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諧振子

(Harmonicoscillator)

一、勢函數m：振子質量，

：固有頻率，x：位移二、定態薛定諤方程諧振子

(Harmonicoscillator)哈密頓量

有定態薛定諤方程這是一個變系數常微分方程，求解復雜，直接給結果。

波函數的單值、有界、連續性要求諧振子的能量必須是量子化的，求得能級公式為（其中n

為量子數）結論Oxn=0n=3n=2n=1|ψ0|2|ψ3|2|ψ2|2|ψ1|21.普朗克假設的諧振子能量量子化是解薛定諤方程的自然結果。2.能級是等間隔的，基態能量為稱為零點能。零點能：諧振子的最低能量不等于零，即它永遠不能靜止不動。這與經典力學截然不同,是波粒二向性的表現，可用不確定關系加以說明。3.諧振子運動中可能進入勢能大于其總能量的區域。Oxn=0n=3n=2n=1|ψ0|2|ψ3|2|ψ2|2|ψ1|2一唯諧振子的能級和概率密度分布圖4.

量子的基態位置概率分布在x=0處概率最大，而經典諧振子基態（能量零點）在x=0處靜止不動（概率1）5.當零點能可忽略，對應經典諧振子情況。最后得粒子的波函數為（2.11）由（2.7）式可得（2.12）此式說明，由于是整數，所以粒子的能量只能取離散的值。這就是說，這個做圓周運動的粒子的能量“量子化”了。在這里，能量量子化這一微觀粒子的重要特征很自然地從薛定鄂方程和波函數的標準條件得出了.是量子數。即角動量也量子化了，而且等于的整數倍。

根據能量和動量關系有，而此處，再由（2.13）式可得這個做圓周運動的粒子的角動量（此角動量矢量沿z軸方向）為玻爾假設現在變為薛方程的自然結果解設粒子被束縛在長度為

a

的一維無限深方勢阱中運動形成駐波，根據駐波條件有由德布羅意關系式可知0an=1n=2n=3E1E2E3x

例.一維無限深方勢阱中的粒子的波函數在邊界處為零，其定態為駐波。試根據德布羅意關系式和駐波條件證明：該粒子定態動能是量子化的，求出量子化能級和最小動能公式（不考慮相對論效應）。若已知基態粒子的波函數為，求粒子在基態x=a/2時的概率密度？

所以定態動能為量子化的，量子化能級為最小動能公式為由歸一化條件有：由此得：根據波函數的物理意義，為粒子在各處出現的概率密度,即概率密度分布為歸一化的基態波函數為x=a/2時的概率密度0an=1n=2n=3E1E2E3x例:在核(線度1.0×10-14m)內的質子和中子可以當成是處于無限深的勢阱中而不能逸出，它們在核中的運動是自由的。按一維無限深方勢阱估算，質子從第一激發態到基態轉變時，放出的能量是多少MeV？

粒子的能量為：n=1,2,3…

由上式，質子的基態能量為(n=1):第一激發態的能量為：從第一激發態轉變

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