微專題15圓錐曲線中的幾個常用二級結論焦點三角形的面積公式(1)已知F1，F2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P在橢圓上，∠F1PF2＝θ，則其焦點三角形的面積為S△F1PF2＝b2taneq\f(θ,2).(2)已知F1，F2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P在雙曲線上，∠F1PF2＝θ，則其焦點三角形的面積為S△F1PF2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).例1(1)已知橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1上一點M與兩焦點F1，F2所成的角∠F1MF2＝60°，則△F1MF2的面積為(C)A.eq\f(16\r(,3),3) B.16eq\r(,3)C.3eq\r(,3) D.9eq\r(,3)解析：根據橢圓焦點三角形的面積的二級結論S△F1PF2＝b2taneq\f(θ,2)，得S△F1MF2＝9taneq\f(60°,2)＝3eq\r(,3).(2)已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,25)＝1上一點M與兩焦點F1，F2所成的∠F1MF2＝120°，則△F1MF2的面積為eq\f(25\r(,3),3).解析：根據雙曲線焦點三角形的面積的二級結論S△F1PF2＝b2eq\f(cos\f(θ,2),sin\f(θ,2))，得S△F1MF2＝25×eq\f(cos60°,sin60°)＝eq\f(25\r(,3),3).兩直線斜率的乘積為e2－1平面內與兩定點A1(－a,0)，A2(a,0)連線的斜率的乘積等于常數e2－1的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線，其中兩個定點為橢圓和雙曲線的兩個頂點．當e2－1>1時，軌跡為雙曲線，當e2－1∈(－1,0)時，軌跡為橢圓．例2如圖，在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的左、下頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.(例2)(1)若直線PA平分線段MN，求k的值；【解答】由題設知，a＝2，b＝eq\r(,2)，故M(－2,0)，N(0，－eq\r(,2))，所以線段MN的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(,2),2))).由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過原點，所以k＝eq\f(\r(,2),2).(2)對任意k>0，求證：PA⊥PB.【解答】設P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．因為P，A，B都在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上，所以eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),2)＝1，兩式相減得kPB·kAB＝eq\f(y1－y2y1＋y2,x1－x2x1＋x2)＝－eq\f(1,2).設直線PB，AB的斜率分別為k1，k2.因為點C在直線AB上，所以k2＝eq\f(0－－y1,x1－－x1)＝eq\f(y1,2x1)＝eq\f(k,2)，從而kk1＝2k1k2＝－eq\f(1,2)×2＝－1，因此PA⊥PB.1.橢圓方程中有關e2－1＝－eq\f(b2,a2)的結論：(1)已知AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的不平行于對稱軸的弦，M(x0，y0)為AB的中點，則kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).(2)已知橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，過原點的直線交橢圓于A，B兩點，P是橢圓上異于A，B兩點的任一點，則kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2).2.雙曲線方程中有關e2－1＝eq\f(b2,a2)的結論：(1)已知AB是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的不平行于對稱軸的弦，M(x0，y0)為AB的中點，則kOM·kAB＝eq\f(b2,a2)，即kAB＝eq\f(b2x0,a2y0).(2)已知雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，過原點的直線交雙曲線于A，B兩點，P是雙曲線上異于A，B兩點的任一點，則kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).變式已知雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1，直線l的斜率為－2，與雙曲線交于A，B兩點，若在雙曲線上存在異于A，B的一點C，使得直線AB，BC，AC的斜率滿足eq\f(1,kAB)＋eq\f(1,kBC)＋eq\f(1,kAC)＝3，且D，E，H分別為AB，BC，AC的中點，則kOE＋kOH等于(D)A.－6 B.5C.6 D.7解析：由題意得eq\f(1,kAB)＋eq\f(1,kBC)＋eq\f(1,kAC)＝eq\f(1,－2)＋eq\f(1,kBC)＋eq\f(1,kAC)＝3，所以eq\f(1,kBC)＋eq\f(1,kAC)＝eq\f(7,2).因為kBCkOE＝eq\f(b2,a2)，所以kBCkOE＝2，即kOE＝eq\f(2,kBC).同理得kOH＝eq\f(2,kAC)，所以kOE＋kOH＝eq\f(2,kBC)＋eq\f(2,kAC)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,kBC)＋\f(1,kAC)))＝2×eq\f(7,2)＝7.橢圓、雙曲線共焦點已知F1，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分別是橢圓和雙曲線的離心率，則eq\f(sin2\f(θ,2),e\o\al(2,1))＋eq\f(cos2\f(θ,2),e\o\al(2,2))＝1.例3(1)已知共焦點的橢圓和雙曲線，焦點為F1，F2，記它們其中的一個交點為P，且∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，則該橢圓的離心率e1與雙曲線的離心率e2必定滿足的關系式為(C)A.eq\f(1,4)e1＋eq\f(3,4)e2＝1 B.eq\f(3,4)e1＋eq\f(1,4)e2＝1C.eq\f(3,4e\o\al(2,1))＋eq\f(1,4e\o\al(2,2))＝1 D.eq\f(1,4e\o\al(2,1))＋eq\f(3,4e\o\al(2,2))＝1解析：如圖，設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，則由橢圓及雙曲線的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.設|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，則在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)coseq\f(2π,3)，化簡可得3aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝4c2，兩邊同時除以4c2，可得eq\f(3,4e\o\al(2,1))＋eq\f(1,4e\o\al(2,2))＝1.(例3(1))(2)(2022·揚州期末)已知F1，F2為橢圓C1：eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)與雙曲線C2：eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)的公共焦點，點M是它們的一個公共點，且∠F1MF2＝eq\f(π,3)，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則e1e2的最小值為(A)A.eq\f(\r(,3),2) B.eq\r(,3)C.2 D.3解析：設橢圓C1、雙曲線C2的共同半焦距為c，由橢圓、雙曲線的對稱性不妨令點M在第一象限，則由橢圓、雙曲線的定義可知|MF1|＋|MF2|＝2a1，且|MF1|－|MF2|＝2a2，所以|MF1|＝a1＋a2，|MF2|＝a1－a2.在△F1MF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos∠F1MF，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)coseq\f(π,3)，整理得4c2＝aeq\o\al(2,1)＋3aeq\o\al(2,2)，于是得4＝eq\f(a\o\al(2,1),c2)＋eq\f(3a\o\al(2,2),c2)＝eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(3,e\o\al(2,2))≥2eq\r(,\f(1,e\o\al(2,1))·\f(3,e\o\al(2,2)))＝eq\f(2\r(,3),e1e2)，當且僅當eq\f(1,e\o\al(2,1))＝eq\f(3,e\o\al(2,2))，即e2＝eq\r(,3)e1時取等號，從而e1e2≥eq\f(\r(,3),2)，所以e1e2的最小值為eq\f(\r(,3),2).焦點弦問題若焦點弦被焦點分成兩部分m，n，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(2a,b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(拋物線中為\f(1,m)＋\f(1,n)＝\f(2,p))).例4已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過C的右焦點F2的直線l與C的右支分別交于A，B兩點，且|AB|＝3|BF2|,2|OB|＝|F1F2|(O為坐標原點)，則雙曲線C的離心率為eq\f(\r(,17),3).解析：如圖，連接AF1，BF1.因為2|OB|＝|F1F2|，所以BF1⊥BF2.設|BF2|＝