高級中學名校試卷PAGEPAGE2四川省部分名校2024屆高三上學期期末聯合考試數學試題（文）一、選擇題1.集合的一個真子集可以為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故A錯誤；，故B錯誤；因為是集合的子集，但不是真子集，故D錯誤；是集合的真子集，故C正確.故選：C.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A3.某單位有職工500人，其中男性職工有320人，為了解所有職工的身體健康情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進行調查，則抽取到的男性職工的人數比女性職工的人數多（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗A〖解析〗由題意可知抽取到的男性職工人數為，女性職工人數為，則抽取到的男性職工的人數比女性職工的人數多．故選：A4.（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故選：D5.某咖啡店門前有一個臨時停車位，小轎車在此停車時長超過10分鐘就會被貼罰單．某顧客將小轎車停在該車位后，來到該咖啡店消費，忽略該顧客從車內到咖啡店以及以從咖啡店回到車內的時間，若該顧客上午10：02到達咖啡店內，他將在當天上午10：08至上午10：15的任意時刻離開咖啡店回到車內，則他的車不會被貼罰單的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在當天上午10：08至上午10：15的任意時刻離開咖啡店回到車內，其中在10：08至上午10：12的任意時刻離開咖啡店回到車內，他的車不會被貼罰單，故由幾何概型可知他的車不會被貼罰單的概率為．故選：C6.若某圓錐的底面半徑，且底面的周長等于母線長，則該圓錐的高為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設該圓錐的高為，依題意有，則，解得.故選：A7.已知向量，滿足，，且，則（）A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，且，則，，所以．故選：C.8.在梯形中，，是邊長為3的正三角形，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是邊長為3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，則．故選：B.9.設，滿足約束條件其中．若的最大值為10，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出可行域（陰影部分），當直線經過點時，取得最大值，且最大值為，解得．故選：A10.若函數的圖象關于直線對稱，且是大于的最小正數，則數列的前10項和為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數圖象關于直線對稱，所以，得．又是大于的最小正數，所以，所以數列的前10項和為．故選：C11.已知為定義在上奇函數，當時，，若函數恰有5個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意作出的大致圖象，如圖所示，令，得，當時，，又時，，易知在區間上單調遞增，又，所以時，，又為奇函數，所以由圖可知，當時，直線與的圖象有5個公共點，從而有5個零點，故選：D.12.已知雙曲線的兩個焦點為為上一點，，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取線段的中點，連接，因為，，所以，且，所以，設，則，所以的離心率．故選：D二、填空題13.若，則______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.已知圓經過拋物線的焦點，點A在上，若點A到的距離為6，則點A的縱坐標為______．〖答案〗〖解析〗依題意可得，由焦半徑公式可得，解得故〖答案〗為：15.函數的極大值為______．〖答案〗〖解析〗，當時，，當時，．所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的極大值為．故〖答案〗為：16.在長方體中，，側面的面積為6，與底面所成角的正切值為，則該長方體外接球的表面積為____________．〖答案〗〖解析〗在長方體中，因為側面的面積為6，所以，因為與底面所成角的正切值為，所以，結合，可得，所以該長方體外接球的半徑為，表面積．故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.某校有3名百米短跑運動員甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的時間（單位：s）的數據如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次時間/s1212.41212.51211.812.211.511.612（1）計算甲這10次百米短跑的時間的平均數與方差；（2）經過計算，乙最近10次百米短跑的時間的平均數和方差分別為12，0.08，丙最近10次百米短跑的時間的平均數和方差分別為12.4，0.08，若要從甲、乙、丙三人中選一人代表學校參加市區的百米短跑比賽，請判斷該選擇誰，說明你的理由．解：（1）甲這10次百米短跑的時間的平均數為，方差為．（2）因為百米短跑的時間越短，成績越好，所以從數據的平均水平看，甲與乙的成績更好．因為方差越大，數據的波動越大，方差越小，數據的波動越小，所以從數據的波動情況看，甲的成績波動最大，乙和丙的波動水平相當，所以應該選乙參加市區的百米短跑比賽．18.在等差數列中，．（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和．解：（1）設的公差為，則，解得，所以；（2）由（1）知，所以．19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，是邊長為2的正三角形，延長至點，使得為線段的中點．（1）證明：平面．（2）若，求四棱錐的體積．（1）證明：連接，交于點，連接，因為底面為矩形，所以為線段的中點．又為線段的中點，所以，因為平面，平面，所以平面．（2）解：記的中點為，連接，，因為是邊長為2的正三角形，所以．又平面平面，且平面平面，且平面，所以平面，則．又，，所以平面，則．因為四邊形為矩形，所以，則，即，解得．因為為線段的中點，所以到的距離等于到的距離的2倍，所以四棱錐的體積．20.已知橢圓長軸為線段，短軸為線段，四邊形的面積為4，且的焦距為．（1）求的標準方程；（2）若直線與相交于兩點，點，且的面積小于，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，解得，所以的標準方程為；（2）點到直線的距離，設，聯立方程組，整理得，則，即，，所以，則的面積，得，又，（由三點不共線可得），所以的取值范圍是．21.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：.（1）解：，則，因為，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）證明：的定義域為，要證明，只需證.設函數，則.當時，；當時，.所以.設函數，則，所以恒成立，從而，故（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求的直角坐標方程；（2）點的極坐標為，為曲線上任意一點，為線段的中點，求動點的軌跡的直角坐標方程．解：（1）由，得，則，所以，所以直角坐標方程為；（2）點的極坐標為，，所以點的直角坐標為．設，則，得，因為在曲線上，所以，所以，即，所以動點的軌跡的直角坐標方程為．[選修4-5：不等式選講]23.已知．（1）若，證明與中至少有一個小于0；（2）若均為正數，求的最小值．（1）證明：假設與中沒有一個小于0，即，因為，所以，這與矛盾，所以假設不成立，所以與中至少有一個小于0；（2）解：，因為均為正數，所以由柯西不等式可得，當且僅當時，等號成立，故的最小值為．四川省部分名校2024屆高三上學期期末聯合考試數學試題（文）一、選擇題1.集合的一個真子集可以為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故A錯誤；，故B錯誤；因為是集合的子集，但不是真子集，故D錯誤；是集合的真子集，故C正確.故選：C.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A3.某單位有職工500人，其中男性職工有320人，為了解所有職工的身體健康情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進行調查，則抽取到的男性職工的人數比女性職工的人數多（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗A〖解析〗由題意可知抽取到的男性職工人數為，女性職工人數為，則抽取到的男性職工的人數比女性職工的人數多．故選：A4.（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故選：D5.某咖啡店門前有一個臨時停車位，小轎車在此停車時長超過10分鐘就會被貼罰單．某顧客將小轎車停在該車位后，來到該咖啡店消費，忽略該顧客從車內到咖啡店以及以從咖啡店回到車內的時間，若該顧客上午10：02到達咖啡店內，他將在當天上午10：08至上午10：15的任意時刻離開咖啡店回到車內，則他的車不會被貼罰單的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在當天上午10：08至上午10：15的任意時刻離開咖啡店回到車內，其中在10：08至上午10：12的任意時刻離開咖啡店回到車內，他的車不會被貼罰單，故由幾何概型可知他的車不會被貼罰單的概率為．故選：C6.若某圓錐的底面半徑，且底面的周長等于母線長，則該圓錐的高為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設該圓錐的高為，依題意有，則，解得.故選：A7.已知向量，滿足，，且，則（）A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，且，則，，所以．故選：C.8.在梯形中，，是邊長為3的正三角形，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是邊長為3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，則．故選：B.9.設，滿足約束條件其中．若的最大值為10，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出可行域（陰影部分），當直線經過點時，取得最大值，且最大值為，解得．故選：A10.若函數的圖象關于直線對稱，且是大于的最小正數，則數列的前10項和為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數圖象關于直線對稱，所以，得．又是大于的最小正數，所以，所以數列的前10項和為．故選：C11.已知為定義在上奇函數，當時，，若函數恰有5個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意作出的大致圖象，如圖所示，令，得，當時，，又時，，易知在區間上單調遞增，又，所以時，，又為奇函數，所以由圖可知，當時，直線與的圖象有5個公共點，從而有5個零點，故選：D.12.已知雙曲線的兩個焦點為為上一點，，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取線段的中點，連接，因為，，所以，且，所以，設，則，所以的離心率．故選：D二、填空題13.若，則______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.已知圓經過拋物線的焦點，點A在上，若點A到的距離為6，則點A的縱坐標為______．〖答案〗〖解析〗依題意可得，由焦半徑公式可得，解得故〖答案〗為：15.函數的極大值為______．〖答案〗〖解析〗，當時，，當時，．所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的極大值為．故〖答案〗為：16.在長方體中，，側面的面積為6，與底面所成角的正切值為，則該長方體外接球的表面積為____________．〖答案〗〖解析〗在長方體中，因為側面的面積為6，所以，因為與底面所成角的正切值為，所以，結合，可得，所以該長方體外接球的半徑為，表面積．故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.某校有3名百米短跑運動員甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的時間（單位：s）的數據如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次時間/s1212.41212.51211.812.211.511.612（1）計算甲這10次百米短跑的時間的平均數與方差；（2）經過計算，乙最近10次百米短跑的時間的平均數和方差分別為12，0.08，丙最近10次百米短跑的時間的平均數和方差分別為12.4，0.08，若要從甲、乙、丙三人中選一人代表學校參加市區的百米短跑比賽，請判斷該選擇誰，說明你的理由．解：（1）甲這10次百米短跑的時間的平均數為，方差為．（2）因為百米短跑的時間越短，成績越好，所以從數據的平均水平看，甲與乙的成績更好．因為方差越大，數據的波動越大，方差越小，數據的波動越小，所以從數據的波動情況看，甲的成績波動最大，乙和丙的波動水平相當，所以應該選乙參加市區的百米短跑比賽．18.在等差數列中，．（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和．解：（1）設的公差為，則，解得，所以；（2）由（1）知，所以．19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，是邊長為2的正三角形，延長至點，使得為線段的中點．（1）證明：平面．（2）若，求四棱錐的體積．（1）證明：連接，交于點，連接，因為底面為矩形，所以為線段的中點．又為線段的中點，所以，因為平面，平面，所以平面．（2）解：記的中點為，連接，，因為是邊長為2的正三角形，所以．又平面平面，且平面平面，且平面，所以平面，則．又，，所以平面，則．因為四邊形為矩形，所以，則，即，解得．因為為線段的中點，所以到的距離等于到的距離的2倍，所以四棱錐的體積．20.