2021-2022高考數學模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設全集。=氏集合M={x|x<l},N={x|x>2},貝！|（e、）cN=（）

A.{x|x>2}B.{x|x?l}C.{x|l<x<2}D.{x|x>21

2.已知集合4={x|1082（%—1）<2},3=乂則4B=（）

A.{2,345}B.{2,3,4}C.{123,4}D.{0,1,2,34}

3.已知直四棱柱A3CD-A4G。的所有棱長相等，NA3c=60°，則直線BC】與平面ACQA所成角的正切值等

于（）

.V6RV10「有nV15

A.?----15?------L??------

4455

4.已知等差數列{4}的前“項和為S",且S25=50,則知+每=（）

A.4B.8C.16D.2

5.已知集合「={》|》一2<0},。=卜|—<01,貝!!（備「）。為（）

A.[0,2）B.（2,3]C.[2,3]D.（0,2]

6.記幾個兩兩無交集的區間的并集為九階區間如（YO』U[2,3]為2階區間，設函數/（力=麗，則不等式

八〃x）]+3W0的解集為（）

A.2階區間B.3階區間C.4階區間D.5階區間

7.已知函數/（*）=（2?+2）lnx+2ad+5.設若對任意不相等的正數為，/，恒有二，（二）28,

%一/

則實數”的取值范圍是（）

A.（-3,-1）B.（-2,-1）

C.（-co,-3]D.（-oo,-2]

8.已知拋物線C：爐=20；（夕>0）的焦點為b（0,1）,若拋物線C上的點A關于直線/：y=2x+2對稱的點3恰好在

射線y=H（x<3）±,則直線AE被C截得的弦長為（）

91100118127

A.—B.-----C.-----D.——

9999

9.設等差數列｛4｝的前"項和為S“，若2+生=4+。：,,則邑=()

A.28B.14C.7D.2

10.已知等差數列｛%｝的前13項和為52,則（-2尸=()

A.256B.-256C.32D.-32

11.若復數z滿足(―+2i,則|z|=()

A.也B.之C.典1

D.-

2222

2

12.已知丹，生是雙曲線丫2=1（。>（））的兩個焦點，過點耳且垂直于x軸的直線與。相交于A,B兩點,

a

若|A8|=JL則小A取2的內切圓的半徑為（）

A0R6「2拒n2^/3

A.B.C.------D.------

3333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在等比數列｛4｝中,a3a4a5=64,%=8,則%=.

Inx

14.已知函數/（x）=L，，若/（a）.L則。的取值范圍是一

〔3\七1

15.設集合A=｛1,3｝,B=｛X|X2-2X-3<0｝,則AB=.

16.如圖，在△ABC中，AB=4,。是A3的中點，E在邊AC上，AE=2EC,CD與BE交于點O,若。3=0OC,

則4ABC面積的最大值為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=a+2t

17.(12分)在平面直角坐標系x0y中，直線/的參數方程為《■為參數)，以坐標原點為極點，x軸正半

Iy=v

軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為加="19

3+sin0

(1)若a=-2,求曲線C與/的交點坐標;

(2)過曲線C上任意一點P作與/夾角為45。的直線，交I于點A,且的最大值為而，求。的值.

18.(12分)已知在多面體ABCDE尸中，平面平面ABCD,且四邊形ECDb為正方形，且DC〃AB,

AB=3DC=6,AD=BC=5,點尸，Q分別是AD的中點.

(1)求證：PQ//平面EEC。；

(2)求平面與平面PC。所成的銳二面角的余弦值.

19.(12分)已知函數/(x)=|x+2|+|x-4|.

⑴求不等式/(x)W3x的解集;

⑵若/(%)2左|x—11對任意％cR恒成立，求k的取值范圍.

20.(12分)如圖，在三棱錐P—ABC中，平面平面ABC,AB^BC,24，。。.點石，F,。分別為線

段K4,PB,AC的中點，點G是線段CO的中點.

(1)求證：QA_L平面

(2)判斷bG與平面EBO的位置關系，并證明.

21.(12分)設數列｛4｝,其前〃項和S"=—3〃2,又也｝單調遞增的等比數列，姑24=512,q+4=%+4.

(1)求數列｛4｝,也｝的通項公式；

b2

(11)若分=僅_2)就_1)'求數列{g}的前n項和北,并求證：

22.(10分)如圖，三棱柱ABC-ABC1的所有棱長均相等，⑸在底面ABC上的投影。在棱上，且人田〃平面

ADCX

(I)證明：平面ADC1，平面3。。1片；

(II)求直線與平面ADG所成角的余弦值?

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

先求出訪“，再與集合N求交集.

【詳解】

由已知，^M={x\x>l},又N={x|x>2},所以e〃cN={x|x〉2}.

故選:A.

【點睛】

本題考查集合的基本運算，涉及到補集、交集運算，是一道容易題.

2.B

【解析】

解對數不等式可得集合A,由交集運算即可求解.

【詳解】

集合4={%|1。82(%-1)<2},解得4={[1<%<5},

B二N,

由集合交集運算可得Ac3={祖<x<5}cN={2,3,4},

故選：B.

【點睛】

本題考查了集合交集的簡單運算，對數不等式解法，屬于基礎題.

3.D

【解析】

以A為坐標原點，AE所在直線為x軸，AD所在直線為V軸，A4所在直線為z軸,

建立空間直角坐標系.求解平面ACGA的法向量，利用線面角的向量公式即得解.

【詳解】

如圖所示的直四棱柱A3CD—A4G。1，ZABC=6Q°，取中點E,

以A為坐標原點，AE所在直線為x軸，4。所在直線為V軸，A4所在直線為z軸,

建立空間直角坐標系.

設=2,則A(0,0,0)，4(0,0,2),5(石,-1,0),。(石,1,0),G(6,1,2),

BCi=(0,2,2),AC=(V3,l,0),A4,=(0,0,2).

設平面ACGA的法向量為n=(x,y,z),

n-AC=#>x+y=0,

則{一取x=l,

n-AA{=22=0,

得幾=(1,—0).

設直線Be】與平面ACQ4所成角為0,

Eg."_|-273|_A/6

貝（Isin0=?----i------=\—r=一尸二—-，

\BCi[\n\|V8-V4|4

直線BQ與平面ACC】A所成角的正切值等于半

故選：D

【點睛】

本題考查了向量法求解線面角，考查了學生空間想象，邏輯推理，數學運算的能力，屬于中檔題.

4.A

【解析】

利用等差的求和公式和等差數列的性質即可求得.

【詳解】

25(〃1+%s)

S25=-------——=50=>a[+a25=4=>〃]]+。]5=4?

故選：A.

【點睛】

本題考查等差數列的求和公式和等差數列的性質，考查基本量的計算，難度容易.

5.B

【解析】

先求出P={x|xW2},Q={x|0<xW3},得到以P={x|x〉2},再結合集合交集的運算，即可求解.

【詳解】

由題意，集合P={x|x—2<0},Q=1x|一V。1,

所以尸={x|xW2},Q={x|0<xW3},則備尸={村工〉2},

所以◎2)Q={x|2<xW3}=(2,3].

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了集合的混合運算，其中解答中熟記集合的交集、補集的定義及運算是解答的關鍵，著重考查了計算能

力，屬于基礎題.

6.D

【解析】

可判斷函數為奇函數，先討論當％>0且XW1時的導數情況，再畫出函數大致圖形，將所求區間端點值分別看作對應

常函數，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解

【詳解】

當x>0且％w1時，/(x)=x)2.令/'⑺=°得X-e?可得/(%)和/⑺的變化情況如下表：

Xx—0(0,1)(Le)e(e,+8)

/'(X)/——0+

“X)/(無)—0e/

令/(x)=f,則原不等式變為/⑺4-3,由圖像知/⑺4-3的解集為&,-1)R/)，再次由圖像得到

〃x)e(_oo,幻也,-1)的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區間.

故選：D

【點睛】

本題考查由函數的奇偶性，單調性求解對應自變量范圍，導數法研究函數增減性，數形結合思想，轉化與化歸思想,

屬于難題

7.D

【解析】

求解/(龍)的導函數，研究其單調性，對任意不相等的正數小尤2,構造新函數，討論其單調性即可求解.

【詳解】

〃龍）的定義域為（0,+“），r（x）=atZ+4以=2僅心+a+l）,

XX

當4<-1時，/'（尤）<0,故/（九）在（0,+8）單調遞減；

不妨設玉<々，而4<-1，知/（九）在（0,+8）單調遞減，

從而對任意再、羽e（0,+8），恒有"“）""）>8,

F_%2

即|/（尤1）一/■（九2）怛8忖一即，

〃玉）（巧）28（*2-%），〃%）+8%2“+）+8叫，

令g（無）=7?（*）+8.X,貝ijg，（x）=加上2+4公+8,原不等式等價于g（x）在（0,+。）單調遞減，即

JC

6Z+1

-----b2ox+4<0,

x

從而。4上口=巴日—2,因為巴里―2?—2，

2%2+12%2+12%2+1

所以實數a的取值范圍是（-8,-2]

故選：D.

【點睛】

此題考查含參函數研究單調性問題，根據參數范圍化簡后構造新函數轉換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.

8.B

【解析】

由焦點得拋物線方程，設A點的坐標為（利一根2）,根據對稱可求出點A的坐標，寫出直線AF方程，聯立拋物線求

4

交點，計算弦長即可.

【詳解】

拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為/（0,1）,

則3=1,即。=2,

2

1,

設A點的坐標為（加，二次），3點的坐標為（",11），n<3,

如圖:

34

m二------

m-63

解得或35(舍去),

n=一

9

A(6,9)

4

?*.直線AF的方程為y=-x+l,

設直線AF與拋物線的另一個交點為D,

2

4,x=——

y——x+1x-63

由＜3,解得＜。或1

2[y=91

x=4y)二一

9

：.D141

2

1\100

I~~9~

9

故直線A尸被C截得的弦長為—.

9

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了拋物線的標準方程，簡單幾何性質，點關于直線對稱，屬于中檔題.

9.B

【解析】

根據等差數列的性質%,+%=%+%并結合已知可求出肉，再利用等差數列性質可得S產7(，；%)=7%,即可求

出結果.

【詳解】

因為&+%=%+%，所以2+%=。4+。5，所以%=2,

所以s7=誓?=7%=14,

故選：B

【點睛】

本題主要考查等差數列的性質及前幾項和公式，屬于基礎題.

10.A

【解析】

利用等差數列的求和公式及等差數列的性質可以求得結果.

【詳解】

由兀=13%=52,%=4,得(—2)%+%=(-2y=256.選A.

【點睛】

本題主要考查等差數列的求和公式及等差數列的性質，等差數列的等和性應用能快速求得結果.

11.C

【解析】

1313

化簡得到彳=—+i,z=±i,再計算復數模得到答案.

2222

【詳解】

_1+2，(l+2z)(l+z)—1+3，13.

(l+z)z=l+2z,故z=k(l+i)(j)=k=—+—i

22

故z=_:_3,國=回.

22112

故選：C.

【點睛】

本題考查了復數的化簡，共物復數，復數模，意在考查學生的計算能力.

12.B

【解析】

設左焦點片的坐標，由的弦長可得”的值，進而可得雙曲線的方程，及左右焦點的坐標，進而求出三角形A3尸2

的面積，再由三角形被內切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內切圓的半徑.

【詳解】

由雙曲線的方程可設左焦點耳（-c,0）,由題意可得AB=—=y[2,

a

由b=l，可得a=,

所以雙曲線的方程為：—-/=1

2?

所以耳（-括,0）,月（百,0）,

所以SABF?耳瑪=1?、歷=1&

三角形45尸2的周長為C=AB+”+=AB+（2a+純）+（2a+）=4a+2AB=4&+20=6夜

設內切圓的半徑為r,所以三角形的面積5=工-。"=工-6挺"=3點『，

22

所以3yf2r=\[6）

解得「=立，

3

故選:B

【點睛】

本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質及三角形的面積的求法，內切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角

形的面積可得半徑的應用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

設等比數列｛??｝的公比為您再根據題意用基本量法求解公比，進而利用等比數列項之間的關系得。2=/=/=1即

可.

【詳解】

設等比數列{。“}的公比為4.由％%%=64，得（的曠=64,解得%=4.又由%=8,得￡=&=2.則

故答案為：1

【點睛】

本題主要考查了等比數列基本量的求解方法,屬于基礎題.

14.[O,l]o[e,+oo）

【解析】

根據分段函數的性質，即可求出。的取值范圍.

【詳解】

當°>1時，In.1,

a.e,

當④1時，當.1,

所以既打1,

故。的取值范圍是

故答案為：[0』]u[e,+8）.

【點睛】

本題考查分段函數的性質，已知分段函數解析式求參數范圍，還涉及對數和指數的運算，屬于基礎題.

15.{1}

【解析】

先解不等式尤2—2%-3<0,再求交集的定義求解即可.

【詳解】

由題,因為尤2—2%—3<0,解得」<大<3,即5={x|T<x<3},

則AB={1},

故答案為:{1}

【點睛】

本題考查集合的交集運算，考查解一元二次不等式.

16.8A/2

【解析】

先根據點共線得到OC=OD,從而得到。的軌跡為阿氏圓，結合三角形ABC和三角形30。的面積關系可求.

【詳解】

設C0=XCr)=4cA+4cB=2cE+4cB

2222

32Q1

B,0,E共線，則彳+,=1,解得力=不，從而。為C。中點，故03=00。=&OD.

在小呂。。中，BD=2,OB=yflOD，易知。的軌跡為阿氏圓，其半徑廠=20，

=

故^AABC4sAs0。＜2BD-r=8A/2.

故答案為：80.

【點睛】

本題主要考查三角形的面積問題，把所求面積進行轉化是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)(—2,0),；(2)a=l或a=—1

【解析】

(1)將曲線C的極坐標方程和直線/的參數方程化為直角坐標方程，聯立方程，即可求得曲線C與/的交點坐標；

(2)由直線/的普通方程為x+2y-a=0,故C上任意一點P(2cosa,6sina),根據點到直線距離公式求得尸到

直線/的距離，根據三角函數的有界性，即可求得答案.

【詳解】

3p2+p2sin26>=12.

x=pcosO..

由.c，得3x2+4/=12,

y=夕sm”

22

曲線。的直角坐標方程為二+乙=1.

43

當a=—2時，直線/的普通方程為x+2y+2=0

x+2y+2-0rfx=1

一

一x=-2.、

—+^=ib=oL=-

43i72

從而C與/的交點坐標為(-2,0),

(2)由題意知直線/的普通方程為x+2y-a=0,

x=2cosa

C的參數方程為廠（a為參數）

y=sina

故C上任意一點P(2costz,A^sin?)到l的距離為

4sinaH——\-a

712cosa+2A/3sina-a\I6j

a=-------------T=--------------------

A/5一忑

垃4sin[a+彳）一a

則d

\PA\==y/2d=

sin450A/5

當。之。時，IPAI的最大值為二7-一=&3所以a=l；

當"0時，IPAI的最大值為亞口

=710,所以a=—1.

綜上所述，。=1或。=一1

【點睛】

解題關鍵是掌握極坐標和參數方程化為直角坐標方程的方法，和點到直線距離公式，考查了分析能力和計算能力，屬

于中檔題.

17

18.(1)證明見解析；⑵

【解析】

(1)構造直線PQ所在平面由面面平行推證線面平行；

(2)以。為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的

余弦值.

【詳解】

(1)過點PHLBC交BC于H點,連接如下圖所示:

因為平面CD尸E，平面ABC。，且交線為CD,

又四邊形CDEE為正方形，故可得CELCD,

故可得CE_L平面ABC。，又CBu平面ABC。,

故可得CELCB.

在三角形CBE中，因為P為班中點，PHLCB,CELCB,

故可得PH〃CE,H為CB中點;

又因為四邊形ABC。為等腰梯形，”,。是。3,4。的中點,

故可得HQ〃CD；

又PHcHQ=H,CDcCE=C,

且P〃,〃Qu平面P〃Q,CD,"u平面EC,

故面PHQ〃面EEDC,

又因為PQu平面「〃Q,

故PQ//面莊C￡>.即證.

(2)連接AE,AC,作DM,AB交AB于M點,

由（1）可知CE,平面ABC。，又因為DF〃CE,故可得D-，平面A3CD,

則。尸，。河,。尸，。C；

又因為AB〃CD,DMLAB,故可得￡>MJ_DC

即DM，DC,Z）廠兩兩垂直,

則分別以DM，DC,DF為x,y,z軸建立空間直角坐標系。-肛z,

￡)(0,0,0),F(0,0,2),E(0、,2,2),

A(7H,-2,0),P3,1,C(0,2,0)

~r7

設面的法向量為加=(蒼y,z),則在=(0,2,0),AR=(—01,2,2),

m-FE=02y=0

則n

m-AF=0-121x+2y+2z=0

可取〃2=(2,0,A/21),

設平面的法向量為〃則

PDC=(x,y,z),DC=(0,2,0),Dp=

2y=0

n-DC=0

則=>#x+3y+z=(/

幾DP=0

可取〃=(2,0,—向)，

可知平面AEF與平面PC。所成的銳二面角的余弦值為

cIn-ml|2x2-21|17

cost)—■；~；-；—r——----------——

|n||m|2?+2125

【點睛】

本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎題.

19.(1)；(2)(—00,2].

【解析】

(1)通過討論x的范圍，分為x>4,x<—2,—2WxW4三種情形，分別求出不等式的解集即可;

33

(2)通過分離參數思想問題轉化為上《1+--+1——-，根據絕對值不等式的性質求出最值即可得到上的范圍.

x-1x-1

【詳解】

(1)當尤>4時，原不等式等價于x+2+x—4W3x,解得2,所以x>4,

2

當x<—2時，原不等式等價于—x—2—x+4W3x,解得所以此時不等式無解，

當—2<xW4時，原不等式等價于x+2—x+4W3x,解得了之2,所以2WxW4

綜上所述，不等式解集為[2,+8).

(2)由上得卜+2|+上一4|2左上一1|，

當x=l時，620恒成立，所以上GR；

1+W

當xwl時,+

當且僅當+即XZ4或2時，等號成立，

所以左<2；

綜上上的取值范圍是(f,2].

【點睛】

本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值不等式的性質以及分類討論思想，轉化思想，屬于中檔題.

20.(1)見解析(2)FG//平面￡30.見解析

【解析】

(1)要證K4,平面E30,只需證明OELPA,即可求得答案；

(2)連接AE交鴕于點Q,連接QO,根據已知條件求證/G//QO,即可判斷尸G與平面理。的位置關系，進

而求得答案.

【詳解】

(1)

p

AB=BC,。為邊AC的中點，

BO±AC,

平面PAC，平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,BOu平面ABC,

NO_L平面PAC,

BOLPA,

在AR4C內，。，E為所在邊的中點，

OE//PC,

又PALPC,OE±PA,

24，平面￡?0.

(2)判斷可知，FG//平面E30,

證明如下：

連接AF交3E于點Q,連接

E、F、。分別為邊1%、PB、AC的中點，

.AO

??-----2?

OG

又。是的重心，

,AQAO

..-----1------,

QFOG

FG//QO,

FG<Z平面E30,QOu平面EBO,

FG//平面E30.

【點睛】

本題主要考查了求證線面垂直和線面平行，解題關鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理，考查了分析能力

和空間想象能力，屬于中檔題.

+1

21.(1)an=-6n+3,bn=2"；(2)詳見解析.

【解析】

(1)當〃=1時，%=S]=—3,當〃22時，