江蘇省連云港市海頭高級中學2024屆高三第三次測評數學試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設小王和外賣小哥都在12：00~12：10之間隨機到達小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是（）A． B． C． D．2．雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=03．已知分別為圓與的直徑，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知集合，則()A． B． C． D．5．已知純虛數滿足，其中為虛數單位，則實數等于（）A． B．1 C． D．26．學業水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個等級．某班共有名學生且全部選考物理、化學兩科，這兩科的學業水平測試成績如圖所示．該班學生中，這兩科等級均為的學生有人，這兩科中僅有一科等級為的學生，其另外一科等級為，則該班（）A．物理化學等級都是的學生至多有人B．物理化學等級都是的學生至少有人C．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至多有人D．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至少有人7．已知復數（為虛數單位，），則在復平面內對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知函數，若時，恒成立，則實數的值為（）A． B． C． D．9．設命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．10．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．11．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，但陀螺這個名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現.如圖所示的網格紙中小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（）A． B．C． D．12．已知集合，則全集則下列結論正確的是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．變量滿足約束條件，則目標函數的最大值是____．14．實數滿足，則的最大值為_____．15．已知，則_____。16．若函數滿足：①是偶函數；②的圖象關于點對稱.則同時滿足①②的，的一組值可以分別是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.18．（12分）11月，2019全國美麗鄉村籃球大賽在中國農村改革的發源地-安徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響.（1）經過1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；（2）若經過輪投球，用表示經過第輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求；②規定，經過計算機計算可估計得，請根據①中的值分別寫出a，c關于b的表達式，并由此求出數列的通項公式.19．（12分）如圖,在平面直角坐標系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點,且點的縱坐標是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標為,求的值．20．（12分）設點，動圓經過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，且直線與軸交于點，設，，求證：為定值.21．（12分）如圖，正方體的棱長為2，為棱的中點.（1）面出過點且與直線垂直的平面，標出該平面與正方體各個面的交線（不必說明畫法及理由）；（2）求與該平面所成角的正弦值.22．（10分）已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設點，直線與曲線交于，兩點，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設出兩人到達小王的時間，根據題意列出不等式組，利用幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為，以12：00點為開始算起，則有，在平面直角坐標系內，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區域，所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為：.故選：C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區域，考查了數學運算能力.2、A【解析】試題分析：漸近線方程是﹣y2=1，整理后就得到雙曲線的漸近線．解：雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1．故選A．點評：本題考查了雙曲線的漸進方程，把雙曲線的標準方程中的“1”轉化成“1”即可求出漸進方程．屬于基礎題．3、A【解析】

由題先畫出基本圖形，結合向量加法和點乘運算化簡可得，結合的范圍即可求解【詳解】如圖，其中，所以.故選：A【點睛】本題考查向量的線性運算在幾何中的應用，數形結合思想，屬于中檔題4、C【解析】

解不等式得出集合A，根據交集的定義寫出A∩B．【詳解】集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，，故選C．【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題，是基礎題．5、B【解析】

先根據復數的除法表示出，然后根據是純虛數求解出對應的的值即可.【詳解】因為，所以，又因為是純虛數，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查復數的除法運算以及根據復數是純虛數求解參數值，難度較易.若復數為純虛數，則有.6、D【解析】

根據題意分別計算出物理等級為，化學等級為的學生人數以及物理等級為，化學等級為的學生人數，結合表格中的數據進行分析，可得出合適的選項.【詳解】根據題意可知，名學生減去名全和一科為另一科為的學生人（其中物理化學的有人，物理化學的有人），表格變為：物理化學對于A選項，物理化學等級都是的學生至多有人，A選項錯誤；對于B選項，當物理和，化學都是時，或化學和，物理都是時，物理、化學都是的人數最少，至少為（人），B選項錯誤；對于C選項，在表格中，除去物理化學都是的學生，剩下的都是一科為且最高等級為的學生，因為都是的學生最少人，所以一科為且最高等級為的學生最多為（人），C選項錯誤；對于D選項，物理化學都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學生最少（人），D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.7、B【解析】

分別比較復數的實部、虛部與0的大小關系，可判斷出在復平面內對應的點所在的象限.【詳解】因為時，所以，，所以復數在復平面內對應的點位于第二象限.故選：B.【點睛】本題考查復數的幾何意義，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.8、D【解析】

通過分析函數與的圖象，得到兩函數必須有相同的零點，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數與的圖象，因為時，恒成立，于是兩函數必須有相同的零點，所以，解得．故選：D【點睛】本題主要考查函數的圖象的綜合應用和函數的零點問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9、C【解析】根據命題的否定，可以寫出：，所以選C.10、D【解析】

設非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎題.11、C【解析】

根據三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構成，由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，下面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，沒被擋住的部分面積為，中間圓柱的側面積為.故表面積為，故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數學文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計算，屬于基礎題.12、D【解析】

化簡集合，根據對數函數的性質，化簡集合，按照集合交集、并集、補集定義，逐項判斷，即可求出結論.【詳解】由，則，故，由知，，因此，，，，故選:D【點睛】本題考查集合運算以及集合間的關系，求解不等式是解題的關鍵，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】

分析：畫出可行域，平移直線，當直線經過時，可得有最大值.詳解：畫出束條件表示的可行性，如圖，由可得，可得，目標函數變形為，平移直線，當直線經過時，可得有最大值，故答案為.點睛：本題主要考查線性規劃中利用可行域求目標函數的最值，屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的定點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值.14、．【解析】

畫出可行域，解出可行域的頂點坐標，代入目標函數求出相應的數值，比較大小得到目標函數最值.【詳解】解：作出可行域，如圖所示，則當直線過點時直線的截距最大，z取最大值．由同理，，取最大值．故答案為：．【點睛】本題考查線性規劃的線性目標函數的最優解問題.線性目標函數的最優解一般在平面區域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標代入目標函數求出相應的數值，從而確定目標函數的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.15、【解析】

由已知求，再利用和角正切公式，求得，【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數基本關系式與和角的正切公式。16、，【解析】

根據是偶函數和的圖象關于點對稱，即可求出滿足條件的和.【詳解】由是偶函數及，可取，則，由的圖象關于點對稱，得，，即，，可取.故，的一組值可以分別是，.故答案為：，.【點睛】本題主要考查了正弦型三角函數的性質，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點為，連接，，，，根據線段關系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點為，連接，，，如下圖所示：因為，，，所以，故為等邊三角形，則.連接，因為，，所以為等邊三角形，則.又，所以平面.因為平面，所以.（2）由（1）知，因為平面平面，平面，所以平面，以為原點，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易求，則，，，，則，，.設平面的法向量，則即令，則，，故.設平面的法向量，則則令，則，，故，所以.由圖可知，二面角為鈍二面角角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定，由線面垂直判定線線垂直，由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小，屬于中檔題.18、（1）分布列見解析；（2）①；②，.【解析】

（1）經過1輪投球，甲的得分的取值為，記一輪投球，甲投中為事件，乙投中為事件，相互獨立，計算概率后可得分布列；（2）由（1）得，由兩輪的得分可計算出，計算時可先計算出經過2輪后甲的得分的分布列（的取值為），然后結合的分布列和的分布可計算，由，代入，得兩個方程，解得，從而得到數列的遞推式，變形后得是等比數列，由等比數列通項公式得，然后用累加法可求得．【詳解】（1）記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，相互獨立，由題意，，甲的得分的取值為，，，，∴的分布列為：－101（2）由（1），，同理，經過2輪投球，甲的得分取值：記，，，則，，，，由此得甲的得分的分布列為：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴數列是等比數列，公比為，首項為，∴．∴．【點睛】本題考查隨機變量的概率分布列，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查由數列的遞推式求通項公式，考查學生的轉化與化歸思想，本題難點在于求概率分布列，特別是經過2輪投球后甲的得分的概率分布列，這里可用列舉法寫出各種可能，然后由獨立事件的概率公式計算出概率．19、（1）（2）【解析】

（1）依題意,任意角的三角函數的定義可知,,進而求出．在利用余弦的和差公式即可求出.（2）根據鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標是,得出,進而得出,利用正弦的和差公式即可求出,結合為銳角,為鈍角,即可得出的值.【詳解】解：因為銳角的終邊與單位圓交于點,點的縱坐標是,所以由任意角的三角函數的定義可知,．從而．（1）于是．（2）因為鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標是,所以,從而．于是．因為為銳角,為鈍角,所以從而．【點睛】本題本題考查正弦函數余弦函數的定義,考查正弦余弦的兩角和差公式,是基礎題.20、（1）；（2）見解析．【解析】

（1）已知點軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，由此可得曲線的方程；（2）設直線方程為，，則，設，由直線方程與拋物線方程聯立消元應用韋達定理得，，由，，用橫坐標表示出，然后計算，并代入，可得結論．【詳解】（1）設動圓圓心，由拋物線定義知：點軌跡是以為焦點，直線為準