第一章2023第1課時用空間向量研究直線、平面的平行關系內容索引010203自主預習新知導學合作探究釋疑解惑隨堂練習課標定位素養闡釋1.能用向量語言描述點、直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.2.掌握直線的方向向量和平面的法向量的求法.3.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系.4.能用向量方法證明有關直線、平面之間的平行關系,體會向量方法在研究幾何問題中的應用.5.培養數學抽象、直觀想象、邏輯推理與數學運算素養.自主預習新知導學一、空間中點、直線的向量表示1.我們知道,點、直線和平面是空間的基本圖形,閱讀教材第26頁,回答下列兩個問題:(1)如何用向量表示空間中的一個點?提示:在空間中,取一定點O作為基點,空間中的任意一點P就可以用向量

來表示.(2)如圖,點A是直線l上的一個點,a是直線l的方向向量,在直線l上取

=a,P是直線l上的任意一點,那么點P在直線l上的充要條件是什么?3.若點A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個方向向量為(

)A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)答案:A二、空間中平面的向量表示1.如圖,設兩條直線相交于點O,它們確定平面α,這兩條直線的方向向量分別為a和b,P為平面α內任意一點,那么點P在平面α內的充要條件是什么?(2)平面的法向量:如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合{P|a·=0}.3.已知平面α內一點A(2,-1,2),α的一個法向量為n=(3,1,2),則下列點在平面α內的是(

)答案:B三、空間中直線、平面的平行1.設空間兩條直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,兩個平面α,β的法向量分別為n1,n2,且l1?α.試根據直線的方向向量、平面的法向量的定義回答下列問題:(1)如何用u1,u2表示l1∥l2?提示:l1∥l2?u1∥u2.(2)如何用u1,n1表示l1∥α?提示:l1∥α?u1⊥n1.(3)如何用n1,n2表示α∥β?提示:α∥β?n1∥n2.2.空間中直線、平面的平行

3.(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),a與b分別是直線l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則(

)(2)已知直線l的方向向量為v=(1,-1,2),平面α的法向量為n=(2,4,1),且l?α,則l與α的位置關系是

.

解析:(1)∵l1∥l2,∴a∥b.∴存在λ∈R,使得a=λb,則有2=3λ,4=λx,5=λy,(2)因為v·n=2-4+2=0,所以v⊥n.又l?α,所以l∥α.答案:(1)D

(2)l∥α【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)一個平面的法向量都是同向的.(×)(2)若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反.(√)(3)直線的方向向量與平面的法向量平行時,直線與平面平行.(×)(4)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直,則該直線與平面平行.(√)合作探究釋疑解惑探究一求平面的法向量【例1】

已知四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當的坐標系.求:(1)平面ABCD的一個法向量;(2)平面SAB的一個法向量;(3)平面SCD的一個法向量.分析:先建系,求平面法向量的兩種思路:一是找平面的垂線;二是待定系數法設出法向量,利用法向量與平面內的兩條不共線的向量垂直,計算出平面的一個法向量.解:由題意知AD,AB,AS兩兩垂直.以A為原點,AD,AB,AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,且AB∩SA=A,∴AD⊥平面SAB,反思感悟

1.若一個幾何體中存在線面垂直關系,則平面的垂線的方向向量即為平面的法向量.2.一般情況下,使用待定系數法求平面的法向量,步驟如下:(1)設出平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內的兩個不共線的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程組,取其中的一個解,即得法向量.3.在利用上述步驟求解平面的法向量時,方程組

有無數多個解,只需給x,y,z中的一個變量賦予一個值,即可確定平面的一個法向量;賦的值不同,所求平面的法向量就不同,但它們是共線向量.【變式訓練1】

在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱A1D1,A1B1的中點,在如圖所示的空間直角坐標系中,求:(1)平面BDD1B1的一個法向量;(2)平面BDEF的一個法向量.解:已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2).(1)連接AC,因為AC⊥平面BDD1B1,取x=2,則y=-2,z=-1.所以,n=(2,-2,-1)為平面BDEF的一個法向量.探究二利用空間向量證明線線平行【例2】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1和BB1的中點.求證:四邊形AEC1F是平行四邊形.分析:轉化為證明直線的方向向量平行.又F?AE,F?EC1,∴AE∥FC1,EC1∥AF.∴四邊形AEC1F是平行四邊形.反思感悟

1.兩直線平行?兩直線的方向向量共線;2.兩直線的方向向量共線?兩直線平行或重合,所以由兩直線的方向向量共線證明兩直線平行時,必須指出兩直線不重合.【變式訓練2】

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是面對角線B1D1,A1B上的點,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求證:EF∥AC1.

證明:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設DA=a,DC=b,DD1=c,探究三利用空間向量證明線面、面面平行【例3】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.分析:(1)設向量n1為平面ADE的法向量,要讓FC1∥平面ADE,需證明

⊥n1.(2)設向量n2為平面B1C1F的法向量,要讓平面ADE∥平面B1C1F,需證明n1∥n2.證明:建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),(2)設n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,取y2=-1,則z2=2.所以,n2=(0,-1,2)是平面B1C1F的一個法向量.因為n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.反思感悟

1.利用空間向量證明線面平行一般有三種方法方法一:證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面,即可用平面內的一組基底表示.方法二:證明直線的方向向量與平面內某一向量共線,轉化為線線平行,利用線面平行判定定理得證.方法三:先求直線的方向向量,然后求平面的法向量,再證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.2.利用空間向量證明面面平行,求出兩平面的法向量,若兩法向量是共線向量,則可判定兩平面平行.【變式訓練3】

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD中點.在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.【易錯辨析】

忽視直線與平面平行的條件致誤【典例】

已知直線l的方向向量為u=(2,0,-1),平面α的一個法向量為v=(-2,1,-4),則直線l與平面α的位置關系為

.

錯解:∵u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0,∴u⊥v.∴l∥α,即直線與平面平行.答案:l∥α以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:本題錯誤在于對直線與平面平行的條件理解不清,混淆了直線與平面平行和向量與平面平行的區別.正解:∵u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0,∴u⊥v.∴l∥α或l?α,即直線與平面平行或在平面內.答案:l∥α或l?α防范措施

1.在用向量方法判斷直線與平面的平行關系時,必須考慮直線是否在平面內.2.若向量a與平面α的法向量垂直,則以a為方向向量的直線有可能與平面平行,也有可能在平面內.解析:A,B,C均能推出l∥α或l?α,但不能確定一定是l∥α.答案:D隨堂練習1.(多選題)在如圖所示的坐標系中,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下列結論正確的是(

)A.直線DD1的一個方向向量為(0,0,1)B.直線BC1的一個方向向量為(0,1,1)C.平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0)D.平面B1CD的一個法向量為(1,1,1)答案:ABC2.已知點A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1)在平面ABC內,若a=(-1,y,z),且a為平面ABC