專題14不等式

不等式的性質

基本不等式

一元二次不等式

題型01不等式的性質

1.（2024下?廣東清遠?一模）使成立的一個充分不必要條件是（）

X

A.x>0B.0<x<一

2

C.0<x<1D.0<x<2

【答案】B

【詳解】

111-x?

—>1--->0則選項中的X的范圍組成的集合是（°』）的真子集

由X，得X,解得0<x<l,

1>1

由選項知，選項A，C,D均不滿足，選項B滿足.故使"X"成立的一個充分不必要條件可以是

0<x<一

，，2〃.

故選：B.

2.（2024下?廣東深圳?模擬）下列結論正確的個數有（）個

①的>0是f>0的充要條件

b

②已知實數X、>滿足5x>y>o,則hJ+土的最小值為塞上2

5龍一了了5

③命題"女>1,-X40"的否定是x2-x>0"

④關于x的不等式尤2-辦+1<0有解，實數。的范圍是。<-2或。>2.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

aa

.—>0—>0j

【詳解】①由浦>o,即同號，故6；由6,即0力同號，故品>0,

a八

一〉0

所以浦>°是6的充要條件，正確；

5x,x1

---11>0—>一

②因為5x>y>0,所以，，即>5,

第1頁共10頁

yx1x1,X1,1、c1、，卜111

--——+—=----------+—=

5x-yyy275+1

所以5

當且僅當，即＞時等號成立,

y245+1

-------------1-------------------

所以＞的最小值為5,錯誤；

③由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知命題，

命題"七＞1,Y-X40"的否定是"Vx＞l,x2-x＞0",正確;

④由題設A=/-4＞°,解得。＜-2或。＞2,正確.

故選：C

題型02基本不等式

22

1.（2024下?廣東湛江?高三一模）已知融>0,a+ab+2b=B則/+2/的最小值為（）

.8-272R2V2_37-2V2

A.-----------------D.----------C.一U.------------------

7348

【答案】A

【解析】

【詳解】因為仍＞0,得：a?+2b22212a2b2=2^ab(當且僅當a=&時成立)，

即得：ab＜a"=—(a2+2b2),

2萬4'

222

則1=a?+仍+2624a2+2bz+—（fl+2b）=（/+2b）,

44

218-2A/2

/曰a-+2Zr>----產=---------

得：4+亞7

4

所以/+2bl的最小值為8二2J5,

7

故選：A.

第2頁共10頁

+x12

2.（2024下?廣東?梅州市一模）已知函數/（x）=ln-------（加〉0,〃>0）是奇函數，則一+—

1-n-xmn

的最小值為（）

A.3B.5C.3+2拒D.3+40

【答案】C

【解析】

777+Y

【詳解】令------->0,得（X+冽）0—1+〃）<0，故函數的定義域為

1-n-x

因為“乃是奇函數，則其定義域關于原點對稱，

可得一加+1—〃=0,即加+〃=1,

此時f（x）=In-----，可得/（x）+/（-x）=ln------+ln-----=lnl=0,

m-xm-xm+x

可得了（%）是奇函數，即加+〃=1符合題意；

izI2fl2V2m、c.r~

故—i—二—I—（加+〃）=3H---1-----23+2A/2,

mnnJmn

當且僅當」=——，即加二行—l，〃=2—正時等號成立，

mn

I2=

故一+一的最小值為3+2行，

mn

故選：C.

3.（2024下?廣東深圳?模擬預測）當時，關于工的不等式（2酒@+8$2工-3）3"-@40有

解，則。的最小值是（）

A.2B.3C.4D.4A/2

【答案】A

71

0<x<一.,1/八

［詳解］當2時，記y=smx-無，了=cosx-lV0,

71

0<x<-

故函數>=smx-x在2上單調遞減，

sinx-x<sin0-0=0,故sinx<x,

0<x<-

所以2〃sinx+cos2x-320在2上有解，

0<x<-

由于2,所以sinx>0,

第3頁共10頁

「一■Fsinx

a>

所以2qsinx23—cos2x=2+2sin),所以sin%min

------Fsinx22%=—

由sinx,當且僅當2時取等號，所以。的最小值是2.

故選：A

4.（2024下廣東廣州?模擬預測）已知圓。的方程為一+^2=1,過第一象限內的點尸（。⑼作圓。的

兩條切線尸/,PB,切點分別為45,若方力=8，則的最大值為（）

A.2百B.3C.3亞D.6

【答案】C

【詳解】

如圖所以，因為過點尸（見與作圓。的兩條切線尸4P8,可得NO,尸Z,

由麗?莎=（2+布>莎=92=8即四『=8

所以盧引產a+\°a\=、即/+〃=9,

(a+b)2=/+62+2.42(/+62)=18

所以

a3紅廠

當且僅當2時取等號，所以6的最大值為312.

5.（2024下?廣東東莞?模擬）在（x+l）（x+2）（x+3）（x+加）（x+〃）（加〉0,〃>0）的展開式中，含d的項

32

的系數為加〃+2〃+13,則一+一的最小值為（）

mn

A.13B.25C.30D.36

【答案】B

［詳解］(x+D(x+2)(x+3)=d+6X2+11X+6(x+m)(x+A?)=x2-\-(m+n)x-\-mn

則含丁的項的系數為冽〃+6冽+6〃+ll,

第4頁共10頁

所以mn+2幾+13=加〃+6冽+6〃+11,所以3加+2〃=1,

32_1+2］（3加+2"）=13^^>13+&i6n

—I——二=2f

貝I」mnmn）mnmn

6n6m1

——----m=n=-

當且僅當冽〃，即5時，取等號,

32

—+—

所以機”的最小值為25.

故選：B.

6.（2024下?廣東中山一模）已知P是圓C：/+y2=l外的動點，過點P作圓C的兩條切線，設兩切

點分別為A,B,當也.每的值最小時，點尸到圓心C的距離為（）

A.V2B.V2C.V2D.2

【答案】A

【詳解】設尸GM,則3=6+/,

則萬?麗=（而+西（而+西=|圖2OA+O^+OA151

萬?礪=|德|?恒卜os4O8=cosZ4O8=cos2ZPCU=2cosYPOA-1

E況=也礪=|困同cos（180。-/尸OH喇砰cosN尸O

OA_

1

=-|po|-p|.~OP~

Xy-—2o-22/~

當且僅當'x+y,即x+y=V2時，等號成立,

故當》.麗的值最小時，點尸到圓心C的距離為蚯.

故選：A.

7.（2024下?廣東深圳?模擬）已知P為棱長為八的正四面體各面所圍成的區域內部（不在

第5頁共10頁

表面上）一動點，記P到面48C,面/CD,面3CZ）,面的距離分別為4,%,用，%,若%=1,

18

則需十元的最小值為（）

9+4后

cD.12+4收

.2

【答案】B

【詳解】正四面體棱長為灰，￡為△BCD的中心，則底面BCD,

廠為CD邊中點，則E在3尸上，如圖所示，

則有BF±CD,BFu平面BCD,AE1BF,

2

AF=BF=^BC-CF-=^2LEF=-BF=—

2,32,

即正四面體"Ba＞的高%=2,

P為正四面體力-BCD各面所圍成的區域內部，連接P4,PB,PC,PD,

可得到4個小四面體,

-S（h,+h,+h,+h.}=-Sh

設正四面體力-BCD各面的面積為S,則有33

得4+%+%3+4=%=2

由"+4=1,貝i]4+均=1

第6頁共10頁

、

h8k_25

一=-Ll2l

則2kh(24+h24h2

l2272

h2_841

%=—,h2=—

當且僅當24%,即55時等號成立,

1.825

----1-

24h的最小值為2.

故選：B

題型03一元二次不等式

1.（2024下?廣東?茂名市一模）“X<1”是“一_4》+3〉0”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不

必要條件

【答案】A

【解析】

【詳解】解不等式必一4x+3〉0得x>3或x<l,

記N=（—e,l）u（3,+oo）,5=（-oo,l）,

因為/冬5,所以“X<1”是“X2-4X+3>0”的充分不必要條件.

故選：A

2.（2024下?廣東?一模）已知〃,6,ceR且a#0,則“4/+?x+c>o的解集為H1}"是"a+6+c=0"

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由題意，二次不等式。/+6x+c>0的解集為卜,,1},

a>0

」=1

2a

則等價于1A=4一"的二。，即a=c>0力=-2°,即a+6+c=0,

當a+6+c=0時，不能推出a=c>0,b=_2a.

第7頁共10頁

所以皿2++c>0的解集為{小利"是"a+6+c=0”的充分不必要條件，

故選：A

f+]

3.(2024下廣東東莞?模擬)已知p:ln("l)>0,q:玉>0,----<a,則。是q的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

Ja-1>0

【詳解】由ln(a7)>°,得，

設，"={a|ln(a-1)>0}={《a〉2}

?x+1x+1

dx>0,----<aX/x>0,---->a

由X的否定為X

f(x)=X=x+—>2x=—

令XX,當且僅當X時，又X>O,即x=l等號成立,

若X，貝

Bx>0,x+I<a

若x,貝心22,

設q:3={a|N2},因為{司22}二{4a>2},所以。二自且夕中乙

所以。是9的充分不必要條件

故選：A

4.(2024下廣東河源?二模)若2e卜辰2+3尤+/-3>0},則a的取值范圍為()

A.(-3,-1)B.[-3,-1]

C.(-oo,-3]u[-l,+oo)D.(-00,-3)o(-l,+oo)

【答案】D

【詳解】由題意知，當。=°時，科"2+3x+"-3>0}可變為何》>1},符合題意；

當QW0時，由2￡{X|QX2+3X+Q2_3>0},得ax22+3x2+〃2_3>0,

即/+44+3>0,解得〃〈一3或〃>一1且awO；

綜上，實數a的取值范圍為(-00，-3)D(T，+S).

第8頁共10頁

故選：D

abx1,.

5.（2024下?廣東珠海,模擬）定義二階行列式,廠團兒，則"2xx>W'是?』>°"的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】

x1??

>|耳2cII

由2xx[得x_2x>|x|,

當x20時，x2-2x>x,解得x>3,

X1>|^|

當x<0時，x?-2尤〉-x,解得x<0,所以2無X的解集為（-MUG+s）.

由/_3x>0,即（龍-3）">0,解得x>3或x<0,

即不等式V-3x>0的解集為（一°0,°）U⑶+8）,

%1II

>|x|

所以“2xx，堤“/-3工>0，，的充要條件.

故選：A

6.（2024下?廣東深圳?模擬預測）下列說法正確的是（）

A.不等式4/一5x+l>0的解集是卜>:取<1]

B.不等式2-7-640的解集是kxV-g或rN21

C.若不等式分2+8分+21<0恒成立，則。的取值范圍是0

D.若關于x的不等式2尤2+.-3<0的解集是（見1）,則。+4的值為

【答案】CD

4為2—5x+1>0（x—1）（4x~1）>0x<—