屢教屢“錯”——對二次函數中利潤問題的幾點思考小浦中學李乾花摘要：二次函數是初中數學教學中的一大難點，而二次函數的應用更是這難點中的難點，因為他牽涉到一元二次方程的綜合運用，需要較好的基礎，同時他還牽涉到數形結合思想與建模思想的滲透與運用，需要較高的思維水平，所以說他是初中數學里的一塊難啃的硬骨頭。也正因為如此，如何順利的突破這一關，把這塊難啃的硬骨頭啃掉是一件很有意義的事情。關鍵詞：有意義學習教學質量積極性在初中數學教學中，存在著這樣一種現象：對同一類型的題目，教師在上課時講過，學生也練過，而且課堂上反饋上來的情況也不錯，可是往往不到一個月，當學生再次面對這類問題時，又是一頭霧水不知所措了，教師再講，學生再錯。這種屢教屢“錯”的現象對全面提高數學教學質量影響極大，故而值得我們進行深入的研究。一、案例再現在浙教版九（上）《二次函數》的教學中，常會遇到這樣一類利潤問題：某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤120元。為了擴大銷售，增加利潤，超市準備適當降價。據測算，若每箱降價1元，每天可多售出2箱。問當每箱降價多少元時，平均每天售出的飲料獲利最多？教師：設每箱降價元，平均每天售出飲料獲利為元。學生：哦！教師：為了幫助同學們理清題目中的各個量之間的關系，老師給出了下面的表格：每箱利潤（元）銷售量（箱）原來120元100箱變化情況降價1元多售2箱降價元多售箱現在（120-）元（100+）箱學生：哦？教師：同學們理解了嗎？學生們紛紛點頭，于是教師決定趁熱打鐵，給出了下面的練習：某商店購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷售，那么半月內可售出400件，根據銷售經驗，提高單價會導致銷售量減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件。如何提高售價，才能在半月內獲得最大利潤？學生的答題情況不是十分理想，有些同學對題中的數量關系還是不能理清，最后教師說：想想老師剛才是怎么解決的。于是同學們看到了表格，都嘗試著做了，幾分鐘以后幾乎每個同學都會分析解決這類問題了。在一個月后的期中練習中，也出現了類似的題目，在做試卷分析的時候不禁讓教師目瞪口呆，全班只有近17%的同學答對了該題！于是教師再耐心的講，直到學生都聽懂了為止，可過了一個星期后再做，還有近52%的同學做錯。二、現象反思二次函數是初中數學教學中的一大難點，而二次函數的應用更是這難點中的難點，因為他牽涉到一元二次方程的綜合運用，需要較好的基礎，同時他還牽涉到數形結合思想與建模思想的滲透與運用，需要較高的思維水平，是初中數學里的一塊難啃的硬骨頭。也正因為如此，如何順利的突破這一關，把這塊難啃的硬骨頭啃掉是一件很有意義的事情。不可否認，在上述案例中教師能將列表的方法引入，的確是一個很好的創新方法，他有助于學生對這類題目中各個量的變化進行梳理，可是為什么一段時間以后學生解決問題的能力沒有提升反而又回到了原來的起點呢！這確實值得我們深思，我覺得主要有以下兩方面的原因。（一）客觀原因早在一百多年前，德國心理學家艾賓浩斯（Ebbinghaus,1885）就對這種現象進行了研究，他認為：學習后的不同時間里保持量是不同的，剛學完時保持量最大，在學后的短時間內保持量急劇下降，然后保持量漸趨穩定的下降，最后接近水平。[1]（二）主觀原因1.教師把需要高水平認知的問題降格為只需要模仿和記憶的低層次問題[2]，并由此延伸出課堂教學呆板，學生學習積極性不高。當學生初次嘗試便遭遇大面積的失敗后，教師沒有繼續保持對學生高水平認知的要求，促進學生以有意義的方式進行積極的思考與推理，而是迅速降低了對學生的思維要求，通過讓學生“想想老師剛才是怎么解決的”把解決問題的方法“喂”給了學生。這樣就扼殺了學生進一步思考的興趣，他們只會模仿和記憶，不會獨立的去思考去探究，因為老師會告訴我們方法的，久而久之就使學生養成了依賴的習慣，對于學習也沒有了興趣。2.教師的教學行為沒有建立在學生已有的知識經驗基礎之上。在上述案例中，教師只是把自己認為可行的方法“灌”給了學生，而沒有去激活學生原有的與此相關的知識和方法，這樣就失去了培養學生知識遷移能力的寶貴機會，這樣也失去了發展學生有意義數學學習的機會。奧蘇伯爾認為，在認知結構中，是否有適當的起固定作用的觀念可以利用，這是影響有意義學習與保持的第一個重要的認知結構變量[2]。事實上，教師完全可以讓學生回憶浙教版八（下）第二章一元二次方程中的利潤問題。而上述案例中的做法完全脫離了學生已有的知識經驗基礎，致使新知不能與原有的知識經驗融為一體進而生成更穩定的認知結構，他們習得的只是一些膚淺的、機械的、間斷的數學理解。這樣就達不到長時記憶的效果，更不要說能力的提升了。3.教師組織的教學活動沒有引導學生經歷高層次的學習過程，也沒有幫助他們獲得高水平的思維成效[2]。由于教師所謂的“時間觀念”和包辦心理，以及由此衍生的簡單化、公式化、套路化的教學模式，造成學生的認識活動只能與具體的問題建立起某種表面上的聯系，而與潛在的數學實質相去甚遠。在經歷了此番教學過程后的學生，他們對知識的建構仍停留在“知其然，而不知其所以然”的層次上，有意義的活動并沒有在課堂上發生。只要解決任務的某些因素稍有變動，他們就會變得不知所措，只能回到講評前的老路上去。對他們來講知識只是建構在表面，而非真正的理解。4.教師對練習的設計偏簡單，沒有按照學生的認知規律。要讓學生較快較好的學好數學，還必須遵循“認知心理學”的規律。認知心理學的觀點告訴我們人們要掌握某一知識，必須經歷感知、認識、再現、再認識、鞏固等心理過程[3]。對于上述案例，教師在上課之前可設計某些具有啟發性、階梯性的練習來幫助學生回憶起以前相關的知識，在分析到位后設計一組有針對性的練習，課后再設計一組具有鞏固性和拓展性的練習。使學生知道知識間橫向、縱向的聯系，從而擺脫了簡單的模仿與記憶的模式，培養了學生舉一反三的能力。三、應對策略在經歷了上述的反思之后，我覺得可對上述案例作如下的改進：1.加強與已有知識的聯系，讓學生覺得既親切又好奇同時還具有挑戰。根據奧蘇伯爾的理論，新的知識最好能與以前所學的知識相聯系，這樣知識就好比是雪球，越滾越大，而且學生學習起來也覺得輕松，不需要另起爐灶，只需要在原來的基礎上進行一定的變化就可以了。比如可在上新課之前做一做這樣的熱身練習：某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤120元。為了擴大銷售，增加利潤，超市準備適當降價。據測算，若每箱降價1元，每天可多售出2箱。（1）若每箱降價3元，則該超市每天銷售飲料獲利多少元？（2）設每箱降價元時，平均每天銷售飲料獲利元，求與的函數關系式。（3）當每箱降價多少元時，每天銷售飲料獲利最多？2.學習過程倡導以學生的自主探索為主，教師的引導為輔。全國著名教育家魏書生先生就說過，凡是學生能夠做的事老師就不要不放心，放手讓學生去做吧。事實上也確實是這樣，對于學生們會做的事情，老師為什么還要面面俱到呢，學生也覺得沒勁，明明我們可以做的事情老師為什么還要“搶”著做啊？到不如就讓他們自己完成，反而可以提高他們學習的積極性，加深對知識的理解。比方說對于上述的（1）教師可鼓勵學生積極思考，對于（2）教師可鼓勵學生積極探索，在（2）的基礎之下（3）也就水到渠成了。在這個過程中教師只需起到一個引導者和合作者的作用就可以了，因為要用的知識學生都已學過，接下來就是教師如何組織學生利用已有的知識來解決實際問題了。3.結合實際，加強引導，促進學生理解。在解決上述問題的過程中，教師例舉用列表法來完成對知識的梳理，這確實是個不錯的方法，但是教師也需要注意，不能機械的呆板的直接拿出一張表格，而是在講解時很自然的水到渠成的給出來，使之既能與原有的知識融為一體又能促進對現學方法的理解與運用。同時教師還要加強對數學方法與思想的總結與滲透，這樣也便于學生在理解的基礎上的更好的記憶。4.教師可設計有梯度、層次感強又具有豐富背景與挑戰性的練習。在完成前面的三個步驟之后可設計下面的練習來鞏固學習成果：（1）某旅社有客房120間，當每間房的日租金為50元時，每天都客滿。旅社裝修后，要提高租金，經市場調查，如果一間客房日租金增加5元，則客房每天出租數就會減少6間，不考慮其他因素，旅社將每間客房日租金到多少元時，客房的總收入最大？比裝修前客房日租金總收入增加多少元？（2）某飲料經營部每天的固定成本為200元，其銷售的飲料每瓶進價為5元。銷售單價與日均銷售量的關系如下：銷售單價（元）6789101112日均銷售量（瓶）480440400360320280240①若記銷售單價比每瓶進價多元時，日均毛利潤（毛利潤=售價－進價－固定成本）為元，求關于的函數解析式和自變量的取值范圍；②若要使日均毛利潤達到最大，銷售單價應定為多少元（精確到0.1元）？最大日均毛利潤為多少元？（3）利達經銷店為為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結算，未售出的由廠家負責處理），當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸，該經銷店為提高經營利潤，準備采取降價的方式進行促銷。經市場調查發現：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸，綜合考慮各種因素，每售出1噸建筑材料共需支付廠家及其他費用100元。設每噸材料售價為元，該經銷店的月利潤為元。①當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；②求出與的函數關系式（不要求寫出的取值范圍）；③該經銷店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？④小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大。”你認為對嗎？請說明理由。四、一點思考綜上，通過對上述二次函數利潤問題屢教屢“錯”的原因分析和解決策略可以知道，在教學中要充分利用學生已有的知識，活化數學課堂，設計符合學生發展現狀的練習，這必將對新課程下以豐富學生的應用意識，發展他們的應用能力為基點的函數教學起到了良好的導向作用。我國科學家王菊珍對待實驗失敗有句格言，叫做“干下去還有50％成功的希望，不干便是100％的失敗。”在我們的教學實踐中，難免會遇到這種屢教屢“錯”的現