第4講基本不等式課標要求命題點五年考情命題分析預測掌握基本不等式ab≤a＋b2（a，b≥0）利用基本不等式求最值2021天津T13；2020新高考卷ⅠT11；2020天津T14；2019天津T13本講是高考的熱點，常作為工具與其他知識綜合考查，主要考查基本不等式及其應用，如求最值、證明不等式、求參數的取值范圍等，解題時要注意應用基本不等式的三個前提條件.題型以選擇題、填空題為主，難度不大.預計2025年高考命題點變化不大，但應加強對應用基本不等式解決實際問題的重視.基本不等式的綜合問題2022新高考卷ⅡT12；2021浙江T8；2020新高考卷ⅡT12學生用書P0101.基本不等式：ab≤a（1）基本不等式成立的條件：①a＞0，b＞0.（2）等號成立的條件：當且僅當②a＝b時取等號.（3）其中，③a＋b2叫做a，b的算術平均數，④ab叫做a，b的幾何平均數.基本不等式表明：正數a，注意若a＜0，b＜0，應先轉化為－a＞0，－b＞0，再運用基本不等式求解.2.幾個重要不等式（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R，當且僅當a＝b時取等號）.（2）a＋b≥2ab（a＞0，b＞0，當且僅當a＝b時取等號）.（3）2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22（a＞思維拓展基本不等式鏈的幾何解釋如圖，AB是☉O的直徑，AC＝a，CB＝b，點D，F在☉O上，且DC⊥AB，FO⊥AB，連接DA，DO，DB，FC，作CE⊥DO，垂足為E.由圖可知，☉O的半徑等于AB2＝AC＋CB2（1）因為DC是Rt△ADB斜邊上的高，所以由射影定理得DC2＝AC·CB＝ab?DC＝ab.由DO≥DC得a＋b2≥ab，當且僅當C與O重合，即a＝（2）因為CE是Rt△DOC斜邊上的高，所以由射影定理得DC2＝DE·DO，所以DE＝DC2DO＝aba＋b2＝21a＋1b.由DC≥DE得ab（3）因為OC＝AC－AO＝a－a＋b2＝a－b2，OF＝a＋b2，所以在Rt△COF中，由勾股定理可得CF＝OC2＋OF2＝（a－b2）2則由（1）（2）（3）可得不等式鏈：21a＋1b≤ab≤a＋b2拓展思維：類似地，我們可以由DO≥DE得a＋b2≥21a＋1b；由CF≥DE得a2＋b歸納總結：不等式鏈21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a注意21a＋1b，ab，a＋b23.利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0.（1）如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y取得最小值⑤2P（簡記：積定和最小）；（2）如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy取得最大值⑥S24注意應用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正”“二定”“三相等”.1.下列說法正確的是（C）A.函數y＝x＋1x的最小值是B.函數f（x）＝cosx＋4cosx，x∈（0，πC.“x＞0且y＞0”是“xy＋yx≥2D.不等式a2＋b2≥2ab與a＋b22.矩形兩邊長分別為a，b，且a＋2b＝6，則矩形面積的最大值是（B）A.4 B.92 C.322 解析依題意可得a＞0，b＞0，則6＝a＋2b≥2a·2b＝22·ab，當且僅當a＝2b時取等號，所以ab≤628＝923.已知a，b為正數，則下列不等式中不成立的是（D）A.ab≤a2＋b22 B.ab≤（a＋b2）2 C.a解析易知A，B成立；對于C，因為a2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥（a＋b）2，所以a2＋b22≥（a＋b2）2，所以a2＋b22≥a＋b2，故C4.[教材改編]已知x＞2，則4x－2＋x的最小值是解析由x＞2知x－2＞0，則4x－2＋x＝4x－2＋（x－2）＋2≥24x－2·（x－2）＋2＝6，當且僅當4x－2＝學生用書P011命題點1利用基本不等式求最值角度1配湊法例1（1）[2024四川省南充第一中學模擬]已知a＞b＞0，則2a＋9a＋b＋4a－A.4 B.6 C.3 D.10解析∵a＞b＞0，∴a＋b＞0，a－b＞0，∴2a＋9a＋b＋4a－b＝[（a＋b）＋9a＋b]＋[（a－b）＋4a－b]≥2（a＋b）·9a＋b＋2（a－b）·4a－b＝6＋4＝10，當且僅當a＋（2）[2024寧夏銀川模擬]已知0＜x＜4，則x（4－x）解析0＜x＜4，則0＜4－x＜4，由基本不等式可得x（4－x）≤x+4－x2＝2，當且僅當x＝4－x，即x角度2常數代換法例2（1）[2023江西省南昌一中模擬]已知正數a，b滿足8a＋4b＝ab，則8a＋b的最小值為（C）A.54 B.56 C.72 D.81解析解法一因為8a＋4b＝ab，所以b＝8aa－4＞0，因為a＞0，所以a＞4，所以8a＋b＝8a＋8aa－4＝8（a2－3a）a－4＝8[（a－4）＋4a－4＋5]≥解法二∵8a＋4b＝ab，a＞0，b＞0，∴8b＋4a＝1，∴8a＋b＝（8a＋b）（8b＋4a）＝64ab＋4ba＋40≥264×4＋40＝72，當且僅當64ab＝4ba，即a＝6（2）[山東高考]若直線xa＋yb＝1（a＞0，b＞0）過點（1，2），則2a＋b的最小值為解析∵直線xa＋yb＝1（a＞0，b＞0）過點（1，2），∴1a＋2b＝1.∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝（2a＋b）（1a＋2b）＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8，當且僅當ba＝4ab和1a＋2b＝角度3消元法例3（1）[2024河南名校調研]若正數x，y滿足xy－2x－y＝0，則x＋y2的最小值是（CA.2 B.22 C.4 D.42解析因為正數x，y滿足xy－2x－y＝0，所以y＝2xx－1＞0，則x－1＞0，所以x＋y2＝x＋xx－1＝x＋1x－1＋1＝x－1＋1x－1＋2≥2（x－1）·（2）[江蘇高考]已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），則x2＋y2的最小值是45解析解法一由5x2y2＋y4＝1得x2＝15y2－y25，則x2＋y2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝解法二因為4＝（5x2＋y2）·4y2≤[（5x2＋y2）+4y22]2＝254（x2＋y2）2，所以x2＋y2≥45，當且僅當5x2＋y2＝4y2方法技巧1.基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.2.配湊、常數代換、消元的目的都是為了湊出和為定值或者積為定值的形式.3.多次使用基本不等式時，尤其要注意等號能否同時成立.訓練1（1）[2024遼寧省阜新市高級中學模擬]兩個正實數x，y滿足1x＋4y＝1，若關于m的不等式x＋y4＜m2＋3m有解，則實數m的取值范圍是（A.（－1，4） B.（－4，1）C.（－∞，－4）∪（1，＋∞） D.（－∞，－3）∪（0，＋∞）解析∵正實數x，y滿足1x＋4y＝1，∴x＋y4＝（x＋y4）（1x＋4y）＝2＋4xy＋y4x≥2＋24xy·y4x＝4，當且僅當4xy＝y4x且1x＋4y＝1，即x＝2，y＝8時取等號.∵不等式x＋y4＜m2＋3m有解，∴4＜m2＋3m，解得m＞1（2）[2021天津高考]若a＞0，b＞0，則1a＋ab2＋b的最小值為2解析因為1a＋ab2＋b≥21a·ab2＋b＝2b＋b≥22，當且僅當1a＝ab2，2（3）[2024上海市松江二中高三上學期階段測]設正實數x，y，z滿足4x2－3xy＋y2－z＝0，則xyz的最大值為1解析因為4x2－3xy＋y2－z＝0，所以z＝4x2－3xy＋y2，所以xyz＝xy4x2－3xy＋y2＝14xy－3+yx≤124x命題點2基本不等式的綜合問題角度1基本不等式的綜合應用例4（1）[2021浙江高考]已知α，β，γ是互不相同的銳角，則在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三個值中，大于12的個數的最大值是（CA.0 B.1 C.2 D.3解析因為α，β，γ是互不相同的銳角，所以sinα，cosβ，sinβ，cosγ，sinγ，cosα均為正數.由基本不等式可知sinαcosβ≤sin2α＋cos2β2，sinβcossin2γ＋cos2α2，三式相加可得sinαcosβ＋sinβcosγ＋sincosβ，sinβ＝cosγ，sinγ＝cosα，即α＝β＝γ＝π4時取等號，因為α，β，γ是互不相同的銳角，所以sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα＜32，所以sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不會都大于12.若取α＝π6，β＝π3，γ＝π4，則sinπ6cosπ3＝12×12＝14＜12，sinπ3cosπ4＝32×22＝64＞24＝12（2）[多選/2022新高考卷Ⅱ]若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則（BC）A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1解析解法一由題意得，x2＋y2＝xy＋1，所以（x＋y）2＝3xy＋1，當x＞0且y＞0時，顯然有（x＋y）2＞1，即x＋y＞1，故A錯誤.因為x2＋y2≥2xy，所以xy＋1≥2xy，所以xy≤1，所以x2＋y2≤2，當且僅當x＝y時等號成立，故C正確.因為（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝3xy＋1≤4，所以｜x＋y｜≤2，所以－2≤x＋y≤2，故B正確.因為x2＋y2＝xy＋1，所以當xy＜0時，x2＋y2＜1，故D錯誤.故選BC.解法二由x2＋y2－xy＝（x－12y）2＋34y2＝1，可設x－12y＝cosα，32y＝sinα，所以x＝sinα3＋cosα，y＝2sinα3.x＋y＝3sinα＋cosα＝2sin（α＋π6）∈[－2，2]，且當α＝π3時，x＋y可取得最大值2，故A錯誤，B正確.x2＋y2＝3sin2α－cos2α+43＝2sin（2α－π6）+43角度2利用基本不等式解決實際問題例5[江蘇高考]某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是30.解析一年購買600x次，則總運費與總存儲費用之和為600x×6＋4x＝4（900x＋x）≥8900x×x＝240，當且僅當x例6某醫療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品.已知生產該產品的年固定成本為200萬元，最大產能為100臺，每生產x臺，需另投入成本G（x）萬元，且G（x）＝x2+120x，（1）寫出年利潤W（x）（單位：萬元）關于年產量x（單位：臺）的函數解析式（利潤＝銷售收入－成本）.（2）當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？解析（1）由題意可得，當0＜x≤50時，W（x）＝200x－（x2＋120x）－200＝－x2＋80x－200，當50＜x≤100時，W（x）＝200x－（201x＋4900x－2100）－200＝－（x＋4故W（x）＝－（2）當0＜x≤50時，W（x）＝－x2＋80x－200＝－（x－40）2＋1400，W（x）max＝W（40）＝1400；當50＜x≤100時，W（x）＝－（x＋4900x）＋1900≤－2x·4900x＋1900＝1760，當且僅當x＝4900x，即綜上可知，該產品的年產量為70臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1760萬元.方法技巧利用基本不等式求解實際問題時，要根據實際問題設出變量，注意變量應滿足實際意義，抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值.訓練2（1）[2024陜西省商洛市部分學校階段測試]在△ABC中，BD＝13BC，E是線段AD上的動點（與端點不重合），設CE＝xCA＋yCB（x，y∈R），則8x+3yA.6 B.7 C.8 D.9解析如圖，因為BD＝13BC，所以CB＝32CD，因為CE＝xCA＋yCB，所以CE＝xCA＋32yCD，因為A，D，E三點共線，所以x＋32y＝1，易知x＞0，y＞0，所以8x+3y3xy＝83y＋1x＝（83y＋1x）（x＋32y）＝8x3y＋4＋1＋3y2x≥2（2）[2023湖南省部分學校聯考]某社區計劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為1800平方米的矩形ABCD，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區域的最大面積是（C）A.1208平方米 B.1448平方米C.1568平方米 D.1698平方米解析設AB＝x米，x＞0，則種植花卉區域的面積S＝（x－4）（1800x－2）＝－2x－7200x＋1808.因為x＞0，所以2x＋7200x≥214400＝240，當且僅當x＝60時，等號成立，則S≤－240＋1808＝1568，即當思維幫·提升思維快速解題基本不等式鏈與柯西不等式的應用角度1求最值例7已知x，y均為正實數，且1x+2＋1y+2＝16，則x＋y解析解法一（基本不等式鏈法）x＋y2＝（x+2）＋（y+2）2－2≥21x+2＋1y+2－解法二（柯西不等式法）∵x，y均為正實數，且1x+2＋1y+2＝16，∴6（1xx＋y＝（x＋2）＋（y＋2）－4＝6（1x+2＋1y+2）[（x＋2）＋（y＋2）6[1x+2×（x+2）＋1y+2×（y+2）]2－4＝20，當且僅當（x＋2）2＝（y＋2）2，且1x+2解法三（基本不等式法）∵x，y均為正實數，且1x+2＋1y+2＝16，∴6（1xx＋y＝（x＋2）＋（y＋2）－4＝6（1x+2＋1y+2）[（x＋2）＋（y＋2）]－4＝6（2＋y+2x+2＋x+2y+2）－4≥6（2＋2y+2x+2·x+2y角度2判斷關于不等式的命題的真假例8[2024四川成都聯考]已知正實數m，n滿足m＋n＝1，則下列不等式中錯誤的是（D）A.mn≤14 B.2m2＋2n2≥C.m（n＋1）＜1 D.m＋n≤1解析對于A，mn≤（m＋n2）2＝14，當且僅當m＝n＝1對于B，m＋n2≤m2＋n22?m2＋n2≥（m＋n）對于C，易知m，n∈（0，1），mn＜n?m（n＋1）＜n＋m＝1，選項C正確.對于D，m＋n2≤m＋n2＝22?m＋n≤2，當且僅當m＝n＝方法技巧1.柯西不等式：（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，當且僅當ad＝bc時，等號成立.2.無論是均值不等式還是柯西不等式，在使用的時候都要注意“配湊”技巧，還要注意驗證等號成立的條件.訓練3（1）已知正實數x，y滿足1x+3y＋12x＋y＝1，則x解析x＋y＝15[（x＋3y）＋（4x＋2y）]＝15[（x＋3y）＋（4x＋2y）]（1x+3y＋24x+2y）≥15[（x+3y）×1x+3y＋（4x+2y）×24x+2y]2＝3+225，當且僅當（x＋3y）（2）[多選/2024云南省大理模擬]若12a＝3，12b＝4，則下列結論正確的是（ACD）A.ba＞1 B.ab＞14 C.a2＋b2＞12 D.2a－解析由12a＝3，12b＝4得a＝log123，b＝log124，a＋b＝log123＋log124＝log1212＝1，且a＝log123＞log121＝0，b＝log124＞log121＝0.選項A：ba＝log124log123＝log34＞log33選項B：ab≤（a＋b2）2＝14，當且僅當a＝b時等號成立，因為a≠b，所以ab＜1選項C：a2＋b2≥（a＋b）22＝12，當且僅當a＝b時等號成立，因為a≠b，所以a2＋b選項D：a－b＝log123－log124＝log1234＞log12112＝－所以2a－b＞2－1＝12，故D正確.故選1.[命題點1角度1]已知實數a＞0，b＞1，a＋b＝5，則2a＋1b－1的最小值為（A.3+224 B.3+424 C.3+22解析因為a＞0，b＞1，a＋b＝5，所以2a＋1b－1＝（2a＋1b－1）[a＋（b－1）]×14＝14[3＋2（b－1）a＋ab－1]≥14（3＋22.[命題點1角度2/天津高考]已知a＞0，b＞0，且ab＝1，則12a＋12b＋解析依題意得12a＋12b＋8a＋b＝a＋b2ab＋8a＋b＝a＋b2＋8a＋b≥23.[命題點1角度3]已知a＞0，b＞－1，且a＋b＝1，則a2+3a＋b2b+1的最小值為解析已知a＞0，b＞－1，且a＋b＝1，所以b＝1－a＞－1，所以2－a＞0，所以a2+3a＋b2b+1＝a＋3a＋（1－a）22－a＝3a＋12－a.令f（a）＝3a＋12－a，則f（a）＝12·[a＋（2－a）]·（3a＋12－a）＝12·[3＋a2－a＋3（2－a）a4.[命題點2角度1]已知0＜a＜1，b＞1，則下列不等式成立的是（D）A.a＋b＜4aba＋b B.C.2a2+2b2＜2ab D.解析對于選項A，因為0＜a＜1，b＞1，所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＞4ab，故A錯誤；對于選項B，ab＞21a＋1b對于選項C，2（a2＋b2）＞對于選項D，2a2＋2b2＞a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，所以a＋b＜2a2+2b5.[命題點2角度2/2024河南省名校調研]以硅材料的應用開發形成的光電轉換產業鏈條稱之為“光伏產業”.某農產品加工合作社每年消耗電費24萬元.為了節能環保，決定修建一個可使用16年的光伏電站，并入該合作社的電網.修建光伏電站的費用（單位：萬元）與光伏電站的太陽能面板的面積（單位：m2）成正比，比例系數為0.12.為了保證正常用電，修建后采用光伏電能和常規電能互補的供電模式用電.設在此模式下，當光伏電站的太陽能面板的面積為x（單位：m2）時，該合作社每年消耗的電費為kx+50（單位：萬元，k為常數）.記該合作社修建光伏電站的費用與16年所消耗的電費之和為F（1）用x表示F.（2）該合作社修建多大面積的太陽能面板，可使F最小？并求出最小值.（3）要使F不超過140萬元，求x的取值范圍.解析（1）由題意可得，當x＝0時，k50＝24，則k＝1200所以該合作社修建光伏電站的費用與16年所消耗的電費之和F＝16×1200x+50＋0.12x＝19200x（2）F＝19200x+50＋0.12x＝19200x+50＋0.12（x＋50）－6≥219200x+50×0.12（x+50）－6＝90，當且僅當（3）要使F不超過140萬元，只需F＝19200x+50＋0.12x≤140，整理得3x2－3350x＋則（3x－3050）（x－100）≤0，解得100≤x≤3故要使F不超過140萬元，x的取值范圍是{x｜100≤x≤3050學生用書·練習幫P2621.[2024河北保定模擬]設x，y均為正數，且x＋y＝4，則xy的最大值為（C）A.1 B.2 C.4 D.16解析因為x，y均為正數，且x＋y＝4，所以xy≤（x＋y2）2＝4，當且僅當x＝y＝2.[2024江蘇常州模擬]已知a＞1，b＞12，且2a＋b＝4，則1a－1＋12bA.1 B.43 C.2 解析因為2a＋b＝4，所以（4a－4）＋（2b－1）＝3.因為a＞1，b＞12，所以1a－1＋12b－1＝13[（4a－4）＋（2b－1）]（44a－4＋12b－1）＝13[4（2b－1）4a－4＋4a－42b－1＋3.當x＞0時，函數y＝3+x＋x21+A.23 B.23－1 C.23＋1 D.4解析因為x＞0，所以y＝3+x＋x21+x＝31+x＋x＝31+x＋（x＋1）－1≥231+x·（x+1）－1＝23－14.[2023山西忻州第二次聯考]已知0＜a＜2，則1a＋92－a的最小值是（A.4 B.6 C.8 D.16解析因為0＜a＜2，所以1a＞0，92－a＞0，所以1a＋92－a＝12[a＋（2－12（2－aa＋9a2－a＋10）≥12×（22－aa·9a2－5.[多選]小王從甲地到乙地往返的速度分別為a和b（a＜b），其全程的平均速度為v，則下列選項中正確的是（AD）A.a＜v＜ab B.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.解析設甲、乙兩地之間的距離為s.因為a＜b，所以v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a26.[多選/2023重慶市三檢]已知x＞0，y＞0，且x＋y＋xy－3＝0，則下列結論正確的是（BC）A.xy的取值范圍是（0，9]B.x＋y的取值范圍是[2，3）C.x＋2y的最小值是42－3D.x＋4y的最小值是3解析對于A，因為x＞0，y＞0，x＋y＋xy－3＝0，所以3－xy＝x＋y≥2xy，所以0＜xy≤1，即0＜xy≤1，當且僅當x＝y時取等號，故A不正確.對于B，由x＋y＋xy－3＝0，得3－（x＋y）＝xy≤（x＋y2）2，當且僅當x＝y時取等號，即（x＋y）2＋4（x＋y）－12≥0，結合x＞0，y＞0，得x＋y≥2.又3－（x＋y）＝xy＞0，（易錯：忽略根據xy＞0這一隱含條件求x所以x＋y＜3，即2≤x＋y＜3，故B正確.對于C，由x＋y＋xy－3＝0，得x＝－y+3y+1＝－1＋4y+1，所以x＋2y＝－1＋4y+1＋2y＝4y+1＋2（y＋1）－3≥24y+1·2（y+1）－3＝42－3，當且僅當4y+1＝2（y＋1），即y＝2－1時等號成立，故C正確.對于D，由C選項知：x＝－1＋4y+1，則x＋4y＝－1＋4y+1＋4y＝4y+1＋4（y＋1）－5≥24y+1·4（y+1）－5＝37.[2024廣西河池聯考]若x＞0，y＞0，且1x＋2y＝4，則yx的最大值為2解析因為x＞0，y＞0，所以4＝1x＋2y≥22yx，整理可得yx≤（422）2＝2，當且僅當18.[2023濟南市模擬]已知正數x，y滿足4x＋2y＝xy，則x＋2y的最小值為18.解析由4x＋2y＝xy，得4x+2yxy＝4y＋2x＝1.又x，y是正數，所以x＋2y＝（x＋2y）（4y＋2x）＝10＋4xy＋4yx≥10＋24xy·4yx＝9.某電商自營店，其主打商品每年需要6000件，每年進n次貨，每次購買x件，每次購買商品需手續費300元，已購進未賣出的商品要付庫存費，可認為年平均庫存量為x2件，每件商品庫存費是每年10元，則要使總費用（手續費＋庫存費）最低，則每年進貨次數為10解析由題意，得nx＝6000，每年的手續費為300n元，庫存費為x2×10＝5x＝30000n（元），總費用為（300n＋30000n）元.因為n＞0，所以3006000，當且僅當300n＝30000n，即n＝10.[2024山東煙臺模擬]如圖，在半徑為4（單位：cm）的半圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其頂點A，B在直徑上，頂點C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為16（單位：cm2）.解析如圖，連接OC，設OB＝x（0＜x＜4），則BC＝OC2－OB2＝16－x2，AB＝2OB＝2x，所以矩形ABCD的面積為AB·BC＝2x16－x2≤x2＋（16－x2）＝16，當且僅當x2＝16－x211.[2021全國卷乙]下列函數中最小值為4的是 （C）A.y＝x2＋2x＋4 B.y＝｜sinx｜＋4C.y＝2x＋22－x D.y＝lnx＋4解析選項A，因為y＝x2＋2x＋4＝（x＋1）2＋3，所以當x＝－1時，y取得最小值，且ymin＝3，所以選項A不符合題意.選項B，解法一因