2024成都中考B卷專項強化訓練十四一、填空題(本大題共5個小題，每小題4分，共20分)19.已知關于x的一元二次方程ax2－4x＋1＝0有兩個相等的實數根，則函數y＝

中，當x>0時，y隨x的增大而_____(填“增大”或“減小”)．20.若三角形的三邊長為4，7，x，且x是方程

＝1－

的解，則a的取值范圍為________________．減小4＜a＜36且a≠2421.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是正方形，點A的坐標為(4，－1)，點D的坐標為(6，3)，以原點O為位似中心，把正方形縮小為原來的一半，則點B的對應點B′的坐標為____________________.第21題圖(4，－

)或(－4，

)

22.新定義：如果三角形的兩個內角α，β滿足2α＋β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“亞互余三角形”．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若AC＝4，BC＝5，E是BC邊上一點(不與點D重合)，當△ABE是“亞互余三角形”時，則BE的長為___．第22題圖23.如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點E是邊AB上一點，以DE為對稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點B的對應點為點H，折痕與邊BC交于點F.(1)∠DEF＝____；(2)若點E是AB的中點，則DF的長為___．第23題圖90°二、解答題(本大題共3個小題，共30分)24.(本小題滿分8分)“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鳶”，陽春三月，正是放風箏的好時節，某商店購進一批風箏．已知成批購進時的單價是30元/個．調查發現：銷售單價是40元/個，月銷售量是300個，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10個，但每個風箏售價不能高于60元．設每個風箏的銷售單價上漲了x元時(x為正整數)，月銷售利潤為y元．(1)求y與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；解：(1)依題意，得y＝(40＋x－30)·(300－10x)，即y＝－10x2＋200x＋3000，自變量x的取值范圍是0＜x≤20，且x為正整數(或1≤x≤20，且x為正整數)；(2)每個風箏的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月銷售利潤是多少？(2)y＝－10x2＋200x＋3000＝－10(x－10)2＋4000，∵a＝－10＜0，∴當x＝10時，y有最大值，且x符合0＜x≤20且x為正整數，∴當x＝10時，x＋40＝50，y＝4000.答：每個風箏的售價定為50元時，可使月銷售利潤最大，最大的月銷售利潤是4000元．25.(本小題滿分10分)如圖①，在矩形ABCD中，點E為邊AD的中點，點F為AB上的一個動點，連接FE并延長，交CD的延長線于點G，以FG為底邊在FG下方作等腰Rt△FHG，且∠FHG＝90°.(1)如圖①，若點H恰好落在BC上，連接BE，EH.①求證：AD＝2AB；第25題圖①(1)①證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°.如解圖①，過點E作EM⊥BC于點M，則EM＝AB，∵點E為AD的中點，∴AE＝ED.∵∠A＝∠EDG＝90°，∠AEF＝∠DEG，∴△AEF≌△DEG(ASA)，∴FE＝GE，即點E為FG的中點．∵△FHG等腰直角三角形，∠FHG=90°，第25題解圖①∴EH⊥FG，EH＝

FG＝FE，∴∠MEH＋∠FEM＝90°.∵∠AEF＋∠FEM＝90°，∴∠AEF＝∠MEH.∵∠A＝∠EMH＝90°，∴△EAF≌△EMH(AAS)，∴EM＝AE＝

AD，∴AD＝2EM＝2AB；第25題解圖①②若tan∠BEH＝2，GD＝1，求△FHG的面積；②解：由①得∠FEH＝90°，∵∠FBH＝90°，∴F，B，H，E四點共圓，FH為直徑，如解圖②，∴∠BFH＝∠BEH，∴tan∠BFH＝tan∠BEH＝2，∴在Rt△BFH中，BH＝2BF.∵∠FHG＝90°，∴∠FHB＋∠CHG＝90°.第25題解圖②∵∠C＝90°，∴∠CHG＋∠HGC＝90°，∴∠FHB＝∠HGC.∵∠FBH＝∠C＝90°，FH＝HG，∴△FHB≌△HGC(AAS)，∴BF＝CH.∵AD＝BC＝2AB，BH＝2BF，AF＝GD＝1，∴BH＋CH＝2(AF＋BF)，即2BF＋BF＝2(1＋BF)，∴BF＝2，BH＝4，∴FH＝2，∴S△FHG＝

FH2＝10；第25題解圖②(2)如圖②，點H落在矩形ABCD內，連接CH，若AD＝4，AB＝3，求四邊形FHCB面積的最大值．第25題圖②(2)解：如解圖③，過點H作BC的平行線，分別交AB，DC于點N，O，連接BH，則四邊形NOCB為矩形．(觀察圖形，矩形ANOD與(1)中矩形ABCD相同，考慮結合(1)中方法確定點H的軌跡，進而對四邊形FHCB的面積進行分割求解)∵點F在AN上運動，∴點H在NO上運動．由①方法可證AD＝2AN，第25題解圖③∵AD＝4，∴AN＝2，∴NB＝AB－AN＝1，由②方法可得FN＝HO，設FN＝HO＝x，則NH＝4－x，∴S四邊形FHCB＝S△FHB＋S△BHC＝

FB·NH＋

BC·BN＝

(x＋1)×(4－x)＋

×4×1＝－

(x－

)2＋

，∵－

＜0，∴當x＝

時，四邊形FHCB的面積取得最大值，最大值為.第25題解圖③第26題圖①26.(本小題滿分12分)如圖①，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(－1，0)，B兩點，交y軸于點C，頂點坐標為D(1，2)．(1)求拋物線的表達式；解：(1)由題意，設拋物線的表達式為y＝a(x－1)2＋2，∵拋物線過點A(－1，0)，∴0＝a(－1－1)2＋2，∴a＝－

，∴拋物線的表達式為y＝－

(x－1)2＋2＝－

x2＋

x＋

；(2)如圖②，在x軸上平移線段AB得到線段EF(點A對應點E，點B對應點F)．①若點G是第四象限內拋物線上一點，當△GEF是等邊三角形時，求點G的坐標；第26題圖②(2)①∵A(－1，0)，拋物線對稱軸為直線x＝1，∴點B的坐標為(3，0)，∴EF＝AB＝4，∴當△GEF是等邊三角形時，|yG|＝2.∵點G是第四象限內拋物線上一點，∴yG＝－2，代入拋物線的表達式中，∴－

x2＋

x＋

＝－2，解得x1＝1＋2，x2＝1－2(舍去)，∴點G的坐標為(1＋2，－2)；②如圖③，連接BC，過點D作BC的平行線交y軸于點H，連接DF，HE，請判斷四邊形DHEF的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．第26題圖③②存在．∵B(3，0)，C(0，

)，∴直線BC的表達式為y＝－

x＋

.∵HD∥BC，∴設直線HD的表達式為y＝－

x＋m.將點D(1，2)代入，得2＝－

＋m，解得m＝

，∴直線HD的表達式為y＝－

x＋

，∴H(0，

).如解圖，把點H向右平移4個單位長度至點M，連接FM，HM，∴M(4，

).∵EFHM，∴四邊形EHMF為平行四邊形，∴HE＝MF.∵四邊形HEFD中HD與EF均為定值，FM＝EH，∴當DF＋FM最小時，四邊形DHEF的周長最小．第26題解圖作點M關于x軸的對稱點M′(4，－