2023年高考數學第三次模擬考試卷

數學?全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回

一、選擇題：本小題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合要

求的。

1.已知集合A={x[0<x<4,xeN},B={x|-3<x42,xe/?},貝i]A-B=()

A.{x|0<x<2}B.{x|-3<x<4}C.{1,2)D.{0,1}

【答案】C

【分析】根據交集的概念和運算直接得出結果.

【詳解】由題意得，

A={1,2,3},

所以AcB={l,2},

故選：C.

2.設復數z滿足出=i,則|z|=

Z

A.1B.5/5C.3D.5

【答案】B

【解析】由出=，?可得z=%=l-2i,再利用復數模的公式可得結果.

ZI

【詳解】,

Z

2+i2?

z=-；—=—+1

=4+1=1-2八

I

：.|z|=V1+4=75,故選B.

3.某單位職工參加某4Pp推出的“二十大知識問答競賽”活動，參與者每人每天可以作答三次，每次作答

20題，每題答對得5分，答錯得0分，該單位從職工中隨機抽取了10位，他們一天中三次作答的得分情況

如圖：

根據圖，估計該單位職工答題情況，則下列說法正確的是()

A.該單位職工一天中各次作答的平均分保持一致

B.該單位職工一天中各次作答的正確率保持一致

C.該單位職工一天中第三次作答得分的極差小于第二次的極差

D.該單位職工一天中第三次作答得分的標準差小于第一次的標準差

【答案】D

【分析】根據給出統計圖數據，分別計算出三次作答的平均分、正確率、極差、標準差，即可作出判斷.

【詳解】由題可得，該單位抽取的10位員工三次作答的得分分別為：

1號員2號員3號員4號員5號員6號員7號員8號員9號員10號員

工工r.工工工I工工工

第一次

65808580909090859090

作答

第二次

80859090959095909595

作答

第三次

8590959510010010095100100

作答

對于A：第一次作答的平均分為：—x(65+80+85+80+90+90+90+85+90+90)=84.5,

第二次作答的平均分：：x(80+85+90+90+95+90+95+90+95+95)=90.5,

第三次作答的平均分：—x(85+90+95+95+100+100+100+95+100+100)=96,

故該單位職工一天中各次作答的平均分不一致，故A錯誤；

QASX10—5

對于B：第一次作答的正確率：20x10~X1Q0%"84-5%，

905x10-5

第二次作答的正確率：工二,°X1OO%=90.5%,

20x10

第三次作答的正確率：20x10X100%=96%，

故該單位職工一天中各次作答的正確率不一致，故B錯誤；

對于C：該單位職工一天中第三次作答得分的極差：100-85=15,

該單位職工一天中第二次作答得分的極差：95-80=15,

故該單位職工一天中第三次作答得分的極差等于第二次的極差，故C錯誤；

對于D：該單位職工一天中第三次作答得分的標準差：

,=白*1(85-96'+(90-96)2+(95-96)2x3+(100-96)2x5]=2^6,

該單位職工一天中第一次作答得分的標準差：

Mx[(65-84.5)2+(80-84.5)2x2+(85-84.5)2x2+(90-84.5)2x5]=J57.25＞序=2限,

故該單位職工一天中第三次作答得分的標準差小于第一次的標準差，故D正確，故選：D.

4.如圖，網格紙是邊長為1的小正方形，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的體積為

△k

_______I一「一

17^1-

A.16B.8C.4D.20

【答案】A

【分析】由三視圖可知，該幾何體是底面邊長為2與6的矩形，一個側面與底面垂直的四棱錐，棱錐的高

為4,由棱錐的體積公式可得結果.

【詳解】由三視圖可知，該幾何體是底面邊長為2與6的矩形，

一個側面與底面垂直的四棱錐，棱錐的高為4,

二該幾何體體積為:x2x6x4=16,故選A.

5.將函數/(x)=sin(2x+0)的圖象沿x軸向左平移J個單位后，得到一個偶函數的圖象，則。的一個可能取值

O

為()

n3萬-713幾

A.一B.—C.——D.—

4844

【答案】A

【分析】根據平移解析式之間的關系可以求出/*)=sin(2x+0)平移后的解析式,再根據圖象的性質可以求出

關于。的等式,根據所給的選項選出一個正確的答案.

【詳解】因為函數/（x）=Sin（2x+。）的圖象沿“軸向左平移!個單位，所以平移后函數的解析式為:

O

冗JT

g(x)=sin[2(x+w)+°]=sin(2x+w+。),該函數是偶函數,所以有

生+。=左左+2（左€2）=。="1+工伙62）,結合四個選項,當女=0時，</>=-.

4244

故選：A

6.張卡片上分別寫有0,1,2,3,4,若從這5張卡片中隨機取出2張，則取出的2張卡片上的數字之和

大于5的概率是（）

A.—B.-C.—D.-

105105

【答案】B

【分析】列出基本事件個數，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.

【詳解】從這5張卡片中隨機取出2張，

則（0,1）,（0,2）,（0,3）,（0,4）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）,

共10個基本事件，

其中卡片上的數字之和大于5有（2,4）,（3,4）.

21

所以取出的2張卡片上的數字之和大于5的概率是益=；

故選：B

7.函數的部分圖像大致為（）

【解析】計算特殊值/（。）=。，川=七1>°,利用排除法可得是正確選項?

【詳解】"。）=°,排除人D；削=*＞。，排除所

故選：c.

8.電影《流浪地球》中描述了使用發動機推動地球運動的場景.某科學興趣小組提出了一套新裝置：使用

一條強度很大的長金屬繩索繞地球赤道一周，一端連接強力發動機尸繃緊繩索，為地球提供動力.若繩索

比地球赤道長2cm,則發動機距地面的高度約為（取地球半徑為6400km；當9很小時，一二-小熊）

cos。2

tan。一()

3

B.11cmC.9mD.11m

【答案】c

【分析】為方便計算，可記地球半徑為凡繩索比地球赤道長2x,再根據圖形關系列式表達繩索比地球赤

道長和發動機距地面的高度的表達式，再聯立求解即可

Rtan6-R8=x=0.01,

【詳解】如右圖.記地球半徑為凡繩索比地球赤道長2x=0.02,則《

---R=h.

COS。

i

-ROX,

由題述近似可得;3

-R02=h,

12

9.設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S-S2,體積分別為匕、匕.若它們的側面積相等，且今=:,則*的值

是（）

A.2B-13D-7

【答案】B

【解析】設兩個圓柱的底面半徑和高分別為彳，4和九，4，然后根據圓柱的面積公式和體積公式列式計算

求解即可.

【詳解】設兩個圓柱的底面半徑和高分別為小弓和4,h，

由今=；，得父=7,則:=T

力44岑4r22

由圓柱的側面積相等,得2g4=24哂,即哂=四,

所以)=巴萼=2='

V27cr2h,r22

故選：B.

。2

10-已知橢圓E：》%—>0）的上頂點為8,右焦點為尸，延長即交橢圓E于點C,

BF=2FC（Z>1）,則橢圓E的離心率0=（）

DIA2-1D?篇

A.B.----C.

A+1A2+I

【答案】A

（1+2）。

【解析】設C（x。,%），由8尸=可得，「，然后代入橢圓方程化簡即可.

h

%=-I

(l+2)c

/=

c=2(x()-c)2

【詳解】設。（內）,%），則由8/=4尸C=<=?

一〃二2%b

%=一I

代入橢圓E的方程，整理得：0等"+5=1

-14—1

所以e?=

(1+4)214-Z

所以e

故選：A

11.設函數〃x）=sin（ox+T在區間（0,無）恰有三個極值點、兩個零點，則。的取值范圍是（

)

5B5191381319

A.，-B.C.D.

36~3'~666

【答案】C

【分析】由X的取值范圍得到。x+TqT的取值范圍，再結合正弦函數的性質得到不等式組，解得即可.

【詳解】解：依題意可得0>0,因為X€(0,打)，所以3%+5€(?,。萬+?

要使函數在區間(0,7)恰有三個極值點、兩個零點，又丫=$皿孫xe[?,3〃J的圖象如下所示:

12.設a=1.251nl.25力=0.2e02,c=0.25,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

【答案】B

【分析】將。也c表示為分式形式，構造函數〃x)=(l-x)e，-l,求導求單調性，將(代入，變形即可得b,c之

間的大小關系，根據f(x)與/(0)大小關系，變形后可得x<ln」一，將!代入變形即可得。之間關系，進

1一X5

而可得選項.

【詳解】解：設函數f(x)=(l-x)e-l,xe[0,l),

所以則ra)=-xe'<0,所以〃x)在[0,1)上單調遞減,

55II

因為a=1.251nl.25=」n3,/,=0,2ea2=-e5,c=O.25=-,

4454

￡1111

因此一e5-l</(0)=0,則即…,

5

當xe(O,l)時，由/⑺=(1戶_1<〃0)=0,W0<ex<—,

1-X

因此x<In---,所以一<In—,即1<5In—,

1-x544

故;4吟即…，故"cm

故選：B

二、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共50分。

13.已知向量。=(1,2),向量6=(3/),若(a+A)_La,則/=.

【答案】-4

【分析】先求得a+〃的坐標，然后利用兩個向量垂直的坐標表示，列方程，解方程求得/的值.

【詳解】依題意a+b=(4,2+f),由于(。+匕)，“，故(a+6)-(l,2)=(4,2+f)-(l,2)=8+2f=0,解得f=-4.

14.若直線3x-4y+12=0與兩坐標軸交點為A,B,則以線段AB為直徑的圓的方程是.

【答案】(x+2[+(>-■!)=今

【分析】結合已知條件分別求出A、B的坐標，然后分別求出圓心和半徑即可求解.

【詳解】不妨設直線3x-4y+12=0與X軸和y軸的交點分別為4,B,

令尸0,得x=-4,即4-4,0)：再令x=0,得y=3,即8(0,3),

3

從而線段AB的中點為(-2,1),且為所求圓的圓心，

又因為|A3|=J(Y_0)2+(O_3)2=5,所以所求圓的半徑為g,

故答案為：(x+2)-+(y-g)=~4'

15.從5個男生，4個女生中任意選兩個，則至少有一個女生的概率是.

【答案】

【分析】求出所有的基本事件的個數，求出對應事件包含的基本事件的個數，再求出事件“至少有一個女生”

的基本事件的個數，利用古典概型的概率計算公式即可求出事件的概率.

【詳解】從5個男生，4個女生中任意選兩人所有取法：C；=36,

取的兩人中不含女生的取法有=10,

至少有個女生的取法有36-10=26,

至少有一個女生的概率是第=”.

36IX

故答案為：

1O

16.在三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若也4=3堊0=]巨，則該三角形周長的

ab2

最大值為.

【答案】域

2

【分析】利用正弦定理化簡式子，求出tanB的值，進而求出8的大小，由余弦定理結合基本不等式即可求

出a+c4#，即可求出三角形周長的最大值.

【詳解】由正弦定理變形有：也4=半，又因為包工=叵上0=立，所以gcosB=sin8,則

abab2

tanB=6,;.B=9,又因為6cos8=也,所以26cosB26義;卮

3b

b2-^—JT-^：

乂因為It2-a2+c2-2accosB-(a+cf-3ac>(a+c)2=；(a+c)?,

所以(a+c)24402=4x：=6=“+c4",當且僅當“a=c?”時取等.

則該三角形周長的最大值為a+/;+c="+如=婭.

22

故答案為：巫.

2

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。

(-)必考題：共6()分

17.羽毛球比賽中采用每球得分制，即每回合中勝方得1分，負方得0分，每回合由上回合的勝方發球.設

在甲、乙的比賽中，每回合發球，發球方得1分的概率為0.6,各回合發球的勝負結果相互獨立.若在一局

比賽中，甲先發球.

(1)求比賽進行3個回合后，甲與乙的比分為2:1的概率；

(2)4表示3個回合后乙的得分，求4的分布列與數學期望.

【答案】(D0.336(2)見解析

【分析】(I)記"第i回合發球，甲勝”為事件A,,i=l,2,3,且事件4相互獨立，設“3個回合后，甲與乙

比分為2比I”為事件A,由互斥事件概率加法公式和相互獨立事件乘法公式求出比賽進行3個回合后，甲

與乙的比分為2比1的概率；

(2)J的可能取值為0,1,2,3,分別求出相應的概率，由此求出4的分布列和數學期望風自).

【詳解】解：記“第i回合發球，甲勝”為事件A,，i=l,2,3,且事件可相互獨立.

(1)記“3個回合后，甲與乙比分為2比1”為事件A,

則事件A發生表示事件AA2無或AWX或A,發生，

且2A3,A44，A4A互斥.

又尸(Aa可)=0.6X0.6X0.4=0.144,

尸(A耳A3)=0.6x0.4x0.4=0.096,

p(44%)=0.4X0.4X0,6=0.096.

由互斥事件概率加法公式可得

P（A）=尸（444+a9+*43）

=P（A4無）+p（+尸（]44）

=0.144+0.096+0.096=0.336.

答：3個回合后，甲與乙比分為2比1的概率為0.336.

（2）因J表示3個回合后乙的得分，則4=0,1,2,3.

PC=0）=p（AAA）=0.6X0.6X0.6=0.216,P（《=1）=0.336,

尸e=2）=p（A4%+

=aA4%）+P（IA2無）+P（AM3）

=0.6x0.4x0.6+0.4x0.4x0.4+0.4x0.6x0.4=0.304.

P（4=3）=P（AHA）=0.4X0.6X0.6=0.144.

所以，隨機變量g的概率分布列為

0123

P0.2160.3360.3040.144

故隨機變量J的數學期望為E（J）=0x0.216+1x0.336+2x0.304+3x0.144=1.376.

答：自的數學期望為1.376.

一4

18.已知數列｛。〃｝滿足an+i=f，且a/=3（〃￡N*）.

an+」

(1)證明：數列是等差數歹(l;

U-2J

(2)求數列｛〃〃｝的通項公式.

【答案】(1)證明見解析

2/?+10

（2）4〃=

〃+3

111

【分析】⑴由已知條件轉化可得————7=:，底“，進而結合等差數列的定義即可得出結論;

%-2an-24

(2)利用等差數列的定義可求出數列-二的通項公式，進而求出結果.

(A-2J

1_1q+2y-2+4_l]

【解析】（1）證明由2=瓦-42=4a.-8=4（a.-2）=l-li

4,+2

即——Z故數列是等差數列.

4+1.2

iI.、1"+3

⑵由⑴知U=二+(〃fy=h

19.在四棱錐中，PD1JgjgfABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=y/3.

（1）證明：BDYPA-,

（2）求PD與平面R4B所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）骼.

【分析】（1）作FE,CF1ABTF,利用勾股定理證明AO2用＞根據線面垂直的性質可得

PD1BD,從而可得平面皿＞，再根據線面垂宜的性質即可得證；

（2）以點。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.

【詳解】（1）證明：在四邊形A8C。中，作。于E,CFJ.AB于F,

因為CD//A民AD=C￡）=C8=1,A3=2,

所以四邊形ABCD為等腰梯形，

所以AE=B尸=],

2

松DE=,BD=VDE2+BE2=6，

所以心+5。2=452，

所以AOJBD,

因為PD_L平面ABC。，BDu平面ABCD,

所以叨J_B￡＞，

又PDcAD=D，

所以8￡）工平面PAD,

又因為P4u平面PA。，

所以8D_LK4；

（2）解：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系,

BD=6

則A（1,O,O）,B（O,0,0）,尸（0,0,,

則”=卜1,0,6）,3P=（0,-"石）,￡>P=（0,0,g）,

設平面R48的法向量〃=（x,y,z）,

n-AP=-x+石z=0

則有｛可取

n-BP=-百y+\/3z=0

則8S（〃E=摘邛，

所以PO與平面R鉆所成角的正弦值為害.

20.設拋物線<7:丫2=2妙（0>0）的焦點為尸，過F的直線交C于M,N兩點，|MN1mhi=4.

（1）求C的方程；

（2）設點。（2p,0）,直線M3ND與C的另一個交點分別為A,B,當直線MN,A8的斜率存在時，分別記為

《，內.則2是否為常數，請說明理由.

【答案】（l）y2=4x；（2）是常數，理由見解析.

【分析】（1）設直線MN:x=/ny+5,N（x2,y2）,求出|MN|=玉+占+p=2p（，/+1）,得當MN與x

軸垂直時弦長最短，即得解；

（2）設4,y],N俾,丫?],/?,%]〃？,%],直線MN:x=my+l，求出如小一二—,&=---

k,

%=4%，乂=4%，得黃=4,即得解.

【解析】（1）解：設直線MN:x=my+],〃（5,蘆）”（馬,%），

X=tTIV+■—■

由＜*2可得丁-2p/%y-/=0,A＞0,+y2=2pm,

y2=4x

所以|=玉+/+p=加（y+%）+2,=2p（r?i2+1）,

所以當機=0,即MNHx軸垂直時弦長最短，此時|MN|=2〃=4,所以p=2,所以拋物線。的方程為丫2=44

（2）解：設加鼠,乂）乂毛,％卜半為直線M*：x=wy+1

x=my+l,c八

由｛2:可得y-4/町，-4=0,A＞0,y]y2=-4,

y=4x

k二Xf=4二--以-4

由斜率公式可得.一片_及一y+必，,-貨_反一為+乂，

4444

直線MO:x=土二土y+4,代入拋物線方程可得汗-4（*一4）.＞一]6=（）,

乂y

44kk

△＞0，%%=T6,所以為=4%,同理可得以=4乂，所以右＞=不不=4"+卜）=寸，所以7t=牝

21.已知函數”x）=21nx+f+l的圖象在（2"（2））處切線與直線3x-4y+2=0平行.

（1）求實數。的值，并判斷了（X）的單調性；

（2）若函數g（x）=/（x）—2機一1有兩個零點內,巧，且占＜*2，證明為+工2＞1.

【答案】（1）a=\,函數〃x）在（0,；）上單調遞減；在g,+8）上單調遞增；（2）證明見解析.

【分析】（1）求得函數的導數r（x）,由題設條件，得出/'（2）=（,求得”=1,代入導數，結合r（x）＜o和

尸（x）＞0,即可求得函數的單調區間；

（2）由（1）得g（x）,根據西，j是函數g（x）的兩個零點，得到山王+—=〃?,111々+/-=膽，

兩式相減整理得“1-；_，構造函數g)=r」-21n?0<f<l),

_t-\求得函數的單調性與最

Ai十X。一十—'t

"221nr21nr21nr

值，即可求解.

【詳解】(1)由題意函數〃x)=21nx+2+l的定義域為(0,+8),且/(無)=專衛,

因為函數“X)的圖象在(2,/(2))處切線與直線3x-4y+2=0平行，

可得/'(2)=號=?,解得a=l,

所以〃x)=21nx+、+l,則廣(司=言」，

由r(x)<0,即三P<0,得0<x<g,故/(X)在(0,；)上單調遞減：

由/'(x)>0,即嬰>0,得x>；,故/(x)在g,+8)上單調遞增.

(2)由g(x)=21nx+：-2m,因為斗七是函數g(x)的兩個零點，

可得In%+—!—=機，lnx,+—!—=m,

2xj2X2

兩式相減，可得In%-ln%2+q—=0,

=x,-x22-11-迤

整理得即"*=短石，所以％=三?，々=^^

2%2X,21n221n^L

x?x2

令f=土，由再<%，知0<f<1,

X2

1

1—

則3=

+——-

2\nt2\nt2\nt

構造函數/7(r)=f-；-21nr(0<r<l),則有/2，?)=1+"-m=^^>0,

所以函數恤)在(0,1)上單調遞增，故人⑺<儀1)=0,即<21皿,

又In，v0,所以/〉］,即號+通>1.

2\nt

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多選，則按所做的第一題計分。

［選修4-4：坐標系與參數方