專題02二次根式綜合（壓軸33題10個考點(diǎn)）一．二次根式的定義（共1小題）1．若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是51．【答案】51．【解答】解：∵204＝4×51，∴，∴，∵是整數(shù)，且n是整數(shù)，∴n的最小值為：51．故答案為：51．二．二次根式有意義的條件（共3小題）2．使式子有意義的x的取值范圍是（）A．x≥﹣1 B．﹣1≤x≤2 C．x≤2 D．﹣1＜x＜2【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，得，解得，﹣1≤x≤2；故選：B．3．已知|2004﹣a|+＝a，則a﹣20042＝2005．【答案】2005．【解答】解：∵有意義，∴a﹣2005≥0，解得：a≥2005，∴|2004﹣a|+＝a﹣2004+＝a，故＝2004，∴a﹣2005＝20042，∴a﹣20042＝a﹣（a﹣2005）＝a﹣a+2005＝2005．故答案為：2005．4．已知，則x2022y2023＝﹣．【答案】．【解答】解：∵，即，解得：，∴x＝2，∴，∵x2022y2023＝（xy）2022?y，將x＝2，代入，∴x2022y2023＝（xy）2022?y＝[2×（﹣）]2022×（﹣）＝（﹣1）2022×（﹣）＝﹣．故答案為：．三．二次根式的性質(zhì)與化簡（共8小題）5．已知x＜1，則化簡的結(jié)果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x【答案】D【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故選：D．6．實(shí)數(shù)a，b表示的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖，則將化簡的結(jié)果是（）A．4 B．2a C．2b D．2a﹣2b【答案】A【解答】解：由數(shù)軸知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．∴＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|＝a+2+2﹣b+b﹣a＝4．故選：A．7．如圖是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n﹣3）個數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由圖中規(guī)律知，前（n﹣1）行的數(shù)據(jù)個數(shù)為2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），所以第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n﹣3）個數(shù)的被開方數(shù)是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n﹣3）個數(shù)是．故選：C．8．已知T1＝＝＝，T2＝＝＝，T3＝＝＝，…Tn＝，其中n為正整數(shù)．設(shè)Sn＝T1+T2+T3+…+Tn，則S2021值是（）A．2021 B．2022 C．2021 D．2022【答案】A【解答】解：由T1、T2、T3…的規(guī)律可得，T1＝＝1+（1﹣），T2＝＝1+（﹣），T3＝＝1+（﹣），……T2021＝＝1+（﹣），所以S2021＝T1+T2+T3+…+T2021＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝（1+1+1+…+1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝2021+（1﹣）＝2021+＝2021，故選：A．9．已知a≠0，b≠0且a＜b，化簡的結(jié)果是﹣a．【答案】﹣a．【解答】解：由題意：﹣a3b≥0，即ab≤0，∵a＜b，∴a＜0＜b，所以原式＝|a|＝﹣a，故答案為：﹣a．10．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，則x+y的最小值為﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9，∵|x+2|+|x﹣1|可理解為在數(shù)軸上，數(shù)x的對應(yīng)的點(diǎn)到﹣2和1兩點(diǎn)的距離之和；|y+1|+|y﹣5|可理解為在數(shù)軸上，數(shù)y的對應(yīng)的點(diǎn)到﹣1和5兩點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值為3；當(dāng)﹣1≤y≤5時，|y+1|+|y﹣5|的最小值為6，∴x的范圍為﹣2≤x≤1，y的范圍為﹣1≤y≤5，當(dāng)x＝﹣2，y＝﹣1時，x+y的值最小，最小值為﹣3．故答案為﹣3．11．若，則m的取值范圍是m≤4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：，得4﹣m≥0，解得m≤4，故答案為：m≤4．12．若x＜2，化簡|﹣x|的正確結(jié)果是2x+2或﹣4x+2．【答案】2x+2或﹣4x+2．【解答】解：當(dāng)0≤x＜2時，原式＝|x﹣2|+3x＝2﹣x+3x＝2x+2；當(dāng)x＜0時，原式＝|x﹣2|﹣3x＝2﹣x﹣3x＝﹣4x+2．故答案為：2x+2或﹣4x+2．四．二次根式的乘除法（共4小題）13．使式子成立的條件是（）A．a(chǎn)≥5 B．a(chǎn)＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5【答案】B【解答】解：由題意得：，解得：a＞5．故選：B．14．“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點(diǎn)的無理數(shù)，如：對于﹣，設(shè)x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根據(jù)以上方法，化簡+﹣后的結(jié)果為（）A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3【答案】D【解答】解：設(shè)x＝﹣，且＞，∴x＜0，∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，∴x2＝12﹣2×3＝6，∴x＝，∵＝5﹣2，∴原式＝5﹣2﹣＝5﹣3，故選：D．15．若a，b為有理數(shù)且滿足，則a+b＝4．【答案】1．【解答】解：∵，∴＝．∴a＝3，b＝1．∴a+b＝3+1＝4．故答案為：4．16．閱讀下面的解題過程體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題化簡：．解：隱含條件1﹣3x≥0，解得：．∴1﹣x＞0．∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．【啟發(fā)應(yīng)用】（1）按照上面的解法，試化簡．【類比遷移】（2）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．（3）已知a，b，c為ABC的三邊長．化簡：．【答案】（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c．【解答】解：（1）隱含條件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）觀察數(shù)軸得隱含條件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；（3）由三角形的三邊關(guān)系可得隱含條件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．五．分母有理化（共1小題）17．閱讀材料：我們已經(jīng)知道，形如的無理數(shù)的化簡要借助平方差公式：例如：．下面我們來看看完全平方公式在無理數(shù)化簡中的作用．問題提出：該如何化簡？建立模型：形如的化簡，只要我們找到兩個數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，這樣＝m，，那么便有：（a＞b），問題解決：化簡：，解：首先把化為，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型應(yīng)用1：利用上述解決問題的方法化簡下列各式：（1）；（2）；模型應(yīng)用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC邊的長為多少？（結(jié)果化成最簡）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）這里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+（）2＝6，1×＝，所以：＝＝＝1+；（2）首先把化為，這里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，即（）2+（）2＝13，×＝，所以＝＝＝＝﹣＝2﹣；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，所以，．六．同類二次根式（共1小題）18．已知最簡二次根式與是同類二次根式，則a的值為（）A．16 B．0 C．2 D．不確定【答案】B【解答】解：∵＝3，而最簡二次根式與是同類二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故選：B．七．二次根式的加減法（共1小題）19．若，則x﹣x2的值為﹣6．【答案】﹣6．【解答】解：由題意得，x﹣2≥0．∴x≥2．∴1﹣x＜0．∴．∴x﹣1+＝x．∴．∴x＝3．∴x﹣x2＝3﹣9＝﹣6．故答案為：﹣6．八．二次根式的混合運(yùn)算（共4小題）20．已知，，則2y﹣3x的平方根為±4．【答案】±4．【解答】解：∵，∴96﹣x≥0，∴x≤96，∴100﹣x+96﹣x＝200，解得x＝﹣2，∵，∴m+23≥0，m﹣2≥0，2﹣m≥0，解得m＝2，∴y＝5，∴±＝±＝±4，故答案為：±4．21．計算的結(jié)果是+．【答案】+．【解答】解：原式＝[（﹣）（+）]2022×（+）＝（2﹣3）2022×（+）＝+．故答案為：+．22．已知a＝，b＝．（1）求a+b的值；（2）設(shè)m是a小數(shù)部分，n是b整數(shù)部分，求代數(shù)式4m2+4mn+n2的值．【答案】（1）2；（2）20．【解答】解：（1）a＝＝＝﹣2，b＝＝＝+2．a(chǎn)+b＝﹣2++2＝2，（2）∵2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，4＜+2＜5，∴m＝﹣2，n＝4，∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（2﹣4+4）2＝20．23．先閱讀下面的材料，再解答下列問題．∵，∴．特別地，，∴．這種變形叫做將分母有理化．利用上述思路方法計算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）2020；（2）1．【解答】解：（1）＝＝＝2021﹣1＝2020；（2）＝＝＝＝1．九．二次根式的化簡求值（共8小題）24．已知，則代數(shù)式x2﹣2x﹣6的值是（）A． B．﹣10 C．﹣2 D．【答案】C【解答】解：∵，∴x﹣1＝，∴x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7＝（）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故選：C．25．已知，，則a與b的關(guān)系是（）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)b＝1 C．a(chǎn)b＝﹣1 D．a(chǎn)+b＝0【答案】D【解答】解：a＝＝＝3﹣＝﹣（﹣3），A．a(chǎn)＝﹣b，故本選項不符合題意；B．a(chǎn)b＝（3﹣）×（﹣3）＝﹣（﹣3）2＝﹣（5﹣6+3）＝﹣5+6﹣3＝﹣8+6，故本選項不符合題意；C．a(chǎn)b＝﹣8+6，故本選項不符合題意；D．a(chǎn)+b＝3﹣+﹣3＝0，故本選項符合題意．故選：D．26．若x2+y2＝1，則++的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵x2+y2＝1，∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，∵＝＝，x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴y＝0，∴++＝2+1+0＝3．故選：D．27．若a＝2+，b＝2﹣，則＝8．【答案】8．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2＝（2+√5）2＝4+4+5＝9+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+5＝9﹣4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣5＝﹣1．﹣＝＝＝8．故答案為：8．28．若m＝，則m3﹣m2﹣2017m+2015＝4030．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵m＝＝＝＝，∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015＝4032﹣2＝403029．已知a＝2+，b＝，則a2﹣3ab+b2的值為11．【答案】11．【解答】解：當(dāng)a＝2+，b＝時，a2﹣3ab+b2，＝﹣+，＝，＝，＝11．30．某同學(xué)在解決問題：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣分析與求解的：先將a進(jìn)行分母有理化，過程如下，，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據(jù)上述分析過程，解決如下問題：（1）若，請將a進(jìn)行分母有理化；（2）在（1）的條件下，求a2﹣2a的值；（3）在（1）的條件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．【答案】（1）；（2）1；（3）．【解答】解：（1）a＝＝＝；（2）∵，∴（a﹣1）2＝2，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1；（3）根據(jù)（2）可知，a2﹣2a＝1，∴2a3﹣4a2﹣1＝2a（a2﹣2a）﹣1＝2a﹣1，當(dāng)a＝時，原式＝2（）﹣1＝2．31．小芳在解決問題：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣分析與解的：a＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據(jù)小芳的分析過程，解決如下問題：（1）計算：．（2）若a＝．①化簡a，求4a2﹣8a﹣1的值；②求a3﹣3a2+a+1的值．【答案】（1）9；（2）①a＝+1，4a2﹣8a﹣1的值是3；②0．【解答】解：（1）＝﹣1+++…+＝﹣1+＝﹣1+10＝9；（2）①a＝＝＝＝+1，∴a＝+1，∴（a﹣1）2＝（）2＝2，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴4a2﹣8a﹣1＝4（a2﹣2a）﹣1＝4×1﹣1＝4﹣1＝3；②由①知a2﹣2a＝1，∴a3﹣3a2+a+1＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1＝a×1﹣1﹣a+1＝a﹣1﹣a+1＝0．十．二次根式的應(yīng)用（共2小題）32．俊俊和霞霞共同合作將一張長為，寬為1的矩形紙片進(jìn)行裁剪（共裁剪三次），裁剪出來的圖形剛好是4個等腰三角形