壓軸題05數列壓軸題十五大題型匯總命題預測本專題考查類型主要涉及點為數列，其中包含了數列的單調性、不等式，數列與三角函數、集合、函數等的結合，也包含數列的放縮，新定義等。預計2024年后命題會繼續在上述幾個方面進行。高頻考法題型01數列不等式、單調性與最值性問題題型02數列分奇偶問題題型03數列新定義問題題型04數列重新排序問題題型05數列與三角函數結合題型06數列中的周期性題型07數列中插入項問題題型08數列與放縮結合題型09斐波那契數列問題題型10數列與排列組合結合題型11高斯函數問題題型12數列與實際模型題型13數列與集合新定義題型14數列與函數結合題型15數列與函數導數結合01數列不等式、單調性與最值性問題1.（2024·浙江寧波·二模）已知數列an滿足an=λn2?n，對任意n∈1,2,3都有aA．114,18 B．114,2.（2024·全國·模擬預測）若數列an，對于?k∈N?,n∈N?，都有an+k?an>kt（t為常數）成立，則稱數列an具有性質P(t)．已知數列aA．(85,+∞) B．(43.（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習）已知數列an滿足2an+1(1)已知an①若a3=1，求②若關于m的不等式am<1的解集為M，集合M中的最小元素為8，求(2)若a1=111，是否存在正整數4.（多選）（2024·廣東·模擬預測）英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點.已知二次函數f(x)有兩個不相等的實根b,c，其中c>b.在函數f(x)圖象上橫坐標為x1的點處作曲線y=f(x)的切線，切線與x軸交點的橫坐標為x2；用x2代替x1，重復以上的過程得到x3；一直下去，得到數列{xnA．x1=ec?be?1（其中C．a6=132 D．數列a5.（2024·陜西西安·三模）已知正項數列{an}的前n項和為Sn，前n項積為Tn，且滿足aA．11 B．12 C．13 D．1002數列分奇偶問題6.（2024·河北石家莊·二模）已知數列an滿足(1)寫出a2(2)證明:數列a2n?1(3)若bn=a2n，求數列n?b7.（2024·廣東佛山·二模）已知數列an滿足a1=1，a(1)證明bn為等比數列，并求數列b(2)設cn=bn?5bn+1?5，且數列cn8.（2024·北京豐臺·一模）已知數列an滿足aA．當a1<0時，an為遞增數列，且存在常數M>0B．當a1>1時，an為遞減數列，且存在常數M>0C．當0<a1<1時，存在正整數N0D．當0<a1<1時，對于任意正整數N09.（2024·遼寧·二模）如果數列xn,yn，其中yn∈Z，對任意正整數n都有xn?y(1)若an=2n+2(2)若數列an是等差數列，且公差為dd∈Z，求證：數列(3)若數列an滿足a1=231100，且an+1=?910an+5720，記數列10.（多選）2024·遼寧沈陽·二模）已知數列an的通項公式為aA．若c≤1，則數列anB．若對任意n∈N*，都有aC．若c∈N*，則對任意i,j∈D．若an的最大項與最小項之和為正數，則03數列新定義問題數列的新定義問題，一般根據定義得到數列滿足的遞推關系，再利用常見的數列通項公式求法（如公式法、累加法、待定系數法等）求得數列通項公式和前n項和，最后再通項和前n項和的基礎上討論數列的性質.11.（2024·廣東深圳·二模）無窮數列a1，a2，…，an，…的定義如下：如果n是偶數，就對n盡可能多次地除以2，直到得出一個奇數，這個奇數就是an﹔如果n是奇數，就對(1)寫出這個數列的前7項；(2)如果an=m且(3)記an=fn，n∈12.（2024·廣東梅州·二模）已知an是由正整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為Mn，即Mn=maxa1,a2,???,an；前n(1)若an=3n，求其生成數列(2)設數列pn的“生成數列”為qn，求證：(3)若pn是等差數列，證明：存在正整數n0，當n≥n0時，an，a13.（2024·浙江·模擬預測）已知實數q≠0，定義數列an如下：如果n=x0+2x(1)求a7和a8（用(2)令bn=a(3)若1<q<2，證明：對于任意正整數n，存在正整數m，使得an14.（2024·安徽池州·模擬預測）定義：若對?k∈N*,k≥2,(1)若an=n(2)若an為“上凸數列”，則當m≥n+2m,n∈N（ⅰ）若數列Sn為an的前n項和，證明：（ⅱ）對于任意正整數序列x1,x2,x3,?,x15.（2024·吉林白山·二模）已知數列an的前n項和為Sn，若數列an滿足：①數列an項數有限為N；②SN=0；③(1)若等比數列an1≤n≤10為“10階可控搖擺數列”，求(2)若等差數列an1≤n≤2m,m∈N*為“2m階可控搖擺數列”，且(3)已知數列an為“N階可控搖擺數列”，且存在1≤m≤N，使得i=1Nai=204數列重新排序問題16.（2024·全國·模擬預測）已知n∈N?，an=12n?1，bn=1A．196197 B．198199 C．9819717.（2024·黑龍江·二模）已知集合A=a1,(1)求數列an(2)設bn是等差數列，將集合A∪B的元素按由小到大的順序排列構成的數列記為c①若bn=5n?1，數列cn的前n項和為Sn，求使②若A∩B=?，數列cn的前5項構成等比數列，且c1=1,18.（2022·上海虹口·一模）已知集合A={y|y=2x,x∈N?}，B={y|y=3x,x∈N?}.A∪B中的所有元素按從小到大的順序排列構成數列{an}，(1)求S10(2)如果am=81，a2022=t，求(3)如果n=3k?12+k(k∈N?)19.（2020·湖南長沙·三模）已知數列an的前n項和為Sn，a1=aa>0,a∈N?，S（1）求數列an（2）在①ak+1，ak+3，ak+2，②ak+2，對任意的正整數k，若將ak+1，ak+2，ak+3按______的順序排列后構成等差數列，且公差為dk，求20.（2022·上海金山·一模）已知有窮數列an的各項均不相等，將an的項從大到小重新排序后相應的項數構成新數列pn，稱pn為an的“序數列”.例如，數列a1?a2?a3滿足(1)若數列3?2x?5x+6?x2的“序數列”為2?3?(2)若項數均為2021的數列xn?yn互為“保序數列”，其通項公式分別為xn(3)設an=qn?1+p，其中p?q是實常數，且q>?1，記數列an的前n項和為Sn，若當正整數k≥305數列與三角函數結合21.（2023·天津河北·一模）已知an是等差數列，其公差d大于1，其前n項和為Sn,bn(1)求an和b(2)若正整數m,n,p滿足m<n<p，求證：bm(3)記cn=an2cos222.（2024·吉林·二模）已知數列an,(1)求a2(2)求an(3)設nan?2n的前n項和為T23.（2024·河南開封·三模）點S是直線PQ外一點，點M，N在直線PQ上（點M，N與點P，Q任一點不重合）．若點M在線段PQ上，記P,Q;M=SPsin∠PSMSQsin∠MSQ；若點M在線段PQ外，記P,Q;M=?SPsin∠PSMSQ?(1)若AD=3+1，求(2)射線BC上的點M0，M1，M2，…滿足B,C;（i）當n=0時，求AM（ii）當n≠0時，過點C作CPn⊥AMn于Pn，記24．（22-23高三上·湖北黃岡·階段練習）已知數列an,a1=1,(1)求數列an(2)求證：sina(3)證明：1+sin25.（2022·上海金山·一模）若數列an滿足an+an+1+an+2+?+an+k=0n∈N?,k∈N?，則稱數列06數列中的周期性26.（2023·湖南永州·二模）已知數列an滿足a3=?127.（2023·全國·模擬預測）若數列an滿足an+1?anan+128.（2021·廣東·模擬預測）已知Sn為數列an的前n項和，a1=a2=1，平面內三個不共線的向量OA，OB，OC，滿足OC=an?1+an+1OA+29.（2024·湖南長沙·一模）對于數列an，如果存在正整數T，使得對任意nn∈N*，都有an+T=an，那么數列an就叫做周期數列，T叫做這個數列的周期.若周期數列bn,(1)判斷數列an(2)若an和bn是“同根數列”，且周期的最小值分別是m+2和m+4m∈30.（22-23高三下·北京·階段練習）若無窮數列an的各項均為整數．且對于?i,j∈N?，i<j，都存在k>j，使得a(1)判斷下列數列是否滿足性質P，并說明理由．①an=n，②bn=n+2，(2)若數列an滿足性質P，且a1=1(3)若周期數列an滿足性質P，求數列a07數列中插入項問題31.（2024·全國·模擬預測）已知an=2n，數列cn為a1,b1,a2,32.（2024·河北滄州·一模）在數列an中，已知a(1)求數列an(2)在數列an中的a1和a2之間插入1個數x11，使a1,x11,a2成等差數列；在a2和a3之間插入2個數x21,x22，使a2,x2133.（2024·新疆·二模）已知an為等差數列，前n項和為Tn，若(1)求an(2)對任意的m∈N*，將an中落入區間2①求bm②記cm=222m?1?bm,cm的前34.（23-24高三上·河北石家莊·階段練習）已知正項數列an的前n項和為Sn，且(1)求證：1(2)在an與an+1間插入n個數，使這n+2個數組成一個公差為dn的等差數列，在數列d35.（23-24高三上·天津東麗·階段練習）已知an是等差數列，bn是公比不為1的等比數列，a2=6，a4+a5=22(1)求：數列an和b(2)設dn=?1(3)若對于數列an、bn，在ak和ak+1之間插入bk個2k∈N?，組成一個新的數列08數列與放縮結合數列型不等式問題的求解過程中常用到放縮法，一般有兩種情況：一是先放縮，再求和；二是先求和，再放縮．常用的放縮技巧如下：（1）對1n2的放縮，根據不同的要求，大致有三種情況：①1n2<（2）對12①12n>（3）對12n?136.（2024·全國·模擬預測）已知數列an的各項均為正數，a1=1(1)若a2=3，證明：(2)若a10=512，證明：當a437.（2024·山東·二模）記Sn為數列an的前n項和，(1)求a3和a(2)設數列1an的前n項和為Tn38.（2024·天津和平·一模）若數列an滿足an+1=an(1)已知數列an為M數列，當d=1,（ⅰ）求證：數列an2是等差數列，并寫出數列（ⅱ）Tn=k=1(2)若an是M數列n∈N?，且d>039.（2024·湖北·一模）英國數學家泰勒發現的泰勒公式有如下特殊形式：當fx在x=0處的nn∈N*階導數都存在時，fx=f0+f'0x+f″0(1)根據該公式估算sin1(2)由該公式可得：cosx=1?x22!+x4(3)設n∈N*，證明：40.（2024·全國·模擬預測）已知數列an的首項為1，前n項和為Sn，且Sn(1)求證：數列an(2)當n≥2時，求證：1S09斐波那契數列問題41.（2024·新疆·二模）斐波那契數列又稱黃金分割數列，它在很多方面與大自然神奇的契合，小到地球上的動植物，如向日葵?松果?海螺的成長過程，大到海浪?颶風?宇宙星系演變，都遵循著這個規律，人們親切地稱斐波那契數列為自然界的“數學之美”，在數學上斐波那契數列an一般以遞推的方式被定義：aA．記Sn為數列an的前nB．在斐波那契數列中，從不大于34的項中任取一個數，恰好取到偶數的概率為1C．aD．a42.（多選）（2024·全國·模擬預測）意大利數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時發現數列1，1,2,3,5,8,13,?數列中的每一項稱為斐波那契數，記作FnA．FB．FC．若斐波那契數Fn除以4所得的余數按照原順序構成數列anD．若F2024=43.（2024·江西·一模）斐波那契數列(Fibonacci?sequence)，又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多·斐波那契(Leonardo?Fibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數學上，斐波那契數列以如下遞推的方式定義：a044.（多選）（22-23高三上·山西·階段練習）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發現有這樣的一列數：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數列的特點如下：前兩個數均為1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列an稱為斐波那契數列，現將an中的各項除以2所得的余數按原來的順序構成的數列記為bn，數列an的前n項和為SnA．T2022=1348 C．若Tn=2022，則n=3033 45.（多選）（2021·福建福州·模擬預測）斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經典黃金比例.作圖規則是在以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形，然后在正方形里面畫一個90度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.它來源于斐波那契數列，又稱為黃金分割數列.現將斐波那契數列記為{an}，a1=a2A．3an=C．π4(b10數列與排列組合結合46.（多選）（2024·全國·模擬預測）甲、乙、丙三人做足球傳球訓練，規定：每次傳球時，傳球人將球傳給另兩人中的任何一人是等可能的．假設第1次由甲將球傳出，第k次傳球后，球回到甲處的概率為pk（k∈A．p2=12 B．p3>47.（多選）（2023·廣東深圳·二模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1的頂點A．PB．青蛙跳動奇數次后只能位于點B,C,D,AC．數列PnD．青蛙跳動4次后恰好回到點A的概率為748.（2024·全國·模擬預測）從集合x∈N(1)求這些數排序后能成等比數列的概率；(2)求這些數排序后能成等差數列的概率．49.（2023·河北承德·模擬預測）某校高三年級有n(n>2,n∈N?)個班，每個班均有(n+30)人，第k（k=1,2,3,???,n）個班中有(k+10)個女生，余下的為男生.在這n個班中任取一個班，再從該班中依次取出三人，若第三次取出的人恰為男生的概率是81350.（23-24高三下·浙江杭州·開學考試）設整數n,k滿足1≤k≤n，集合A=2m0≤m≤n?1,m∈Z.從A中選取k個不同的元素并取它們的乘積，這樣的乘積有Cnk(1)若n≥2，求an,2(2)記fnx=1+an,1(3)用含n，k的式子來表示an+1,k+111高斯函數問題51.（2023·全國·模擬預測）已知正項數列an，bn滿足：a1=1，bn=an2，bA．1 B．2 C．3 D．202352.（2024·四川成都·模擬預測）高斯是德國著名數學家，近代數學的奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用他名字定義的函數fx=x稱為高斯函數，其中x表示不超過x的最大整數，如2.3=2,?1.9=?2，已知數列an滿足a1=1,a2=5，53.（2024·河北·模擬預測）已知x表示不超過x的最大整數，x=x?x，設n∈N?，且n3+n4+n6=154.（2024高三·全國·專題練習）設n∈N*，an為(2x+3)n?(x+1)n55.（2023·全國·模擬預測）已知數列an為公差不為0的等差數列，a3=5，且a2,a5,a14成等比數列，設x表示不超過x的最大整數，如3.5=3，?1.5=?212數列與實際模型56.（2024·北京海淀·一模）某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過觀察發現，該黏菌繁殖符合如下規律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會以該直線為對稱軸分叉（分叉的角度約為60°），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學將整個繁殖過程抽象為如圖2所示的一個數學模型：黏菌從圓形培養皿的中心O開始，沿直線繁殖到A11，然后分叉向A21與A22方向繼續繁殖，其中∠A21A11A22=60°，且A11A21

A．6 B．7 C．8 D．957.（2024·山西·模擬預測）如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續.設初始正方形的邊長為22，依次構造出的小正方形（含初始正方形）的邊長構成數列bn，若an的前n項和為Sn=λn2+(20+λ)nλ<0,n∈A．[?4,?3] B．[?3,?2] C．?23,?58.（2024·貴州遵義·一模）第24屆北京冬奧會開幕式由一朵朵六角雪花貫穿全場，為不少人留下深刻印象．六角雪花曲線是由正三角形的三邊生成的三條1級Koch曲線組成，再將六角雪花曲線每一邊生成一條1級Koch曲線得到2級十八角雪花曲線（如圖3）……依次得到n級Kn(n∈N?)角雪花曲線．若正三角形邊長為1，我們稱∧為一個開三角（夾角為60°），則n級Kn角雪花曲線的開三角個數為59.（2024·吉林·模擬預測）“冰天雪地也是金山銀山”，2023-2024年雪季，東北各地冰雪旅游呈現出一片欣欣向榮的景象，為東北經濟發展增添了新動能．某市以“冰雪童話”為主題打造—圓形“夢幻冰雪大世界”，其中共設“森林姑娘”“扣像墻”“古堡滑梯”等16處打卡景觀．若這16處景觀分別用A1,A2,?,A16表示，某游客按照箭頭所示方向（不可逆行）可以任意選擇一條路徑走向其它景觀，并且每個景觀至多經過一次，那么他從入口出發，按圖中所示方向到達A6有種不同的打卡路線；若該游客按上述規則從入口出發到達景觀Ai的不同路線有ai60.（2024·云南大理·模擬預測）我國古代名著《莊子?天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠都截不完.已知長度為23的線段PQ，取PQ的中點M1，以PM1為邊作等邊三角形（如圖1），該等邊三角形的面積為S1，再取M1Q的中點M2，以M113數列與集合新定義解決以集合為背景的新定義問題，注意：根據集合定義式，確定集合中元素的特點61.（2024·浙江紹興·二模）已知k∈N?，集合Xk(1)求X2(2)設a=21+23∈X(3)記Yk=Xk∩2k+n?1,262.（2024·北京東城·一模）有窮數列a1,a(1)已知數列?3,2,?1,3，寫出所有的有序數對p,q，且p<q，使得Sp,q(2)已知整數列a1,a2,?,an,n為偶數，若Si,n?i+1i=1,2,?,n(3)已知數列a1,a2,?,an滿足S63.（2024·湖南邵陽·二模）給定整數n≥3，由n元實數集合P定義其隨影數集Q=x?y∣x,y∈P,x≠y.若minQ=1，則稱集合P為一個n元理想數集，并定義(1)分別判斷集合S=?2,?1,2,3(2)任取一個5元理想數集P，求證：minP(3)當P=x1,注：由n個實數組成的集合叫做n元實數集合，maxP,min64.（2024·北京西城·一模）對正整數m≥3,n≥6，設數列A:a1,a2,?,an,ai∈0,1i=1,2,?,n.B是m行n列的數陣，bij表示B(1)若A:1,1,1,0,0,0,B=111(2)若對任意p,q∈1,2,?,n(p<q),B中都恰有r行滿足第p列和第①B能否滿足m=3r？說明理由；②證明：K≥165.（2024·福建泉州·模擬預測）a,b表示正整數a，b的最大公約數，若x1,x2,?,xk?1,2,?,mk,m∈N(1)求φ2，φ3，(2)已知m,n=1時，φ（i）求φ6（ii）設bn=13φ6n?114數列與函數結合抽象函數表達式的處理，一般以賦值化簡為主，根據題目信息對自變量進行針對性賦值，求出函數值，或者推導出遞推式，或者構造出f(?x),f(x)的關系式等.66.（2024·青海·模擬預測）已知定義在R上的函數fx滿足fx+y=fxfA．299+198 B．299+196 C．67.（多選）（2024·湖南婁底·一模）已知函數fx的定義域和值域均為x∣x≠0,x∈R，對于任意非零實數x,y,x+y≠0，函數fx滿足：fx+yfx+fyA．f12=2C．fx在定義域內單調遞減 D．f68.（多選）（2024·山西晉城·二模）已知函數f(x)的定義域為R，且對任意的x,y∈R，都有fxy=xfyA．f(1)=0 B．f(x)的圖象關于y軸對稱C．i=12024f269.（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知fx=1?x2,?1≤x≤1fx?2,x>1，若直線y=k70.（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知函數fx的定義域為R，且f4x+1的圖象關于點0,2中心對稱，若f2+x?f2?x15數列與函數導數結合71.（2024·甘肅·一模）已知函數fx=sinxex（e為自然對數的底），x∈[0,+∞)，記xn為fx從小到大的第n個極值點，數列A．2eπ?C．2eπ?72.（多選）（2024·全國·模擬預測）記函數fnx的導函數為fn+1x，已知f1x=A．an為等差數列 B．bC．n=3501b73.（2024·全國·模擬預測）已知