專題61數列的概念8大考點知識點一數列的有關概念1、數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列．數列中的每一個數叫做這個數列的項．2、數列的分類分類標準類型滿足條件按項數分類有窮數列項數有限無窮數列項數無限按項與項間的大小關系分類遞增數列其中n∈N*遞減數列常數列按其他標準分類有界數列存在正數M，使擺動數列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列周期數列對n∈N*，存在正整數常數k，使3、數列的表示法：數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法．知識點二數列的通項公式1、數列的通項公式：如果數列的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表達，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．2、已知數列的前n項和Sn，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))3、數列的遞推公式：如果已知數列的首項(或前幾項)，且任一項與它的前一項(或前幾項)間的關系可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數列的遞推公式．一、由前幾項歸納數列通項的常用方法及具體策略1、常用方法：觀察(觀察規律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、聯想(聯想常見的數列)等方法.2、具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；⑥對于符號交替出現的情況，可用或，處理.二、由an與Sn的關系求通項1、已知求的3步驟（1）先利用求出；（2）用替換中的得到，利用便可求出當時的表達式；（3）注意檢驗時的表達式是否可以與時的表達式合并．2、與關系問題的求解思路：根據所求結果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉化．（1）利用轉化為只含，的關系式，再求解．（2）利用轉化為只含，的關系式，再求解．三、由遞推關系求數列的通項公式的常用方法1、已知且，可用“累加法”求.2、已知且，可用“累乘法”求.3、已知且，則(其中可由待定系數法確定)，可轉化為等比數列．4、形如(A，B，C為常數)的數列，可通過兩邊同時取倒數的方法構造新數列求解．四、數列周期性解題策略1、周期數列的常見形式（1）利用三角函數的周期性，即所給遞推關系中含有三角函數；（2）相鄰多項之間的遞推關系，如后一項是前兩項的差；（3）相鄰兩項的遞推關系，等式中一側含有分式，又較難變形構造出特殊數列．2、解決此類題目的一般方法：根據給出的關系式求出數列的若干項，通過觀察歸納出數列的周期，進而求有關項的值或者前項的和．五、數列的單調性及應用1、解決數列的單調性問題的3種方法（1）用作差比較法，根據的符號判斷數列是遞增數列、遞減數列或是常數列．（2）用作商比較法，根據(或)與1的大小關系進行判斷．（3）結合導數的方法判斷．2、求數列最大項或最小項的方法（1）將數列視為函數當x∈N*時所對應的一列函數值，根據的類型作出相應的函數圖象，或利用求函數最值的方法，求出的最值，進而求出數列的最大(小)項．（2）通過通項公式研究數列的單調性，利用確定最大項，利用確定最小項．（3）比較法：①若有（或時，），則，即數列是遞增數列，所以數列的最小項為；②若有（或時，），則，即數列是遞減數列，所以數列的最大項為．考點一由數列的前幾項求數列的通項【例1】（2023·全國·高三專題練習）數列…的一個通項公式為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】該數列的一個通項公式為，故選：D【變式11】（2021·全國·高三專題練習）若數列的前4項分別是，則該數列的一個通項公式為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為數列的前4項分別是，正負項交替出現，分子均為1，分母依次增加1，所以對照四個選項，正確.故選：D【變式12】（2023·全國·高三專題練習）數列的一個通項公式（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，數列的前8項為故A錯誤；對于B，數列的前8項為故B錯誤；對于C，數列的前8項為故C錯誤；對于D，數列的前8項為故D正確；故選:D.【變式13】（2023·全國·高三專題練習）（多選）數列1，2，1，2，…的通項公式可能為（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對于A，當n為奇數時，，當n為偶數時，，故A中通項公式正確；對于B，當n為奇數時，，當n為偶數時，故B中通項公式不正確；對于C，當n為奇數時，，當n為偶數時，，故C中通項公式正確；對于D，當n為奇數時，，當n為偶數時，，故D中通項公式正確.故選：ACD【變式14】（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前5項為，，，，，則的一個通項公式為.【答案】【解析】因為2，6，12，20，30分別可分解為，所以的第n項的分子可表示為；因為3，5，3，5，3分別減4得，所以數列的第n項的分母可表示為，故數列的一個通項公式為.故答案為：.考點二數列中的規律問題【例2】（2023·云南保山·統考二模）我國南宋數學家楊輝126l年所著的《解析九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數列的第56項為（）A．11B．12C．13D．14【答案】B【解析】由題意可知：若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數為1，2，3，4，...，可以看成構成一個首項為1，公差為1的等差數列，則，可得當，所有項的個數和為55，第56項為12，故選：B.【變式21】（2023·全國·高三專題練習）分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”．按照如圖1所示的分形規律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數為，則（）A．110B．128C．144D．89【答案】C【解析】已知表示第n行中的黑圈個數，設表示第n行中的白圈個數，則由于每個白圈產生下一行的一個白圈和一個黑圈，一個黑圈產生下一行的一個白圈和2個黑圈，所以，，又因為，，所以，；，；，；，；，；．故選：C.【變式22】（2023·全國·高三專題練習）公元前四世紀，畢達哥拉斯學派對數和形的關系進行了研究．他們借助幾何圖形（或格點）來表示數，稱為形數．形數是聯系算術和幾何的紐帶．如圖，數列1，6，15，28，45，…，從第二項起每一項都可以用六邊形表示出來，故稱它們為六邊形數，那么該數列的第8項對應的六邊形數為．【答案】120【解析】由題意，從第二個圖形開始，把最外面六邊形右側兩條邊延長構成一個新的六邊形，新六邊形每條邊上的點數比原來多一個，因此我們有：，，，,,，，．故答案為:120.【變式23】（2022·全國·高三專題練習）已知“整數對”按如下規律排列：，…，則第個“整數對”為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設“整數對”為，由已知可知點列的排列規律是的和從2開始，依次是3，4，…，其中m依次增大．當時只有1個；當時有2個；當時有3個；…；當時有個；其上面共有個數對．所以第個“整數對”為，第個“整數對”為，故選：C．【變式24】（2023·全國·高三專題練習）（多選）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數”進行了深入的研究，比如圖中的，，，，，，…這些數能夠表示成三角形，所以將其稱為三角形數，類似地，把，，，，…叫做正方形數，如圖，則下列數中既是三角形數又是正方形數的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】設三角形數從小到大排序，構成數列，正方形數從小到大排序，構成數列，則，，對于A，，，既是三角形數又是正方形數，A正確；對于B，，無正整數解，是正方形數，不是三角形數，B錯誤；對于C，，無正整數解，是正方形數，不是三角形數，C錯誤；對于D，，，既是三角形數又是正方形數，D正確.故選：AD.考點三由an與Sn的關系求通項【例3】（2023·全國·高三專題練習）設數列的前n項和為，且，則．【答案】【解析】由于，當時，得到，當時，①，又②，由可知，②①得，因此（），當時不滿足該式，所以．故答案為：.【變式31】（2023·河南·校聯考模擬預測）已知正項數列的前n項和為，滿足，則（）A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】B【解析】由題意，，，兩式相減，得，．，．當時，，，是首項為1，公差為1的等差數列．．故選：B【變式32】（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，且，則（）A．B．2nC．D．【答案】D【解析】令，由可得：，兩式作差可得：，化簡整理可得：，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，所以，進而可得：．故選：D．【變式33】（2023·內蒙古赤峰·高三校聯考模擬預測）已知數列的前項和為，，點在曲線上，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題知，所以，當時，，解得或（舍），當時，，，所以，兩式作差得，整理得：，因為，所以，所以，，所以，數列是以為首項與公差的等差數列，所以.故選：A【變式34】（2023·四川·校聯考模擬預測）已知數列滿足，則的通項公式為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當時，有，所以，當時，由，，兩式相減得，此時，，也滿足，所以的通項公式為.故選：B.【變式35】（2023·全國·高三專題練習）設數列的前n項和為，且，，則．【答案】【解析】由，得到，然后兩邊同除以得到，即，于是數列是公差為的等差數列．而，于是，進而得到，所以當時，有（）．綜上所述，．考點四利用數列的遞推關系求通項【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足（），且，求數列的通項公式．【答案】（）【解析】因為，所以（），…，，所以（）（累加），又，所以（），因為當時，，所以（）．【變式41】（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足（），且，求數列的通項公式．【答案】（）．【解析】因為，且，所以，所以，所以（）即，，，，將個式子相乘得（），因為，所以（），又當時，，所以（）．【變式42】（2023·全國·高三專題練習）在數列中，，且，求.【答案】【解析】由，得，所以數列是以首項為，公比為的等比數列.所以，即.當時，，此式也滿足，故.【變式43】（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足：求通項.【答案】【解析】取倒數：，故是等差數列，首項為，公差為2，，∴.【變式44】（2023秋·江西宜春·高三校考開學考試）已知正項數列中，，則數列的通項（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：在遞推公式的兩邊同時除以，得①，令，則①式變為，即，所以數列是等比數列，其首項為，公比為，所以，即，所以，所以，解法二：設，則，與比較可得，所以，所以數列是首項為，公比為2的等比數列，所以，所以，故選：D【變式45】（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，設，求數列的通項公式.【答案】【解析】依題，記，令，求出不動點；由定理2知：，；兩式相除得到，∴是以為公比，為首項的等比數列，∴，從而．考點五數列的周期性【例5】（2023秋·湖南·高三校考階段練習）若數列滿足,，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為,，所以有，因此數列是以為周期的數列，所以.故選：D【變式51】（2023秋·江蘇無錫·高三統考開學考試）已知數列滿足．若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，，，，，…故數列周期為4，則.故選：B【變式52】（2023秋·廣東深圳·高三校聯考開學考試）數列中，，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，知：；由得：，，即，，即數列是以為周期的周期數列，.故選：B.【變式53】（2023秋·北京東城·高三校考開學考試）在數列中，，則.【答案】【解析】，，所以數列是周期為的周期函數，，所以.故答案為：【變式54】（2023春·河南·高三階段練習）數列滿足，，則的前2023項和.【答案】1351【解析】因為，所以，則從第3項起以3為周期的周期數列，所以.【變式55】（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，且，求數列的前2023項和S．【答案】1013【解析】因為，且，所以，，，…，由，故數列是周期為3的周期數列，所以.故答案為：1013.考點六數列的單調性【例6】（2023·全國·高三專題練習）（多選）下列數列的通項公式中，是遞增數列的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】對于A，，數列為遞減數列，A錯誤；對于B，，數列為遞增數列，B正確；對于C，，數列為遞增數列，C正確；對于D，，，當為偶數時，，數列不是遞增數列，D錯誤，故選：BC.【變式61】（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，若為遞增數列，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若為遞增數列，則，則有，對于恒成立．，對于恒成立，．故選：A．【變式62】（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，若對于任意都有，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為時，，而要滿足，故要單調遞減，所以，解得，時，，而要滿足，故要單調遞減，所以，從而，還需滿足，解得，所以實數的取值范圍是.故選：C【變式63】（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，且對任意，有，則的取值范圍是.【答案】【解析】已知，①若，即時，可得解得或（舍去）②若，即時，可得，即，解得（舍去）因此．又對任意，有，，即，解得或（舍去，當時，不滿足）綜上所述，．【變式64】（2023·全國·高三專題練習）數列的通項公式為，那么“”是“為遞增數列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，，數列為遞增數列，充分性成立；當數列為遞增數列時，，恒成立，又，，必要性不成立；“”是“為遞增數列”的充分不必要條件.故選：A.【變式65】（2023秋·安徽·高三校聯考階段練習）在數列中，已知，則“”是“為單調遞減數列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】已知為單調遞減數列，所以恒成立，即對任意的恒成立，因為函數在上單調遞減，故，故.因為，因此“”是“為單調遞減數列”的必要不充分條件，故選：B.考點七數列中的最大(小)項【例7】（2023·全國·高三專題練習）已知數列的通項公式為，其最大項和最小項的值分別為（）A．1，B．0，C．，D．1，【答案】A【解析】因為，所以當時，，且單調遞減；當時，，且單調遞減，且，所以最小項為，最大項為.故選：A.【變式71】（2023·全國·高三對口高考）數列的通項公式是，則該數列中的最大項和最小項依次為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，，所以當時，且隨著增大，減小，故為最大項；當時，且隨著增大，減小，故為最小項.故選：B【變式72】（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項的積為，若，則的最大值為（）A．B．2C．D．【答案】A【解析】，，，，可得；當時，，，∴，∵時，，∴，∴當時，，當時取等號，綜上，當或5時，取最大值.故選：A．【變式73】（2023·全國·高三專題練習）數列中，，則此數列最大項的值是.【答案】【解析】因為，故當或時，取得最大值.【變式74】（2023·全國·高三專題練習）在數列中，，，則數列的最大項的值是．【答案】4【解析】根據以及，可知，所以①，則②，由②①得，即，因為，所以與同號，又因為，且，所以，所以數列為單調遞減數列，所以因此數列的最大項是，其值是4．【變式75】（2023·江西萍鄉·高三校考一模）已知數列，下列說法正確的是（）A．有最大項，但沒有最小項B．沒有最大項，但有