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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2四川省部分名校2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題(文)一、選擇題1.集合的一個(gè)真子集可以為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗,故A錯(cuò)誤;,故B錯(cuò)誤;因?yàn)槭羌系淖蛹皇钦孀蛹蔇錯(cuò)誤;是集合的真子集,故C正確.故選:C.2.()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選:A3.某單位有職工500人,其中男性職工有320人,為了解所有職工的身體健康情況,按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進(jìn)行調(diào)查,則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多()A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗A〖解析〗由題意可知抽取到的男性職工人數(shù)為,女性職工人數(shù)為,則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多.故選:A4.()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故選:D5.某咖啡店門前有一個(gè)臨時(shí)停車位,小轎車在此停車時(shí)長(zhǎng)超過(guò)10分鐘就會(huì)被貼罰單.某顧客將小轎車停在該車位后,來(lái)到該咖啡店消費(fèi),忽略該顧客從車內(nèi)到咖啡店以及以從咖啡店回到車內(nèi)的時(shí)間,若該顧客上午10:02到達(dá)咖啡店內(nèi),他將在當(dāng)天上午10:08至上午10:15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi),則他的車不會(huì)被貼罰單的概率為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在當(dāng)天上午10:08至上午10:15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi),其中在10:08至上午10:12的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi),他的車不會(huì)被貼罰單,故由幾何概型可知他的車不會(huì)被貼罰單的概率為.故選:C6.若某圓錐的底面半徑,且底面的周長(zhǎng)等于母線長(zhǎng),則該圓錐的高為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)該圓錐的高為,依題意有,則,解得.故選:A7.已知向量,滿足,,且,則()A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知,且,則,,所以.故選:C.8.在梯形中,,是邊長(zhǎng)為3的正三角形,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的正三角形,所以,又,所以,由正弦定理得,則.故選:B.9.設(shè),滿足約束條件其中.若的最大值為10,則的值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出可行域(陰影部分),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值,且最大值為,解得.故選:A10.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且是大于的最小正數(shù),則數(shù)列的前10項(xiàng)和為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以,得.又是大于的最小正數(shù),所以,所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.故選:C11.已知為定義在上奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意作出的大致圖象,如圖所示,令,得,當(dāng)時(shí),,又時(shí),,易知在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,所以時(shí),,又為奇函數(shù),所以由圖可知,當(dāng)時(shí),直線與的圖象有5個(gè)公共點(diǎn),從而有5個(gè)零點(diǎn),故選:D.12.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為為上一點(diǎn),,,則的離心率為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖,取線段的中點(diǎn),連接,因?yàn)椋裕遥裕O(shè),則,所以的離心率.故選:D二、填空題13.若,則______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為:.14.已知圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A在上,若點(diǎn)A到的距離為6,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗依題意可得,由焦半徑公式可得,解得故〖答案〗為:15.函數(shù)的極大值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以的極大值為.故〖答案〗為:16.在長(zhǎng)方體中,,側(cè)面的面積為6,與底面所成角的正切值為,則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為_(kāi)___________.〖答案〗〖解析〗在長(zhǎng)方體中,因?yàn)閭?cè)面的面積為6,所以,因?yàn)榕c底面所成角的正切值為,所以,結(jié)合,可得,所以該長(zhǎng)方體外接球的半徑為,表面積.故〖答案〗為:三、解答題(一)必考題17.某校有3名百米短跑運(yùn)動(dòng)員甲、乙、丙,已知甲最近10次百米短跑的時(shí)間(單位:s)的數(shù)據(jù)如下表:第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次時(shí)間/s1212.41212.51211.812.211.511.612(1)計(jì)算甲這10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)與方差;(2)經(jīng)過(guò)計(jì)算,乙最近10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)和方差分別為12,0.08,丙最近10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)和方差分別為12.4,0.08,若要從甲、乙、丙三人中選一人代表學(xué)校參加市區(qū)的百米短跑比賽,請(qǐng)判斷該選擇誰(shuí),說(shuō)明你的理由.解:(1)甲這10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)為,方差為.(2)因?yàn)榘倜锥膛艿臅r(shí)間越短,成績(jī)?cè)胶茫詮臄?shù)據(jù)的平均水平看,甲與乙的成績(jī)更好.因?yàn)榉讲钤酱螅瑪?shù)據(jù)的波動(dòng)越大,方差越小,數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小,所以從數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況看,甲的成績(jī)波動(dòng)最大,乙和丙的波動(dòng)水平相當(dāng),所以應(yīng)該選乙參加市區(qū)的百米短跑比賽.18.在等差數(shù)列中,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.解:(1)設(shè)的公差為,則,解得,所以;(2)由(1)知,所以.19.如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,延長(zhǎng)至點(diǎn),使得為線段的中點(diǎn).(1)證明:平面.(2)若,求四棱錐的體積.(1)證明:連接,交于點(diǎn),連接,因?yàn)榈酌鏋榫匦危詾榫€段的中點(diǎn).又為線段的中點(diǎn),所以,因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?)解:記的中點(diǎn)為,連接,,因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形,所以.又平面平面,且平面平面,且平面,所以平面,則.又,,所以平面,則.因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕瑒t,即,解得.因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn),所以到的距離等于到的距離的2倍,所以四棱錐的體積.20.已知橢圓長(zhǎng)軸為線段,短軸為線段,四邊形的面積為4,且的焦距為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線與相交于兩點(diǎn),點(diǎn),且的面積小于,求的取值范圍.解:(1)由題意可得,解得,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)點(diǎn)到直線的距離,設(shè),聯(lián)立方程組,整理得,則,即,,所以,則的面積,得,又,(由三點(diǎn)不共線可得),所以的取值范圍是.21.已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)證明:.(1)解:,則,因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為,即.(2)證明:的定義域?yàn)椋C明,只需證.設(shè)函數(shù),則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以.設(shè)函數(shù),則,所以恒成立,從而,故(二)選考題[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的直角坐標(biāo)方程;(2)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,為曲線上任意一點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程.解:(1)由,得,則,所以,所以直角坐標(biāo)方程為;(2)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.設(shè),則,得,因?yàn)樵谇€上,所以,所以,即,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程為.[選修4-5:不等式選講]23.已知.(1)若,證明與中至少有一個(gè)小于0;(2)若均為正數(shù),求的最小值.(1)證明:假設(shè)與中沒(méi)有一個(gè)小于0,即,因?yàn)椋裕@與矛盾,所以假設(shè)不成立,所以與中至少有一個(gè)小于0;(2)解:,因?yàn)榫鶠檎龜?shù),所以由柯西不等式可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為.四川省部分名校2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題(文)一、選擇題1.集合的一個(gè)真子集可以為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗,故A錯(cuò)誤;,故B錯(cuò)誤;因?yàn)槭羌系淖蛹皇钦孀蛹蔇錯(cuò)誤;是集合的真子集,故C正確.故選:C.2.()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選:A3.某單位有職工500人,其中男性職工有320人,為了解所有職工的身體健康情況,按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進(jìn)行調(diào)查,則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多()A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗A〖解析〗由題意可知抽取到的男性職工人數(shù)為,女性職工人數(shù)為,則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多.故選:A4.()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故選:D5.某咖啡店門前有一個(gè)臨時(shí)停車位,小轎車在此停車時(shí)長(zhǎng)超過(guò)10分鐘就會(huì)被貼罰單.某顧客將小轎車停在該車位后,來(lái)到該咖啡店消費(fèi),忽略該顧客從車內(nèi)到咖啡店以及以從咖啡店回到車內(nèi)的時(shí)間,若該顧客上午10:02到達(dá)咖啡店內(nèi),他將在當(dāng)天上午10:08至上午10:15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi),則他的車不會(huì)被貼罰單的概率為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在當(dāng)天上午10:08至上午10:15的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi),其中在10:08至上午10:12的任意時(shí)刻離開(kāi)咖啡店回到車內(nèi),他的車不會(huì)被貼罰單,故由幾何概型可知他的車不會(huì)被貼罰單的概率為.故選:C6.若某圓錐的底面半徑,且底面的周長(zhǎng)等于母線長(zhǎng),則該圓錐的高為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)該圓錐的高為,依題意有,則,解得.故選:A7.已知向量,滿足,,且,則()A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知,且,則,,所以.故選:C.8.在梯形中,,是邊長(zhǎng)為3的正三角形,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的正三角形,所以,又,所以,由正弦定理得,則.故選:B.9.設(shè),滿足約束條件其中.若的最大值為10,則的值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出可行域(陰影部分),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值,且最大值為,解得.故選:A10.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且是大于的最小正數(shù),則數(shù)列的前10項(xiàng)和為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以,得.又是大于的最小正數(shù),所以,所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.故選:C11.已知為定義在上奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意作出的大致圖象,如圖所示,令,得,當(dāng)時(shí),,又時(shí),,易知在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,所以時(shí),,又為奇函數(shù),所以由圖可知,當(dāng)時(shí),直線與的圖象有5個(gè)公共點(diǎn),從而有5個(gè)零點(diǎn),故選:D.12.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為為上一點(diǎn),,,則的離心率為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖,取線段的中點(diǎn),連接,因?yàn)椋裕遥裕O(shè),則,所以的離心率.故選:D二、填空題13.若,則______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為:.14.已知圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A在上,若點(diǎn)A到的距離為6,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗依題意可得,由焦半徑公式可得,解得故〖答案〗為:15.函數(shù)的極大值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以的極大值為.故〖答案〗為:16.在長(zhǎng)方體中,,側(cè)面的面積為6,與底面所成角的正切值為,則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為_(kāi)___________.〖答案〗〖解析〗在長(zhǎng)方體中,因?yàn)閭?cè)面的面積為6,所以,因?yàn)榕c底面所成角的正切值為,所以,結(jié)合,可得,所以該長(zhǎng)方體外接球的半徑為,表面積.故〖答案〗為:三、解答題(一)必考題17.某校有3名百米短跑運(yùn)動(dòng)員甲、乙、丙,已知甲最近10次百米短跑的時(shí)間(單位:s)的數(shù)據(jù)如下表:第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次時(shí)間/s1212.41212.51211.812.211.511.612(1)計(jì)算甲這10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)與方差;(2)經(jīng)過(guò)計(jì)算,乙最近10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)和方差分別為12,0.08,丙最近10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)和方差分別為12.4,0.08,若要從甲、乙、丙三人中選一人代表學(xué)校參加市區(qū)的百米短跑比賽,請(qǐng)判斷該選擇誰(shuí),說(shuō)明你的理由.解:(1)甲這10次百米短跑的時(shí)間的平均數(shù)為,方差為.(2)因?yàn)榘倜锥膛艿臅r(shí)間越短,成績(jī)?cè)胶茫詮臄?shù)據(jù)的平均水平看,甲與乙的成績(jī)更好.因?yàn)榉讲钤酱螅瑪?shù)據(jù)的波動(dòng)越大,方差越小,數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小,所以從數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況看,甲的成績(jī)波動(dòng)最大,乙和丙的波動(dòng)水平相當(dāng),所以應(yīng)該選乙參加市區(qū)的百米短跑比賽.18.在等差數(shù)列中,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.解:(1)設(shè)的公差為,則,解得,所以;(2)由(1)知,所以.19.如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,延長(zhǎng)至點(diǎn),使得為線段的中點(diǎn).(1)證明:平面.(2)若,求四棱錐的體積.(1)證明:連接,交于點(diǎn),連接,因?yàn)榈酌鏋榫匦危詾榫€段的中點(diǎn).又為線段的中點(diǎn),所以,因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?)解:記的中點(diǎn)為,連接,,因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形,所以.又平面平面,且平面平面,且平面,所以平面,則.又,,所以平面,則.因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕瑒t,即,解得.因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn),所以到的距離等于到的距離的2倍,所以四棱錐的體積.20.
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