高級中學名校試卷PAGEPAGE3河北省邢臺市2023-2024學年高二上學期1月期末數學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在數列中，已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在數列中，已知，且，則，，.故選：A.2.已知經過點的直線的一個方向向量為，則的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設直線上任意與點不重合的一點為，由題意有與共線，所以，整理得的方程為，又點在直線上，且點滿足方程，綜上所述，的方程為.故選：B.3.已知為雙曲線的一個焦點，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C.4.圓與圓的公切線條數為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由可知圓心為，半徑，由，即，則圓心為，半徑，則兩圓圓心距離為，，，故，即兩圓相交，故公切線條數為2條.故選：B.5.已知點到拋物線的焦點的距離為，則該拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗拋物線焦點為，則，且，解得，故該拋物線的準線方程為.故選：C.6.利用溫室大棚等設施進行蔬菜種植，可以使得人們在一年四季吃上夏季的新鮮蔬菜，造福民生．某地大棚種植戶現要采購一批圓筒狀地膜，發(fā)現該種圓筒狀地膜由紙質圓柱形空筒和纏繞在紙筒外面的地膜構成，經測量得到圓柱形空筒底面圓的半徑為3cm（紙質圓筒的厚度忽略不計），每層地膜的厚度為0.1mm，約定在計算每層地膜的長度時，以外層半徑來進行，則一筒100層的地膜的總長度大約為（）（，結果精確到1m）A.18m B.19m C.20m D.21m〖答案〗D〖解析〗根據題意，圓柱形空筒的半徑為30mm，地膜的半徑是以0.1mm為公差的等差數列，所以每一層地膜的長度成等差數列，且首項為mm，公差為，第100項為，所以．故選：D.7.若給定一向量組和向量，若存在一組實數、、、，使得，則稱向量能由向量組線性表示，或稱向量是向量組的線性組合.若，，、、為三個不共面的空間向量，且向量是向量組的線性組合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為、、為三個不共面的空間向量，由題意可知，存在、，使得，即，所以，，解得.故選：C.8.在正三棱柱中，為的中點，分別為線段，上的動點，且，則線段的長度的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中點，連接，如圖，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則.因為是棱上一動點，設，且，所以.因為，所以.令，則.又函數在上為增函數，所以線段的長度的取值范圍為.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知曲線，下列結論正確的是（）A.當時，曲線是一條直線B.當時，曲線是一個圓C.當曲線是圓時，它的面積的最小值為D.當曲線是面積為的圓時，〖答案〗AB〖解析〗對于A選項，當時，曲線的方程為，此時，曲線是一條直線，A對；對于B選項，當時，曲線的方程可化為，因為，此時，曲線是一個圓，B對；對于C選項，當曲線是圓時，其半徑為，當且僅當時，即當時，等號成立，即的最小值為，因此，當曲線是圓時，它的面積的最小值為，C錯；對于D選項，當曲線是面積為的圓時，其半徑為，即，解得或，D錯.故選：AB.10.已知等比數列的首項為，公比為，前項和為.若，則下列結論正確的是（）A.的取值為或或B.當時，C.當時，D.當時，為遞增數列〖答案〗AB〖解析〗因為，即，即，因為，則或，A對；當時，，B對；當時，，C錯；當時，，則，，，，，可知，數列為擺動數列，D錯.故選：AB.11.在正方體中，是線段上一點，則的大小可以為（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則、、、，設點，其中，則，，所以，，當時，，則，則，所以，，因為，所以，，故選：BD.12.已知橢圓的左?右焦點分別為，上頂點為，離心率為為上關于原點對稱的兩點，則（）A.的標準方程為B.C.四邊形的周長隨的變化而變化D.當不與的上、下頂點重合時，直線的斜率之積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由題意知，解得，故的標準方程為，A正確；對于B，因為關于原點對稱，且也關于原點對稱，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，B正確；對于C，，故四邊形的周長為，為定值，C錯誤；對于D，設，則，因為在上，所以，整理得，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.13.已知直線與互相平行，則__________，與之間的距離為__________.〖答案〗①②〖解析〗因為直線與互相平行，所以，解得，則，所以與之間的距離.故〖答案〗為：；.14.已知空間直角坐標系中的點，則點到直線的距離為__________.〖答案〗〖解析〗由題意設為三角形的邊上的高，而，因為三點共線，設，因為，所以，解得，所以，所以點到直線的距離為.故〖答案〗為：.15.已知橢圓的右焦點為，為坐標原點，上位于第一象限的點滿足，若直線的斜率為，則的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗將代入橢圓的方程可得，可得，因為上位于第一象限的點滿足，則，又因為，即，即，即，等式兩邊同時除以可得，因為，解得.故〖答案〗：.16.已知為等比數列，且，則__________.〖答案〗〖解析〗因為為等比數列，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸的非負半軸上.（1）求圓的方程；（2）設過點的直線被圓截得的弦長等于，求直線的方程.解：（1）由題意，設圓心的坐標為，因為直線，半徑為的圓與相切，則，因為，解得，因此，圓的方程為.（2）由勾股定理可知，圓心到直線的距離為.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，合乎題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則，解得，此時，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.18.已知等差數列滿足.（1）求的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.解：（1）由已知可得，設等差數列的公差為，則，解得，所以，.（2），所以，.故對任意的，.19.如圖，在中，，，.將繞旋轉得到，、分別為線段、的中點：（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面夾角余弦值.解：（1）在中，，，，將繞旋轉得到，則，因為，、平面，則平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，平面內過點且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點到平面的距離為，因此，點到平面的距離為.（2）設平面的法向量為，，，則，取，可得，因為，因此，平面與平面夾角的余弦值為.20.已知數列滿足.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和，并求的最值.解：（1）由題意，，所以，即，所以，，當時，也滿足，所以數列的通項公式為（2）由（1）可知，則，則①，②，①②可得，，，則，由于單調遞增，則.21.已知為拋物線上的一點，為的焦點.（1）設的準線與軸交于點，過點作，垂足為，求四邊形的面積；（2）若、為上橫坐標不同的兩動點，、與均不重合，且直線、的斜率之積為，證明：直線過定點.解：（1）將點坐標代入拋物線的方程得，解得，所以，拋物線的方程為，其焦點為，拋物線的準線方程為，易知點，，，，，則四邊形為直角梯形，且，所以，四邊形的面積為.（2）設點、，因為、為上橫坐標不同的兩動點，、與均不重合，則，且，，，同理可得，因為，整理可得，若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線的方程為，聯立可得，，由韋達定理可得，，所以，，可得，所以，直線的方程為，由，可得，故直線過定點.22.已知雙曲線的左?右頂點分別為是坐標原點，焦點到漸近線的距離為，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線的另一個交點為是雙曲線上異于兩點的一動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，證明：.解：（1）漸近線方程為，焦點坐標為，由題意可知，解得.將點的坐標代入雙曲線的方程得，解得，所以雙曲線的方程是.（2）由對稱性可知，點的坐標為.設直線的方程為，聯立方程組消去得，解得，代入，得，即.中，令得，故，由題意知，點不與點重合，故，解得且，其中直線的方程為，直線的方程為，即，聯立方程組解得即.所以，所以.河北省邢臺市2023-2024學年高二上學期1月期末數學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在數列中，已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在數列中，已知，且，則，，.故選：A.2.已知經過點的直線的一個方向向量為，則的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設直線上任意與點不重合的一點為，由題意有與共線，所以，整理得的方程為，又點在直線上，且點滿足方程，綜上所述，的方程為.故選：B.3.已知為雙曲線的一個焦點，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C.4.圓與圓的公切線條數為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由可知圓心為，半徑，由，即，則圓心為，半徑，則兩圓圓心距離為，，，故，即兩圓相交，故公切線條數為2條.故選：B.5.已知點到拋物線的焦點的距離為，則該拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗拋物線焦點為，則，且，解得，故該拋物線的準線方程為.故選：C.6.利用溫室大棚等設施進行蔬菜種植，可以使得人們在一年四季吃上夏季的新鮮蔬菜，造福民生．某地大棚種植戶現要采購一批圓筒狀地膜，發(fā)現該種圓筒狀地膜由紙質圓柱形空筒和纏繞在紙筒外面的地膜構成，經測量得到圓柱形空筒底面圓的半徑為3cm（紙質圓筒的厚度忽略不計），每層地膜的厚度為0.1mm，約定在計算每層地膜的長度時，以外層半徑來進行，則一筒100層的地膜的總長度大約為（）（，結果精確到1m）A.18m B.19m C.20m D.21m〖答案〗D〖解析〗根據題意，圓柱形空筒的半徑為30mm，地膜的半徑是以0.1mm為公差的等差數列，所以每一層地膜的長度成等差數列，且首項為mm，公差為，第100項為，所以．故選：D.7.若給定一向量組和向量，若存在一組實數、、、，使得，則稱向量能由向量組線性表示，或稱向量是向量組的線性組合.若，，、、為三個不共面的空間向量，且向量是向量組的線性組合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為、、為三個不共面的空間向量，由題意可知，存在、，使得，即，所以，，解得.故選：C.8.在正三棱柱中，為的中點，分別為線段，上的動點，且，則線段的長度的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中點，連接，如圖，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則.因為是棱上一動點，設，且，所以.因為，所以.令，則.又函數在上為增函數，所以線段的長度的取值范圍為.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知曲線，下列結論正確的是（）A.當時，曲線是一條直線B.當時，曲線是一個圓C.當曲線是圓時，它的面積的最小值為D.當曲線是面積為的圓時，〖答案〗AB〖解析〗對于A選項，當時，曲線的方程為，此時，曲線是一條直線，A對；對于B選項，當時，曲線的方程可化為，因為，此時，曲線是一個圓，B對；對于C選項，當曲線是圓時，其半徑為，當且僅當時，即當時，等號成立，即的最小值為，因此，當曲線是圓時，它的面積的最小值為，C錯；對于D選項，當曲線是面積為的圓時，其半徑為，即，解得或，D錯.故選：AB.10.已知等比數列的首項為，公比為，前項和為.若，則下列結論正確的是（）A.的取值為或或B.當時，C.當時，D.當時，為遞增數列〖答案〗AB〖解析〗因為，即，即，因為，則或，A對；當時，，B對；當時，，C錯；當時，，則，，，，，可知，數列為擺動數列，D錯.故選：AB.11.在正方體中，是線段上一點，則的大小可以為（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則、、、，設點，其中，則，，所以，，當時，，則，則，所以，，因為，所以，，故選：BD.12.已知橢圓的左?右焦點分別為，上頂點為，離心率為為上關于原點對稱的兩點，則（）A.的標準方程為B.C.四邊形的周長隨的變化而變化D.當不與的上、下頂點重合時，直線的斜率之積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由題意知，解得，故的標準方程為，A正確；對于B，因為關于原點對稱，且也關于原點對稱，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，B正確；對于C，，故四邊形的周長為，為定值，C錯誤；對于D，設，則，因為在上，所以，整理得，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.13.已知直線與互相平行，則__________，與之間的距離為__________.〖答案〗①②〖解析〗因為直線與互相平行，所以，解得，則，所以與之間的距離.故〖答案〗為：；.14.已知空間直角坐標系中的點，則點到直線的距離為__________.〖答案〗〖解析〗由題意設為三角形的邊上的高，而，因為三點共線，設，因為，所以，解得，所以，所以點到直線的距離為.故〖答案〗為：.15.已知橢圓的右焦點為，為坐標原點，上位于第一象限的點滿足，若直線的斜率為，則的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗將代入橢圓的方程可得，可得，因為上位于第一象限的點滿足，則，又因為，即，即，即，等式兩邊同時除以可得，因為，解得.故〖答案〗：.16.已知為等比數列，且，則__________.〖答案〗〖解析〗因為為等比數列，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸的非負半軸上.（1）求圓的方程；（2）設過點的直線被圓截得的弦長等于，求直線的方程.解：（1）由題意，設圓心的坐標為，因為直線，半徑為的圓與相切，則，因為，解得，因此，圓的方程為.（2）由勾股定理可知，圓心到直線的距離為.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，合乎題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則，解得，此時，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.18.已知等差數列滿足.（1）求的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.解：（1）由已知可得，設等差數列的公差為，則，解得，所以，.（2），所以，.故對任意的，.19.如圖，在中，，，.將繞旋轉得到，、分別為線段、的中點：（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面夾角余弦值.解：（1）在中，，，，將繞旋轉得到，則，因為，、平面，則平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，平面內過點且