高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2四川省部分名校2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題1.集合的一個(gè)真子集可以為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槭羌系淖蛹皇钦孀蛹蔇錯(cuò)誤；是集合的真子集，故C正確.故選：C.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A3.某單位有職工500人，其中男性職工有320人，為了解所有職工的身體健康情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進(jìn)行調(diào)查，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗A〖解析〗由題意可知抽取到的男性職工人數(shù)為，女性職工人數(shù)為，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多．故選：A4.（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故選：D5.某咖啡店門前有一個(gè)臨時(shí)停車位，小轎車在此停車時(shí)長(zhǎng)超過(guò)10分鐘就會(huì)被貼罰單．某顧客將小轎車停在該車位后，來(lái)到該咖啡店消費(fèi)，忽略該顧客從車內(nèi)到咖啡店以及以從咖啡店回到車內(nèi)的時(shí)間，若該顧客上午10：02到達(dá)咖啡店內(nèi)，他將在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi)，則他的車不會(huì)被貼罰單的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi)，其中在10：08至上午10：12的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi)，他的車不會(huì)被貼罰單，故由幾何概型可知他的車不會(huì)被貼罰單的概率為．故選：C6.若某圓錐的底面半徑，且底面的周長(zhǎng)等于母線長(zhǎng)，則該圓錐的高為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)該圓錐的高為，依題意有，則，解得.故選：A7.已知向量，滿足，，且，則（）A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，且，則，，所以．故選：C.8.在梯形中，，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，則．故選：B.9.設(shè)，滿足約束條件其中．若的最大值為10，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出可行域（陰影部分），當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且最大值為，解得．故選：A10.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且是大于的最小正數(shù)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，得．又是大于的最小正數(shù)，所以，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為．故選：C11.已知為定義在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意作出的大致圖象，如圖所示，令，得，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有5個(gè)公共點(diǎn)，從而有5個(gè)零點(diǎn)，故選：D.12.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋裕遥裕O(shè)，則，所以的離心率．故選：D二、填空題13.若，則______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.已知圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在上，若點(diǎn)A到的距離為6，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗依題意可得，由焦半徑公式可得，解得故〖答案〗為：15.函數(shù)的極大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為．故〖答案〗為：16.在長(zhǎng)方體中，，側(cè)面的面積為6，與底面所成角的正切值為，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為_(kāi)___________．〖答案〗〖解析〗在長(zhǎng)方體中，因?yàn)閭?cè)面的面積為6，所以，因?yàn)榕c底面所成角的正切值為，所以，結(jié)合，可得，所以該長(zhǎng)方體外接球的半徑為，表面積．故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.某校有3名百米短跑運(yùn)動(dòng)員甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的時(shí)間（單位：s）的數(shù)據(jù)如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次時(shí)間/s1212.41212.51211.812.211.511.612（1）計(jì)算甲這10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)與方差；（2）經(jīng)過(guò)計(jì)算，乙最近10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)和方差分別為12，0.08，丙最近10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)和方差分別為12.4，0.08，若要從甲、乙、丙三人中選一人代表學(xué)校參加市區(qū)的百米短跑比賽，請(qǐng)判斷該選擇誰(shuí)，說(shuō)明你的理由．解：（1）甲這10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)為，方差為．（2）因?yàn)榘倜锥膛艿臅r(shí)間越短，成績(jī)?cè)胶茫詮臄?shù)據(jù)的平均水平看，甲與乙的成績(jī)更好．因?yàn)榉讲钤酱螅瑪?shù)據(jù)的波動(dòng)越大，方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，所以從數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況看，甲的成績(jī)波動(dòng)最大，乙和丙的波動(dòng)水平相當(dāng)，所以應(yīng)該選乙參加市區(qū)的百米短跑比賽．18.在等差數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）由（1）知，所以．19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得為線段的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若，求四棱錐的體積．（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榫匦危詾榫€段的中點(diǎn)．又為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?）解：記的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以．又平面平面，且平面平面，且平面，所以平面，則．又，，所以平面，則．因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕瑒t，即，解得．因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以到的距離等于到的距離的2倍，所以四棱錐的體積．20.已知橢圓長(zhǎng)軸為線段，短軸為線段，四邊形的面積為4，且的焦距為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，且的面積小于，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，則，即，，所以，則的面積，得，又，（由三點(diǎn)不共線可得），所以的取值范圍是．21.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：.（1）解：，則，因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）證明：的定義域?yàn)椋C明，只需證.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.設(shè)函數(shù)，則，所以恒成立，從而，故（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求的直角坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，為曲線上任意一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程．解：（1）由，得，則，所以，所以直角坐標(biāo)方程為；（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．設(shè)，則，得，因?yàn)樵谇€上，所以，所以，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程為．[選修4-5：不等式選講]23.已知．（1）若，證明與中至少有一個(gè)小于0；（2）若均為正數(shù)，求的最小值．（1）證明：假設(shè)與中沒(méi)有一個(gè)小于0，即，因?yàn)椋裕@與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以與中至少有一個(gè)小于0；（2）解：，因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，所以由柯西不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為．四川省部分名校2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題1.集合的一個(gè)真子集可以為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槭羌系淖蛹皇钦孀蛹蔇錯(cuò)誤；是集合的真子集，故C正確.故選：C.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A3.某單位有職工500人，其中男性職工有320人，為了解所有職工的身體健康情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進(jìn)行調(diào)查，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗A〖解析〗由題意可知抽取到的男性職工人數(shù)為，女性職工人數(shù)為，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多．故選：A4.（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故選：D5.某咖啡店門前有一個(gè)臨時(shí)停車位，小轎車在此停車時(shí)長(zhǎng)超過(guò)10分鐘就會(huì)被貼罰單．某顧客將小轎車停在該車位后，來(lái)到該咖啡店消費(fèi)，忽略該顧客從車內(nèi)到咖啡店以及以從咖啡店回到車內(nèi)的時(shí)間，若該顧客上午10：02到達(dá)咖啡店內(nèi)，他將在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi)，則他的車不會(huì)被貼罰單的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi)，其中在10：08至上午10：12的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi)，他的車不會(huì)被貼罰單，故由幾何概型可知他的車不會(huì)被貼罰單的概率為．故選：C6.若某圓錐的底面半徑，且底面的周長(zhǎng)等于母線長(zhǎng)，則該圓錐的高為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)該圓錐的高為，依題意有，則，解得.故選：A7.已知向量，滿足，，且，則（）A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，且，則，，所以．故選：C.8.在梯形中，，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，則．故選：B.9.設(shè)，滿足約束條件其中．若的最大值為10，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出可行域（陰影部分），當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且最大值為，解得．故選：A10.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且是大于的最小正數(shù)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，得．又是大于的最小正數(shù)，所以，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為．故選：C11.已知為定義在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意作出的大致圖象，如圖所示，令，得，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有5個(gè)公共點(diǎn)，從而有5個(gè)零點(diǎn)，故選：D.12.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋裕遥裕O(shè)，則，所以的離心率．故選：D二、填空題13.若，則______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.已知圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在上，若點(diǎn)A到的距離為6，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗依題意可得，由焦半徑公式可得，解得故〖答案〗為：15.函數(shù)的極大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為．故〖答案〗為：16.在長(zhǎng)方體中，，側(cè)面的面積為6，與底面所成角的正切值為，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為_(kāi)___________．〖答案〗〖解析〗在長(zhǎng)方體中，因?yàn)閭?cè)面的面積為6，所以，因?yàn)榕c底面所成角的正切值為，所以，結(jié)合，可得，所以該長(zhǎng)方體外接球的半徑為，表面積．故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.某校有3名百米短跑運(yùn)動(dòng)員甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的時(shí)間（單位：s）的數(shù)據(jù)如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次時(shí)間/s1212.41212.51211.812.211.511.612（1）計(jì)算甲這10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)與方差；（2）經(jīng)過(guò)計(jì)算，乙最近10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)和方差分別為12，0.08，丙最近10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)和方差分別為12.4，0.08，若要從甲、乙、丙三人中選一人代表學(xué)校參加市區(qū)的百米短跑比賽，請(qǐng)判斷該選擇誰(shuí)，說(shuō)明你的理由．解：（1）甲這10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)為，方差為．（2）因?yàn)榘倜锥膛艿臅r(shí)間越短，成績(jī)?cè)胶茫詮臄?shù)據(jù)的平均水平看，甲與乙的成績(jī)更好．因?yàn)榉讲钤酱螅瑪?shù)據(jù)的波動(dòng)越大，方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，所以從數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況看，甲的成績(jī)波動(dòng)最大，乙和丙的波動(dòng)水平相當(dāng)，所以應(yīng)該選乙參加市區(qū)的百米短跑比賽．18.在等差數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）由（1）知，所以．19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得為線段的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若，求四棱錐的體積．（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榫匦危詾榫€段的中點(diǎn)．又為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?）解：記的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以．又平面平面，且平面平面，且平面，所以平面，則．又，，所以平面，則．因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕瑒t，即，解得．因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以到的距離等于到的距離的2倍，所以四棱錐的體積．20.