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高級中學名校試卷PAGEPAGE2四川省部分名校2024屆高三上學期期末聯合考試數學試題(文)一、選擇題1.集合的一個真子集可以為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗,故A錯誤;,故B錯誤;因為是集合的子集,但不是真子集,故D錯誤;是集合的真子集,故C正確.故選:C.2.()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選:A3.某單位有職工500人,其中男性職工有320人,為了解所有職工的身體健康情況,按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進行調查,則抽取到的男性職工的人數比女性職工的人數多()A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗A〖解析〗由題意可知抽取到的男性職工人數為,女性職工人數為,則抽取到的男性職工的人數比女性職工的人數多.故選:A4.()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故選:D5.某咖啡店門前有一個臨時停車位,小轎車在此停車時長超過10分鐘就會被貼罰單.某顧客將小轎車停在該車位后,來到該咖啡店消費,忽略該顧客從車內到咖啡店以及以從咖啡店回到車內的時間,若該顧客上午10:02到達咖啡店內,他將在當天上午10:08至上午10:15的任意時刻離開咖啡店回到車內,則他的車不會被貼罰單的概率為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在當天上午10:08至上午10:15的任意時刻離開咖啡店回到車內,其中在10:08至上午10:12的任意時刻離開咖啡店回到車內,他的車不會被貼罰單,故由幾何概型可知他的車不會被貼罰單的概率為.故選:C6.若某圓錐的底面半徑,且底面的周長等于母線長,則該圓錐的高為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設該圓錐的高為,依題意有,則,解得.故選:A7.已知向量,滿足,,且,則()A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知,且,則,,所以.故選:C.8.在梯形中,,是邊長為3的正三角形,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是邊長為3的正三角形,所以,又,所以,由正弦定理得,則.故選:B.9.設,滿足約束條件其中.若的最大值為10,則的值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出可行域(陰影部分),當直線經過點時,取得最大值,且最大值為,解得.故選:A10.若函數的圖象關于直線對稱,且是大于的最小正數,則數列的前10項和為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數圖象關于直線對稱,所以,得.又是大于的最小正數,所以,所以數列的前10項和為.故選:C11.已知為定義在上奇函數,當時,,若函數恰有5個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意作出的大致圖象,如圖所示,令,得,當時,,又時,,易知在區間上單調遞增,又,所以時,,又為奇函數,所以由圖可知,當時,直線與的圖象有5個公共點,從而有5個零點,故選:D.12.已知雙曲線的兩個焦點為為上一點,,,則的離心率為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖,取線段的中點,連接,因為,,所以,且,所以,設,則,所以的離心率.故選:D二、填空題13.若,則______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為:.14.已知圓經過拋物線的焦點,點A在上,若點A到的距離為6,則點A的縱坐標為______.〖答案〗〖解析〗依題意可得,由焦半徑公式可得,解得故〖答案〗為:15.函數的極大值為______.〖答案〗〖解析〗,當時,,當時,.所以在上單調遞增,在上單調遞減,所以的極大值為.故〖答案〗為:16.在長方體中,,側面的面積為6,與底面所成角的正切值為,則該長方體外接球的表面積為____________.〖答案〗〖解析〗在長方體中,因為側面的面積為6,所以,因為與底面所成角的正切值為,所以,結合,可得,所以該長方體外接球的半徑為,表面積.故〖答案〗為:三、解答題(一)必考題17.某校有3名百米短跑運動員甲、乙、丙,已知甲最近10次百米短跑的時間(單位:s)的數據如下表:第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次時間/s1212.41212.51211.812.211.511.612(1)計算甲這10次百米短跑的時間的平均數與方差;(2)經過計算,乙最近10次百米短跑的時間的平均數和方差分別為12,0.08,丙最近10次百米短跑的時間的平均數和方差分別為12.4,0.08,若要從甲、乙、丙三人中選一人代表學校參加市區的百米短跑比賽,請判斷該選擇誰,說明你的理由.解:(1)甲這10次百米短跑的時間的平均數為,方差為.(2)因為百米短跑的時間越短,成績越好,所以從數據的平均水平看,甲與乙的成績更好.因為方差越大,數據的波動越大,方差越小,數據的波動越小,所以從數據的波動情況看,甲的成績波動最大,乙和丙的波動水平相當,所以應該選乙參加市區的百米短跑比賽.18.在等差數列中,.(1)求的通項公式;(2)求數列的前項和.解:(1)設的公差為,則,解得,所以;(2)由(1)知,所以.19.如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面,是邊長為2的正三角形,延長至點,使得為線段的中點.(1)證明:平面.(2)若,求四棱錐的體積.(1)證明:連接,交于點,連接,因為底面為矩形,所以為線段的中點.又為線段的中點,所以,因為平面,平面,所以平面.(2)解:記的中點為,連接,,因為是邊長為2的正三角形,所以.又平面平面,且平面平面,且平面,所以平面,則.又,,所以平面,則.因為四邊形為矩形,所以,則,即,解得.因為為線段的中點,所以到的距離等于到的距離的2倍,所以四棱錐的體積.20.已知橢圓長軸為線段,短軸為線段,四邊形的面積為4,且的焦距為.(1)求的標準方程;(2)若直線與相交于兩點,點,且的面積小于,求的取值范圍.解:(1)由題意可得,解得,所以的標準方程為;(2)點到直線的距離,設,聯立方程組,整理得,則,即,,所以,則的面積,得,又,(由三點不共線可得),所以的取值范圍是.21.已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)證明:.(1)解:,則,因為,所以曲線在點處的切線方程為,即.(2)證明:的定義域為,要證明,只需證.設函數,則.當時,;當時,.所以.設函數,則,所以恒成立,從而,故(二)選考題[選修4-4:坐標系與參數方程]22.在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求的直角坐標方程;(2)點的極坐標為,為曲線上任意一點,為線段的中點,求動點的軌跡的直角坐標方程.解:(1)由,得,則,所以,所以直角坐標方程為;(2)點的極坐標為,,所以點的直角坐標為.設,則,得,因為在曲線上,所以,所以,即,所以動點的軌跡的直角坐標方程為.[選修4-5:不等式選講]23.已知.(1)若,證明與中至少有一個小于0;(2)若均為正數,求的最小值.(1)證明:假設與中沒有一個小于0,即,因為,所以,這與矛盾,所以假設不成立,所以與中至少有一個小于0;(2)解:,因為均為正數,所以由柯西不等式可得,當且僅當時,等號成立,故的最小值為.四川省部分名校2024屆高三上學期期末聯合考試數學試題(文)一、選擇題1.集合的一個真子集可以為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗,故A錯誤;,故B錯誤;因為是集合的子集,但不是真子集,故D錯誤;是集合的真子集,故C正確.故選:C.2.()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選:A3.某單位有職工500人,其中男性職工有320人,為了解所有職工的身體健康情況,按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進行調查,則抽取到的男性職工的人數比女性職工的人數多()A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗A〖解析〗由題意可知抽取到的男性職工人數為,女性職工人數為,則抽取到的男性職工的人數比女性職工的人數多.故選:A4.()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故選:D5.某咖啡店門前有一個臨時停車位,小轎車在此停車時長超過10分鐘就會被貼罰單.某顧客將小轎車停在該車位后,來到該咖啡店消費,忽略該顧客從車內到咖啡店以及以從咖啡店回到車內的時間,若該顧客上午10:02到達咖啡店內,他將在當天上午10:08至上午10:15的任意時刻離開咖啡店回到車內,則他的車不會被貼罰單的概率為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在當天上午10:08至上午10:15的任意時刻離開咖啡店回到車內,其中在10:08至上午10:12的任意時刻離開咖啡店回到車內,他的車不會被貼罰單,故由幾何概型可知他的車不會被貼罰單的概率為.故選:C6.若某圓錐的底面半徑,且底面的周長等于母線長,則該圓錐的高為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設該圓錐的高為,依題意有,則,解得.故選:A7.已知向量,滿足,,且,則()A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知,且,則,,所以.故選:C.8.在梯形中,,是邊長為3的正三角形,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是邊長為3的正三角形,所以,又,所以,由正弦定理得,則.故選:B.9.設,滿足約束條件其中.若的最大值為10,則的值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出可行域(陰影部分),當直線經過點時,取得最大值,且最大值為,解得.故選:A10.若函數的圖象關于直線對稱,且是大于的最小正數,則數列的前10項和為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數圖象關于直線對稱,所以,得.又是大于的最小正數,所以,所以數列的前10項和為.故選:C11.已知為定義在上奇函數,當時,,若函數恰有5個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意作出的大致圖象,如圖所示,令,得,當時,,又時,,易知在區間上單調遞增,又,所以時,,又為奇函數,所以由圖可知,當時,直線與的圖象有5個公共點,從而有5個零點,故選:D.12.已知雙曲線的兩個焦點為為上一點,,,則的離心率為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖,取線段的中點,連接,因為,,所以,且,所以,設,則,所以的離心率.故選:D二、填空題13.若,則______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為:.14.已知圓經過拋物線的焦點,點A在上,若點A到的距離為6,則點A的縱坐標為______.〖答案〗〖解析〗依題意可得,由焦半徑公式可得,解得故〖答案〗為:15.函數的極大值為______.〖答案〗〖解析〗,當時,,當時,.所以在上單調遞增,在上單調遞減,所以的極大值為.故〖答案〗為:16.在長方體中,,側面的面積為6,與底面所成角的正切值為,則該長方體外接球的表面積為____________.〖答案〗〖解析〗在長方體中,因為側面的面積為6,所以,因為與底面所成角的正切值為,所以,結合,可得,所以該長方體外接球的半徑為,表面積.故〖答案〗為:三、解答題(一)必考題17.某校有3名百米短跑運動員甲、乙、丙,已知甲最近10次百米短跑的時間(單位:s)的數據如下表:第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次時間/s1212.41212.51211.812.211.511.612(1)計算甲這10次百米短跑的時間的平均數與方差;(2)經過計算,乙最近10次百米短跑的時間的平均數和方差分別為12,0.08,丙最近10次百米短跑的時間的平均數和方差分別為12.4,0.08,若要從甲、乙、丙三人中選一人代表學校參加市區的百米短跑比賽,請判斷該選擇誰,說明你的理由.解:(1)甲這10次百米短跑的時間的平均數為,方差為.(2)因為百米短跑的時間越短,成績越好,所以從數據的平均水平看,甲與乙的成績更好.因為方差越大,數據的波動越大,方差越小,數據的波動越小,所以從數據的波動情況看,甲的成績波動最大,乙和丙的波動水平相當,所以應該選乙參加市區的百米短跑比賽.18.在等差數列中,.(1)求的通項公式;(2)求數列的前項和.解:(1)設的公差為,則,解得,所以;(2)由(1)知,所以.19.如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面,是邊長為2的正三角形,延長至點,使得為線段的中點.(1)證明:平面.(2)若,求四棱錐的體積.(1)證明:連接,交于點,連接,因為底面為矩形,所以為線段的中點.又為線段的中點,所以,因為平面,平面,所以平面.(2)解:記的中點為,連接,,因為是邊長為2的正三角形,所以.又平面平面,且平面平面,且平面,所以平面,則.又,,所以平面,則.因為四邊形為矩形,所以,則,即,解得.因為為線段的中點,所以到的距離等于到的距離的2倍,所以四棱錐的體積.20.

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