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文檔簡介
江蘇省鹽城市阜寧縣2023-2024學年高三下第一次測試數學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答,超出答題區域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數,若,,,則a,b,c的大小關系是()A. B. C. D.2.設為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.3.設集合,,若,則()A. B. C. D.4.復數的虛部是()A. B. C. D.5.當時,函數的圖象大致是()A. B.C. D.6.已知空間兩不同直線、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于7.已知集合則()A. B. C. D.8.要排出高三某班一天中,語文、數學、英語各節,自習課節的功課表,其中上午節,下午節,若要求節語文課必須相鄰且節數學課也必須相鄰(注意:上午第五節和下午第一節不算相鄰),則不同的排法種數是()A. B. C. D.9.已知數列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.3310.已知數列滿足,且成等比數列.若的前n項和為,則的最小值為()A. B. C. D.11.若函數的圖象經過點,則函數圖象的一條對稱軸的方程可以為()A. B. C. D.12.已知數列,,,…,是首項為8,公比為得等比數列,則等于()A.64 B.32 C.2 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設函數,若存在實數m,使得關于x的方程有4個不相等的實根,且這4個根的平方和存在最小值,則實數a的取值范圍是______.14.若復數滿足,其中為虛數單位,則的共軛復數在復平面內對應點的坐標為_____.15.已知平面向量,,滿足||=1,||=2,,的夾角等于,且()?()=0,則||的取值范圍是_____.16.若,則的展開式中含的項的系數為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,平面ABCD為等腰梯形,AB//CD,AB=2BC,點Q為AE的中點.(1)求證:AC//平面DQF;(2)若∠ABC=60°,AC⊥FB,求BC與平面DQF所成角的正弦值.18.(12分)已知函數.(1)討論的單調性;(2)若在定義域內是增函數,且存在不相等的正實數,使得,證明:.19.(12分)據《人民網》報道,美國國家航空航天局(NASA)發文稱,相比20年前世界變得更綠色了,衛星資料顯示中國和印度的行動主導了地球變綠.據統計,中國新增綠化面積的來自于植樹造林,下表是中國十個地區在去年植樹造林的相關數據.(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復、人工更新的面積之和)單位:公頃地區造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復人工更新內蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053(1)請根據上述數據分別寫出在這十個地區中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區;(2)在這十個地區中,任選一個地區,求該地區新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率;(3)在這十個地區中,從退化林修復面積超過一萬公頃的地區中,任選兩個地區,記X為這兩個地區中退化林修復面積超過六萬公頃的地區的個數,求X的分布列及數學期望.20.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大小;(2)求點到平面的距離.21.(12分)已知函數,(其中,).(1)求函數的最小值.(2)若,求證:.22.(10分)已知函數,函數在點處的切線斜率為0.(1)試用含有的式子表示,并討論的單調性;(2)對于函數圖象上的不同兩點,,如果在函數圖象上存在點,使得在點處的切線,則稱存在“跟隨切線”.特別地,當時,又稱存在“中值跟隨切線”.試問:函數上是否存在兩點使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出的坐標,若不存在,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據題意,求出函數的導數,由函數的導數與函數單調性的關系分析可得在上為增函數,又由,分析可得答案.【詳解】解:根據題意,函數,其導數函數,則有在上恒成立,則在上為增函數;又由,則;故選:.【點睛】本題考查函數的導數與函數單調性的關系,涉及函數單調性的性質,屬于基礎題.2、D【解析】
用誘導公式和二倍角公式計算.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式,解題關鍵是找出已知角和未知角之間的聯系.3、A【解析】
根據交集的結果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.【點睛】本題考查集合的交,注意根據交集的結果確定集合中含有的元素,本題屬于基礎題.4、C【解析】因為,所以的虛部是,故選C.5、B【解析】由,解得,即或,函數有兩個零點,,不正確,設,則,由,解得或,由,解得:,即是函數的一個極大值點,不成立,排除,故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數的解析式、定義域、值域、單調性,導數的應用以及數學化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢,利用排除法,將不合題意選項一一排除.6、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線也成立,故不正確;答案C中的直線可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線也有可能垂直于直線,故不正確.應選答案C.7、B【解析】
解對數不等式可得集合A,由交集運算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運算可得,故選:B.【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算,對數不等式解法,屬于基礎題.8、C【解析】
根據題意,分兩種情況進行討論:①語文和數學都安排在上午;②語文和數學一個安排在上午,一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數目,由分類加法計數原理可得答案.【詳解】根據題意,分兩種情況進行討論:①語文和數學都安排在上午,要求節語文課必須相鄰且節數學課也必須相鄰,將節語文課和節數學課分別捆綁,然后在剩余節課中選節到上午,由于節英語課不加以區分,此時,排法種數為種;②語文和數學都一個安排在上午,一個安排在下午.語文和數學一個安排在上午,一個安排在下午,但節語文課不加以區分,節數學課不加以區分,節英語課也不加以區分,此時,排法種數為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題考查排列、組合的應用,涉及分類計數原理的應用,屬于中等題.9、C【解析】
依次遞推求出得解.【詳解】n=1時,,n=2時,,n=3時,,n=4時,,n=5時,.故選:C【點睛】本題主要考查遞推公式的應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10、D【解析】
利用等比中項性質可得等差數列的首項,進而求得,再利用二次函數的性質,可得當或時,取到最小值.【詳解】根據題意,可知為等差數列,公差,由成等比數列,可得,∴,解得.∴.根據單調性,可知當或時,取到最小值,最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等差數列通項公式、等比中項性質、等差數列前項和的最值,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意當或時同時取到最值.11、B【解析】
由點求得的值,化簡解析式,根據三角函數對稱軸的求法,求得的對稱軸,由此確定正確選項.【詳解】由題可知.所以令,得令,得故選:B【點睛】本小題主要考查根據三角函數圖象上點的坐標求參數,考查三角恒等變換,考查三角函數對稱軸的求法,屬于中檔題.12、A【解析】
根據題意依次計算得到答案.【詳解】根據題意知:,,故,,.故選:.【點睛】本題考查了數列值的計算,意在考查學生的計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先確定關于x的方程當a為何值時有4個不相等的實根,再將這四個根的平方和表示出來,利用函數思想來判斷當a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意,當時,,此時,此時函數在單調遞減,在單調遞增,方程最多2個不相等的實根,舍;當時,函數圖象如下所示:從左到右方程,有4個不相等的實根,依次為,,,,即,由圖可知,故,且,,從而,令,顯然,,要使該式在時有最小值,則對稱軸,解得.綜上所述,實數a的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數和方程的知識,但需要一定的邏輯思維能力,屬于較難題.14、【解析】
把已知等式變形,再由復數代數形式的乘除運算化簡,求出得答案.【詳解】,,則,的共軛復數在復平面內對應點的坐標為,故答案為【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算,考查復數的代數表示法及其幾何意義準確計算是關鍵,是基礎題.15、【解析】
計算得到||,||cosα﹣1,解得cosα,根據三角函數的有界性計算范圍得到答案.【詳解】由()?()=0可得()?||?||cosα﹣1×2cos||?||cosα﹣1,α為與的夾角.再由2?1+4+2×1×2cos7可得||,∴||cosα﹣1,解得cosα.∵0≤α≤π,∴﹣1≤cosα≤1,∴1,即||+1≤0,解得||,故答案為.【點睛】本題考查了向量模的范圍,意在考查學生的計算能力,利用三角函數的有界性是解題的關鍵.16、【解析】
首先根據定積分的應用求出的值,進一步利用二項式的展開式的應用求出結果.【詳解】,根據二項式展開式通項:,令,解得,所以含的項的系數.故答案為:【點睛】本題考查定積分,二項式的展開式的應用,主要考查學生的運算求解能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】
(1)連接交于點,連接,通過證明,證得平面.(2)建立空間直角坐標系,利用直線的方向向量和平面的法向量,計算出線面角的正弦值.【詳解】(1)證明:連接交于點,連接,因為四邊形為正方形,所以點為的中點,又因為為的中點,所以;平面平面,平面.(2)解:,設,則,在中,,由余弦定理得:,.又,平面..平面.如圖建立的空間直角坐標系.在等腰梯形中,可得.則.那么設平面的法向量為,則有,即,取,得.設與平面所成的角為,則.所以與平面所成角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)當時,在上遞增,在上遞減;當時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;當時,在上遞增;當時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;(2)證明見解析【解析】
(1)對求導,分,,進行討論,可得的單調性;(2)在定義域內是是增函數,由(1)可知,,設,可得,則,設,對求導,利用其單調性可證明.【詳解】解:的定義域為,因為,所以,當時,令,得,令,得;當時,則,令,得,或,令,得;當時,,當時,則,令,得;綜上所述,當時,在上遞增,在上遞減;當時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;當時,在上遞增;當時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;(2)在定義域內是是增函數,由(1)可知,此時,設,又因為,則,設,則對于任意成立,所以在上是增函數,所以對于,有,即,有,因為,所以,即,又在遞增,所以,即.【點睛】本題主要考查利用導數研究含參函數的單調性及導數在極值點偏移中的應用,考查學生分類討論與轉化的思想,綜合性大,屬于難題.19、(1)人工造林面積與總面積比最大的地區為甘肅省,人工造林面積與總面積比最小的地區為青海省;(2);(3)分布列見詳解,數學期望為【解析】
(1)通過數據的觀察以及計算人工造林面積與造林總面積比值,可得結果.(2)通過數據的觀察以及計算新封山育林面積與造林總面積比值,得出比值超過的地區個數,然后可得結果.(3)計算退化林修復面積超過一萬公頃的地區中選兩個地區總數,退化林修復面積超過六萬公頃的地區的個數為,列出所有取值并計算相應概率,然后可得結果.【詳解】(1)人工造林面積與總面積比最大的地區為甘肅省,人工造林面積與總面積比最小的地區為青海省.(2)記事件A:在這十個地區中,任選一個地區,該地區新封山育林面積占總面積的比值超過根據數據可知:青海地區人工造林面積占總面積比超過,則(3)退化林修復面積超過一萬公頃有6個地區:內蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆,其中退化林修復面積超過六萬公頃有3個地區:內蒙、河北、重慶,所以X的取值為0,1,2所以,,隨機變量X的分布列如下:【點睛】本題考查數據的處理以及離散型隨機變量的分布列與數學期望,審清題意,細心計算,屬基礎題.20、(1);(2).【解析】
(1)建立空間坐標系,通過求向量與向量的夾角,轉化為異面直線與直線所成的角的大小;(2)先求出面的一個法向量,再用點到面的距離公式算出即可.【詳解】以為原點,所在直線分別為軸建系,設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為,異面直線與直線所成的角的大小為.(2)因為,,設是面的一個法向量,所以有即,令,,故,又,所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離,意在考查學生的數學建模以及數學運算能力.21、(1).(2)答案見
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