考點(diǎn)一、數(shù)列的概念及表示方法

【名師點(diǎn)睛】

1.定義：按照一定順序排列著的一列數(shù).

2.表示方法：列表法、解析法(通項(xiàng)公式法和遞推公式法)、圖象法.

3.分類：按項(xiàng)數(shù)有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系可分為單調(diào)數(shù)列、

擺動(dòng)數(shù)列和常數(shù)列.

5（〃=D

4.?！芭cS”的關(guān)系：a=<

n￡一Si（〃22）

5.求數(shù)列的通項(xiàng)公式的主要方法有(1)山數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出一個(gè)通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是善于觀察.

(2)利用七與S,的關(guān)系，不要忘記驗(yàn)證④能否與n22時(shí)a”的式子統(tǒng)一;(3)由遞推公式求通項(xiàng)公式,

?；瘹w為等差等比數(shù)列,或用利用迭加a?-anl=f(n)>迭乘a?/a?尸f(n)、迭代等方法.

6.處理方法：.用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題

【試題演練】

1.數(shù)列1,—!」,—…的一個(gè)通項(xiàng)公式是。

234--------

【解析】這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值靛定序列號(hào)的倒數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以，它的一個(gè)

通項(xiàng)公式為4

n

2.已知數(shù)列｛〃“｝滿足q==」一+1(〃>2),則％=.

an-\

Q

【解析】-考察數(shù)列的表示方法，了解數(shù)列的遞推式也是?種表示方法，并能由遞推式能寫出數(shù)列的前幾

項(xiàng).

3.已知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S"，且S”=3/+〃，則數(shù)列的通項(xiàng)公式q=.

【解析】an=6w-2.提示:當(dāng)n>2Ht,an=Sn-SnA=*-2,當(dāng)”=1時(shí)，％=W=4也適合,所以

4.已知%=-1+25〃(〃eM),則數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)是

【答案】第12項(xiàng)或13項(xiàng)

【解析】凡是關(guān)于〃的二次函數(shù).

考點(diǎn)二、等差數(shù)列的概念及性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】

(1)定義：從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù)的數(shù)列叫等差數(shù)列.

(2)遞推公式：4+]-%=",an+l-an*q,q#0,neN,.

(3)通項(xiàng)公式：q,=q+(〃-l)d,a”=%q"T,〃eN*.

(4)性質(zhì)①單調(diào)性：dNO時(shí)為遞增數(shù)列，dWO時(shí)為遞減數(shù)列，d=0時(shí)為常數(shù)列.②若

m+n=p+q,則%+4+4(m，n,p,qeN").特別地，當(dāng)根+〃=2/?時(shí)，有4“+?！?2%,③

a?-am~(n-m)d(m,N*).④SQ^ikS3*—凡*，…成等差數(shù)列.

等差數(shù)列是個(gè)特殊的數(shù)列，對(duì)等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式的考察始終沒有放松。

一方面考查知識(shí)的掌握，另一方面考察靈活運(yùn)用數(shù)列的有關(guān)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，對(duì)這部分的

考察堅(jiān)持小題考性質(zhì)，大題考能力的思想，大題的難度以中檔題為主，估計(jì)這種考查方式在今后不會(huì)有大

的變化.已知五個(gè)元素0，an,n,d,S〃中的任意三個(gè)，便可求出其余兩個(gè).證明數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列的兩

種基本方法是：(1)利用定義，證明如一(〃》2)為常數(shù)；(2)利用等差中項(xiàng)，即證明ZaL為r+ae

(〃22)

【試題演練】

1已知｛%｝是等差數(shù)列，q+%=4,%+Q=28,則該數(shù)列前10項(xiàng)和Si。等于()

A.64B.100C.110D.120

【答案】B

2q+d=410x9

【解析】設(shè)數(shù)列的公差為d,則＜得％=l,d=2.故Si。=10a4-----d—100

|2q+l3d=2811012

2.等差數(shù)列｛%｝的前10項(xiàng)的和品)=100,前100項(xiàng)的和Si。。=1°，求前U0項(xiàng)的和Sg

解法一：設(shè)的首項(xiàng)為a”公差d,則

1叫+=xl0x9d=100Id=

2解得、口二§-I。+1110x109d=一11。

10991c

00<5+-xl00x99i/=10名-

1l2110。

解法二：｛%｝為等差數(shù)列,故可設(shè)S,

,10'ld+105=100.

則；解得Q10a-￡>=—1

1000-11+1005=10

:

/.SlK,=110J+1105=110(110JS)=-110

解法三一?九「%=^^巴

au+Zs

.乳=11'。（旬+磯,）=Su+aQxHO=_no

【點(diǎn)評(píng)】解法一轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本量，再求其它問題是重要的方法，也是解決這類問題的通法通解；解法二利

用了前n項(xiàng)和公式的函數(shù)式特征.解法三較為靈活，運(yùn)用了整體代換的思想方法。

3.設(shè)等差數(shù)列｛。“｝的首項(xiàng).及公差d都是整數(shù)，前”項(xiàng)和為S“，（1）若?！?0,\4=98,求數(shù)列的通項(xiàng)

公式；（H）若外26,%>0,S\&W77,求所有可能的數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

解：（1）由5國(guó)=96得2出+133=1」,入粒=，，+10d=、改解得d=-2巧=20.因此沁一的通項(xiàng)公

式是a=22—2n.V!=1.2.3.--?.

,,Sl4<772已外+13EV11：①

（2）由J?>0,得Jq+10d>“即）一2角一②

[^>6.[^>6._③

由①+@得—7d<11.8Pd>——.由①乜一；ledM_1.即5M—-.于是一-<d——.又dcZ，故

?13713

1=-1.代入①②得10〈角=12.又角eZ,故角=11或角=,上所以，所有可能的數(shù)列2』的通項(xiàng)公式是

應(yīng)=12—心和a理=13-w.?=12.3--?.

4S,,為數(shù)列2的前〃項(xiàng)和，且滿足a=1,—■方=1（〃22）.證明數(shù)列｛-L｝成等差數(shù)列，并求數(shù)

4-b“s“T'7s.

列｛“｝的通項(xiàng)公式.

解：由已知』.=l"j22'l，又S0=旬+以+…+8，所以"下,=]

as「s;'?^S-Sx電5

.????

即‘*7"/=1，所以2-工=1-又或=5=1，所:數(shù)列<3>是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)

-S￡“S.S”[1-*2

列，由上可知」=出即5；==、,一所以當(dāng)*22時(shí)，d.=S；-S?.l=-^—

[1n=1

因此，=?一2n>、

?njn+1|一~

【點(diǎn)評(píng)】本題考察等差數(shù)列的證明，證明笠差數(shù)列的又本方法導(dǎo)IJ用定義，證明品-/_1=常數(shù)（“22）；

或利用等差中項(xiàng)，即證明2即=/4+a<（*>2,|

5.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為&,已知%=12,幾>0,幾<0。（I）求公差d的取值范圍；

（H）指出S-S2，…，Su，中哪一個(gè)值最大，并說明理由

1羽+冶以>0,

~,12c,+66d>0

PxP

解：（I）根據(jù)題意，有‘建州+二；-dvO,整理得」13角+Y，<0解得一?〈"<一3.

4+2d=12,L+2d「：2

（U）解法一：因?yàn)閐<0>二>az><s3>'??>q：>：仃>….無5&=："｛、也=13a-<0，[a-<0.

又、：=三三也=6?+%、|=6缶.\：>U.所以數(shù)列的前6項(xiàng)和頭最大.

J/?J??'l

解法二：可=12-2￡二5]=與，「+；124d制.考察函數(shù)j=大片+；12-gd；x，

==二—上，：.x=二一二時(shí)，，?的取值有裳大值.又?,一<-3,

'2a2dId7

<Pn

所以6〈二-tV上.所以當(dāng)”=6時(shí)S.最大，即數(shù)列的前6項(xiàng)和最大.

2d2

【點(diǎn)評(píng)】本題給出的兩種解法，揭示了數(shù)列、函數(shù)、不等式知識(shí)之間的聯(lián)系.

考點(diǎn)三、等比數(shù)列的概念及性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】

(1)定義：從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為0)的數(shù)列叫做等比數(shù)列.

(2)遞推公式：an+l-an=d,an+i=a?*q,q手0,neN*.

(3)通項(xiàng)公式：an=at+(n-an=axq"~',neN*.

a,<0>[a>0[a,<0,[a>0

(4)性質(zhì)①單調(diào)性：當(dāng)《?或《?時(shí)，為遞增數(shù)列；當(dāng)《?，或《?時(shí)為遞減數(shù)

0<^<1[q>1[q>b[0<q<l

列；當(dāng)q<0時(shí)為擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)g=1時(shí)為常數(shù)歹U.②若/?+〃=p+q,則=4//(/?,n,p,geN")

特別地若優(yōu)+〃=2P則%③2=廣'"(加，〃eN*,q70).④耳，S2k-Sk,S3k-S2k,…，當(dāng)

a,?

qw-l時(shí)為等比數(shù)列；當(dāng)夕=-1時(shí)，若左為偶數(shù)，不是等比數(shù)列.若人為奇數(shù)是公比為-1的等比數(shù)列.

等比數(shù)列的定義、判斷、通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式的探求，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用是歷年的必考內(nèi)容，

考察的形式類似于等差數(shù)列，考察題型既有基本題，也有與等差數(shù)列、函數(shù)、方程、解析幾何等知識(shí)有關(guān)

的綜合題。估計(jì)在2010年高考中，仍是重點(diǎn).五個(gè)元素0,a“,〃，q,工中知三，可求另兩個(gè).次數(shù)較高時(shí)

可除或換元；證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列的兩種基本方法是：(1)利用定義，證明&(〃22)為常數(shù)；(2)

an-\

利用等比中項(xiàng)，即證明?。田(〃22).運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，需對(duì)片1和4^1進(jìn)行討論.

【試題演練】

1在等比數(shù)列｛%｝中，。]=1,40=3,則546a7。8。9=()

(A)81(B)27^27(C)百(D)243

【答案】A

【解析】在等比數(shù)列中，?門+產(chǎn)=2+9=3/'；+了=5+6：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得

。1角,，==a；a-*aa^a-—S1<>

2.等比數(shù)列｛%｝中，S,是其前〃項(xiàng)和，若幾=10,S20=30,求邑。.

10

解法一：設(shè)公比為qs,/Sr,=10:=30#20.g=1.于是'’

!印」一「：

=30

::

兩式作商］+/=3二./=2./.=生jlLJ=-11+產(chǎn)'+51|

1-5--5

u::，

=S1：1il+?'+q'\="0/.SQ=~0.

解法二：,/Sl:>S：：,—Sg：5'艾,—S*感等比數(shù)列，二！S：：,—=5"」（S：?—S：J,又因?yàn)?"=10.S~:,=30,

二53。.

【點(diǎn)評(píng)】解法一將問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的基本量，利用方程思想思想求解，是通法通解，要注意過程中蘊(yùn)含

的運(yùn)算技巧，解法二運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程.

3.已知正項(xiàng)數(shù)列｛2｝,其前〃項(xiàng)和S“滿足10S“=a；+5%+6且外,%，九成等比數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的

通項(xiàng)％

解：,.T05；=綣+5%+6,①代*="得10昂-a[+5a-J,故為=2或?yàn)?3

又1'電_1=44+5磯+6[*22項(xiàng)P-②得1。0=1：尸；?a；_J+61A

即|&+冬_』|以一/-1-1]=0,「G"+q”=0,..an-an,t=5（n>2]

當(dāng)q=3時(shí),a-t=13,als=73為,~，幻5不成煞：_.，三列二色=3;

當(dāng)角=2時(shí)，a-i=12,角5=72,有&；=,..（,.,.4=3an=5?—3

【點(diǎn)評(píng)】本題在解題過程中，以S”與a的關(guān)系為計(jì)題的切入短，將S，與與的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為與與a””的

遞推關(guān)系，然后再來求解.很多問題通近判斷或構(gòu)造轉(zhuǎn)化為特冰敷列（等比或等差數(shù)列）而得以求解.

4.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為Sn.已知q=。，a?+1=S,+3",N*.（I）設(shè)勿=S"一3",求數(shù)列｛〃｝

的通項(xiàng)公式；（】1）若凡+124，〃eN”,求。的取值范圍.

解：(I)依題意，SM—S.M/TMS.+3"，BP5^=25；+3%由此得$2一32M/S.—B*1).

因此，所求通項(xiàng)公式為4=S*-3'=(a-3)T",j?c、.①

(II)由①知51=3”+(a-3)2"“，weN,,于是，當(dāng)打才2時(shí),

G-i=3n+(a-y)x2n-l-3n-l-(a-3)x2n-：="3"”+(a-3)2n':,

「:F"1

與』—%=4x32+9—3)2==2?廣..一+?3L

L?J

當(dāng)打》2時(shí)，a“i2與O12?；二；+。-3>00。注一9.

?、—2Ji

又牝=可+3>角.綜上，所求的。的取值范圍是：-9,+x、l.

5.設(shè)二次方程%j—07+K+]=O(〃￡N+)有兩個(gè)實(shí)根a和/?,且滿足6a—2a/?+64=3.

⑴試用表示a〃+i；

2

(2)求證:｛4〃一；｝是等比數(shù)列；

,+尸=4

解:(1)由根與系數(shù)的關(guān)系得Jf,代入6a-2a尸-6尸=3,化簡(jiǎn)得處_產(chǎn)?數(shù)-"

3」-3

../

1121，一一工1._

⑵證明:因?yàn)?-i=—力-二：所以5n-i----?嘴一三):于是—彳=-(可以證明&*三〕：故&-三)

是公比為”的等比數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)：一些數(shù)列通過適當(dāng)?shù)淖冃?可以得到一個(gè)等比數(shù)列(或等差數(shù)列)，形如a"后qa“+p的數(shù)列就可以轉(zhuǎn)化為

一個(gè)等比數(shù)列.對(duì)于給出通項(xiàng)公式的數(shù)列，要證明｛2｝是等比數(shù)列，只需證明其迎或上匚是一個(gè)與〃無關(guān)

4凡_1

的常數(shù)即可：對(duì)于以前后兩項(xiàng)遞推的形式給出的數(shù)列，若能變形成馬包或&是一個(gè)與〃無關(guān)的常數(shù)，也

an

能證明數(shù)列｛%｝是一等比數(shù)列.

考點(diǎn)四、求數(shù)列的通項(xiàng)

【名師點(diǎn)睛】

在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。數(shù)列通項(xiàng)公式

的求解常用方法：1、定義法，直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)

于已知數(shù)列類型的題目.2、公式法，若已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“與%的關(guān)系，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)?！翱捎?/p>

公式/c求解。3、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法，對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通

電-%.....n>2

常可以通過遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)

列。4、待定系數(shù)法(構(gòu)造法)，求數(shù)列通項(xiàng)公式方法靈活多樣，特別是對(duì)于給定的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，

觀察、分析、推理能力要求較高。通常可對(duì)遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列(等差或等比數(shù)列)來求解，這

種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，而運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)

化方法。

【試題演練】

1.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“滿足S“=2%+(-l)w,?>l.求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式。

解：由旬=5]=2。一1=勺=1當(dāng)"之2時(shí)，有&=5；-=20-aQ+ZxJl)二

須=2cM+2x(-l)”Man-\.=-ar.'--x(_1z*........,a：=2ai-2.

w=乎％+必(_升產(chǎn)、(-0：-+2xr-v-

=LY)N+(一曠:+…+(_說

X小二口-(-2)*

=--(-1)------------

=/產(chǎn)：+(-D皆.

經(jīng)喊證丐=1也滿足上式，所以&=12=+(

點(diǎn)評(píng)：利用公式<、求解時(shí)，要注意對(duì)21分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并.

………心

2.已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足q=',4〃+]=?！?—^—,求

2n+〃

1I“1

解：由條件知:戊.-苒=-....=-------=-

■f+打打（打+1））1丫+1

分別令w=L23……&L1），代入上式得⑴一1）個(gè)等式字?之,

艮口（0：一角）+（生一生）+（%一%）+....：%1）=十（:-3+（：_:）+............X——--）

--334%-1注

1111al

所以a4一,[=1——二'角二一,/.=十1——二二——

X/"JH'H

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題,

有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。遞推公式為=%+/（〃），轉(zhuǎn)化為為用-。“=/（〃），利

用累加法（逐差相加法）求解。遞推公式為。用=/（〃）%,轉(zhuǎn)化為3包=/（〃），利用累乘法（逐商相乘法）

a?

求解。遞推式：=”“+/（〃）只需構(gòu)造數(shù)列也,｝,消去/（〃）帶來的差異.遞推公式為a,,+|=pa,+q

（其中p，q均為常數(shù)，（pq（p-l）H0））,轉(zhuǎn)化為：an+i-t=p（an-t）,其中/=—幺一，再利用換元法

"P

S]..........（n=1）

轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。遞推公式為S〃與4的關(guān)系式。（或S”=/（%））,利用c）;進(jìn)行

電-S,T（〃？2）

求解。

3.已知數(shù)列｛%｝前n項(xiàng)和S“=4—a”—白.（1）求*M與a”的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式可.

解：⑴由=4-瑪?shù)茫?/=4一&-I一士于是5；L-5'”=a+-2）所以

11」

an-l=/~an-l=~a?+~-

（2）兩迦司乘以得：ZMCMUZJ.+Z由-3]=4—a「-與nq=l.于是數(shù)列是以2

為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以￥/=2+25-1、=2，？=%=與

4.已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=1,且a“+|=3an+2,求a”.

解：設(shè)a.+i+/=3（。,,+/）,則a“+[=3a〃+2/=>/=1,a“+|+1=3（a“+1）=>｛a“+1｝是以⑷+1）為首項(xiàng)，

以3為公比的等比數(shù)列n%+1=（卬+1）?3"T=2?3"T=?！?2?3"T-1

點(diǎn)評(píng)：求遞推式形如a.=0凡+q（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項(xiàng)，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列

an+l+—L=p（a,+—”）來求得，也可用“歸納一猜想一證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一

p-\1—/?

種題型.

5.數(shù)列｛?！埃校琿=1,%=2,3a“+2=2a〃+]+。"，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

71

解：由3%.：=2aM+即得%-:一］G-i+?/，設(shè)對(duì)二一卜/“=挺--Z&）

111

比較系數(shù)得上+方=二，一Hi=±，"3k=1〃=一±或；c=—±$=1

3333'

若取上=15=一=，則有時(shí)-0,|=-＜（念-

?.?｛%-「與》是以一（為公比，以%-口=2-1=1為苜項(xiàng)的等比數(shù)列???a-「%=（—J"”

由逐差法可得與=（an-名公+巴］一成-:，+…+（牝-勺）+/

1+-"LJ」FrJ

3

點(diǎn)評(píng)：氏+2=〃*+I+44型的遞推式，通過對(duì)系數(shù)P的分解，可得等比數(shù)列｛。"一4_1｝，設(shè)

an+2-kan+i-h（an+i-kan）,比較系數(shù)得h+k=p,-hk=q,可解得/?,女。

6.設(shè)｛為｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（〃+1）4〃+/—〃a/+%+/%=0（〃￡N+卜求它的通項(xiàng)公式.

解：數(shù)列〔力）是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列:2rc.

...g+l）a二-里+i=c令”&叢=七「.(荏一1)5-1一/C.分解因式得［(汽—泊(r-l)=C..'.r=―--.i=

an?+1

—1（舍去］即

也■=—1.到此可采用：

法一：（累積法］”X"X區(qū)X曰,、…X&：rx-X4X--X^l..,.a,=-.

可生的田j-315nn

.*抬-1、，門一2w-1w-2n-3

法二：（迭代法）???當(dāng)-尸」7編..冬=----%-1=----X----%_：=-----——-'——--Oi-=--

外+1nan-inw-1外一工5

w-1n-2n-31

=---,-----,.....-4lx'?％：=-

nw-1w~22

法三，特殊數(shù)列法）.??.=’、S+1)、=L.?.數(shù)列(5-1)數(shù).J是一個(gè)以G為首項(xiàng)」為公比的等

&KH1外他

1

比數(shù)列，即常數(shù)數(shù)列...陽產(chǎn)夕...當(dāng)=_

法四:（歸納猜想）由遞推關(guān)系求函數(shù)的前幾項(xiàng)，然后根據(jù)前兒項(xiàng)猜出其通項(xiàng)公式，后用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）.此

方法以后解決.

總結(jié):數(shù)列｛。“｝的兩個(gè)重要變形，在適當(dāng)?shù)臈l件下應(yīng)用起來非常方便.(1以,=。1+(。2—。2)+…

(2)a?—ai,—,—.......

a\ai%

這些方法在等差數(shù)列和等比數(shù)列的推導(dǎo)過程中都有應(yīng)用，方法還是來源于課本呀！

考點(diǎn)五、求數(shù)列的和

數(shù)列的求和也是高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容，考察學(xué)生能否把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和，體現(xiàn)了化歸的思想

方法，其中錯(cuò)位相減和裂項(xiàng)相消是高考命題的熱點(diǎn)。估計(jì)在以后的高考中不會(huì)有太大的改變。數(shù)列求和的

常用方法，尤其是利用裂項(xiàng)法和錯(cuò)位相減法求一些特殊數(shù)列的和，數(shù)列求和的基本方法：

1.基本公式法：⑴等差數(shù)列求和公式：S"=口=+二［d(2)等比數(shù)列求和公式：

"q,q=1

…J，1(3)《+C；+C；+…+C；=2"?

\-q\-q，

2.錯(cuò)位相消法：一般適應(yīng)于數(shù)列｛%〃,｝的前〃向求和，其中｛%｝成等差數(shù)列，｛〃｝成等比數(shù)列。

3.分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列，然后利用公式法求和。

4.拆項(xiàng)(裂項(xiàng))求和：把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程中消去中間項(xiàng)，只剩下有限項(xiàng)

再求和.常見的拆項(xiàng)公式有：(1)若｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，則」一=±-———；

a“a“+ian+iJ

(2)-----i--------=-f----------\(3)-^^~=一〃)；(4)C：i=C"C：；

(2/7-1)(2M+1)2<2/7-12H+1J-Jn+k+VHk''

(5)=+

5.倒序相加法：根據(jù)有些數(shù)列的特點(diǎn)，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達(dá)到求和的目的。

【試題演練】

111

-----++-??+

1.1x22x3?(?+1)_

解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為6"，則”=-------=--------

+n〃+1

???S“="+b2+.......+a=(1-5+(；-；)+.......

n

1=1I=------

"+1"+1

【點(diǎn)評(píng)】本題用的是裂項(xiàng)相消，這是高考中經(jīng)常考察的方法，即把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，

相加過程中消去中間項(xiàng)，只剩下有限項(xiàng)再求和.一般地，如果數(shù)列｛q｝是公差為△的等差數(shù)囪J,求數(shù)列

\-------卜的前〃項(xiàng)和，可根據(jù)一=竺(-i——匚)進(jìn)行求和.

danall+i

2.求數(shù)列1+1」+4,二+7,4+10,……，工+(3〃-2),……的前〃項(xiàng)和

aaaan

5；=(1H---4-----+.......+----r[14-4?+...........—2)]

解：^aa，。

:

>|>1R+<.J(l+3?-2)?3w

當(dāng)"1時(shí)，\=?+----：-----=二一

i_-L

當(dāng)加時(shí).一+"；一"...=+受?

i-i_-~a_

a

【點(diǎn)評(píng)】本題用的是分組轉(zhuǎn)化求和法，一般地，如條數(shù)列匕/定好繆列、曾蝴域已知期□的數(shù)列蹄的

物磔土?xí)r，可用*解注意在應(yīng)用等比次列的求工公式時(shí)，^對(duì)公比分類討論.

3.求和%=C：+4C：+7C；+10C；+…+(3〃+1)。,；

解：%=C+4C：+7C；+…+(3n-2)C：-'+(3〃+1)C：①，

=(3〃+1)C：+(3?-2)C：-'+(3〃-5)C；2+…+4C：+C：

%=(3〃+1)C：+(3〃-2)C；+(3〃-5)C；-2+…+4C：+C；②，

①+②得2%=(3〃+2)(C；+C：+C；+…+C：)=(3〃+2)x2",.?.%=(3〃+2)x2"[

【點(diǎn)評(píng)】本題用的是倒序相加法，倒序相加法是課本推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的方法，學(xué)習(xí)過程中應(yīng)予以重視.

選擇數(shù)列求和的方法，關(guān)鍵是準(zhǔn)確抓住數(shù)列通項(xiàng)公式呈現(xiàn)的規(guī)律，然后選定種求和方法，并作出相應(yīng)的

變換.題目中?.?凡=3〃+1,又C：=?.而運(yùn)用倒序相加法方法是比較好的想法。

4.“數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，a,=1,%+1=2S“(〃eN*).(I)求數(shù)列出,｝的通項(xiàng)％；(II)求數(shù)

列｛〃q｝的前〃項(xiàng)和Tn.

解：(1)-：%-1=18"..?工“=2邑二2=3?二工=4=1數(shù)列｛S/是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)

與，

11??—1

列：S,=3"T5JV*)當(dāng)心2時(shí)，a」/Sx=、廣：(*二):瑪=「二二

(2)*/7^=q+2生+3與++/.芻n=llij,7J=1；

當(dāng)打22時(shí)，.=l+4-3：'+6-3i+-3-，什：川+4-31+6了++如3受

.-.-27；=-2+4+2(31+3：++3=)-"3"=-1+(1-3)3鵬

二7；==+6-g3M(?>2),又當(dāng)>?=1時(shí)，上式也成立.:7；=《+5一=)3""5E、'*)

【點(diǎn)評(píng)】本題的求和主要考察了錯(cuò)位相遇的方法，這種方法的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，這是高考命題

的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)中務(wù)必引起充分的重視.

考點(diǎn)六、數(shù)列綜合應(yīng)用

【名師點(diǎn)睛】

1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖等問題，求利率、增長(zhǎng)率等問題也

常歸結(jié)為數(shù)列建模問題.

2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時(shí)應(yīng)注意：(1)分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；(2)分清是求斯還是求

S”特別要準(zhǔn)確地確定項(xiàng)數(shù)〃.

3.數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系和滲透.

數(shù)列的綜合問題一類是等差、等比數(shù)列的綜合問題，另一類是與其他章節(jié)以及內(nèi)容結(jié)合的綜合問題，

因?yàn)閿?shù)列、不等式、解析幾何是新課標(biāo)高考的重點(diǎn)內(nèi)容，將其密切結(jié)合在一起命制綜合題是歷年高考的熱

點(diǎn)和重點(diǎn)。數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明以及以函數(shù)為背景進(jìn)行數(shù)列的構(gòu)造命題，體現(xiàn)

了在知識(shí)的交匯點(diǎn)上命題的特點(diǎn)，一直是高考命題者的首選。

【試題演練】

1.已知等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為q=；,公比q滿足q〉0且q/1。又已知生,5%，9%成等差數(shù)列。(I)

求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)(2)令〃=log3/，求證：對(duì)于任意〃eN",都有‘<」_+」_+...+」一^H

2她b2b3b,,bll+l

(1)解：2?5%=4]+94，10。聞2=q+9q//.974—lOq24-1=0

q>。且q=1q=<=qg"=3一"

—1111

(2)證明：■「8=loa；4=log；3"="，—--=-------=—-----

,?城E"5+1)*/1

.111,1111i,II,III

j，i322?nyf+lx+l2$也

點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是黑學(xué)中的事士思想，本N中的第(2)間，采用裂項(xiàng)相消法法,

求出數(shù)列之和，由n的范圍證出不等式.

2.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“=2q,-2(〃=l,2,3「)數(shù)列也｝中，&=I,點(diǎn)尸屹“也公在

直線x-歹+2=0上.⑴求數(shù)列｛4｝,也,｝的通項(xiàng)凡，b?；(2)若7；為數(shù)列也，｝的前〃項(xiàng)和，

證明：當(dāng)〃22時(shí)，2Sn>Tn+3n.

(I)解:由已知S“=2a2,S?_,=2al-2(">2),又S?-5?_,=??(?>2)所以，氏=2a2a?_t，

所以，巴;_=2(/z2),即數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.因?yàn)?=S|,r.4=2q-2嗎=2./.an-2"

因?yàn)辄c(diǎn)P(b“，bQ在直線x—y+2=0上，所以—+2=0,所以be—b.=2,即數(shù)列｛bj是等差數(shù)列,又,

bi=l,所以4=2〃-l

(II)證明：由已知S“=2(1-2")=2川_2,7“」(1+2〃-1)=〃2,即證明不等式2"2>〃2+3〃+4(〃22),

1—22

(1)當(dāng)n=2時(shí)，2』6,n2+3n+4=14,不等成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，BP2k*2>k2+3k+4J&AL,

那么，當(dāng)1)=卜+1時(shí),2*">2/+6%+8,

以下只須證明2公+64+82(/+1)2+3/+1)+4成立，即只須證明k'+k》。成立，因?yàn)楫?dāng)k22時(shí)，k、k》

0成立，所以當(dāng)n=k+l時(shí)，不等式2'C+3”+4成立綜合(1)(2),原不等式成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考察數(shù)列中已知前〃項(xiàng)和求通項(xiàng)，等差、等比數(shù)列的判斷和證明，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證

明相關(guān)問題的方法和步驟。

3.在數(shù)列也|中，?,=2,"=4,且耳，bn,q+1成等差數(shù)列，如。“+1,%］成等比數(shù)列(〃eN*)

(I)求。2,。3,。4及歷，&，b4,由此猜測(cè)|凡|,|4|的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

(II)證明：—^―+—i—+…+—i—<—.

4+4生+，2an+412

解：(I)由條件得=%+0“_[,可_|=久久”由此可得

的=63：=9,a3=12,i,=16,tj4=20,$[=25.

猜測(cè)/=，G+1),a=g+l)：.用數(shù)學(xué)「納法證BP.①當(dāng)祚h?時(shí)，由上可得結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)天=2時(shí)，結(jié)論成立，即&=k(k~1),b,-Zb么當(dāng)也=2-1時(shí)，

a.._=2i；.—a..—2(*c+l)*—=(.,.+l)(*c+2),/”==(k+2y.所以當(dāng)〃=2-l時(shí),結(jié)論也成

t：：

立.由①②，可知&=n{n+1),45+1):對(duì)一產(chǎn)"”生都成立.

115

(II)—!—=-<—.及三2時(shí)，由(1/知小+\=3+口/%+1)>25+1)%

角+坊612''

用+4a-.+i:/+462^2x33x4n(>/4-1)?'

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)

行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力.

4.設(shè)數(shù)列｛a,,｝滿足a。=O,a?+I=ca：+1-c,ceN*,其中c為實(shí)數(shù)(I)證明：/€[0,1]對(duì)任意〃eN*成

立的充分必要條件是ce[0,1]；(H)設(shè)0<c<；,證明：%21—(3c)"T,〃eN*;

12

(HI)設(shè)0<c<—,證明：a；+a；+…a；>〃+l------,neN*

3'l-3c

解：(1)必要性：Vo,=0,.*.o2=l-c,又Va2€[0,l],Z.0<l-c<l,BPce[0,l]

充分性：設(shè)ce[0,l],對(duì)〃eN*用數(shù)學(xué)歸納法證明a“e[0,l]當(dāng)〃=1時(shí)，a,=0e[0,l].

假設(shè)a*e[0,l](A21)則4+|=ca：+l-c<c+l-c=1,且％]=ca；+1-c2l-c=20

.?.aA+le[0,l],由數(shù)學(xué)歸納法知a“e[0,1]對(duì)所有〃eN*成立

(2)設(shè)0<c<L當(dāng)外=1時(shí)，角=0,結(jié)論成立當(dāng)打時(shí),

；/=g；_i+1-C;.1-%=C(1-磯)(1+磯+我)

,.?0<C'<]由(1)知所以1+/_1+。二43Pl-an4>0

二1一%43c(1-aQ???：!-/M3c(l.)<(3cV：1-a-=…V⑶嚴(yán)Q-硝=(3c產(chǎn)

c產(chǎn)(心，)

1C

：3)設(shè)0<c<士，當(dāng)〃=1時(shí)，=0>2-，結(jié)論成立二弘之2時(shí)，由(2)知％21-(3c)z>0

3?二c

<?；>(l-(3c)a)：=1—2(3c)x+(3八>-<>>]_、：3c)”T

aj+a：+…+a；=&：+---4-a*>w-1/[3,+廣：-/

2(l-(3c)?)

十J―---------->w+1-

l-3cl-3c

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、充要條件、數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意，加強(qiáng)訓(xùn)練。

5.已知函數(shù)/(刈=33+》2一2.(1)設(shè)｛%｝是正數(shù)組成的數(shù)列，前〃項(xiàng)和為&，其中伯=3.若點(diǎn)

(a“4「2q,+J(neN*)在函數(shù)詞(x)的圖象上，求證：點(diǎn)(〃$)也在(x)的圖象上；(II)求函數(shù)

/(x)在區(qū)間((7-1,a)內(nèi)的極值.

(I)證明：因?yàn)?(》)=；/+刀2-2,所以廣(》)f2+為由點(diǎn)(4,43-2%+1)(〃6曠)在函數(shù)詞(X)的

圖象上，又見>0(〃eN+),所以(q_1一4)(4+|-q-2)=0,所以S“=3〃+”(；1)X2=〃2+2〃,

又因?yàn)?'(〃)=〃2+2〃,所以S,=/(?),故點(diǎn)(〃,S?)也在函數(shù)卜寸,(尤)的圖象上.

(II)解:/z(x)=x2+2x=x(x+2),由/'(x)=0,得x=0S!lx=-2.

當(dāng)x變化時(shí)J'(x)、/(x)的變化情況如下表：

X(-8,-2)-2(-2,0)0Q+oo)

f⑶+0-0+

Z極大值極小值/

注意到|(a—1)—。|=1<2,從而

2

①當(dāng)。一1<一2<凡即一2<“<一時(shí)/(x)的極大值為/(-2)=-y，此時(shí)/(x)無極小值;

②當(dāng)。一1<0<d即0<。<1時(shí)/(x)的極小值為/(0)=-2，此時(shí)/(x)無極大值；

③當(dāng)aW—2或—1Wa<0或。>1時(shí)/(尤)既無極大值又無極小值.

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識(shí)，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方

法，考查分析問題和解決問題的能力.

6.甲、乙兩大型超市，2009年的銷售額均為0(2009年為第1年)，根據(jù)市場(chǎng)分析和預(yù)測(cè)，甲超市前〃年

的總銷售額為-〃+2),乙超市第〃年的銷售額比前一年多缶.(I)求甲、乙兩超市第〃年的銷售

額的表達(dá)式；(H)根據(jù)甲、乙兩超市所在地的市場(chǎng)規(guī)律，如果某超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額

的20%,則該超后將被另一超市收購，試判斷哪一個(gè)超市將被收購，這個(gè)情況將在哪一年出現(xiàn)，試說明理

由.

「尸-n+2)

解：(I)設(shè)甲超市第n年的年銷售量為孫???5.=---------；------

Dgr(ST泳>>>2}

又4=1時(shí)，々=9.■.<?.=；_,_.

設(shè)乙超市第n年的年銷售量為九，

￡”：-#”：={?%-：-%-?L以上各式相加得:

yj—]

(ii)顯然分〃<2P八>3時(shí)an>bn,故乙超市將被早超市收購.-P>P(2--)

得n>11-^r-?丹=1C時(shí)1°>11-77不成立.而4=11時(shí)一金成立.

-*二2

1於

即止11時(shí)W即>"成立.

答：這個(gè)情況將在2019年出現(xiàn)，且是甲超市