第8章統計與概率本章整合提升[考情分析]此部分內容在高考中逐漸被淡化．近年來，單獨命題的情況越來越少．條件概率的命題形式主要是選擇題和填空題，難度中等偏易．專題一條件概率[高考沖浪]1．(2014·全國卷Ⅱ)某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6.已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是(

)A．0.8

B．0.75

C．0.6

D．0.45答案：A2．(2016·全國卷Ⅱ改編)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：設該險種一續保人一年內出險次數與相應概率如下：(1)求一續保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2)若一續保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率．[考情分析]相互獨立事件的概率是高考的常考考點，是解決復雜問題的基礎，一般情況下，一些較為復雜的事件可以拆分為一些相對簡單事件的和或積，這樣就可以利用概率公式轉化為互斥事件和獨立事件的組合，通常以解答題形式出現，與數學期望等知識結合，難度中等．專題二相互獨立事件的概率[高考沖浪]1．(2016·北京卷改編)A，B，C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數據如下表(單位：h)：(1)試估計C班的學生人數；(2)從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設所有學生的鍛煉時間相互獨立．求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率．

【技法總結】相互獨立事件同時發生的概率求法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解，當所求概率的事件較為復雜時，往往要分解為n個互斥事件的和，利用互斥事件的概率加法公式求解；(2)正面計算較為繁瑣或難以入手時，可從其對立事件入手解決．[考情分析]此部分內容是高考重點考查的內容，幾乎每年各地的高考都要考查．題型以解答題為主，難度中等．題目的綜合性較強，一般綜合了分布列、期望與方差，夾雜著概率的計算，甚至還綜合統計的有關知識．專題三離散型隨機變量的概率分布、均值和方差[高考沖浪]1．(2016·全國卷Ⅰ)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，若備件不足再購買，則每個500元．現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數．(1)求X的分布列．(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值．(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n＝19與n＝20之中選其一，應選用哪個？解：(1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.4×0.2＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.(3)購買零件所需費用含兩部分，一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用．當n＝19時，費用的期望為19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040；當n＝20時，費用的期望為20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.所以應選用n＝19.2．(2017·山東卷)在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用．現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望E(X)．3．(2017·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率．(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列．(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數學期望達到最大值？(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500.當300≤n≤500時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫位于區間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.當200≤n＜300時，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300時，Y的數學期望達到最大值，最大值為520元．【技法總結】1.求離散型隨機變量的均值和方差的兩個步驟(1)定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；(2)定性，對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應先求其分布列然后代入相應公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率間的對應．2．利用均值、方差進行決策的2個方略(1)當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷；(2)若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩定程度，進而進行決策．[考情分析]此部分內容在高考中逐漸被淡化，近年來，正態分布的題目越來越少．正態分布主要以選擇題、填空題的形式考查，分值5分．專題四正態分布曲線[高考沖浪]1．(2015·山東卷)已知某批零件的長度誤差(單位：mm)服從正態分布N(0,32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間(3,6)內的概率為(

)(附：若隨機變量ξ服從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%答案：B2．(2017·全國卷Ⅰ)為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(μ，σ2)．(1)假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數，求P(X≥1)及X的數學期望；(2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．①試說明上述監控生產過程方法的合理性；②下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95解：(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內的概率為0.9974，從而一個零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.0026，故X～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的數學期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生產狀態正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，發生的概率很小，因此一旦發生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監控生產過程的方法是合理的．[考情分析]回歸方程的求解與運用計算量大，主要是通過最小二乘法求解回歸直線方程，并進行相應的估計預測，題型既有小題也有解答題，難度不大，另外非線性回歸分析問題也應引起足夠重視．專題五一元線性回歸案例答案：C2．(2015·北京卷)高三年級267名學生參加期末考試，某班37名學生的語文成績、數學成績與總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三名學生．從這次考試成績看，(1)在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是________；(2)在語文和數學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是________．解析：(1)由題圖可知，甲的語文成績排名比總成績排名靠后；而乙的語文成績排名比總成績排名靠前，故填乙．(2)由題圖可知，比丙的數學成績排名還靠后的人比較多；而總成績的排名中比丙排名靠后的人數比較少，所以丙的數學成績的排名更靠前，故填數學．答案：(1)乙(2)數學3．(2016·全國丙卷)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應年份2008～2014.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；(2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量．【技法總結】回歸分析是處理變量相關關系的一種數學方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數學表達式；(2)根據一組觀察值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出線性回歸方程．[考情分析]近幾年高考中對獨立性檢驗的考查頻率明顯下降，題目多以解答題的形式出現，一般為容易題，多與概率、統計等內容綜合考查．專題六列聯表獨立性分析案例[高考沖浪]1．(2017·全國卷Ⅱ)海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，