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2024成都中考B卷專項(xiàng)強(qiáng)化訓(xùn)練十四一、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題4分,共20分)19.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2-4x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則函數(shù)y=
中,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而_____(填“增大”或“減小”).20.若三角形的三邊長(zhǎng)為4,7,x,且x是方程
=1-
的解,則a的取值范圍為_(kāi)_______________.減小4<a<36且a≠2421.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,-1),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,3),以原點(diǎn)O為位似中心,把正方形縮小為原來(lái)的一半,則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_(kāi)___________________.第21題圖(4,-
)或(-4,
)
22.新定義:如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α,β滿足2α+β=90°,那么我們稱這樣的三角形為“亞互余三角形”.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,若AC=4,BC=5,E是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合),當(dāng)△ABE是“亞互余三角形”時(shí),則BE的長(zhǎng)為_(kāi)__.第22題圖23.如圖,在菱形ABCD中,∠A=120°,AB=2,點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn),以DE為對(duì)稱軸將△DAE折疊得到△DGE,再折疊BE使BE落在直線EG上,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H,折痕與邊BC交于點(diǎn)F.(1)∠DEF=____;(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),則DF的長(zhǎng)為_(kāi)__.第23題圖90°二、解答題(本大題共3個(gè)小題,共30分)24.(本小題滿分8分)“兒童散學(xué)歸來(lái)早,忙趁東風(fēng)放紙鳶”,陽(yáng)春三月,正是放風(fēng)箏的好時(shí)節(jié),某商店購(gòu)進(jìn)一批風(fēng)箏.已知成批購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元/個(gè).調(diào)查發(fā)現(xiàn):銷售單價(jià)是40元/個(gè),月銷售量是300個(gè),而銷售單價(jià)每上漲1元,月銷售量就減少10個(gè),但每個(gè)風(fēng)箏售價(jià)不能高于60元.設(shè)每個(gè)風(fēng)箏的銷售單價(jià)上漲了x元時(shí)(x為正整數(shù)),月銷售利潤(rùn)為y元.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍;解:(1)依題意,得y=(40+x-30)·(300-10x),即y=-10x2+200x+3000,自變量x的取值范圍是0<x≤20,且x為正整數(shù)(或1≤x≤20,且x為正整數(shù));(2)每個(gè)風(fēng)箏的售價(jià)定為多少元時(shí)可使月銷售利潤(rùn)最大?最大的月銷售利潤(rùn)是多少?(2)y=-10x2+200x+3000=-10(x-10)2+4000,∵a=-10<0,∴當(dāng)x=10時(shí),y有最大值,且x符合0<x≤20且x為正整數(shù),∴當(dāng)x=10時(shí),x+40=50,y=4000.答:每個(gè)風(fēng)箏的售價(jià)定為50元時(shí),可使月銷售利潤(rùn)最大,最大的月銷售利潤(rùn)是4000元.25.(本小題滿分10分)如圖①,在矩形ABCD中,點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn),點(diǎn)F為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接FE并延長(zhǎng),交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,以FG為底邊在FG下方作等腰Rt△FHG,且∠FHG=90°.(1)如圖①,若點(diǎn)H恰好落在BC上,連接BE,EH.①求證:AD=2AB;第25題圖①(1)①證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°.如解圖①,過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M,則EM=AB,∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),∴AE=ED.∵∠A=∠EDG=90°,∠AEF=∠DEG,∴△AEF≌△DEG(ASA),∴FE=GE,即點(diǎn)E為FG的中點(diǎn).∵△FHG等腰直角三角形,∠FHG=90°,第25題解圖①∴EH⊥FG,EH=
FG=FE,∴∠MEH+∠FEM=90°.∵∠AEF+∠FEM=90°,∴∠AEF=∠MEH.∵∠A=∠EMH=90°,∴△EAF≌△EMH(AAS),∴EM=AE=
AD,∴AD=2EM=2AB;第25題解圖①②若tan∠BEH=2,GD=1,求△FHG的面積;②解:由①得∠FEH=90°,∵∠FBH=90°,∴F,B,H,E四點(diǎn)共圓,F(xiàn)H為直徑,如解圖②,∴∠BFH=∠BEH,∴tan∠BFH=tan∠BEH=2,∴在Rt△BFH中,BH=2BF.∵∠FHG=90°,∴∠FHB+∠CHG=90°.第25題解圖②∵∠C=90°,∴∠CHG+∠HGC=90°,∴∠FHB=∠HGC.∵∠FBH=∠C=90°,F(xiàn)H=HG,∴△FHB≌△HGC(AAS),∴BF=CH.∵AD=BC=2AB,BH=2BF,AF=GD=1,∴BH+CH=2(AF+BF),即2BF+BF=2(1+BF),∴BF=2,BH=4,∴FH=2,∴S△FHG=
FH2=10;第25題解圖②(2)如圖②,點(diǎn)H落在矩形ABCD內(nèi),連接CH,若AD=4,AB=3,求四邊形FHCB面積的最大值.第25題圖②(2)解:如解圖③,過(guò)點(diǎn)H作BC的平行線,分別交AB,DC于點(diǎn)N,O,連接BH,則四邊形NOCB為矩形.(觀察圖形,矩形ANOD與(1)中矩形ABCD相同,考慮結(jié)合(1)中方法確定點(diǎn)H的軌跡,進(jìn)而對(duì)四邊形FHCB的面積進(jìn)行分割求解)∵點(diǎn)F在AN上運(yùn)動(dòng),∴點(diǎn)H在NO上運(yùn)動(dòng).由①方法可證AD=2AN,第25題解圖③∵AD=4,∴AN=2,∴NB=AB-AN=1,由②方法可得FN=HO,設(shè)FN=HO=x,則NH=4-x,∴S四邊形FHCB=S△FHB+S△BHC=
FB·NH+
BC·BN=
(x+1)×(4-x)+
×4×1=-
(x-
)2+
,∵-
<0,∴當(dāng)x=
時(shí),四邊形FHCB的面積取得最大值,最大值為.第25題解圖③第26題圖①26.(本小題滿分12分)如圖①,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A(-1,0),B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1,2).(1)求拋物線的表達(dá)式;解:(1)由題意,設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-1)2+2,∵拋物線過(guò)點(diǎn)A(-1,0),∴0=a(-1-1)2+2,∴a=-
,∴拋物線的表達(dá)式為y=-
(x-1)2+2=-
x2+
x+
;(2)如圖②,在x軸上平移線段AB得到線段EF(點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)F).①若點(diǎn)G是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),當(dāng)△GEF是等邊三角形時(shí),求點(diǎn)G的坐標(biāo);第26題圖②(2)①∵A(-1,0),拋物線對(duì)稱軸為直線x=1,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),∴EF=AB=4,∴當(dāng)△GEF是等邊三角形時(shí),|yG|=2.∵點(diǎn)G是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),∴yG=-2,代入拋物線的表達(dá)式中,∴-
x2+
x+
=-2,解得x1=1+2,x2=1-2(舍去),∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1+2,-2);②如圖③,連接BC,過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交y軸于點(diǎn)H,連接DF,HE,請(qǐng)判斷四邊形DHEF的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.第26題圖③②存在.∵B(3,0),C(0,
),∴直線BC的表達(dá)式為y=-
x+
.∵HD∥BC,∴設(shè)直線HD的表達(dá)式為y=-
x+m.將點(diǎn)D(1,2)代入,得2=-
+m,解得m=
,∴直線HD的表達(dá)式為y=-
x+
,∴H(0,
).如解圖,把點(diǎn)H向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)M,連接FM,HM,∴M(4,
).∵EFHM,∴四邊形EHMF為平行四邊形,∴HE=MF.∵四邊形HEFD中HD與EF均為定值,F(xiàn)M=EH,∴當(dāng)DF+FM最小時(shí),四邊形DHEF的周長(zhǎng)最小.第26題解圖作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′(4,-
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