專題18解直角三角形（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1銳角三角函數的定義】 1【考點2銳角三角函數的增減性】 3【考點3同角三角函數的關系】 3【考點4互余兩角三角函數的關系】 3【考點5特殊角的三角函數】 5【考點6解直角三角形】 6【考點7解直角三角形的應用之仰角俯角問題】 7【考點8解直角三角形的應用之方位角問題】 9【考點9解直角三角形的應用之坡度坡比問題】 11【考點10解直角三角形應用之其他問題】 12【要點1銳角三角函數】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的三角函數為定義表達式取值范圍關系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)SKIPIF1<0【考點1銳角三角函數的定義】【例1】（2022·湖北荊州·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC:BC=1:2，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P1,1，則tan∠OAP的值是（

A．33 B．22 C．【變式1-1】（2022·上海·上海市進才中學校考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四個選項，正確的是（

A．tanB=34 B．sinB=【變式1-2】（2022·山東濱州·陽信縣實驗中學校考模擬預測）如圖所示，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若AD＝3，A．32 B．53 C．5【變式1-3】（2022·四川宜賓·統考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點F，則cos∠ADF的值為（

A．817 B．715 C．15【考點2銳角三角函數的增減性】【例2】（2022·上海靜安·統考一模）如果0°<∠A<45°，那么sinA與cosA的差（A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定【變式2-1】（2022·上海·校考模擬預測）如果銳角A的度數是25°，那么下列結論中正確的是（

）A．0<sinA<C．33<【變式2-2】（2022·甘肅張掖·統考模擬預測）若0°<α<90°，則下列說法不正確的是（

）sinα隨α的增大而增大B．cosα隨αC．tanα隨α的增大而增大 D．0<sinα<1【變式2-3】（2022·浙江寧波·校聯考一模）sin70°，cos70°，tan70°的大小關系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°【考點3同角三角函數的關系】【例3】（2022春·湖南邵陽·九年級邵陽市第二中學校考自主招生）已知m為實數，且sinα，cosα是關于x的方程4x2?mx+1=0A．18 B．34 C．【變式3-1】（2022·陜西西安·交大附中分校校考模擬預測）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝23，則cosAA．133 B．132 C．5【變式3-2】（2022·陜西西安·交大附中分校校考模擬預測）已知tanα=5，則3【變式3-3】（2022·湖北·校聯考一模）已知：實常數a、b、c、d同時滿足下列兩個等式：⑴asinθ+bcosθ?c=0；⑵acos【考點4互余兩角三角函數的關系】【例4】（2022·福建南平·統考二模）如圖，將矩形ABCD放置在一組等距的平行線中，恰好四個頂點都在平行線上，已知相鄰平行線間的距離為1，若∠DCE=β，則矩形ABCD的周長可表示為（

）A．22cosC．22sin【變式4-1】（2022·安徽宣城·校聯考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（）A．sinA＝sinB B．cosA＝sinBC．sinA＝cosB D．sin（A+B）＝sinC【變式4-2】（2022·湖北武漢·統考三模）如圖，在△ABC中，tan∠BAC?tan∠ABC=1，⊙O經過A、B兩點，分別交AC、BC于D、E兩點，若DE=10，AB=24，則⊙O的半徑為（

）A．102 B．C．13 D．25【變式4-3】（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，△ABC與△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，則△ABC與△A′B′C′的面積比為（）A．25：9 B．5：3 C．： D．5：3【要點2特殊角的三角函數值】三角函數30°45°60°1【考點5特殊角的三角函數】【例5】（2022·山東濟寧·校考二模）如圖，在正方形ABCB1中，AB=3，AB與直線l所夾銳角為60°，延長CB1交直線l于點A1，作正方形A1B1C1B2，延長C1B2交直線l于點A．2×332019 B．2×3【變式5-1】（2022·山東日照·統考中考真題）在實數2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數的個數是（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式5-2】（2022·福建泉州·統考二模）如圖，在菱形ABCD中，AC=CD，則cosB的值為（

）A．34 B．32 C．1【變式5-3】（2022·陜西渭南·統考二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點H是高AD和BE的交點，∠CAD＝30°，CD＝4，則線段BH的長度為（

）A．6 B．43 C．8 D．【要點3解直角三角形的類型和解法】已知條件圖形解法對邊鄰邊SKIPIF1<0斜邊ACB對邊鄰邊SKIPIF1<0斜邊ACBbSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知斜邊和一個銳角SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知兩直角邊SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知斜邊和一條直角邊SKIPIF1<0SKIPIF1<0【考點6解直角三角形】【例6】（2022·江蘇南通·統考中考真題）如圖，點O是正方形ABCD的中心，AB=32．Rt△BEF中，∠BEF=90°,EF過點D，BE,BF分別交AD,CD于點G，M，連接OE,OM,EM．若BG=DF,tan∠ABG=【變式6-1】（2022·浙江嘉興·統考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為_________．【變式6-2】（2022·西藏·統考中考真題）如圖，已知BC為⊙O的直徑，點D為CE的中點，過點D作DG∥CE，交BC的延長線于點A，連接BD，交CE于點F．(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的長．【變式6-3】（2022·遼寧撫順·統考中考真題）在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，線段AB繞點A逆時針旋轉至AD（AD不與AC重合），旋轉角記為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點E，連接EC．(1)如圖①，當α=20°時，∠AEB的度數是_____________；(2)如圖②，當0°<α<90°時，求證：BD+2CE=2(3)當0°<α<180°,AE=2CE時，請直接寫出BDED【考點7解直角三角形的應用之仰角俯角問題】【例7】（2022·山東聊城·統考中考真題）我市某轄區內的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．數學興趣小組利用無人機測量古槐的高度，如圖②所示，當無人機從位于塔基B點與古槐底D點之間的地面H點，豎直起飛到正上方45米E點處時，測得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點B，H，D三點在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結果精確到1米）．（參考數據：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，【變式7-1】（2022·山東濟南·統考中考真題）數學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（

）（精確到1m．參考數據：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85A．28m B．34m C．37m D．46m【變式7-2】（2022·江蘇泰州·模擬預測）如圖，小明在大樓45m高（即PH=45m，且PH⊥HC）的窗口P處進行觀測，測得山坡上A處的俯角為15°，山腳B處的俯角為60°，已知該山坡的坡度i（即tan∠ABC）為1:3（點P，H，B，C，A在同一個平面上，點H，(1)∠PBA的度數等于________度（直接填空）(2)求A，B兩點間的距離（結果精確到0.1m，參考數據：2≈1.414，【變式7-3】（2022·四川自貢·統考中考真題）某數學興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下：(1)探究原理：制作測角儀時，將細線一段固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測量時，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點O轉動量角器，使觀測目標P與直徑兩端點A,B共線（如圖②），此目標P的仰角∠POC=∠GON．請說明兩個角相等的理由．(2)實地測量：如圖③，公園廣場上有一棵樹，為了測量樹高，同學們在觀測點K處測得頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測點與樹的距離KH為5米，點O到地面的距離OK為1.5米；求樹高PH．（(3)拓展探究：公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距離地面高度PH（如圖④），同學們討論，決定先在水平地面上選取觀測點E,F（E,F,H在同一直線上），分別測得點P的仰角α,β，再測得E,F間的距離m，點O1,O2到地面的距離O1【考點8解直角三角形的應用之方位角問題】【例8】（2022·山東泰安·統考模擬預測）因東坡文化遠近聞名的遺愛湖公園，“國慶黃金周”期間，游人絡繹不絕，現有一艘游船載著游客在遺愛湖中游覽，當船在A處時，船上游客發現岸上P1處的臨皋亭和P2處的遺愛亭都在東北方向；當游船向正東方向行駛600m到達B處時，游客發現遺愛亭在北偏西15°方向；當游船繼續向正東方向行駛400m到達C處時，游客發現臨皋亭在北偏西60°方向．則臨皋亭P1處與遺愛亭P2處之間的距離為_____．（計算結果保留根號）【變式8-1】（2022·遼寧朝陽·模擬預測）如圖，B地在A地的北偏東56°方向上，C地在B地的北偏西19°方向上，原來從A地到C地的路線為A→B→C，現在沿A地北偏東26°方向新修了一條直達C地的公路，路程比原來少了20千米．求從A地直達C地的路程(結果保留整數．參考數據：2≈1.4，3【變式8-2】（2022·浙江寧波·一模）如圖，某漁船沿正東方向以10海里／小時的速度航行，在A處測得島C在北偏東60°方向，1小時后漁船航行到B處，測得島C在北偏東30°方向，已知該島周圍9海里內有暗礁．參考數據：3≈1.732，sin75°≈0.966，(1)B處離島C有多遠？如果漁船繼續向東航行，有無觸礁危險？(2)如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，有無觸礁危險？【變式8-3】（2022·四川成都·校聯考三模）如圖，m，n為河流南北兩岸的平行道路，北岸道路A，B和南岸道路D點處各有一株古樹．已知B，D兩株古樹間的距離為200米，為了測量A，B兩株古樹之間的距離，在南岸道路C點處測得古樹A位于北偏西42°方向，在D處測得古樹B位于北偏西30°方向．已知CD=280米，求A，B兩株古樹之間的距離．（結果保留整數）參考數據：2≈1.41，3≈1.73，sin42°≈2740，cos42°≈34【考點9解直角三角形的應用之坡度坡比問題】【例9】（2022·湖南郴州·統考中考真題）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD=20m，背水坡BC的坡度為i1=1:1．為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設計人員準備把背水坡的坡度改為i2=1:3，求背水坡新起點A與原起點【變式9-1】（2022·湖南株洲·統考中考真題）如圖1所示，某登山運動愛好者由山坡①的山頂點A處沿線段AC至山谷點C處，再從點C處沿線段CB至山坡②的山頂點B處．如圖2所示，將直線l視為水平面，山坡①的坡角∠ACM=30°，其高度AM為0.6千米，山坡②的坡度i=1:1，BN⊥l于N，且CN=2(1)求∠ACB的度數；(2)求在此過程中該登山運動愛好者走過的路程．【變式9-2】（2022·河北石家莊·校聯考三模）小明在一段斜坡OA?AB上進行跑步訓練．在訓練過程中，始終有一架無人機在小明正上方隨他一起運動，無人機速度為3m/s，距水平地面的高度總為15m（在直線y=15上運動）現就小明訓練中部分路段作出如圖函數圖象：已知OA=1010m，斜坡OA的坡度i=1：3，斜坡(1)點A坐標為______，OA段y關于x的函數解析式為______；(2)小明在斜坡AB上的跑步速度是______m/s，并求AB段y關于x的函數解析式；(3)若小明沿O?A?B方向運動，求無人機與小明之間距離不超過10m的時長．（參考數據：sin22.5°≈513，cos【變式9-3】（2022·重慶·西南大學附中校考模擬預測）如圖是某大型商場一層到二層的自動扶梯側面示意圖，小明在一層的A處用測角儀（測角儀高度忽略不計）測得天花板上的日光燈P的仰角為27°，他向正前方走了5米來到扶梯起點B處，乘坐扶梯BD上行13米到達二層的D處，此時用測角儀測得日光燈P的仰角為53°，已知自動扶梯BD的坡度為1∶2.4．參考數據：sin27°≈920，cos27°≈910，tan27°≈(1)求圖中點D到一層地面的高度；(2)根據規定，商場兩層總樓高要大于10米，判斷該商場樓高是否符合規定，并說明理由．【考點10解直角三角形應用之其他問題】【例10】（2022·遼寧盤錦·校考一模）如圖1，圖2分別是網上某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據商品介紹，獲得了如下信息：滑桿D