形式，正用對數的運算性質化簡.（4）合并：將對數式化為同底數對數的和、差、倍數的運算，然后逆用對數的運算性質，轉化為同底數對數的真數的積、商、冪的運算.訓練1（1）[2024江蘇省如皋市教學質量調研]我們知道，任何一個正實數N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此時lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）.當n＞0時，N是n＋1位數，則41000是（C）位數.（lg2≈0.3010）A.601 B.602 C.603 D.604解析由lg41000＝lg22000＝2000lg2≈2000×0.3010＝602＝602＋lg1，得n＝602，所以41000是603位數.故選C.（2）[2024山東泰安第二中學模擬]（2＋1027）－23＋2log32－log349－5log解析原式＝[（43）3]－23＋log34－log349－5log53＝（43）－2＋log39－3＝命題點2對數函數的圖象及應用例2（1）[浙江高考]在同一直角坐標系中，函數y＝1ax，y＝loga（x＋12）（a＞0，且a≠1）的圖象可能是（A BC D解析若0＜a＜1，則函數y＝1ax是增函數，y＝loga（x＋12）是減函數且其圖象過點（12，0），結合選項可知，選項D可能成立；若a＞1，則y＝1ax是減函數，而y＝loga（x＋12）是增函數且其圖象過點（（2）已知當0＜x≤14時，有x＜logax，則實數a的取值范圍為（116，1解析若x＜logax在x∈（0，14]時成立，則0＜a＜1，且y＝x的圖象在y＝logax圖象的下方，作出y＝x，y＝logax的圖象如圖所示.由圖象知14＜loga14，所以0<a<1，a12＞14，解得116方法技巧與對數函數有關的圖象問題的求解策略1.對于圖象的識別，一般通過觀察圖象的變化趨勢、利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點（與坐標軸的交點、最高點、最低點等）排除不符合要求的選項.2.對于對數型函數的圖象，一般從最基本的對數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到.訓練2（1）[多選/2024遼寧省部分學校模擬]已知ax＝b－x（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），則函數y＝loga（－x）與y＝bx的圖象可能是（AB）解析因為ax＝b－x，即ax＝（1b）x，所以a＝1b，當a＞1時，0＜b＜1，函數y＝bx在R上單調遞減，且過點（0，1），因為y＝logax與y＝loga（－x）的圖象關于y軸對稱，故y＝loga（－x）在（－∞，0）上單調遞減且過點（－1，0），故A當0＜a＜1時，b＞1，函數y＝bx在R上單調遞增，且過點（0，1），y＝loga（－x）在（－∞，0）上單調遞增且過點（－1，0），故B符合題意.故選AB.（2）[2024安徽省皖江名校聯考]已知函數f（x）＝｜log3｜x｜｜,x≠0，0，x=0，設a，b，c，d是四個互不相同的實數，且滿足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），則｜a｜＋｜b｜＋解析作出函數f（x）的圖象，如圖所示，易知f（x）圖象關于y軸對稱.設f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m（m＞0），且a＞b＞c＞d，作直線y＝m，則由圖象得0＜b＜1＜a，則由題意知，log3a＝－log3b，且a＝－d，b＝－c，所以ab＝1，即b＝1a，則｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜2（a＋b）＝2（a＋1a）＞4，所以｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范圍是（4，＋∞）命題點3對數函數的性質及應用角度1比較大小例3（1）[2021新高考卷Ⅱ]若a＝log52，b＝log83，c＝12，則（CA.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c解析a＝log52＝log54＜log55＝12＝c，b＝log83＝log89＞log88＝12＝c，所以a＜c＜b.（2）[2024天津市薊州區第一中學模擬]已知函數f（x）在R上是增函數，若a＝f（log215），b＝f（log24.1），c＝f（20.5），則a，b，c的大小關系為（AA.a＜c＜b B.b＜a＜cC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析log215＝－log25＜－log24＝－2，log24.1＞log24＝2，20.5＝2∈（1，2），故log215＜20.5＜log24.1.由于f（x）在R上是增函數，故f（log215）＜f（20.5）＜f（log24.1），所以a＜c＜b方法技巧比較對數值大小的常用方法1.底數相同時，比較真數的大小；真數相同時，利用換底公式轉化為底數相同的形式，再比較大小，也可以借助對數函數的圖象比較大小.2.當底數和真數都不相同時，常借助0，1或題干中出現的有理數等中間量比較大小，也可以通過作差或者作商比較大小.角度2解對數方程或不等式例4（1）[2024湘豫名校聯考]已知函數f（x）＝log2｜x｜＋x2，則不等式f（lnx）＋f（－lnx）＜2的解集為（D）A.（1e，1） B.（1e，C.（1，e） D.（1e，1）∪（1，e解析由題可知函數f（x）的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），∴lnx≠0.∵f（－x）＝log2｜－x｜＋（－x）2＝log2｜x｜＋x2＝f（x），∴f（x）是偶函數，∴由f（lnx）＋f（－lnx）＜2可得2f（lnx）＜2，即f（lnx）＜1.當x＞0時，f（x）＝log2x＋x2.∵y＝log2x和y＝x2在（0，＋∞）上都是單調遞增的，∴f（x）在（0，＋∞）上單調遞增，又f（1）＝1，∴｜lnx｜＜1且lnx≠0，∴1e＜x＜e且x≠1，所以原不等式的解集為（1e，1）∪（1，e）.（2）[2024江蘇省淮安市五校聯考]已知x＝4log6x－9log6x，y＝9loA.5+12 B.C.5＋1 D.5－1解析令log6x＝m，log4y＝n，則x＝6m，y＝4n.由x＝4log6x－9log6x，y＝9log4y＋6log4y可得6m進而可得（32）m＝1－（32）2m，故（32）m＋（32）2m＝1，同理得（32）2n＋（32）n＝1，所以（32）m與（32）n均為方程t由t2＋t－1＝0，解得t＝－1+52或t＝因為（32）m＞0，（32）n＞所以（32）m＝（32）n＝由于函數y＝（32）x為增函數，所以m＝n，xy＝6m4n＝（32方法技巧1.（1）logaf（x）＝b?f（x）＝ab（a＞0，且a≠1）.（2）logaf（x）＝logag（x）?f（x）＝g（x）（f（x）＞0，g（x）＞0）.2.解簡單對數不等式，先統一底數，化為形如logaf（x）＞logag（x）的不等式，再借助y＝logax的單調性求解.角度3對數函數性質的應用例5（1）[全國卷Ⅱ]設函數f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，則f（x）（D）A.是偶函數，且在（12，＋∞B.是奇函數，且在（－12，1C.是偶函數，且在（－∞，－12D.是奇函數，且在（－∞，－12解析由2x+1≠0，2x－1≠0，得函數f（x）的定義域為（－∞，－12）∪＋∞），其關于原點對稱，因為f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函數f（x）為奇函數，排除A，C.當x∈（－12，12）時，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函數f（x）單調遞增，排除B.當x∈（－∞，－12）時，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln2x+12x－1＝ln（（2）[全國卷Ⅰ]若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則（B）A.a＞2b B.a＜2bC.a＞b2 D.a＜b2解析令f（x）＝2x＋log2x，因為y＝2x在（0，＋∞）上單調遞增，y＝log2x在（0，＋∞）上單調遞增，所以f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上單調遞增.又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故選B.方法技巧對數型復合函數的單調性問題的求解策略（1）對于y＝logaf（x）型的復合函數的單調性，有以下結論：函數y＝logaf（x）的單調性與函數u＝f（x）（f（x）＞0）的單調性在a＞1時相同，在0＜a＜1時相反.（2）研究y＝f（logax）型的復合函數的單調性，一般用換元法，即令t＝logax，則只需研究t＝logax及y＝f（t）的單調性即可.注意研究對數型復合函數的單調性，一定要堅持“定義域優先”原則，否則所得范圍易出錯.訓練3（1）[2024河南名校聯考]“a≤2”是“函數f（x）＝ln（x2－ax＋12）在區間（2，＋∞）上單調遞增”的（AA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析二次函數y＝x2－ax＋12圖象的對稱軸為x＝a2，若函數f（x）＝ln（x2－ax＋12）在區間（2，＋∞）上單調遞增，則根據復合函數的單調性可得a2≤2，4－2a＋12≥0，即a≤94，故“a≤2”是“函數f（x）＝ln（（2）[2024河南商丘高三名校聯考]已知a＝log64，b＝log53，c＝log76，則（B）A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b解析由題意得a，b，c∈（0，1），∵log64·log67＜（log64+log672）2＝（∴log64＜1log67＝log76，即a∵a＝log64＝log64256＞log64216＝34，b＝log53＝log5481＜log54125＝34，∴a＞b.綜上所述，可得b＜（3）[2024湖北名校聯考改編]已知奇函數f（x）＝lg1+kx1+x（k≠1），則不等式－1＜f（x）＜lg12的解集為（13解析因為f（x）為奇函數，所以f（－x）＋f（x）＝lg1－kx1－x＋lg1+kx1+x＝lg1－k2x21－x2＝0，所以k2＝1.因為k≠1，所以k＝－1，則由－1＜f（x）＜lg12，得lg110學生用書P038指數、對數、冪值比較大小的策略策略1直接法例6（1）[2023南京六校聯考]若a＝0.40.5，b＝0.50.4，c＝log324，則a，b，c的大小關系是（D）A.a＜b＜c B.b＜c＜aC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析因為0.40.5＜0.50.5＜0.50.4，所以a＜b.因為c＝log324＝log2522＝25log22＝0.4＜0.40.5＝a，所以c＜a＜（2）[2022全國卷甲]已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則（A）A.a＞0＞b B.a＞b＞0 C.b＞a＞0 D.b＞0＞a解析因為9m＝10，所以m＝log910，所以a＝10m－11＝10log910－11＝10log910－10log1011，因為log910－log1011＝lg10lg9－lg11lg10＝（lg10）2－lg9·lg11lg9·lg10＞（lg10）2－（lg9+lg112）2lg9·lg10＝1－（lg992）2lg9＞0，所以策略2圖象法例7[2024山西大學附中模擬]若ea＝－lna，e－b＝lnb，e－c＝－lnc，則（B）A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.b＜c＜a D.b＜a＜c解析在同一直角坐標系中作出y＝ex，y＝e－x，y＝lnx，y＝－lnx的圖象，如圖所示，由圖象可知a＜c＜b.故選B.策略3構造函數法例8[全國卷Ⅰ]設x，y，z為正數，且2x＝3y＝5z，則（D）A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z解析令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z為正數，知k＞1.解法一（作差法）易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，因為k＞1，所以lgk＞0，所以2x－3y＝2lgklg2－3lgklg3＝lgk×（2lg3－3lg2）lg2×lg3＝lgk×lg98lg2×lg3＞0，故2x＞3y，2x－5z＝2lgklg2－5lgklg5＝lgk解法二（作商法）易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，由2x3y＝23×lg3lg2＝lg9lg8＞1，得由5z2x＝52×lg2lg5＝lg25lg所以3y＜2x＜5z.解法三（函數法）易知x＝lnkln2，y＝lnkln3，設函數f（t）＝tlnklnt（t＞0，t≠1），則f（2）＝2lnkln2＝2x，f（3）＝3lnkln3＝3y，f（f'（t）＝lnk·ln易得當t∈（e，＋∞）時，f'（t）＞0，函數f（t）單調遞增.因為e＜3＜4＜5，所以f（3）＜f（4）＜f（5）.又f（2）＝2lnkln2＝2×2lnk2ln2＝4ln所以f（3）＜f（2）＜f（5），即3y＜2x＜5z.方法技巧指數、對數、冪值比較大小的策略1.直接利用函數的性質，題目中出現的常數，特殊值（如0，1）等比較大小.2.當待比較大小的代數式無法單獨分離出來時，通常會考慮代數式的幾何意義，通過圖象，利用交點坐標比較大小.3.式子結構比較麻煩，或呈現一定規律時，通常會構造新函數，利用新函數的單調性比較大小.4.作差、作商也是比較大小常用的方法.訓練4（1）[2024山東省棗莊市第三中學模擬]設x＝e0.03，y＝1.032，z＝ln（e0.6＋e0.4），則x，y，z的大小關系為（A）A.z＞y＞x B.y＞x＞zC.x＞z＞y D.z＞x＞y解析易得lnx＝0.03，lny＝2ln1.03＝2ln（1＋0.03），令f（x）＝x－2ln（1＋x）（0＜x＜110），則f'（x）＝1－2x+1＝x－1x+1＜0，∴f（x）在（0，110）上遞減，∴f（x）＜0－2ln（1＋0）＝0，則x＜2ln（1＋x），∴0.03＜2ln（1＋0.03），故y＞x.yln（e0.6＋e0.4）＞ln2e0.6+0.4＝ln2＋lne＝ln2＋12，易得ln2＞35，∴z＞1.1，∴y＜z.故（2）[多選/2023黑龍江西北八校聯考]已知實數x，y，z滿足z·lnx＝z·ey＝1，則下列關系式可能成立的是（ABC）A.x＞y＞z B.x＞z＞yC.z＞x＞y D.z＞y＞x解析由題知實數x，y，z滿足lnx＝ey＝1z，在同一直角坐標系中分別作出函數m＝lnn，m＝en，m＝1n的大致圖象，如圖所示，再分別作出與n軸平行且與三個函數圖象均相交的直線，依次記為m＝m1，m＝m2，m＝m3由直線m＝m1與三個函數圖象的交點情況可得z＞x＞y，由直線m＝m2與三個函數圖象的交點情況可得x＞z＞y，由直線m＝m3與三個函數圖象的交點情況可得x＞y＞z.故選ABC.（3）[多選/2024廣東省汕頭市金禧中學模擬]若0＜c＜b＜1＜a，則下列不等式正確的是（ABC）A.log2024a＞log2024b B.logca＞logbaC.（c－b）ac＞（c－b）ab D.（a－c）ac＞（a－c）ab解析對選項A：因為a＞1＞b＞0，且f（x）＝log2024x為增函數，所以f（a）＞f（b），即log2024a＞log2024b，故A正確.對選項B：因為a＞1＞b＞c＞0，所以logac＜logab＜0，所以1logac＞1logab，即logca對選項C，D：由題意易知ac＜ab且c－b＜0，a－c＞0，所以（c－b）ac＞（c－b）ab，（a－c）ac＜（a－c）ab，所以C正確，D錯誤.故選ABC.1.[命題點1/2024江蘇省南通市教學質量調研]若3x＝4y＝6z＝k，且2x＋1y－1z＝12，則實數k的值為解析∵3x＝4y＝6z＝k，∴x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，則2x＋1y－1z＝2log3k＋1log4k－1log6k＝2logk3＋logk4－logk6＝logk9＋logk4－logk6＝logk（9×46）2.[命題點2/2024遼寧省大連市濱城高中聯考]函數y＝logax＋ax－1＋2（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（k，b），若m＋n＝b－k且m＞0，n＞0，則9m＋1n的最小值為（BA.9 B.8 C.92 D.解析因為函數y＝logax＋ax－1＋2（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（1，3），所以m＋n＝3－1＝2，所以2（9m＋1n）＝（m＋n）（9m＋1n）＝10＋9nm＋mn≥10＋29＝16，所以9m＋1n≥8，當且僅當3.[命題點2]已知函數f（x）＝lnx，則函數y＝f（11－x）的圖象大致為（解析f（11－x）＝ln11－x＝－ln（1－x4.[命題點3角度1]已知函數f（x）＝2｜x｜，a＝f（log0.53），b＝f（log45），c＝f（cosπ3），則（BA.a＞c＞b B.a＞b＞cC.b＞a＞c D.c＞a＞b解析a＝f（log0.53）＝f（－log23），b＝f（log45）＝f（log25），c＝f（cosπ3）f（12），易知函數f（x）＝2｜x｜為偶函數，∴a＝f（log23）.又當x＞0時，函數f（x）2｜x｜＝2x單調遞增，且log23＞log25＞12，∴f（log23）＞f（log25）＞f（12），∴a＞b＞c.5.[命題點3角度2，3/多選/2024湖南名校聯考]已知函數f（x）＝lg（x2－x＋414），則（ACDA.f（x）的最小值為1B.?x∈R，滿足f（1）＋f（x）＝2C.f（log92）＞f（23D.f（90.1－12）＞f（30.18－1解析由題知f（x）＝lg[（x－12）2＋10]，則f（x）在（－∞，12）上單調遞減，在（12，＋∞）上單調遞增，所以f（x）的最小值為f（12）＝lg10＝1因為f（x）≥1，f（1）＞1，所以f（1）＋f（x）＞2，B錯誤.易知f（x）圖象關于x＝12對稱，因為0＜log92＝lg2lg9＜lg2lg8＝13，所以｜log92－12｜＞16，又｜23－12｜＝16，所以f（log92因為90.1＝30.2＞30.18＞1，所以90.1－12＞30.18－12＞12，所以f（90.1－12）＞f（30.18－12），6.[思維幫角度1，3]已知實數a，b滿足a＝log23＋log86，6a＋8a＝10b，則下列判斷正確的是（C）A.a＞2＞b B.b＞2＞aC.a＞b＞2 D.b＞a＞2解析先比較a與2的大小：a＝log23＋log86＝log23＋log236＝log23＋13log26＝log23＋13（log22＋log23）＝1+4log233＝1+log2813，又20，即a＞2.再比較b與2的大小：因為a＞2，所以6a＋8a＞62＋82＝102，又6a＋8a＝10b，所以b＞2.最后比較a與b的大小：令f（x）＝6x＋8x－10x，x＞2，t＝x－2，t＞0，則x＝t＋2，令g（t）＝6t＋2＋8t＋2－10t＋2，t＞0，則g（t）＝36×6t＋64×8t－100×10t＜36×8t＋64×8t－100×10t＝100×8t－100×10t＜0，即當x＞2時，6x＋8x＜10x，所以6a＋8a＝10b＜10a，所以b＜a.綜上，a＞b＞2.故選C.7.[思維幫角度2]若e－x1·x3＝－lnx2·x3＝－1，則下列不等關系一定不成立的是（A.x1＜x3＜x2 B.x3＜x1＜x2C.x3＜x2＜x1 D.x1＜x2＜x3解析由e－x1·x3＝－lnx2·x3＝－1，得e－x1＝－lnx2＝－1x3.由e－x1＞0，得0＜x2＜1，x3＜0.作出函數y＝e－x，y＝－lnx（0＜x＜1），y＝－1x（x＜0）的大致圖象，如圖，由圖可知x1＜x3＜x2，x3＜x1＜x2，x38.[思維幫角度3]已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，則（D）A.c＜b＜a B.b＜c＜aC.a＜c＜b D.a＜b＜c解析解法一易知a，b，c均大于零.ae5＝5ea?e55＝eaa，be4＝4eb?e44＝ebb，ce3＝3ec?e33＝ecc，所以設函數f（x）＝f（4）＝f（b），f（3）＝f（c），且f'（x）＝ex（x－1）x2，則易得f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，作出f（x）在（0，＋∞）上的大致圖象，如圖，因為a＜5，b＜4，c＜解法二由題知，a＜5，b＜4，c＜3，因為ae5＝5ea，所以兩邊同時取對數可得lna＋5＝ln5＋a，即lna－ln5a－5＝1，同理可得lnb－ln4b－4＝lnc－ln3c－3＝1，即點A（a，lna）與點D（5，ln5）連線的斜率k1＝1，點B（b，lnb）與點Elnc）與點F（3，ln3）連線的斜率k3＝1.因為點A，B，C，D，E，F均在函數y＝lnx的圖象上，且AD∥BE∥CF，所以作出對應的示意圖如圖所示，由圖可得a＜b＜c.故選D.學生用書·練習幫P2681.[2023寧夏六盤山高級中學模擬]若f（x）滿足對定義域內任意的x1，x2，都有f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），則稱f（x）為“好函數”，則下列函數是“好函數”的是（D）A.f（x）＝2x B.f（x）＝（12）C.f（x）＝x2 D.f（x）＝log3x解析因為log3x1＋log3x2＝log3x1x2，滿足f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），所以f（x）＝log3x是“好函數”，故選D.2.[2024四川成都模擬]已知a＝log0.70.3，b＝log0.30.7，c＝0.5，則a，b，c的大小關系為（D）A.a＜c＜b B.c＜b＜a C.a＜b＜c D.b＜c＜a解析依題意，a＝log0.70.3＞log0.70.72＝2，b＝log0.30.7＝1log0.70.3＜12，而c＝0.5，所以3.已知函數f（x）＝x＋1x－2，x∈（2，8），當x＝m時，f（x）取得最小值n.則在平面直角坐標系中，函數g（x）＝log1m｜x＋n｜解析∵函數f（x）＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）·1x－2＋2＝4，x∈（2，8），當且僅當x－2＝1x－2，即x＝3時取等號，∴m＝3，n＝4.則函數g＋∞）上單調遞減，在（－∞，－4）上單調遞增，觀察選項可知，選項A符合.故選A.4.[2024河北石家莊市第十五中學模擬]已知函數f（x）＝lg（x2－ax＋12）在[－1，3]上單調遞減，則實數a的取值范圍是（B）A.[6，＋∞） B.[6，7）C.（－∞，－2] D.（－13，－2]解析由題意得，函數y＝x2－ax＋12在[－1，3]上單調遞減，且在[－1，3]上x2－ax＋12＞0恒成立，所以a2≥3，32－3a+12>0，解得6≤a＜7，故5.[2024陜西咸陽模擬]已知a＝2－0.01，b＝log510，c＝log612，則a，b，c的大小關系為（A）A.b＞c＞a B.b＞a＞cC.c＞b＞a D.c＞a＞b解析a＝2－0.01∈（2－1，20）＝（12，1），b＝1＋log52＞1，c＝1＋log62＞1，且log52＞log62，故b＞c＞a.故選6.[2023河南部分學校聯考]設a＝log23，b＝log4x，c＝log865，若a，b，c中b既不是最小的也不是最大的，則x的取值范圍是（A）A.（9，6523） B.（3，6C.[9，6523] D.[3，6解析∵a＝log23＝log827＜log865＝c，∴a＜b＜c，∴log23＜log4x＜log865，∴log23＜log2x12＜log26513，∴3<x12＜6513，得9＜x＜657.[2023山東模擬]已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f（x）單調遞減，則不等式f（log13（2x－5））＞f（log38）的解集為（CA.{x｜52＜x＜41B.{x｜x＞132C.{x｜52＜x＜4116或x＞D.{x｜x＜52或4116＜x＜解析因為函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在（－∞，0]上單調遞減，所以可將f（log13（2x－5））＞f（log38）化為｜log13（2x－5）｜＞｜log38｜，即log3（2x－5）＞log38或log3（2x－5）＜－log38＝log318，即2x－5＞8或0＜2x－5＜18，解得x＞132或58.[多選/2024甘肅省部分學校質量檢測]若（a，b）（a＞0，a≠1）為函數y＝log2x圖象上的一點，則下列選項正確的是（ABC）A.（b，a）為函數y＝2x圖象上的點B.（1a，b）為函數y＝log1C.（－b，a）為函數y＝（12）xD.（a，2b）為函數y＝log4x圖象上的點解析∵（a，b）（a＞0，a≠1）為函數y＝log2x圖象上的一點，∴log2a＝b，∴2b＝a，則（b，a）為函數y＝2x圖象上的點，故A正確；∵log2a＝b，∴log121a＝－1－1log2a＝b，則（1a，b）為函數y＝log1∴（12）－b＝2b＝a，則（－b，a）為函數y＝（12）x圖象上的點，故C正確；∵log2a＝b，∴log4a＝12log2a＝12b，故D9.[2023天津市匯文中學模擬]計算：（827）－23＋10lg3＋log193－log5解析（827）－23＋10lg3＋log193－log54·log25＝[（23）3]（23）－2＋3＋12－2log33－2＝94＋10.[2024江蘇省聯考]已知函數f（x）＝2－log2x，x≥1，4x解析由函數f（x）＝2－log2x，x≥1，4x，x<111.[2024北京市中關村中學模擬]聲音的等級f（x）（單位：dB）與聲音強度x（單位：W/m2）滿足f（x）＝10×lgx1×10－12.噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB.一般說話時，聲音的等級約為60dB，那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的解析由f（x）＝10×lgx1×10－12，即y＝10×lgx1×10－12可知，聲音強度x＝10y10×10－12＝10－12+y12.[2024貴州貴陽名校聯考]已知函數f（x）＝log2｜x－a｜＋1，且f（6＋x）＝f（2－x），則f（2）＝2.解析由f（6＋x）＝f（2－x）可知，函數f（x）的圖象關于直線x＝4對稱，而函數f（x）＝log2｜x－a｜＋1的圖象關于直線x＝a對稱，所以a＝4，所以f（x）＝log2｜x－4｜＋1，所以f（2）＝log2｜2－4｜＋1＝2.13.[2023烏魯木齊質監（一）]已知函數f（x）＝ln2－x3+x，a＝log23，b＝log34，c＝log58，則（A.f（a）＜f（c）＜f（b） B.f（a）＜f（b）＜f（c）C.f（c）＜f（a）＜f（b） D.f（c）＜f（b）＜f（a）解析f（x）＝ln2－x3+x＝ln（－1＋53+x），由2－x3+x＞0，得f（x）的定義域為{x｜－3＜x＜2}，由復合函數的單調性可得，f（x）在（－3，2）上單調遞減.由bc＝log34log58＝lg4lg3lg8lg5＝2lg2lg53lg2lg3＝lg25lg27＜1，c＞1得b＜c.又9＞8，即32＞23，所以3＞232，log23＞32，同理8＜532，log58＜32，所以c＜14.[2024陜西模擬]已知函數f（x）＝（12）x，A.f（f（0））＝12 B.f（f（1））＝C.f（f（log23））＝22 D.f（x）的值域為（0，1解析對于選項A，f（0）＝f（1）＝12，f（f（0））＝f（12）＝f（32）＝（12）32＝（18）12＝24，故A錯誤；對于選項B，f（1）＝12，f（f（1））＝f（12）＝24，故B正確；對于選項C，因為log23＞1，所以f（log23）＝（12）log2f（43）＝（12）43≠22，故C錯誤；對于選項D，當x≥1時，f（x）＝（12）x∈（0，12]，當0≤x＜1時，1≤x＋1＜2，f（x）＝f（x＋1）＝（12）x＋1∈（14，12]，又當x＜0時，f（x）＝f（x＋1），所以當x＜0時，f（x）∈（14，12]，綜上，函數f15.[2024南昌市模擬]已知函數y＝ex和y＝lnx的圖象與直線y＝2－x交點的橫坐標分別為a，b，則（D）A.a＞b B.a＋b＜2C.ab＞1 D.a2＋b2＞2解析易知y＝ex與y＝lnx互為反函數，對應的圖象關于直線y＝x對稱，如圖，直線y＝x與y＝2－x垂直，所以兩函數的圖象與直線y＝2－x的交點A，B關于直線y＝x對稱.設直線y＝x與y＝2－x的交點為C，則C（1，1），∴a＋b＝2且a≠b.∴a2＋b22＞a＋b2＝1，即a216.[2024河南省六市部分學校聯考]已知正數a，b，c∈（1，＋∞），且滿足2a－1a－1＝2＋log2a，3b－2b－1＝3＋log3b，A.c＜b＜a B.a＜b＜cC.a＜c＜b D.c＜a＜b解析由2a－1a－1＝2＋log2a，可得1a－1＝log2a，由3b－2b－1＝3＋log3b，可得1b－1＝log3b，由4c－3c－1＝4＋log4c，可得1c－1＝log在同一平面直角坐標系中畫出y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x與y＝1x－1（x＞根據圖象可知a＜b＜c.故選B.17.[2024合肥開學考試]定義在（0，＋∞）上的函數f（x）滿足：對?x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞1，則不等式f（2log2x）－fA.（1，2） B.（2，4）C.（4，8） D.（8，16）解析根據題意：設x1＞x2，則f（x1）－f（x2）x1－x2＞1?f（x1）－f（x2）＞x1－x2?f（x1）－x1＞f（x2）－x2，可得函數h（x）＝f（x）－x在（0，＋∞）上單調遞增.則f（2log2xf（log2x2）－log2x2＞f（x）－x?log2x2＞x?log2x2＞log22x?x2＞2x，在同一坐標系中畫出y＝x2與y＝2x的圖象，如圖.又x＞0，得2＜x＜4，則不等式的解集