黑龍江省哈爾濱兆麟中學、阿城一中、尚志中學等六校聯考2024屆數學高一下期末質量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．采用系統抽樣方法從人中抽取人做問卷調查，為此將他們隨機編號為，，，，分組后某組抽到的號碼為1．抽到的人中，編號落入區間的人數為（）A．10 B． C．12 D．132．右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執行該程序框圖，若輸入分別為14,18，則輸出的（）A．0 B．2 C．4 D．143．袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（）A． B． C． D．4．已知各個頂點都在同一球面上的正方體的棱長為2，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知則（）A． B． C． D．6．某學校禮堂有30排座位，每排有20個座位，一次心理講座時禮堂中坐滿了學生，會后為了了解有關情況，留下座位號是15的30名學生，這里運用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機數法 C．系統抽樣 D．分層抽樣7．如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為（）A． B． C． D．8．甲、乙兩名運動員分別進行了5次射擊訓練，成績如下：甲：7，7，8，8，1；乙：8，9，9，9，1．若甲、乙兩名運動員的平均成績分別用，表示，方差分別用，表示，則（）A．， B．，C．， D．，9．“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例,為這個理論的發展做出了重要貢獻十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率為,則第八個單音的頻率為()A． B． C． D．10．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的值為________．12．在正方體的體對角線與棱所在直線的位置關系是______.13．已知x，y滿足，則z＝2x+y的最大值為_____.14．一個三角形的三條邊成等比數列，那么，公比q的取值范圍是__________.15．中，內角，，所對的邊分別是，，，且，，則的值為__________．16．如圖，長方體中，，，，與相交于點，則點的坐標為______________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點.（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角的正弦值.18．記為數列的前項和，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）記，求滿足等式的正整數的值．19．某購物中心舉行抽獎活動，顧客從裝有編號分別為0，1，2，3四個球的抽獎箱中，每次取出1個球，記下編號后放回，連續取兩次（假設取到任何一個小球的可能性相同）.若取出的兩個小球號碼相加之和等于5，則中一等獎；若取出的兩個小球號碼相加之和等于4，則中二等獎；若取出的兩個小球號碼相加之和等于3，則中三等獎；其它情況不中獎.（Ⅰ）求顧客中三等獎的概率；（Ⅱ）求顧客未中獎的概率.20．某運動愛好者對自己的步行運動距離（單位：千米）和步行運動時間（單位：分鐘）進行統計，得到如下的統計資料：如果與存在線性相關關系，（1）求線性回歸方程（精確到0.01）；（2）將分鐘的時間數據稱為有效運動數據，現從這6個時間數據中任取3個，求抽取的3個數據恰有兩個為有效運動數據的概率．參考數據：，參考公式：，．21．如圖，在平行四邊形中，，，，與的夾角為．（1）若，求、的值；（2）求的值；（3）求與的夾角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由題意可得抽到的號碼構成以11為首項、以30為公差的等差數列，求得此等差數列的通項公式為an＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整數n的個數，即可得出結論．【詳解】∵960÷32＝30，∴每組30人，∴由題意可得抽到的號碼構成以30為公差的等差數列，又某組抽到的號碼為1，可知第一組抽到的號碼為11，∴由題意可得抽到的號碼構成以11為首項、以30為公差的等差數列，∴等差數列的通項公式為an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n為正整數可得14≤n≤25，∴做問卷C的人數為25﹣14+1＝12，故選C．【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式，系統抽樣的定義和方法，根據系統抽樣的定義轉化為等差數列是解決本題的關鍵，比較基礎．2、B【解析】由a=14，b=18，a＜b，則b變為18﹣14=4，由a＞b，則a變為14﹣4=10，由a＞b，則a變為10﹣4=6，由a＞b，則a變為6﹣4=1，由a＜b，則b變為4﹣1=1，由a=b=1，則輸出的a=1．故選B．3、B【解析】

試題分析：由題意．故選B．4、A【解析】

先求出外接球的半徑，再求球的表面積得解.【詳解】由題得正方體的對角線長為，所以.故選A【點睛】本題主要考查多面體的外接球問題和球的表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.5、B【解析】

根據條件式,判斷出,,且.由不等式性質、基本不等式性質或特殊值即可判斷選項.【詳解】因為所以可得,,且對于A,由對數函數的圖像與性質可知,,所以A錯誤;對于B,由基本不等式可知,即由于,則,所以B正確;對于C,由條件可得,所以C錯誤;對于D,當時滿足條件,但,所以D錯誤.綜上可知,B為正確選項故選:B【點睛】本題考查了不等式性質的綜合應用,根據基本不等式求最值,屬于基礎題.6、C【解析】抽名學生分了組（每排為一組），每組抽一個，符合系統抽樣的定義故選7、C【解析】

試題分析：從中任取3個不同的數共有10種不同的取法，其中的勾股數只有3,4,5，故3個數構成一組勾股數的取法只有1種，故所求概率為，故選C.考點：古典概型8、D【解析】

分別計算出他們的平均數和方差，比較即得解.【詳解】由題意可得，，，．故，．故選D【點睛】本題主要考查平均數和方差的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.9、B【解析】

根據等比數列通項公式，求得第八個單音的頻率.【詳解】根據等比數列通項公式可知第八個單音的頻率為.故選：B.【點睛】本小題主要考查等比數列的通項公式，考查中國古代數學文化，屬于基礎題.10、C【解析】

由，則只需將函數的圖象向左平移個單位長度.【詳解】解：因為，所以要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向左平移個單位長度.故選：C.【點睛】本題考查了三角函數圖像的平移變換，屬基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意利用誘導公式求得的值，可得要求式子的值．【詳解】，則，故答案為：．【點睛】本題主要考查誘導公式的應用，屬于基礎題．12、異面直線【解析】

根據異面直線的定義，作出圖形，即可求解，得到答案.【詳解】如圖所示，與不在同一平面內，也不相交，所以體對角線與棱是異面直線.【點睛】本題主要考查了異面直線的概念及其判定，其中熟記異面直線的定義是解答本題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.13、1.【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大值即可．【詳解】解：，在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是，，，在中滿足的最大值是點，代入得最大值等于1．故答案為：1．【點睛】本題是考查線性規劃問題，本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．14、【解析】

設三邊按遞增順序排列為，其中.則，即.解得.由q≥1知q的取值范圍是1≤q<.設三邊按遞減順序排列為，其中.則，即.解得.綜上所述，.15、4【解析】

利用余弦定理變形可得，從而求得結果.【詳解】由余弦定理得：本題正確結果：【點睛】本題考查余弦定理的應用，關鍵是能夠熟練應用的變形，屬于基礎題.16、【解析】

易知是的中點，求出的坐標，根據中點坐標公式求解.【詳解】可知，，由中點坐標公式得的坐標公式，即【點睛】本題考查空間直角坐標系和中點坐標公式，空間直角坐標的讀取是易錯點.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）．【解析】

（1）取中點，連結，，推導出，，從而平面平面，由此能證明直線平面；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：取中點，連結，，，是的中點，，，，，平面平面，平面，直線平面．（2）解：，，底面，，是的中點，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，1，，，1，，，1，，，0，，設平面的法向量，，，則，取，得.設平面的法向量，，，則，取，得.設二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．【點睛】本題主要考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）【解析】

（1）首先利用數列的遞推關系式求出數列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求出數列的和，解出即可．【詳解】（1）由為數列的前項和，且滿足．當時，，得．當時，，得，所以數列是以2為首項，以為公比的等比數列，則數列的通項公式為．（2）由，得由，解得．【點睛】本題考查了等比數列的通項公式的求法，裂項相消法求數列的和，屬于基礎題．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用列舉法列出所有可能,設事件為“顧客中三等獎”,的事件.由古典概型概率計算公式即可求解.（Ⅱ）先分別求得中一等獎、二等獎和三等獎的概率,根據對立事件的概率性質即可求得未中獎的概率.【詳解】（Ⅰ）所有基本事件包括共16個設事件為“顧客中三等獎”,事件包含基本事件共4個,所以.（Ⅱ）由題意,中一等獎時“兩個小球號碼相加之和等于5”,這一事件包括基本事件共2個中二等獎時,“兩個小球號碼相加之和等于4”,這一事件包括基本事件共3個由（Ⅰ）可知中三等獎的概率為設事件為“顧客未中獎”則由對立事件概率的性質可得所以未中獎的概率為.【點睛】本題考查了古典概型概率的計算方法,對立事件概率性質的應用,屬于基礎題.20、（1）（2）【解析】

（1）先計算所給數據距離、時間的平均值，，利用公式求，再利用回歸方程求.（2）由（1）計算的個數，先求從6個中任取3個數據的總的取法，再計算抽取的3個數據恰有兩個為有效運動數據的取法，利用古典概型概率計算公式可得所求.【詳解】解：（1）依題意得，所以又因為，故線性回歸方程為．（2）將的6個值，代入（1）中回歸方程可知，前3個小于30，后3個大于30，所以滿足分鐘的有效運動數據的共有3個，設3個有效運動數據為，另3個不是有效運動數據為，則從6個數據中任取3個共有20種情況（或一一列舉），其中，抽取的3個數據恰有兩個為有效運動數據的有9種情況，即，，所以從這6個時間數據中任取3個，抽取的3個數據恰有兩個為有效運動數據的概率為.【點睛】本題考查線性回歸方程的建立，古典概型的概率，考查數據處理能力，運用知識解決實際問題的能力，屬于中檔題.21、（1），；（2）；（3）．【解析】試題分析：（1）根據向量的運算有，可知，由模長即可求得、的值；（2）先求得向量,再根據向量的數量積及便可求得；（3）由前面的求解可得