【新教材】6.2.1向量的加法運算教學設計（人教A版）本節通過數的加法啟發我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學生順理成章接受向量的加法定義.結合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯系數的運算規律掌握向量加法運算的交換律和結合律.課程目標1、掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；2、會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養數形結合解決問題的能力；3、通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法.數學學科素養1.數學抽象：向量加法概念；2.邏輯推理：利用向量加法證明幾何問題；3.直觀想象：向量加法運算；4.數學建模：從實際問題抽象出數學模型，數形結合，運用向量加法解決實際問題.重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量；難點：理解向量加法的定義.教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具：多媒體。情景導入數有加減乘除運算，那么向量有沒有加減乘除運算，如果有，該怎么運算呢？要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本7-10頁，思考并完成以下問題1.向量加法是如何定義的？2.運用什么法則進行向量加法運算？3.向量加法滿足哪些運算律？4.和向量和已知向量有什么關系？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究１、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.２、三角形法則和平行四邊形法則(1)三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量a、ｂ.在平面內任取一點，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即a＋ｂ，規定：a+0=0+aaaaaAABCa+ba+baabbaｂｂａ＋ｂa(2)平行四邊形法則如圖所示：eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))(三角形法則)，又因為eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))(平行四邊形法則)，注意：在使用三角形法則時，應注意“首尾連接”，這個方法可推廣到多個向量相加的情形；在使用平行四邊形法則時，應注意范圍的限制及和向量與兩向量起點相同．3.向量a+b與非零向量a，b的模及方向的關系(1)當a與b不共線時，a＋b的方向與a，b都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)當a與b同向時，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)當a與b反向時，若|a|≥|b|，則a＋b與a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|＜|b|，則a＋b與b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.4．向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．四、典例分析、舉一反三題型一向量的三角形法則和平行四邊形法則例1如下圖中(1)、(2)所示，試作出向量a與b的和．【答案】見解析【解析】如下圖中(1)、(2)所示，首先作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up16(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b．解題技巧（應用三角形和平行四邊形法則的步驟）(1)應用三角形法則求向量和的基本步驟①平移向量使之“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合．②以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量，即為兩個向量的和．(2)應用平行四邊形法則求向量和的基本步驟①平移兩個不共線的向量使之共起點．②以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形．③平行四邊形中，與兩向量共起點的對角線表示的向量為兩個向量的和．跟蹤訓練一1、如圖，已知a，b，求作a＋b；【答案】見解析．【解析】如圖所示．．題型二向量的加法運算例2如圖，在△ABC中，O為重心，D，E，F分別是BC，AC，AB的中點，化簡下列三式：【答案】(1)eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)eq\o(OB,\s\up16(→)).(3)eq\o(AC,\s\up16(→))..【解析】(1)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝(eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→)))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).解題技巧：(向量加法運算注意事項)(1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算．(2)要靈活應用向量加法運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母的排列順序，特別注意勿將0寫成0.跟蹤訓練二1、化簡或計算：(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))；(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→)).【答案】(1)eq\o(AD,\s\up16(→)).(2)0.【解析】(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)).(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→)))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝0.題型三利用向量加法證明幾何問題例3已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】見解析.【解析】證明eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，又∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．解題技巧（用向量加法證明集合問題的基本思路）用向量方法證明幾何問題，首先要把幾何問題中的邊轉化成相應的向量，通過向量的運算及其幾何意義得到向量間的關系，然后再還原成幾何問題．跟蹤訓練三1．如圖所示，在平行四邊形ABCD的對角線BD的反向延長線及延長線上取點E，F，使BE＝DF，求證：四邊形AECF是平行四邊形．【答案】見解析．【解析】證明∵eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(FC,\s\up16(→))＝eq\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))，又eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(FD,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))，∴eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(FC,\s\up16(→))，即AE與FC平行且相等．∴四邊形AECF是平行四邊形．題型四向量加法的實際應用例4在水流速度為向東10km/h的河中，如果要使船實際航行的速度的大小為10eq\r(3)km/h，方向垂直于對岸渡河，求船行駛速度的大小與方向．【答案】船行駛速度為20km/h，方向與水流方向的夾角為120°.【解析】如圖所示，eq\o(OA,\s\up16(→))表示水速，eq\o(OB,\s\up16(→))表示船實際航行的速度，eq\o(OC,\s\up16(→))表示船速，由eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))易知|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝10，又∠OBC＝90°，所以|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝20，所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，即船行駛速度為20km/h，方向與水流方向的夾角為120°.解題技巧：(向量加法解決實際問題的步驟)跟蹤訓練四1、在某地抗震救災中，一救護車從A地按北偏東35°的方向行駛800km到達B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向行駛800km送往C地醫院，求這輛救護車行駛的路程及兩次位移的和．【答案】救護車行駛的路程是1600km，兩次行駛的位移和的大小為800eq\r(2)km，方向為北偏東80°.【解析】如圖所示，設eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))分別表示救護車從A地按北偏東35°方向行駛800km，從B地按南偏東55°的方向行駛800km.則救護車行駛的路程指的是|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|；兩次行駛的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).依題意，有|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up16(→))|2＋|\o(BC,\s\up16(→))|2))＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向為北偏東35°＋45°＝80°.從而救護車行駛的路程是1600km，兩次行駛的位移