第1頁（共1頁）2022年浙江省寧波市鄞州區四校聯考中考數學模擬試卷一、選擇題（每小題5，共30分）1．（5分）已知、、都是實數，并且，那么下列式子中正確的是A． B． C． D．2．（5分）已知實數，且滿足，，則的值為A．23 B． C． D．3．（5分）若直角三角形的兩條直角邊長為，，斜邊長為，斜邊上的高為，則有A． B． C． D．4．（5分）若實數為常數，關于的不等式組的整數解只有8個，則的值為A． B．0 C．1 D．25．（5分）已知二次函數的圖象的頂點在第二象限，且過點．當為整數時，A．0 B． C． D．6．（5分）如圖，四邊形是邊長為6的正方形，點、在邊上，且，點是線段上的動點，分別以、為邊在線段的同側作正方形和正方形，、分別為、的中點，連接，設的中點為，則當點從點運動到點時，點移動的路徑長為A．1 B．2 C．3 D．6二、填空題（每小題5分，30分）7．（5分）函數的自變量的取值范圍是．8．（5分）在中，，，，若是邊上的動點，則的最小值為．9．（5分）已知方程（其中為非負整數）至少有一個整數根．那么．10．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線相交于，兩點，是第一象限內雙曲線上一點，連接并延長交軸于點，連接，．若的面積是20，則點的坐標為．11．（5分）如圖，、在矩形的邊、上，，，，，則的長為．12．（5分）已知表示不超過的最大整數（例如：，，，且滿足，則．三、解答題（第1題10分，第2題15分，第3題15分，共40分）13．（10分）如圖，拋物線，頂點為，該拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，且，直線與軸交于點，求．14．（15分）如圖，將，的矩形放置在平面直角坐標系中，動點、以每秒1個單位的速度分別從點、同時出發，其中點沿向終點運動，點沿向終點運動，當兩個動點運動了秒時，過點作，交于點，連接．（1）點的坐標為；用含的式子表示點的坐標為；（2）記的面積為，求與的函數關系式，并求為何值時，有最大值？（3）試探究：當有最大值時，在軸上是否存在點，使直線把分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是面積的？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．15．（15分）定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個三角形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊．（1）如圖1，中，，，點在邊上，以為半徑的恰好經過點，求證：是的切圓．（2）如圖2，中，，，是的切圓，且另外兩條邊都是的切邊，求的半徑．（3）如圖3，中，以為直徑的恰好是的切圓，是的切邊，與交于點，取弧的中點，連接交于點，過點作于點，若，，求和的長．

2022年浙江省寧波市鄞州區四校聯考中考數學模擬試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5，共30分）1．（5分）已知、、都是實數，并且，那么下列式子中正確的是A． B． C． D．【分析】由，得，，則，故正確；而的符號不確定，則排除、、．【解答】解：根據不等式性質：，，故正確，的符號不確定，、、不成立，故選：．【點評】本題考查了不等式的性質：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．2．（5分）已知實數，且滿足，，則的值為A．23 B． C． D．【分析】根據，，把、可看成是關于的方程的兩個根，然后根據根與系數的關系進行求解．【解答】解：、是關于的方程的兩個根，整理此方程，得，△，，．故、均為負數．因此．故選：．【點評】本題考查了根與系數的關系，屬于基礎題，關鍵是根據已知條件把、看成是關于的方程的兩個根．3．（5分）若直角三角形的兩條直角邊長為，，斜邊長為，斜邊上的高為，則有A． B． C． D．【分析】根據三角形的面積求法，可將斜邊的高用兩直角邊表示出來．【解答】解：．故選：．【點評】本題主要考查勾股定理和直角三角形的面積求法．4．（5分）若實數為常數，關于的不等式組的整數解只有8個，則的值為A． B．0 C．1 D．2【分析】由且不等式組的整數解只有8個得出其整數解情況，從而得出，由此得出，即可知的值．【解答】解：由且不等式組的整數解只有8個，則不等式組的整數解為、、、、、、0、1，，可得，則，故選：．【點評】本題主要考查一元一次不等式組的整數解，根據整數解的個數得出的不等式組是解題的關鍵．5．（5分）已知二次函數的圖象的頂點在第二象限，且過點．當為整數時，A．0 B． C． D．【分析】首先根據題意確定、的符號，然后進一步確定的取值范圍，根據為整數確定、的值，從而確定答案．【解答】解：依題意知，，，故，且，，于是，又為整數，，故，，故選：．【點評】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是能夠根據圖象經過的點確定的值和、的符號，難度中等．6．（5分）如圖，四邊形是邊長為6的正方形，點、在邊上，且，點是線段上的動點，分別以、為邊在線段的同側作正方形和正方形，、分別為、的中點，連接，設的中點為，則當點從點運動到點時，點移動的路徑長為A．1 B．2 C．3 D．6【分析】設中點為，連接、、、、，可證明四邊形為平行四邊形，判斷出的運行軌跡為的中位線，從而求出點移動的路徑長．【解答】解：設中點為，連接、、、、，可證明四邊形為平行四邊形，為的中點，即在點運動過程中，始終為的中點，的運行軌跡為的中位線，，點移動的路徑長為．故選：．【點評】本題考查了軌跡，判斷出的運行軌跡為的中位線是解題的關鍵．二、填空題（每小題5分，30分）7．（5分）函數的自變量的取值范圍是且．【分析】根據二次根式的被開方數是非負數，以及分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根據題意得：且，，解得：且．【點評】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數是非負數．8．（5分）在中，，，，若是邊上的動點，則的最小值為6．【分析】過點作射線，使，再過動點作，垂足為點，連接，在中，，，當，，在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長．【解答】解：過點作射線，使，再過動點作，垂足為點，連接，如圖所示：在中，，，，當，，在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，，，的最小值為6，故答案為：6．【點評】本題考查了胡不歸問題，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造胡不歸模型，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．9．（5分）已知方程（其中為非負整數）至少有一個整數根．那么1，3或5．【分析】利用根的判別式得出關于的式子，然后求出兩根，利用倍數與約數求出的值．【解答】解：顯然．故原方程為關于的二次方程．△，是完全平方式．故即，．當是整數時，，3；當是整數時，，5．綜上所述，，3或5．【點評】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，以及方程根的求法和數據的倍數與約數．10．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線相交于，兩點，是第一象限內雙曲線上一點，連接并延長交軸于點，連接，．若的面積是20，則點的坐標為，．【分析】設點坐標為，根據反比例函數與一次函數的交點問題解方程組可得到點坐標為，點坐標為，再利用待定系數法確定直線的解析式為，直線的解析式為，于是利用軸上點的坐標特征得到點坐標為，點坐標為，然后利用得到關于的方程，求出的值即可得到點坐標．【解答】解：交軸于，如圖，設點坐標為解方程組得或，點坐標為，點坐標為，設直線的解析式為，把、代入得，解得，直線的解析式為，當時，，點坐標為設直線的解析式為，把、代入得，解得，直線的解析式為，當時，，點坐標為，，解得，點坐標為，．故答案為：，．【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點；若方程組無解則兩者無交點．也考查了用待定系數法求一次函數的解析式．11．（5分）如圖，、在矩形的邊、上，，，，，則的長為．【分析】在上截取，連接，在上截取，連接，設，根據矩形的性質可得，，，從而可得，，，，進而可得，，然后可證，，從而證明，再利用相似三角形的性質進行計算，即可解答．【解答】解：在上截取，連接，在上截取，連接，設，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，或（舍去），，，故答案為：．【點評】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．12．（5分）已知表示不超過的最大整數（例如：，，，且滿足，則6．【分析】由于最大的數在1和2之間，則，而，由此得到前面11個數都等于0，后面18個都等于1，則，，可解得，然后根據取整計算可得到．【解答】解：，，，，，，，，，，，，．故答案為：6．【點評】本題考查了取整計算：表示不超過的最大整數（例如：，．三、解答題（第1題10分，第2題15分，第3題15分，共40分）13．（10分）如圖，拋物線，頂點為，該拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，且，直線與軸交于點，求．【分析】證明，得出，過點作，證出，則；在中，則，，，即可求解．【解答】解：由題意得：，則：以下各點的坐標分別為：、、，直線與軸交于點，坐標為，，，，，，則二次函數的表達式為，則頂點的坐標為，由點、坐標可知，所在的直線的，過點作，則，，則直線所在的方程的，方程為，點的坐標為，，在中，由、、的坐標可求出：則，，，過點作，設：，則根據，解得：，則，，，【點評】本題考查的是拋物線與坐標軸的交點問題，涉及到三角形全等、解直角三角形等相關知識，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．14．（15分）如圖，將，的矩形放置在平面直角坐標系中，動點、以每秒1個單位的速度分別從點、同時出發，其中點沿向終點運動，點沿向終點運動，當兩個動點運動了秒時，過點作，交于點，連接．（1）點的坐標為；用含的式子表示點的坐標為；（2）記的面積為，求與的函數關系式，并求為何值時，有最大值？（3）試探究：當有最大值時，在軸上是否存在點，使直線把分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是面積的？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由，，易得點的坐標為；由圖可得，點的橫坐標，縱坐標，的值可根據相似比求得；（2）由（1）的結論易得的高為，而，再根據三角形的面積公式即可求得與的函數關系式，再由二次函數的最值求法，求得為何值時，有最大值；（3）由（2）求得點、的坐標，從而求得直線的函數關系式；設點的坐標為，可得直線的函數關系式，解由兩個關系式組成的方程組，可得點直線與的交點的坐標；由已知易得，；然后分兩種情況考慮：①當點在點、之間時，②當點在點的延長線上，從而求得符合條件的點的坐標．【解答】解：（1）延長交于，如圖1所示：矩形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，點的坐標為；由圖可得，點的橫坐標，縱坐標，，，，即，，點的縱坐標，則點的坐標為；故答案為：；；（2），．當時，有最大值．（3）存在．理由如下：由（2）得，當有最大值時，點、的坐標分別為：，，則直線的函數關系式為：．設點的坐標為，則直線的函數關系式為：，解方程組得，直線與的交點的坐標為，，，，①當點在點、之間時，分割出的三角形是△，如圖2所示，作軸，為垂足，則．，解得：（負值舍去）．，此時點的坐標為．②當點在的延長線上時，分割出的三角形是△，如圖，設交于點，由①得點的橫坐標為，作交于點，則．，解得：（負值舍去）．．此時點的坐標為，．綜上所述，在軸上存在點，，符合條件．【點評】此題是四邊形綜合題目，綜合性較強，考查了矩形的性質、坐標與圖形性質、平行四邊形的判定與性質、平行線分線段成比例、二次函數的最值、一次函數的應用等知識點；本題綜合性強，難度較大．15．（15分）定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個三角形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊．（1）如圖1，中，，，點在邊上，以為半徑的恰好經過點，求證：是的切圓．（2）如圖2，中，，，是的切圓，且另外兩條邊都是的切邊，求的半徑．（3）如圖3，中，以為直徑的恰好是的切圓，是的切邊，與交于點，取弧的中點，連接交于點，過點作于點，若，，求和的長．【分析】（1）連接，說明是圓的切線即可利用新定義得出結論；（2）利用分類討論的方法分兩種情況解答：①當圓心在邊上，與，邊相切于點，時，連接，，，利用切線長定理和切線的性質定理，和相似三角形的判定定理與性質求得線段，再利用勾股定理即可求出圓的半徑；②當圓心在邊上，與，邊相切于點，時，連接，，，過點作于點，利用切線的性質定理和三角形的面積公式，設，列出方程即可求解；（3）連接，利用直徑所對的圓周角為直角和切線的性質定理證明得到，利用相似三角形的性質求的，利用勾股定理求得；利用角平分線的性質求得，，再利用平行線分線段成比例定理即可求得．【解答】（1）證明：連接，如圖，，，．．，．．即．是圓的半徑，與相切．圓心在邊上，是的切圓；（2）解：①當圓心在邊上，與，邊相切于點，時，連接，，