山西省運城市康杰中學2024屆高三二診模擬考試數學試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合人=屋|x>0},B={x|x2—x+b=0},若Ac3={3},貝姐=（）

A.-6B.6C.5D.-5

UUUUUUL..

2.在直角梯形ABC。中，ABAD=0>NB=30。，AB=2也,BC=2,點E為8C上一點，且AE=xA3+yAD,

當孫的值最大時，IAE|=（）

A.7?B.2C.D.2A/3

3.音樂，是用聲音來展現美，給人以聽覺上的享受，熔鑄人們的美學趣味.著名數學家傅立葉研究了樂聲的本質，他

證明了所有的樂聲都能用數學表達式來描述，它們是一些形如asin/zx的簡單正弦函數的和，其中頻率最低的一項是

基本音，其余的為泛音.由樂聲的數學表達式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數倍，稱為基本音的諧波.下

列函數中不能與函數y=0.06sinl80000f構成樂音的是（）

A.y=0.02sin360000ZB.y=0.03sin180000，c.y=0.02sin181800z

D.y=0.05sin540000/

4.已知函數y=log〃（％+c）（a,。是常數，其中〃>0且QW1）的大致圖象如圖所示，下列關于a,c的表述正確

的是（）

A.a>\,c>lB.a>l9O<C<1

C.Q<a<\,c>lD.Ovavl,0<c<l

5.已知1與y之間的一組數據：

X1234

ym3.24.87.5

若y關于X的線性回歸方程為y=2.k—0.25,則加的值為（）

A.1.5B.2.5C.3.5D.4.5

6.若函數y=2s加（2x+e）H<?的圖象經過點則函數/（x）=sz力（2x—0）+cos（2x—0）圖象的一條

對稱軸的方程可以為（）

7137萬177r13?

A.x-------B.x-------C.x-------D.x-----

24242424

7.設a,〃是非零向量，若對于任意的都有卜-可〈卜-4可成立，貝!I

A.allbB.albC.（a-b^LaD.[a-b^Vb

8.已知直線/：、回x+y+2=0與圓。：/+/=4交于A,B兩點,與/平行的直線/1與圓。交于M,N兩點，

且。45與_0加乂的面積相等，給出下列直線乙：①A+y—2月=0,②瓜+y-2=0,③x—也>+2=0,

@5+〉+2々=0.其中滿足條件的所有直線4的編號有（）

A.①②B.①④C.②③D.①②④

2

9.已知復數2=——，其中i為虛數單位，典|目=（）

1+Z

A.y/5B.73C.2D.0

27r27r_

10.若i為虛數單位，則復數z=-siny+icosy,則三在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

11.已知三棱錐P—ABC中，AABC是等邊三角形，AB=46,PA=PC=2非,PALBC,則三棱錐P—ABC的

外接球的表面積為（）

A.25/1B.757rC.80乃D.100萬

22

12.存在點/（九0，加）在橢圓二+3=1（。〉。〉0）上，且點M在第一象限，使得過點M且與橢圓在此點的切線

ab

苧+等=1垂直的直線經過點10,-則橢圓離心率的取值范圍是()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為"c,ZABC=120°,NABC的平分線交AC于點。，且應>=1,

貝!14。+c的最小值為.

14.古代“五行”學認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五

種不同屬性的物質任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰，則這樣的排列方法有種.(用數字作

答)

15.已知復數z滿足上@。為虛數單位)，則復數z的實部為.

Z

16.已知。為矩形ABC。的對角線的交點，現從A&C。,。這5個點中任選3個點，則這3個點不共線的概率為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設函數/(X)=/一必一］(awR).

(1)討論函數/(%)的單調性；

(2)若關于x的方程In(辦+a+l)=x+l有唯一的實數解，求a的取值范圍.

—A/SCOS2x+'-?

18.(12分)已知函數/(x)=cosx-sinx+—XGR.

I34

(I)求/(尤)的最小正周期;

(II)求/(尤)在-上的最小值和最大值.

19.(12分)己知a>0,函數/(x)=|x-a|.

(1)若a=2,解不等式/(x)+"x+3)W5；

(2)若函數g(元)=〃x)-〃尤+2a),且存在使得g(x0)之2a成立，求實數。的取值范圍.

20.(12分)已知xGR,設m=(2cos%sinx+cosx),n=(y/3sinx,sinx-cosx)>記函數/(x)=g〃.

(1)求函數/(九)取最小值時x的取值范圍；

（2）設△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若/（C）=2,c=豆，求△ABC的面積S的最大值.

21.（12分）已知函數/（x）=ln（ax）-a,（a>0）.

（1）若函數〃（x）=eV（x）在（0,+s）上單調遞增，求實數。的值；

（2）定義：若直線/?=區+人與曲線G：/l（x，y）=o、。2：力5。）=0都相切，我們稱直線/為曲線4、G的公

切線，證明：曲線/（勸=1113：）-0,（0>0）與8（%）=四”,（。〉0）總存在公切線.

22.（10分）若養殖場每個月生豬的死亡率不超過1%,則該養殖場考核為合格，該養殖場在2019年1月到8月養殖

生豬的相關數據如下表所示：

月份1月2月3月4月5月6月7月8月

月養殖量/千只33456791012

月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1

生豬死亡數/只293749537798126145

（1）從該養殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月，求恰好有2個月考核獲得合格的概率；

（2）根據1月到8月的數據，求出月利潤y（十萬元）關于月養殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.

（3）預計在今后的養殖中，月利潤與月養殖量仍然服從（2）中的關系，若9月份的養殖量為1.5萬只，試估計：該

月利潤約為多少萬元？

附：線性回歸方程亍=&+以中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下：i>=吟-------------,a=y-bx

22

￡xt-rtx

Z=1

88

參考數據：=460,=3795

z=li=l

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由Ac6={3},得3wB,代入集合B即可得b.

【詳解】

AnB={3},:.9-3+b=Q,即：b=-6,

故選：A

【點睛】

本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關系，屬于基礎題.

2、B

【解析】

由題，可求出A￡>=1,C￡>=石，所以45=27X7,根據共線定理，設8E=/13C（O麴兒1）,利用向量三角形法則求

出AE=11—《[AB+TIAD,結合題給AE=xA3+yAD,得出x=l—；,y=X,進而得出孫=,最后

利用二次函數求出孫的最大值，即可求出|AE|=.

【詳解】

UUU1UUIUL

由題意，直角梯形ABCZ）中，ABAD=O>々=30。，AB=273，BC=2,

可求得40=1,8=6，所以AB=2DC。

???點E在線段上，設8E=X3C（噫氏1）,

則AE=AB+BE=AB+ABC=AB+A（BA+AD+DC）

=（\-V）AB+lAD+ZDC=\\-^AB+XAD,

即AE=[\-^AB+XAD,

又因為AE=xA5+yA。

所以x=l—,,y=X,

所以孫=1]_g，=_；〔（4_l）2T[=_：（幾_1）2+：,,:,

當2=1時，等號成立.

所以|AE|=dA3+AD|=2.

2

故選：B.

【點睛】

本題考查平面向量線性運算中的加法運算、向量共線定理，以及運用二次函數求最值，考查轉化思想和解題能力.

3、C

【解析】

由基本音的諧波的定義可得力=和伽eN*),利用/=工=衛可得用=耐(〃eN*)，即可判斷選項.

T21

【詳解】

由題，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數倍,稱為基本音的諧波，

由/=▲==,可知若工=%(〃€]\*),則必有01="02("€]\*),

T2萬

故選:C

【點睛】

本題考查三角函數的周期與頻率,考查理解分析能力.

4、D

【解析】

根據指數函數的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.

【詳解】

從題設中提供的圖像可以看出0<a<Llog°c>0,log“(l+c)>0,

故得0<C<l,0<i7<l,

故選：D.

【點睛】

本題考查圖象的平移以及指數函數的圖象和特征，本題屬于基礎題.

5、D

【解析】

利用表格中的數據，可求解得到1=2.5,代入回歸方程，可得亍=5,再結合表格數據，即得解.

【詳解】

利用表格中數據，可得7=2.5,

又y=2.lx-0.25,y=5,

.4.w+3.2+4.8+7.5=20.

解得m=4.5

故選：D

【點睛】

本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質，考查了學生概念理解，數據處理，數學運算的能力，屬于基礎題.

6、B

【解析】

由點求得。的值，化簡/（月解析式，根據三角函數對稱軸的求法，求得了（%）的對稱軸，由此確定正確選項.

【詳解】

7171

由題可知2x2+0J=0,冏<—

2?展一~6

、兀冗=^2sinf2x+

所以/(%)=sin]2x+—+cos2x+(J=A/2sin2x-\------1——

I6J64

_5TCTC11r

令A2xH----——Fkji^keZ,

122

,口兀kjli)

得x-------1-------，左wZ

242

人7ezo377r

令左=3,得冗=----

24

故選：B

【點睛】

本小題主要考查根據三角函數圖象上點的坐標求參數，考查三角恒等變換，考查三角函數對稱軸的求法，屬于中檔題.

7、D

【解析】

畫出“，b，根據向量的加減法，分別畫出（。-友?）的幾種情況，由數形結合可得結果.

【詳解】

由題意，得向量（。-A）是所有向量中模長最小的向量，如圖，

D

當ACLBC,即〃時，|AC|最小，滿足a—b<a-勸，對于任意的;leR,

所以本題答案為D.

【點睛】

本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于

基礎題.

8、D

【解析】

求出圓心。到直線/的距離為：d=l=^r,得出NAC?=120。，根據條件得出。到直線人的距離d'=l或班時滿足

條件，即可得出答案.

【詳解】

解：由已知可得：圓0：/+/=4的圓心為(0,0),半徑為2,

則圓心。到直線/的距離為：d=l=-r,

2

:.ZAOB=nO0,

而//4,與OMN的面積相等，

NMQV=120°或60°,

即。到直線4的距離d'=l或g時滿足條件，

根據點到直線距離可知，①②④滿足條件.

故選:D.

【點睛】

本題考查直線與圓的位置關系的應用，涉及點到直線的距離公式.

9、D

【解析】

把已知等式變形，然后利用數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的公式計算得答案.

【詳解】

則|z|=V1+1=V2.

故選：D.

【點睛】

本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題.

10、B

【解析】

首先根據特殊角的三角函數值將復數化為z=-3-求出I，再利用復數的幾何意義即可求解.

22

【詳解】

2?,27ry/31.

FZCOS——=------------1

3-----------322

.?."+L

22

則胃在復平面內對應的點的坐標為一方-，5，位于第二象限.

故選：B

【點睛】

本題考查了復數的幾何意義、共朝復數的概念、特殊角的三角函數值，屬于基礎題.

11、D

【解析】

根據底面為等邊三角形，取8C中點"，可證明BC_L平面N0,從而即可證明三棱錐P-ABC為

正三棱錐.取底面等邊AABC的重心為。"可求得P到平面ABC的距離，畫出幾何關系，設球心為。，即可由球的性

質和勾股定理求得球的半徑，進而得球的表面積.

【詳解】

設M為中點，AABC是等邊三角形，

所以AML5C,

又因為K4L5C,且B4AM=A,

所以3CL平面K4M,則

由三線合一性質可知PB=PA=PC,

所以三棱錐P—ABC為正三棱錐，A5=4有，PA=PB=PC=2后,

設底面等邊AABC的重心為。'，

22___________

可得AO'=§AM=§*6=4，PO'=SIP^-AO,2=720-16=2*

所以三棱錐P-ABC的外接球球心在面ABC下方，設為。，如下圖所示:

由球的性質可知，尸0,平面ABC,且P,。',。在同一直線上，設球的半徑為R,

在RtAAOCy中，AO2=AO'2+OO'2，

即M=16+(7?—2/，

解得火=5,

所以三棱錐P—ABC的外接球表面積為S=4兀R?=4^X25=100%，

故選：D.

【點睛】

本題考查了三棱錐的結構特征和相關計算，正三棱錐的外接球半徑求法，球的表面積求法，對空間想象能力要求較高,

屬于中檔題.

12、D

【解析】

根據題意利用垂直直線斜率間的關系建立不等式再求解即可.

【詳解】

因為過點M橢圓的切線方程為灣+誓=1,所以切線的斜率為-U，

aba%

b

y+—r2AA3

由°n［乂7=_i，解得先=白<乩即〃2V2c2,所以02V2c2,

2

%I?y0J2c

所以工〉走.

a3

故選：D

【點睛】

本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、9

【解析】

分析：先根據三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.

詳解：由題意可知，由角平分線性質和三角形面積公式得

—acsinl20°=—tzxlxsin600+—exlxsin60°,化簡得ac=a+c3+，=1,因此

222ac

4a+c=（4a+c）（—+—）=5H--1--->5+2./-----=9,

acac\ac

當且僅當c=2a=3時取等號，則4a+c的最小值為9.

點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母

為正數）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應用，否則會出現錯誤.

14、1.

【解析】

試題分析：由題意，可看作五個位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設排上的是金，則第二步只能

從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只

能排上土，故總的排列方法種數有5x2xlxlxl=l.

考點：排列、組合及簡單計數問題.

點評：本題考查排列排列組合及簡單計數問題，解答本題關鍵是理解題設中的限制條件及“五行”學說的背景，利用分

步原理正確計數，本題較抽象，計數時要考慮周詳.

15、2

【解析】

利用復數的概念與復數的除法運算計算即可得到答案.

【詳解】

所以復數z的實部為2.

Z=1+2Z=/-2=2_^

ii

故答案為：2

【點睛】

本題考查復數的除法運算，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.

4

16、-

5

【解析】

基本事件總數，==10,這3個點共線的情況有兩種AOC和BOD,由此能求出這3個點不共線的概率.

【詳解】

解：。為矩形A6C。的對角線的交點，

現從A,B,C,D,。這5個點中任選3個點，

基本事件總數〃=屐=10,

這3個點共線的情況有兩種AOC和BOD,

,這3個點不共線的概率為p=1磊2=4.

...4

故答案為：y.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)當aVO時，f(x)遞增區間時(-8,+8),無遞減區間，當a>0時，/(尤)遞增區間時(Ina,+8),遞減區間

時(-oo』na)；(2)aVO或a=l.

【解析】

(1)求出/(X),對。分類討論，先考慮廣(%)20(或/'(x)<0)恒成立。的范圍，并以此作為”的分類標準，若

不恒成立，求解/"(X)>,/'(?<。，即可得出結論；

(2)ln(ax+a+l)=x+l有解，即-討一a(x+l)-1=0,令。=x+l,/?)=0,轉化求函數/(x)=0只有一個實數解,

根據(1)中的結論，即可求解.

【詳解】

(1)f^x)=ex-ax-1,f'(x)=ex-a,

當aVO時，/(x)>0恒成立，

當a>0時，f'(x)>0,x>In?,f'(x)<0,x<In?,

綜上，當aWO時，f(x)遞增區間時(-8,+s),無遞減區間，

當a>0時，/(x)遞增區間時(Ina,+8),遞減區間時(—8,Ina)；

x+}

(2)ln(ax+a+l)=尤+1<=>e=a(尤+1)+1>0,

o*+i-a(x+l)-l=0

令x+l=r,原方程只有一個解，只需/■⑺=。只有一個解，

即求/(%)=d—依—1只有一個零點時，。的取值范圍，

由(1)得當。<0時，f(x)在(—8,+8)單調遞增，

且/(0)=0,函數只有一個零點，原方程只有一個解—1,

當a>0時，由(1)得/(x)在x=lna出取得極小值，也是最小值，

當。=1時，/(xU=0,此時函數只有一個零點，

原方程只有一個解-1,

當a>0且awl

遞增區間時(Ina,+8),遞減區間時(-8,lna)；

/(Ina)</(0)=0,當x—>TO,/(%)F+8,

xf+oo,/(x)->+oo,/(x)有兩個零點，

即原方程有兩個解，不合題意，

所以。的取值范圍是或。=1.

【點睛】

本題考查導數的綜合應用，涉及到單調性、零點、極值最值，考查分類討論和等價轉化思想，屬于中檔題.

18、(I)〃；(II)最小值—工和最大值上.

24

【解析】

試題分析：（1）由已知利用兩角和與差的三角函數公式及倍角公式將/（無）的解析式化為一個復合角的三角函數式,

再利用正弦型函數丁=45由（的+0）+6的最小正周期計算公式7=而，即可求得函數/（無）的最小正周期；（2）

-Z\

ZJT"/tr/jr/jr/rr

由⑴得函數/（x）=/in2x-2,分析它在閉區間卜上的單調性，可知函數/（x）在區間卜了一向上是

減函數，在區間一個,看上是增函數，由此即可求得函數/（九）在閉區間一（,（.上的最大值和最小值.也可以利用

整體思想求函數/（九）在閉區間一5.上的最大值和最小值.

由已知，有f[x)=cosx,一sinxcosx—V^COS2%迫

24224

/（月的最小正周期丁=怖=n.

TT7r7T7T1

（2）?；/（X）在區間一^「冠上是減函數，在區間二，二上是增函數,

1244

/f二]=[，??.函數/（x）在閉區間一>,u.上的最大值為，最小值為1.

I12）2UJ4[44]42

考點：L兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式；2.三角函數的周期性和單調性.

19、（1）{x|-2<%<3};（2）（0,4]

【解析】

（1）零點分段解不等式即可⑵等價于g（x）1mx*?—2c,由卜―4一歸+。以％—a—x—a|=2a,得不等式即可

求解

【詳解】

1—2x,x<—1

（1）當a=2時，7（x）+/（x+3）=|x-2|+|x+l|=<3,-l<x<2,

2x-l,x>2

當光<—1時，由1—2x?5,解得一2?工<一1；

當—1VXV2時，由3?5,解得—lVx<2；

當時，由21一1?5,解得2VxV3.

綜上可知，原不等式的解集為{x|—2WXW3}.

(2)g(x)=/(x)-/(x+2a)=|x-a|-|x+a|.

2

存在/eR使得g(%)2a2—2a成立，等價于g(x)1mx>a-2a.

又因為|x—M—|x+a|W|x—a—x—a|=2a,所以242〃—2a，即/—4a<0.

解得0WaW4,結合a>0,所以實數。的取值范圍為(0,4].

【點睛】

本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查轉化思想，是中檔題

20、(1){x|x=左萬一左eZ>；(2)

【解析】

⑴先根據向量的數量積的運算，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡得到/(x)=2sin12x-g；再根據正弦函

數的性質即可求出答案；(2)先求出C的大小，再根據余弦定理和基本不等式，即可求出a〃W3,根據三角形的面積

公式即可求出答案.

【詳解】

(1)/(x)=m-n=2y/3sinxcosx+sin2x-cos2x=A/3sin2x-cos2x=2sin[2x—.

2x——=2kn——9k^Z9即x=ATT—2(kwZ)時，sin|2x1=-1,取最小值，

62616J

71

所以，所求x的取值集合是1%=左乃一；

6

(2)由/(C)=2,得sinRc—2[=1,

I6J

E、IC-71_711\71~…171-71

因為OVCVTT,所以一~—<2C所以2C—7=”，C--.

666623

在AABC中，由余弦定理c2=6^+b2-2abeosC,

得3=q2+b2—abNab,即當且僅當〃=b時取等號，

所以AA5C的面積S=』absinC<Lx3x，3=d①,

2224

因此AABC的面積S的最大值為上.

4

【點睛】

本題考查了向量的數量積的運算和二倍角公式，兩角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面積公式，屬

于中檔題.

21、(1)a=l；(2)見解析.

【解析】

(1)求出導數，問題轉化為/z(x)..O在(0,+8)上恒成立，利用導數求出9(x)=ln(以)+L—。的最小值即可求解；

x

(2)分別設切點橫坐標為王,馬，利用導數的幾何意義寫出切線方程，問題轉化為證明兩直線重合，只需滿足

QC巧X,——1

<玉有解即可，利用函數的導數及零點存在性定理即可證明存在.

X2X2

ln(aXi)一〃一1=ae-ax2e

【詳解】

(1)h(x)=ex[ln(ax)-a],x>0,

〃(x)=ex[\n(ax)+--a]

x

函數h(x)在(0,+8)上單調遞增等價于h(%)..0在(0,+8)上恒成立.

令0(%)=ln(ax)+L_Q,得0(元)=

xxxx

所以夕5)在(0,1)單調遞減，在(1,住)單調遞增，則夕(尤)1nhi=以1)?

因為產>0,則h⑴..0在(0,+8)上恒成立等價于夕(％)..。在(0,+8)上恒成立;

又。([)=0,

a

■■夕(工)=夕(1)=o,

a

所以2=