山東省德州市夏津縣第一中學2024年數學高一下期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，≤)的圖象如下，則點的坐標是()A．(，) B．(，)C．(，) D．(，)2．已知函數是奇函數，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數為.若的最小正周期為，且，則（）A． B． C． D．3．已知，是兩個單位向量，且夾角為，則與數量積的最小值為（）A． B． C． D．4．在正方體中，點是四邊形的中心，關于直線，下列說法正確的是（）A． B．C．平面 D．平面5．已知向量,滿足,和的夾角為,則()A． B． C． D．16．下列說法錯誤的是（）A．若樣本的平均數為5，標準差為1，則樣本的平均數為11，標準差為2B．身高和體重具有相關關系C．現有高一學生30名，高二學生40名，高三學生30名，若按分層抽樣從中抽取20名學生，則抽取高三學生6名D．兩個變量間的線性相關性越強，則相關系數的值越大7．已知函數，當時，取得最小值，則等于（）A．9 B．7 C．5 D．38．已知函數f(x)是定義在上的奇函數，當x>0時，f(x)=2x-3，則A．14B．-114C．9．函數的零點所在的區間為（）A． B． C． D．10．如圖所示，墻上掛有邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．與a的值有關聯二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體的所有棱長和為_______.12．已知數列中，，，設，若對任意的正整數，當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是______．13．過P(1,2)的直線把圓分成兩個弓形，當其中劣孤最短時直線的方程為_________.14．已知無窮等比數列的所有項的和為，則首項的取值范圍為_____________.15．在數列中，已知，，記為數列的前項和，則_________.16．某單位共有200名職工參加了50公里徒步活動，其中青年職工與老年職工的人數比為，中年職工有24人，現采取分層抽樣的方法抽取50人參加對本次活動滿意度的調查，那么應抽取老年職工的人數為________人.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知定義域為的函數在上有最大值1，設．（1）求的值；（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；（3）若函數有三個不同的零點，求實數的取值范圍（為自然對數的底數）．18．正四棱錐中，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）若，求異面直線和所成角的余弦值.19．在中，（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的值20．各項均不相等的等差數列前項和為，已知，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和.21．已知的三個內角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大小；（2）若，，，求的長

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由函數f（x）的部分圖象求得A、T、ω和φ的值即可．【詳解】由函數f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象知，A＝2，T＝2×（4﹣1）＝6，∴ω，又x＝1時，y＝2，∴φ2kπ，k∈Z；∴φ2kπ，k∈Z；又0＜φ，∴φ，∴點P（，）．故選C．【點睛】已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.2、C【解析】

只需根據函數性質逐步得出值即可。【詳解】因為為奇函數，∴；又，，又∴，故選C。【點睛】本題考查函數的性質和函數的求值問題，解題關鍵是求出函數。3、B【解析】

根據條件可得，，，然后進行數量積的運算即可.【詳解】根據條件，，，，當時，取最小值.故選：B【點睛】本題考查了向量數量積的運算，同時考查了二次函數的最值，屬于基礎題.4、C【解析】

設，證明出，可判斷出選項A、C的正誤；由為等腰三角形結合可判斷出B選項的正誤；證明平面可判斷出D選項的正誤.【詳解】如下圖所示，設，則為的中點，在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，.易知點、分別為、的中點，，則四邊形為平行四邊形，則，由于過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，則A選項中的命題錯誤；，平面，平面，平面，C選項中的命題正確；易知，則為等腰三角形，且為底，所以，與不垂直，由于，則與不垂直，B選項中的命題錯誤；四邊形為正方形，則，在正方體中，平面，平面，，，平面，平面，，同理可證，且，平面，則與平面不垂直，D選項中的命題錯誤.故選C.【點睛】本題考查線線、線面關系的判斷，解題時應充分利用線面平行與垂直等判定定理證明線面平行、線面垂直，考查推理能力，屬于中等題.5、B【解析】

由平面向量的數量積公式，即可得到本題答案.【詳解】由題意可得.故選：B.【點睛】本題主要考查平面向量的數量積公式，屬基礎題.6、D【解析】

利用平均數和方差的定義，根據線性回歸的有關知識和分層抽樣原理，即可判斷出答案．【詳解】對于A：若樣本的平均數為5，標準差為1，則樣本的平均數2×5+1＝11，標準差為2×1＝2，故正確對于B：身高和體重具有相關關系，故正確對于C：高三學生占總人數的比例為：所以抽取20名學生中高三學生有名，故正確對于D：兩個變量間的線性相關性越強，應是相關系數的絕對值越大，故錯誤故選：D【點睛】本題考查了線性回歸的有關知識，以及平均數和方差、分層抽樣原理的應用問題，是基礎題．7、B【解析】

先對函數進行配湊，使得能夠使用均值不等式，再利用均值不等式，求得結果.【詳解】因為故當且僅當，即時，取得最小值.故，則.故選：B.【點睛】本題考查均值不等式的使用，屬基礎題；需要注意均值不等式使用的條件.8、D【解析】試題分析：函數f(x)是定義在上的奇函數，，故答案為D．考點：奇函數的應用．9、C【解析】

分別將選項中的區間端點值代回,利用零點存在性定理判斷即可【詳解】由題函數單調遞增,,,則,故選:C【點睛】本題考查利用零點存在性定理判斷零點所在區間,屬于基礎題10、C【解析】試題分析：本題考查幾何概型問題，擊中陰影部分的概率為．考點：幾何概型，圓的面積公式．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

取半正多面體的截面正八邊形，設半正多面體的棱長為，過分別作于，于，可知，，可求出半正多面體的棱長及所有棱長和.【詳解】取半正多面體的截面正八邊形，由正方體的棱長為1，可知，易知，設半正多面體的棱長為，過分別作于，于，則，，解得，故該半正多面體的所有棱長和為.【點睛】本題考查了空間幾何體的結構，考查了空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.12、【解析】∵，（，），當時，，，…，，并項相加，得：，

∴，又∵當時，也滿足上式，

∴數列的通項公式為，∴

，令（），則，∵當時，恒成立，∴在上是增函數，

故當時，，即當時，，對任意的正整數，當時，不等式恒成立，則須使，即對恒成立，即的最小值，可得，∴實數的取值范圍為，故答案為.點睛：本題考查數列的通項及前項和，涉及利用導數研究函數的單調性，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題通過并項相加可知當時，進而可得數列的通項公式，裂項、并項相加可知，通過求導可知是增函數，進而問題轉化為，由恒成立思想，即可得結論.13、【解析】

首先根據圓的幾何性質，可分析出當點是弦的中點時，劣弧最短，利用圓心和弦的中點連線與直線垂直，可求得直線方程.【詳解】當劣弧最短時，即劣弧所對的弦最短，當點是弦的中點時，此時弦最短，也即劣弧最短，圓：，圓心，,,直線方程是，即，故填：.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，以及圓的幾何性質，屬于基礎題型.14、【解析】

設等比數列的公比為，根據題意得出或，根據無窮等比數列的和得出與所滿足的關系式，由此可求出實數的取值范圍.【詳解】設等比數列的公比為，根據題意得出或，由于無窮等比數列的所有項的和為，則，.當時，則，此時，；當時，則，此時，.因此，首項的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用無窮等比數列的和求首項的取值范圍，解題的關鍵就是結合題意得出首項和公比的關系式，利用不等式的性質或函數的單調性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15、【解析】

根據數列的遞推公式求出該數列的前幾項，找出數列的周期性，從而求出數列的前項和的值.【詳解】對任意的，，.則，，，，，，所以，.，且，，故答案為：.【點睛】本題考查數列遞推公式的應用，考查數列周期性的應用，解題時要結合遞推公式求出數列的前若干項，找出數列的規律，考查推理能力和計算能力，屬于中等題.16、4【解析】

直接利用分層抽樣的比例關系得到答案.【詳解】青年職工與老年職工的人數比為，中年職工有24人，故老年職工為，故應抽取老年職工的人數為.故答案為：.【點睛】本題考查了分層抽樣的相關計算，意在考查學生的計算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0；（2）；（3）【解析】

（1）結合二次函數的性質可判斷g（x）在[1，2]上的單調性，結合已知函數的最大值可求m；（2）由（1）可知f（x），由原不等式可知2k1在x∈[3，9]上恒成立，結合對數與二次函數的性質可求；（3）原方程可化為|ex﹣1|2﹣（3k+2）|ex﹣1|+（2k+1）＝0，利用換元q＝|ex﹣1|，結合二次函數的實根分布即可求解．【詳解】（1）因為在上是增函數，所以，解得．（2）由（1）可得：所以不等式在上恒成立．等價于在上恒成立令，因為，所以則有在恒成立令，，則所以，即，所以實數的取值范圍為．（3）因為令，由題意可知令，則函數有三個不同的零點等價于在有兩個零點，當，此時方程，此時關于方程有三個零點，符合題意；當記為，，且，，所以，解得綜上實數的取值范圍．【點睛】本題主要考查了二次函數的單調性的應用，不等式中的恒成立問題與最值的相互轉化，二次函數的實根分布問題等知識的綜合應用，是中檔題18、（1）見解析（2）【解析】

（1）取的中點，連接、，可得四邊形為平行四邊形，得到，由線面平行的判定可得平面；（2）連接交于，則為的中點，結合為的中點，得，可得（或其補角）為異面直線和所成角，在正四棱錐中，由為的中點，且，可得，設，求解三角形可得異面直線和所成角的余弦值．【詳解】（1）取的中點，連接、，是的中點，且，在正四棱錐中，底面為正方形，且，又為的中點，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）連接交于，則為的中點，又為的中點，，又，（或其補角）為異面直線和所成角，在正四棱錐中，由為的中點，且，，設，則，，，則，因此，異面直線和所成角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了異面直線所成角的求法，是中檔題．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由正弦定理、二倍角公式，結合可將已知邊角關系式化簡為，從而求得，根據可求得；（Ⅱ）由三角形面積公式可求得；利用余弦定理可構造方程求得結果.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得：，即（Ⅱ）由得：由余弦定理得：【點睛】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理化簡邊角關系式、余弦定理和三角形面積公式的應用，屬于常考題型.20、（1）；（2）【解析】

（1）利用等差數列的通項公式和等比數列的性質，可得，則可得通項公式.（2）根據（1）的結論可得，然后利用裂項相消求和，可得結果.【詳解】（1）因為各項均不相等，所以公差由等差數列通項公式且